Análise combinatória e probabilidade lista 05

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UNIVERSIDADE DA INTEGRAC¸A˜O INTERNACIONAL DA LUSOFONIA
AFRO-BRASILEIRA
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS E DA NATUREZA
LICENCIATURA EM MATEMA´TICA
Quinta lista de exercı´cios de ana´lise combinato´ria e probabilidade.
Professor: Rafael Dio´genes.
Aluno:
Probabilidade condicional
1. Um dado e´ lanc¸ado e o nu´mero da face de cima e´ observado.
(a) Se o resultado obtido for par, qual a probabilidade dele ser maior ou igual a 5?
(b) Se o resultado obtido for maior ou igual a 5, qual a probabilidade dele ser par?
(c) Se o resultado obtido for ı´mpar, qual a probabilidade dele ser menor que 3?
(d) Se o resultado obtido for menor que 3, qual a probabilidade dele ser ı´mpar?
2. Um nu´mero e´ sorteado ao acaso entre os 100 inteiros de 1 a 100.
(a) Qual a probabilidade do nu´mero ser par?
(b) Qual a probabilidade do nu´mero ser par, dado que ele e´ menor que 50?
(c) Qual a probabilidade do nu´mero ser divisı´vel por 5, dado que e´ par?
3. Dois dados d1 e d2 sa˜o lanc¸ados.
(a) Qual a probabilidade da soma dos pontos ser 6, se a face observada em d1 foi 2?
(b) Qual a probabilidade do dado d1 apresentar face 2, se a soma dos pontos foi 6?
(c) Qual a probabilidade da soma dos pontos ser menor que 7, sabendo-se que em ao
menos um dado apareceu o resultado 2?
(d) Qual a probabilidade da soma dos pontos ser menor ou igual a 6, se a soma dos
pontos nos dois dados foi menor ou igual a 4?
(e) Qual a probabilidade do ma´ximo dos nu´meros observados ser 5, se a soma dos
pontos foi menor ou igual a 9?
4. De um baralho de 52 cartas, uma e´ extraı´da e observa-se que seu nu´mero esta´ entre 4 e
10 (4 e 10 inclusive). Qual a probabilidade de que o nu´mero da carta seja 6?
5. Uma comissa˜o de 3 pessoas e´ formada escolhendo-se ao acaso entre Antoˆnio, Benedito,
Ce´sar, Denise e Elisabete. Se Denise na˜o pertence a comissa˜o, qual a probabilidade de
Ce´sar pertencer?
6. Se A e B sa˜o eventos, e P (A) > 0, prove que
(a) P (A|A) = 1
(b) P (AC |A) = 0
(c) Se A e B sa˜o mutuamente exclusivos, P (B|A) = 0
(d) P (A ∪B|A) = 1
(e) Se A e B sa˜o mutuamente exclusivos, P (A|A ∪B) = P (A)
P (A) + P (B)
7. Escolhe-se ao acaso um nu´mero entre 1 e 50. Se o nu´mero e´ primo qual e´ a probabili-
dade de que seja ı´mpar?
8. Uma moeda e´ jogada 6 vezes. Sabendo-se que no primeiro lanc¸amento deu coroa,
calcular a probabilidade condicional de que o nu´mero de caras nos seis lanc¸amentos
supere o nu´mero de coroas.
9. Uma moeda e´ jogada 4 vezes. Sabendo que o primeiro resultado foi cara, calcular a
probabilidade condicional de obter pelo menos 2 caras.
10. Uma urna I tem 3 bolas vermelhas e 4 pretas. Outra urna II tem 6 bolas vermelhas e 2
pretas. Uma urna e´ escolhida ao acaso e dela e´ escolhida uma bola tambe´m ao acaso.
Qual a probabilidade de observarmos:
(a) urna I e bola vermelha?
(b) urna I e bola preta?
(c) urna II e bola vermelha?
(d) urna II e bola preta?
11. Uma urna tem 8 bolas vermelhas, 3 brancas e 4 pretas. Uma bola e´ escolhida ao acaso
e, sem reposic¸a˜o desta, outra e´ escolhida, tambe´m ao acaso. Qual a probabilidade de:
(a) a 1a bola ser vermelha e a 2a branca?
(b) a 1a bola ser branca e a 2a vermelha?
(c) a 1a e a 2a serem vermelhas?
12. O meˆs de Outubro tem 31 dias. Numa certa localidade, chove 5 dias, no meˆs de Outu-
bro. Qual a probabilidade de na˜o chover nos dias 1o e 2 de Outubro?
13. Seja PX a probabilidade que uma pessoa com X anos sobreviva mais um ano e nPX a
probabilidade de que uma pessoa com X anos sobreviva mais n anos (n inteiro posi-
tivo)
(a) O que significa P40?
(b) O que significa 2P40?
(c) Mostre que 2P40 = P40 · P41.
14. A urna I tem 3 bolas vermelhas e 4 brancas, a urna II tem 2 bolas vermelhas e 6 brancas
e a urna III tem 5 bolas vermelhas, 2 brancas e 3 amarelas. Uma urna e´ selecionada ao
acaso e dela e´ extraı´da uma bola, tambe´m ao acaso. Oual a probabilidade de a bola ser:
(a) vermelha? (b) branca? (c) amarela?
15. Em um lote da fa´brica A existem 18 pec¸as boas e 2 defeituosas. Em outro lote da fa´brica
B, existem 24 pec¸as boas e 6 defeituosas, e em outro lote da fa´brica C, existem 38 pec¸as
boas e 2 defeituosas. Um dos 3 lotes e´ sorteado ao acaso e dele e´ extraı´da uma pec¸a ao
acaso. Qual a probabilidade da pec¸a ser:
2
(a) boa? (b) defeituosa?
16. Duas ma´quinas A e B produzem 3000 pec¸as em um dia. A ma´quina A produz 1000
pec¸as, das quais 3% sa˜o defeituosas, A ma´quina B produz as restantes 2000, das quais
1% sa˜o defeituosas. Da produc¸a˜o total de um dia uma pec¸a e´ escolhida ao acaso e,
examinando-a, constata-se que 6 defeituosa. Qual e´ a probabilidade de que a pec¸a
tenha sido produzida pela ma´quina A?
17. A urna I tem 2 bolas vermelhas e 3 amarelas e a urna II tem 4 bolas vermelhas, 5
amarelas e 2 brancas. Uma bola e´ escolhida ao acaso da urna I e colocada na urna
II, em seguida uma bola e´ escolhida da urna II ao acaso. Qual a probabilidade dessa
segunda bola ser:
(a) vermelha? (b) amarela? (c) branca?
18. Sejam A e B dois eventos tais que: P (A ∩B) = 0, 8 e P (A ∩BC) = 0, 1, calcule P (A).
19. Uma urna I tem 3 bolas vermelhas e 4 brancas, a urna II tem 6 bolas vermelhas e 2
brancas. Uma urna e´ escolhida ao acaso e dela e´ escolhida uma bola tambe´m ao acaso.
(a) Qual a probabilidade de observarmos urna I e bola vermelha?
(b) Qual a probabilidade de observarmos bola vermelha?
(c) Se a bola observada foi vermelha, qual a probabilidade que tenha vindo da urna
I?
20. Uma caixa conte´m 3 moedas M1, M2 e M3. A M1 e´ honesta, a M2 tem duas caras e a
M3 e´ viciada de tal modo que caras sa˜o duas vezes mais prova´veis que coroas. Uma
moeda e´ escolhida ao acaso e lanc¸ada.
(a) Qual a probabilidade de observamos moeda M1 e cara?
(b) Qual a probabilidade de observamos cara?
(c) Se o resultado final foi cara, qual a probabilidade de que a moeda lanc¸ada tenha
sido M1?
21. Duas ma´quinas A e B produzem pec¸as ideˆnticas, sendo que a produc¸a˜o da ma´quina
A e´ o triplo da produc¸a˜o da ma´quina B. A ma´quina A produz 80% de pec¸as boas e a
ma´quina B produz 90%. Uma pec¸a e´ selecionada ao acaso do estoque e verifica-se que
e´ boa. Qual a probabilidade de que tenha sido fabricada pela ma´quina A?
22. Uma clı´nica especializada trata de 3 tipos de mole´stias; X, Y e Z. 50% dos que procuram
a clı´nica sa˜o portadores de X, 40% sa˜o portadores de Y e 10% de Z. As probabilidades
de cura, nesta clı´nica, sa˜o:
mole´stia X: 0,8
mole´stia Y: 0,9
mole´stia Z: 0,95.
Um enfermo saiu curado da clı´nica. Qual a probabilidade de que ele sofria
(a) da mole´stia X? (b) da mole´stia Y? (c) da mole´stia Z?
23. Uma certa mole´stia A e´ detectada atrave´s de um exame de sangue. Entre as pessoas
que efetivamente possuem a mole´stia A, 80% delas teˆm a mole´stia detectada pelo
exame de sangue. Entre as pessoas que na˜o possuem a mole´stia A, 5% delas teˆm a
3
mole´stia detectada (erroneamente) pelo exame de sangue. Numa cidade, 2% das pes-
soas teˆm a mole´stia A. Uma pessoa da cidade foi submetida ao citado exame de sangue
que a acusou como portadora da mole´stia A. Qual a probabilidade dessa pessoa estar
efetiva mente atacada pela mole´stia?
24. Em uma populac¸a˜o, o nu´mero de homens e´ igual ao de mulheres. 5% dos homens sa˜o
daltoˆnicos e 0,25% das mulheres sa˜o daltoˆnicas. Uma pessoa e´ selecionada ao acaso e
verifica-se que e´ daltoˆnica. Qual a probabilidade de que ela seja mulher?
25. Prove que se A e B sa˜o eventos independentes:
(a) AC e B sa˜o independentes;
(b) A e BC sa˜o independentes;
(c) AC e BC sa˜o independentes.
26. As probabilidades de que duas pessoas A e B resolvam um problema sa˜o, P (A) =
1
3
e
P (B) =
3
5
. Qual a probabilidade de que:
(a) ambos resolvam o problema?
(b) ao menos um resolva o problema?
(c) nenhum resolva o problema?
(d) A resolva o problema mas B na˜o?
(e) B resolvao problema mas A na˜o?
27. Em um circuito ele´trico, 3 componentes sa˜o ligados em se´rie e trabalham independen-
temente um do outro. As probabilidades de falharem o 1◦, 2◦ e 3◦ componentes valem
respectivamente p1 = 0, 1, p2 = 0, 1, e p3 = 0, 2. Qual a probabilidade de que na˜o passe
corrente pelo circuito?
28. (Problema proposto por Chevalier De Me´re´ a Pascal) O que e´ mais prova´vel: obter
pelo menos um “6”jogando um dado 4 vezes ou obter um par de 6 pelo menos uma
vez jogando dois dados simultaneamente 24 vezes?
29. A probabilidade de um homem ser canhoto e´
1
10
. Qual e´ a probabilidade de, em um
grupo de 10 homens, haver pelo menos um canhoto?
30. Uma moeda e´ lanc¸ada 10 vezes. Qual a probabilidade de:
(a) observamos 10 caras?
(b) observamos 10 coroas?
(c) observamos 4 caras e 6 coroas?
31. Um exame de laborato´rio tem eficieˆncia de 95% para detectar uma doenc¸a quando essa
doenc¸a existe de fato. Entretanto o teste aponta um resultado “falso positivo”para 1%
das pessoas sadias testadas. Se 0,5% da populac¸a˜o tem a doenc¸a, qual e´ a probabili-
dade de uma pessoa ter a doenc¸a dado que o seu exame foi positivo?
32. Em uma cidade, as pessoas falam a verdade com probabilidade
1
3
. Suponha que A faz
uma afirmac¸a˜o e que D diz que C diz que B diz que A falou a verdade. Qual e´ a
probabilidade de A ter falado a verdade?
4
33. Um prisioneiro possui 50 bolas brancas, 50 bolas pretas e duas urnas iguais. O prisio-
neiro deve colocar do modo que preferir as bolas nas duas urnas (nenhuma das urnas
pode ficar vazia). As urnas sera˜o embaralhadas e o prisioneiro devera, de olhos fecha-
dos, escolher uma urna e, nesta urna, uma bola. Se a bola for branca ele sera´ libertado
e, caso contra´rio, condenado. Como deve proceder o prisioneiro para maximizar a
probabilidade de ser libertado?
Distribuic¸a˜o binomial
34. Considere uma distribuic¸a˜o binomial com n = 10 e p = 0, 4. Calcule:
(a) P0; (b) P4; (c) P6; (d) P8.
35. Uma moeda e´ lanc¸ada 6 vezes. Qual a probabilidade de observarmos exatamente duas
caras?
36. Um dado e´ lanc¸ado 5 vezes. Qual a probabilidade de que o “4”aparec¸a exatamente 3
vezes.
37. Um estudante tem probabilidade p = 0, 8 de acertar cada problema que tenta resolver.
Numa prova de 8 problemas, qual a probabilidade de que ele acerte exatamente 6?
38. Uma pessoa tem probabilidade 0,2 de acertar num alvo toda vez que atira. Supondo
que as vezes que ela atira, sa˜o ensaios independentes, qual a probabilidade dela acertar
no alvo exatamente 4 vezes, se ela da´ 8 tiros?
39. Uma moeda e´ lanc¸ada 6 vezes. Qual a probabilidade de observarmos ao menos uma
cara?
40. Uma moeda e´ lanc¸ada 10 vezes. Qual a probabilidade de observarmos pelo menos 8
caras?
41. Um time de futebol tem probabilidade p =
3
5
de vencer, todas as vezes que joga. Se
disputar 5 partidas, qual a probabilidade de que venc¸a ao menos uma?
42. Sacam-se, com reposic¸a˜o, 4 bolas de uma urna que conte´m 7 bolas brancas e 3 bolas
pretas. Qual a probabilidade de serem sacadas 2 bolas de cada cor? Qual seria a
resposta no caso sem reposic¸a˜o?
43. Lanc¸a-se um dado na˜o viciado ate´ a obtenc¸a˜o do terceiro 6. Seja X o nu´mero do
lanc¸amento em que isso ocorre. Calcule:
(a) P (X = 10); (b) P (X > 10); (c) P (X < 10).
44. Dois adversa´riosA eB disputam um se´rie de 10 partidas. A probabilidade deA ganhar
uma partida e´ 0, 6 e na˜o ha´ empates. Qual e´ a probabilidade de A ganhar a se´rie?
45. Dois adversa´rios A e B disputam uma se´rie de partidas. O primeiro que obtiver 12
vito´rias ganha a se´rie. No momento o resultado e´ 6 × 4 a favor de A. Qual e´ a proba-
bilidade de A ganhar a se´rie sabendo que em cada partida as probabilidades de A e B
vencerem sa˜o respectivamente 0, 4 e 0, 6?
5
46. Motores de avia˜o funcionam independentemente e cada motor tem um probabilidade
p de falhar durante um voo. Um avia˜o voa com seguranc¸a se a maioria de seus motores
funciona. Para que valores de p um avia˜o com 3 motores e´ preferı´vel a um avia˜o com
5 motores?
47. Suponha que uma caracterı´stica (como a cor dos olhos, por exemplo) dependa de um
par de genes. Representemos por A um gen dominante e por a um gen recessivo. As-
sim um indivı´duo com genes AA e´ dominante puro, um com genes aa e´ um recessivo
puro e um com genes Aa e´ um hı´brido. Dominantes puros e hı´bridos sa˜o semelhantes
em relac¸a˜o a` caracterı´stica. Filhos recebem um gen do pai e um da ma˜e. Suponha que
pai e ma˜e sejam hı´bridos e tenham 4 filhos.
(a) Qual e´ a probabilidade do primeiro filho ser um recessivo puro?
(b) Qual e´ a probabilidade de exatamente um dos 4 filhos ser um recessivo puro?
48. (O problema das caixas de fo´sforos de Banach) Um matema´tico sai de casa todos os
dias com duas caixas de fo´sforos, cada uma com n palitos. Toda vez que ele quer acen-
der um cigarro, ele pega (ao acaso) uma das caixas e retira daı´ um palito. O matema´tico
e´ meio distraı´do, de modo que quando ele retira o u´ltimo palito de uma caixa, ele na˜o
percebe que a caixa fica vazia. Como ele fuma muito, em certa hora ele pega uma caixa
e constata que ela esta´ vazia. Qual e´ a probabilidade de nesse momento a outra caixa
conter exatamente k (0 ≤ k ≤ n) palitos?
“No Pain. No Gain”
6