Prova 1 - Simone - Cálculo 2 ii

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Gabarito - ROSA - P1 Ca´lculo II - turma 02 - 2014.1 - Prof Simone
1a Questa˜o: (valor 3,0 pontos) Dada a curva: ~r(t) =
(
t3
3
+ 2
)
~i+
(
t2
2
+ 3
)
~j + 6~k, calcule:
(a) (valor 0,5) O vetor tangente unita´rio a` curva no ponto P =
(
7
3
,
7
2
, 6
)
.
(b) (valor 0,5) O vetor normal unita´rio a` curva no ponto P =
(
7
3
,
7
2
, 6
)
.
(c) (valor 0,5) O vetor binormal a` curva no ponto P =
(
7
3
,
7
2
, 6
)
.
(d) (valor 0,5) A curvatura da curva no ponto P =
(
7
3
,
7
2
, 6
)
.
(e) (valor 0,5) A torc¸a˜o da curva no ponto P =
(
7
3
,
7
2
, 6
)
.
(f) (valor 0,5) A reta tangente a` curva no ponto P =
(
7
3
,
7
2
, 6
)
.
Resoluc¸a˜o:
P =
(
7
3
,
7
2
, 6
)
e ~r(t) =
(
t3
3
+ 2
)
~i+
(
t2
2
+ 3
)
~j + 6~k ⇒ t = 1
~r(t) =
(
t3
3
+ 2
)
~i+
(
t2
2
+ 3
)
~j + 6~k ⇒ ~r′(t) = t2~i+ t~j + 0~k
| ~r′ | =
√
t4 + t2 =
√
t2(t2 + 1) = | t |
√
t2 + 1 , podemos considerar t ≤ 0, | ~r′ | = t
√
t2 + 1 .
~T (t) =
~r′(t)
| ~r′(t) | =
t2~i+ t~j + 0~k
t
√
t2 + 1
=
t√
t2 + 1
~i+
1√
t2 + 1
~j + 0~k.
~T (1) =
1√
2
~i+
1√
2
~j + 0~k .
~T ′(t) =
1.
√
t2 + 1 − t 1
2
√
t2+1
2t
(
√
t2 + 1 )2
~i+
0.
√
t2 + 1 − 1 1
2
√
t2+1
2t
(
√
t2 + 1 )2
~j + 0~k
~T ′(t) =
√
t2 + 1 − t2√
t2+1
(
√
t2 + 1 )2
~i+
t√
t2+1
(
√
t2 + 1 )2
~j + 0~k =
(
√
t2+1 )2−t2√
t2+1
(
√
t2 + 1 )2
~i−
t√
t2+1
(
√
t2 + 1 )2
~j + 0~k =
~T ′(t) =
t2+1−t2√
t2+1
(
√
t2 + 1 )2
~i−
t√
t2+1
(
√
t2 + 1 )2
~j + 0~k =
1√
t2+1
(
√
t2 + 1 )2
~i−
t√
t2+1
(
√
t2 + 1 )2
~j + 0~k =
~T ′(t) =
1
(
√
t2 + 1 )3
~i− t
(
√
t2 + 1 )3
~j + 0~k
~T ′(1) =
1
(
√
2)3
~i− 1
(
√
2)3
~j + 0~k =
1
2
√
2
~i− 1
2
√
2
~j + 0~k ⇒ | ~T ′(1) | =
√
1
8
+
1
8
+ 0 =
1
2
~N(1) =
~T ′(1)
| ~T ′(1) | =
1
2
√
2
~i− 1
2
√
2
~j + 0~k
1
2
⇒ ~N(1) = 1√
2
~i− 1√
2
~j + 0~k .
~B(1) = ~T (1)× ~N(1) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
1√
2
1√
2
0
1√
2
− 1√
2
0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
⇒ ~B(0) = 0~i+ 0~j − 1~k .
k(1) = |
~T ′(1) |
| ~r′(1) |
~r′(t) = t2~i+ t~j + 0~k ⇒ ~r′(1) = 1~i+ 1~j + 0~k ⇒ | ~r′(1) | =
√
2
k(1) = |
~T ′(1) |
| ~r′(1) | =
1
2√
2
= 1
2
√
2
k(1) =
1
2
√
2
.
τ(1) =
~r′(1)× ~r′′(1). ~r′′′(1)
| ~r′(1)× ~r′′(1) |2
~r(t) =
(
t3
3
+ 2
)
~i+
(
t2
2
+ 3
)
~j+6~k ⇒ ~r′(t) = t2~i+ t~j+0~k ⇒ ~r′′(t) = 2t~i+1~j+0~k ⇒ ~r′′′(t) = 2~i+0~j+0~k
~r′(1)× ~r′′(1) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
1 1 0
2 1 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0~i+ 0~j − 1~k
~r′(1)× ~r′′(1). ~r′′′(1) = (0~i+ 0~j − 1~k).(2~i+ 0~j + 0~k) = 0 τ(1) = 0 .
Reta tangente:
x = 73 + 1λ
y = 72 + 1λ
z = 6 + 0λ
⇒ Reta tangente:

x = 73 + λ
y = 72 + λ
z = 6
.
2a Questa˜o: (valor 2,5 pontos) Encontre o comprimento da curva C dada pela intersecc¸a˜o do cilindro parabo´lico
x2 = 2y e da superf´ıcie 3z = xy do ponto A =
(
2, 2,
4
3
)
ate´ o ponto B = (6, 18, 36).
Resoluc¸a˜o:
Primeiramente, vamos parametrizar a curva:
Chamando x de t temos: x = t ⇒ t2 = 2y ⇒ y = t
2
2
⇒ 3z = t t
2
2
⇒ z = t
3
6
Assim: ~r(t) = t~i+
t2
2
~j +
t3
6
~k ⇒ ~r′(t) = 1~i+ t~j + t
2
2
~k
| ~r′(t) | =
√
1 + t2 +
t4
4
=
√
4 + 4t2 + t4
4
=
√
(2 + t2)2
22
=
2 + t2
2
~r(t) = t~i+
t2
2
~j +
t3
6
~k e A =
(
2, 2,
4
3
)
⇒ t = 2. ~r(t) = t~i+ t
2
2
~j +
t3
6
~k e B = (6, 18, 36) ⇒ t = 6.
L =
∫ 6
2
2 + t2
2
dt =
1
2
∫ 6
2
(2 + t2) dt =
1
2
(
2t+
t3
3
) ∣∣∣∣∣
6
2
=
1
2
(
12 + 72
)− 1
2
(
4 +
8
3
)
= 42− 8
3
=
118
3
Comprimento: L =
118
3
.
3a Questa˜o: (valor 2,0 pontos)
Em quais pontos a curva ~r(t) = sen (t)~i+ cos (t)~j + t~k intercepta a esfera x2 + y2 + z2 = 10.
Resoluc¸a˜o:
~r(t) = sen (t)~i+ cos (t)~j + t~k ∩ x2 + y2 + z2 = 10 ⇒
⇒ (sen (t))2+(cos (t))2+(t)2 = 10 ⇒ sen2(t) + cos2(t)︸ ︷︷ ︸
1
+t2 = 10 ⇒ 1+ t2 = 10 ⇒ t2 = 9 ⇒ t = 3 ou t = −3
Assim, a curva ~r(t) = sen (t)~i+ cos (t)~j + t~k intercepta a esfera x2 + y2 + z2 = 10 em dois pontos:
~r(3) = sen (3)~i+ cos (3)~j + 3~k e ~r(−3) = sen (−3)~i+ cos (−3)~j − 3~k
Nos pontos P =
(
sen (3), cos (3), 3
)
e P =
( − sen (3), cos (3),−3) .
4a Questa˜o: (valor 2,5 pontos) Calcule
∂2f
∂x ∂y
, sendo f(x, y) = sen
(
x
1 + y
)
.
Resoluc¸a˜o:
f(x, y) = sen
(
x
1 + y
)
⇒ ∂f
∂y
(x, y) = cos
(
x
1 + y
) (
0 . (1 + y)− x .(1)
(1 + y)2
)
=
−x
(1 + y)2
cos
(
x
1 + y
)
∂f
∂y
(x, y) =
−x
(1 + y)2
cos
(
x
1 + y
)
.
∂2f
∂x ∂y
(x, y) =
[ −1 .(1 + y)2 − (−x) . (0)
(1 + y)4
]
cos
(
x
1 + y
)
+
{ −x
(1 + y)2
[
−sen
(
x
1 + y
)][
1 .(1 + y)− x .(0)
(1 + y)2
]}
∂2f
∂x ∂y
(x, y) =
−1
(1 + y)2
cos
(
x
1 + y
)
+
x
(1 + y)3
sen
(
x
1 + y
)
.