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Prova de Calculo II - Curvas - SImone

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UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte
BCT - Bacharelado em Cieˆncias & Tecnologia
Primeira Prova de Ca´lculo II - Prof. Dr. Simone Batista
Nome:
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Matr´ıcula:
1aQuesta˜o: (valor 2,5 pontos) Calcule o comprimento da curva:
~r(t) = (2t cos t)~i+ (2t sen t)~j +
(
4
√
2
3
t
3
2
)
~k, com 0 ≤ t ≤ pi.
2aQuesta˜o: (valor 4,0 pontos) Dada a curva r(t) =
(
t2
2
)
~i+
(
t3
3
)
~j, t > 0
(a) (valor 1,0 ponto) Calcule o vetor tangente unita´rio ~T (t);
(b) (valor 1,0 ponto) Calcule o vetor normal unita´rio ~N(t);
(c) (valor 1,0 ponto) Calcule o vetor binormal ~B(t);
(d) (valor 1,0 ponto) Calcule a curvatura k;
3aQuesta˜o: (valor 1,5 ponto) Dada a curva: r(t) =
(
et cos t
)
~i+
(
et sen t
)
~j +
(√
2
)
et ~k
Escreva a acelerac¸a˜o ~a na forma ~a = aT ~T + aN ~N em P =
(
1 , 0 ,
√
2
)
.
4aQuesta˜o: (valor 2,0 pontos) Dada a curva com equac¸o˜es parame´tricas

x = cos t
y = sen t
z = sen2 t
(a) (valor 1,0 ponto) Mostre que a curva e´ a curva intersecc¸a˜o das superf´ıcies z = y2 e x2 + y2 = 1
(b) (valor 1,0 ponto) Ache a reta tangente a` curva em P = (0, 1, 1)
1

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