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UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte BCT - Bacharelado em Cieˆncias & Tecnologia Primeira Prova de Ca´lculo II - Prof. Dr. Simone Batista Nome: Assinatura: Matr´ıcula: 1aQuesta˜o: (valor 2,5 pontos) Calcule o comprimento da curva: ~r(t) = (2t cos t)~i+ (2t sen t)~j + ( 4 √ 2 3 t 3 2 ) ~k, com 0 ≤ t ≤ pi. 2aQuesta˜o: (valor 4,0 pontos) Dada a curva r(t) = ( t2 2 ) ~i+ ( t3 3 ) ~j, t > 0 (a) (valor 1,0 ponto) Calcule o vetor tangente unita´rio ~T (t); (b) (valor 1,0 ponto) Calcule o vetor normal unita´rio ~N(t); (c) (valor 1,0 ponto) Calcule o vetor binormal ~B(t); (d) (valor 1,0 ponto) Calcule a curvatura k; 3aQuesta˜o: (valor 1,5 ponto) Dada a curva: r(t) = ( et cos t ) ~i+ ( et sen t ) ~j + (√ 2 ) et ~k Escreva a acelerac¸a˜o ~a na forma ~a = aT ~T + aN ~N em P = ( 1 , 0 , √ 2 ) . 4aQuesta˜o: (valor 2,0 pontos) Dada a curva com equac¸o˜es parame´tricas x = cos t y = sen t z = sen2 t (a) (valor 1,0 ponto) Mostre que a curva e´ a curva intersecc¸a˜o das superf´ıcies z = y2 e x2 + y2 = 1 (b) (valor 1,0 ponto) Ache a reta tangente a` curva em P = (0, 1, 1) 1
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