Lista 1 Matrizes e determinantes

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DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA - UFRPE
PROFESSOR: Adriano Regis Rodrigues
A´lgebra Vetorial e Linear para Computac¸a˜o
2013.2
Turmas: LC1 e BC3
Lista I - Matriz e Determinante
1. Verdadeiro ou falso? Justifique!
(a) (−A)t = −(At)
(b) (A+B)t = Bt +At
(c) Se AB = 0, enta˜o A = 0 ou B = 0
(d) (λ1A)(λ2B) = (λ1λ2)AB
(e) (−A)(−B) = −(AB)
(f) Se A e B sa˜o matrizes sime´tricas, enta˜o AB =
BA
(g) Se AB = 0, enta˜o BA = 0.
(h) Se podemos efetuar o produto A · A, enta˜o A e´
uma matriz quadrada.
(i) (A+B)2 = A2 + 2AB +B2
(j) Se A e´ invers´ıvel enta˜o (A−1)−1 = A.
2. Determine x, y e z de modo que a matriz
A =

0 −4 2
x 0 1− z
y 2z 0

seja anti-sime´trica
3. Suponha que A 6= 0 e AB = AC onde A, B e C sa˜o
matrizes tais que a multiplicac¸a˜o esteja definida.
(a) B = C?
(b) Se existir uma matriz Y, tal que Y A = I, onde I
e´ a matriz identidade, enta˜o B = C?
4. Expresse X em func¸a˜o de A, B e C, sabendo que A, B
e C sa˜o matrizes quadradas de ordem n invers´ıveis.
(a) AXB = C
(b) (AXC)−1 = B
(c) (A+BX)t = C
5. Se A e B sa˜o matrizes invers´ıveis, prove que:
(a) (AB)−1 = B−1A−1
(b) (At)−1 = (A−1)t
6. (Boldrini, pg 90) Dadas as matrizes A =
(
1 2
1 0
)
e
B =
(
3 −1
0 1
)
, calcule
(a) detA+ detB (b) det(A+B).
7. (Boldrini, pg 90) Sejam A e B matrizes do tipo n×n.
verifique se as colocac¸o˜es abaixo sa˜o verdadeiras ou
falsas.
(a) det(AB) = det(BA)
(b) det(At) = det(A)
(c) det(2A) = 2 det(A)
(d) detAij < detA
(e) Se A e´ uma matriz 3×3, enta˜o a11∆11+a12∆12+
a13∆13 = a21∆21 + a22∆22 + a23∆23
8. Calcule detA, onde
(a) A =

3 −1 5 0
0 2 0 1
2 0 −1 3
1 1 2 0

(b) A =

3 0 0 0 0
19 18 0 0 0
−6 pi −5 0 0
4
√
2
√
3 0 0
8 3 5 6 −1

9. Encontre A−1, onde
(a)

4 −1 2 −2
3 −1 0 0
2 3 1 0
0 7 1 1
 (b)

1 0 x
1 1 x2
2 2 x2

10. (Boldrini, pg 92) Dizemos A e B sa˜o matrizes
semelhantes se existe uma matriz P tal que B =
P−1AP. Mostre que detA = detB, se A e B sa˜o
semelhantes.
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11. Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que:
i) A e´ sime´trica se At = A.
ii) A e´ anti-sime´trica se At = −A.
iii) A e´ idempotente se A2 = A.
Usando tais definic¸o˜es, mostre as seguintes afirmac¸o˜es:
(a) Os elementos da diagonal principal de uma
matriz anti-sime´trica sa˜o todos nulos.
(b) A soma e a multiplicac¸a˜o por escalar de matrizes
sime´tricas tambe´m e´ sime´trica.
(c) Ana´logo ao item anterior para matrizes
anti-sime´tricas.(Isto significa que conjunto da
matizes sime´tricas e o conjunto das matrizes
anti-sime´tricas sa˜o fechados com respeito a soma
e a multiplicac¸a˜o por escalar.)
(d) Sejam A e B sa˜o sime´tricas. Mostre que AB e´
sime´trica se, e somente se, A e B comutam (i.e.
AB = BA).
(e) Se A e´ simultaneamente sime´trica e
anti-sime´trica, enta˜o A e´ a matriz nula.
(f) As matrizes B = A + At e C = A − At sa˜o
sime´trica e anti-sime´trica, respectivamente (A e´
uma matriz quadrada arbitra´ria).
(g) Toda matriz quadrada A pode ser decomposta,
de maneira u´nica, como A = B + C, onde B e´
sime´trica e C e´ anti-sime´trica.
(h) Se AB = A e BA = B, enta˜o A e B sa˜o
idempotentes.
(i) Se A e´ idempotente enta˜o B = I − A e´
idempotente, e ale´m disso, AB = BA = 0.
(j) Se A e´ anti-sime´trica, enta˜o BtAB e´
anti-sime´trica.
12. Sejam A e B matrizes n× n tais que AB e´ invers´ıvel.
Mostre que A e B sa˜o invers´ıveis.
13. Uma matriz quadrada A e´ dita ortogonal se A e´
invers´ıvel e A−1 = At.
(a) Se A,B ∈ Mn sa˜o ortogonais, o produto AB e´
ortogonal?(No caso afirmativo, prove. No caso
contra´rio exiba um contra-exemplo)
(b) Mostre que se A e´ ortogonal, enta˜o detA = 1 ou
detA = −1.
(c) Se A e´ ortogonal, At e´ ortogonal?
(d) Mostre que a seguinte matriz e´ ortogonal
cos θ − sen θ 0
sen θ cos θ 0
0 0 1

14. Um matriz quadrada A diz-se normal quando comuta
com sua transposta isto e´, quando
AAt = AtA.
(a) Uma matriz sime´trica e´ normal?
(b) Uma matriz ortogonal e´ normal?
15. O trac¸o de uma matriz quadrada A ∈Mn×n, indicado
por tr(A), e´ a soma dos elementos da diagonal
principal de A, isto e´,
tr(A) =
n∑
i=1
aii.
Mostre que:
(a) tr(A+B) = tr(A) + tr(B)
(b) tr(λA) = λtr(A)
(c) tr(AB) = tr(BA)
(d) Se B e´ invers´ıvel, enta˜o tr(B−1AB) = tr(A).
(Em outras palavras, matrizes semelhantes
possuem o mesmo trac¸o )
16. Verdadeiro ou falso? Justifique!
(a) det(A+B) = det(A) + det(B).
(b) det(A) = det(B)⇐⇒ A = B.
(c) det(AB) = det(BA).
17. Qual a relac¸a˜o entre detA e det(−A), para A ∈Mn?
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