Aula Geometria

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Conversa inicial 
Na aula de hoje, estudaremos as retas e os diversos formatos de 
equações de uma reta. Iniciaremos com equações cartesianas: forma 
reduzida e forma geral. Em seguida, veremos como se determina uma 
equação vetorial para uma reta bem como as respectivas equações 
paramétricas. Por fim, estudaremos os conceitos de ângulo formado 
por duas retas, paralelismo, perpendicularismo e intersecções 
entre retas. 
Acessando o material on-line, você pode assistir ao vídeo do professor 
Nacib Jr. sobre o conteúdo que será visto nesta aula. Não deixe de 
acompanhar! 
 
Contextualizando 
Um recurso muito utilizado em anúncios ou animações é o movimento 
de objetos ou de personagens sobre um determinado caminho. 
 
 
NÍVEL Graduação 
CURSO Engenharia de Produção 
DISCIPLINA Geometria Analítica 
MÓDULO A1 2016 
AULA 3 
PROFESSOR Nacib Mattar Jr 
Muitos softwares possuem ferramentas que facilitam o trabalho de criar 
animações, mas em alguns casos é preciso programar o movimento 
desejado. Mas como esse movimento é feito? 
Cada ponto localizado na tela de um computador corresponde a um par 
ordenado do tipo (x, y), algo muito parecido com as coordenadas 
cartesianas que conhecemos. 
A única diferença é que os valores positivos de y são contados de cima 
para baixo, e não de baixo para cima como estamos acostumados. 
 
No caso da nossa aula, para mantermos o padrão conhecido, vamos 
considerar o plano cartesiano usual. 
 
No caso de movimentos bidimensionais, o computador precisa da 
expressão matemática associada ao movimento e, ao variar o valor de 
x, é possível obter os respectivos valores de y. A cada par ordenado (x, 
y), o personagem ou objeto tem a respectiva posição na tela do 
computador. Por exemplo, se o objetivo é fazer com que um 
determinado objeto se desloque sobre uma reta, é preciso a equação 
dessa reta. 
Assista ao vídeo a seguir e veja como são feitas as animações 
bidimensionais e as tridimensionais: 
http://olhardigital.uol.com.br/video/veja-como-sao-feitas-as-animacoes-
2d-e-3d/13295 
 
Equações Cartesianas 
Equação cartesiana: forma reduzida 
Observe a reta r representada no Plano Cartesiano a seguir: 
 
Pode-se determinar, por exemplo, a equação cartesiana da reta r, por 
meio das coordenadas dos pontos A=(1,6) e B=(6,5), pertencentes a r. 
Substituindo-se as coordenadas destes dois pontos na equação y = ax 
+ b, a equação cartesiana reduzida para uma reta genérica, forma-se 
um sistema de duas equações com o qual se pode obter os 
coeficientes a e b, e, por consequência, a equação cartesiana reduzida 
da reta r em particular. Observe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com a equação da reta – neste caso, a equação cartesiana reduzida – 
podem ser realizadas análises diversas sobre a reta ou o que ela 
representa em um contexto prático, daí a importância de conhecer 
métodos para determinação da equação de uma reta. 
Os coeficientes da equação reduzida de uma reta são denominados de 
coeficiente angular e coeficiente linear: 
 
Para o exemplo, tem-se: 
 
O coeficiente linear de uma reta indica o ponto em que a reta intersecta 
o eixo das ordenadas (eixo y), ou seja, indica que a intersecção da 
reta r, cuja equação cartesiana é: 
 
 
 
Com o eixo y é dada pelo ponto : 
 
 
O coeficiente angular de uma reta é igual a tangente do ângulo de 
inclinação da reta. Da equação pode-se concluir 
que , sendo o ângulo de inclinação da reta, marcado 
em relação à horizontal. 
 
Exemplo 1: 
Substitua x por 0, 5 e 10 na equação da reta r: e 
determine três pontos pertencentes à reta r. 
 
Note que o ponto é a intersecção da reta com o eixo y. 
 
Exemplo 2: 
Substitua y por 0, 5 e 10 na equação da reta r: , e 
determine três pontos pertencentes à reta r. 
 
Note que o ponto (31, 0) é a intersecção da reta com o eixo x. 
Exemplo 3: 
Dada a reta s de equação y = 3-2x, identifique os coeficientes angular e 
linear e determine os pontos de intersecção com o eixo das abscissas e 
das ordenadas. Desenhe s no Plano Cartesiano. 
 
y = 3 - 2x → Equação reduzida 
a = - 2 → Coeficiente angular 
b = 3 → Coeficiente linear 
 
Como b = 3, o ponto de intersecção com o eixo das ordenadas é igual 
a (0,3). 
Ponto de intersecção com o eixo das abscissas: 
 
Reta s: 
 
Exemplo 4: 
Verifique se o ponto P = (1, 2) pertence à reta de equação y = 4x + 2. 
Substituindo-se x = 1 e y = 2 na equação da reta obtém-se: 
y = 4x + 2x 
2 = 4 . 1 + 2 
2 = 6 → Equação Falsa 
Como a equação encontrada é falsa, o ponto P não pertence à reta 
(pertenceria se a equação encontrada fosse verdadeira). 
Exemplo 5: 
Obtenha a equação reduzida da reta r a seguir. 
 
O ponto (0, 2) é a intersecção da reta com o eixo das ordenadas, 
portanto: b = 2. 
 
A inclinação da reta, em relação ao eixo horizontal, é igual a 45º. 
Assim: a = tg (45º) = 1. 
Equação da reta: 
r: y = 1x + 2. 
 
Equação cartesiana: forma : y - y0 = m . (x - x0) 
 
A figura a seguir ilustra uma reta r com dois de seus pontos 
indicados, A e B. 
 
Do triângulo destacado na figura pode-se obter: 
 
Exemplo 6: 
Determine a equação da reta a seguir pela expressão y - y0 = m . (x - x0) 
 
Fazendo-se: A = (x0, y0) = (1, 6) e B = (x, y) = (6, 5) tem-se: 
 
 
Determinado o valor de m (coeficiente angular), substitua o valor 
encontrado e as coordenadas do ponto A: 
 
 
Exemplo 7: 
Resolva novamente o exemplo 5 usando agora a expressão y - y0 = m . 
(x - x0 ) . 
m = tg(45º) = 1 e (x0 , y0 ) = (0, 2): 
y - 2 = 1.(x - 0) 
y - 2 = x 
y = x + 2 
 
Equação cartesiana: forma geral: 
A partir da equação reduzida de uma reta podem ser obtidas equações 
no formato geral: ax + by + c = 0. Observe o exemplo: 
 
 
 
Da equação reduzida obteve-se a equação x + 5y - 31 
=0, no formato geral. No entanto, para esta mesma reta há inúmeras 
equações no formato geral, todas equivalentes entre si. Veja alguns 
exemplos: 
x + 5y - 31 = 0 
5x + 25y - 155 = 0 
 
-x - 5y + 31 = 0 
10x + 50y - 310 = 0 
 
1. Sabendo que a equação reduzida da reta r é y = ax + b, encontre a 
equação da reta que passa pelos pontos A = (3, 1) e B = (4, 3). 
 
 
 
 
2. Determine a inclinação da reta r de equação y = 2x - 5. 
 
 
 
 
3. Verifique se o ponto P = (1, -3) pertence à reta r definida por y = 2x - 
5 apresentada no exercício anterior. 
 
4. Considere a reta r dos Exercícios 1 e 2 cuja equação é y = 2x - 5. 
Verifique se o ponto Q = (2, 6) pertence à reta r. 
 
 
 
5. Qual é o ponto de intersecção da reta r de equação y = 2x - 5 com o 
eixo y? 
 
 
 
6. Considere a reta r de equação y = 3x + 12. Determine o coeficiente 
angular e o coeficiente linear dessa reta. 
 
 
 
7. Utilizando a expressão y - y0 = m.(x - x0), determine a equação da 
reta que passa pelos pontos A = (2, 5) e B = (4, 3). 
 
 
 
 
 
 
8. Considere a reta t representada na figura a seguir. Com base nas 
informações apresentadas, escreva a equação reduzida da reta t. 
 
 
 
9. Considere a reta t apresentada no exercício anterior. Encontre a 
equação reduzida de t utilizando a expressão y - y0 = m.(x - x0). 
 
 
 
 
 
 
10. Seja a reta r definida pela equação reduzida y = 5x + 11. Escreva a 
equação de r no formato geral. 
 
 
 
 
 
Para compreender melhor o conteúdo visto nesta parte da aula 
acompanhe o vídeo feito pelo professor Nacib Jr no material on-line! 
 
Retas: Equação VetorialEquação vetorial da reta 
Como comentado anteriormente, uma mesma reta no Plano Cartesiano 
possui diversas equações, todas equivalentes entre si, que a 
representam. Observe novamente a representação da reta r, agora com 
dois vetores destacados na figura: 
 
A soma de com um múltiplo de resulta sempre em um vetor com 
ponto inicial na origem e ponto final sobre a reta r. 
Por exemplo, para + 1 . = (1, 6) + 1.(5, -1) = (6, 5), o vetor 
resultante, em amarelo na figura a seguir, possui extremidade final 
em B, que é ponto de r: 
 
Um outro exemplo é dado pelo caso em que se tem + 2. : 
 
O ponto P, dado por P = + 2. = (1, 6) + 2.(5, -1) = (1, 6) + (10, -
2) = (11, 4) é ponto de r(verifique!). 
Para citar mais um exemplo, caso se tenha -1. a representação 
é dada pela figura a seguir: 
 
 
O ponto P dado por P = + (-1). = (1, 6) - 1.(5, -1) = (-4, 7) também 
é ponto de r. 
 
Por este procedimento é possível obter qualquer ponto da reta r, desde 
que se encontre o “múltiplo” adequado de , isto é, desde que se 
determine o valor para o parâmetro real t na expressão: P = (1, 6) + t. 
(5, -1), expressão esta denominada de equação vetorial da reta. 
 
Os dois vetores usados na composição desta fórmula são denominados 
de vetor posição e vetor diretor, sendo o vetor posição um vetor com 
extremidade inicial na origem do plano cartesiano e extremidade final 
sobre um ponto de r, enquanto o vetor diretor é um vetor paralelo à r. 
Em resumo, tem-se, para este caso: 
 = (1, 6) → vetor de posição 
= (6, 5) - (1, 6) = (5, -1) → vetor de direção 
 
Um ponto qualquer da reta r pode ser determinado por: 
r(t)=P=(1,6) + t.(5,-1) → Equação vetorial de r 
r(t)=P=(vetor posição)+t.(vetor direção), para t ∈ ℝ → Equação vetorial 
de r 
Como comentado, o vetor resultante, r(t), sempre possui extremidade 
final em um ponto de r, determinando, assim, os pontos que compõem 
a reta r. 
Na equação vetorial, t é denominado de parâmetro e uma equação 
vetorial de uma reta pode ser entendida como 
uma parametrização desta reta, ou seja, uma representação desta reta 
por meio de uma regra P = r(t) que calcula as coordenadas dos 
pontos P pertencentes à reta em função do parâmetro real t. 
Encontre uma equação vetorial da reta que passa pelos pontos A = (1, 
2) e B = (3, 5). 
Pode-se fazer: 
= (1, 2) → Vetor posição 
= (3, 5) - (1, 2) = (2, 3) → Vetor direção 
E então: 
P= (1, 2)+ t. (2, 3) 
Ou ainda: 
(x, y)= (1 + 2t, 2 + 3t) 
Como a formulação da equação vetorial da reta depende da escolha 
dos pontos A e B – e, em consequência, dos vetores posição e diretor 
– cada reta possui inúmeras equações vetoriais, todas equivalentes 
entre si. É importante notar que são duas as escolhas possíveis para o 
sentido do vetor diretor: dados dois pontos A e B de uma reta, pode-se 
escolher como vetor diretor tanto vetor como o vetor , e o sentido 
do vetor diretor define o sentido da parametrização r(t). 
A regra r(t) = (Vetor posição)+ t.(Vetor direção) é válida para o plano 
cartesiano – espaço ℝ² -, para o espaço tridimensional – espaço ℝ³ - e 
também para espaços de dimensões maiores, ainda que, nestes casos, 
não exista uma representação geométrica. 
Observe o exemplo a seguir, para uma reta r em ℝ³, em que foram 
destacados dois pontos pertencentes a r, e , bem como os vetores 
posição, vetor a, e diretor, vetor b. Omitiram-se os eixos para simplificar 
o desenho: 
 
O desenho a seguir ilustra o conceito da equação vetorial para r (para 
cada valor real de t obtém-se um ponto da reta r): 
 
 
1. Determine uma equação vetorial da reta r que passa pelos pontos M 
= (2, 4) e N = (5, 3). 
 
 
 
 
2. Encontre uma equação vetorial para a reta r passando pelos 
pontos A = (1, 2, 1) e B = (2, 3, 3). 
 
 
 
 
Dada uma equação vetorial de uma reta r, todo ponto de r pode ser 
obtido por meio desta equação e vale também o contrário, todo ponto 
obtido a partir desta equação será um ponto der. 
 
Equações paramétricas da reta 
Dada uma reta r qualquer, uma sua equação vetorial pode ser obtida 
por: r(t)=(vetor posição)+t.(vetor direção) Para t ∈ ℝ, de acordo com o 
exposto anteriormente. 
 
Para retas em ℝ² ou ℝ³ tem-se: 
Retas em ℝ²: r(t) = (x, y) = (xa , ya) + t.(xb , yb) 
Retas em ℝ²: r(t) = (x, y, z) = (xa , ya, za) + t.(xb , yb , za) 
 
As equações obtidas pela comparação dos componentesx, y e z nas 
expressões acima são denominadas de equações paramétricas da reta: 
 
Retas em ℝ²: 
Retas em ℝ³: 
Exemplo 1: 
 
Seja r a reta em ℝ² que passa pelos pontos A = (3, -1) e B = (2, 4). 
Encontre duas parametrizações possíveis para r e as respectivas 
equações paramétricas em cada caso. 
 
Cada equação obtida por r(t) = (x, y) = (xa, ya) + t.(xb, yb) é uma 
parametrização de r que será definida a partir da escolha dos vetores 
posição e diretor. Como são conhecidos os pontos 
A = (3, -1) e B = (2, 4), uma primeira escolha poderia ser (sempre 
para t real): 
 
 = = (3, -1) → vetor posição 
 = = - = (2, 4) - (3, -1) = (-1, 5) → vetor direção 
r(t) = (x, y) = (3, -1) + t.(-1, 5) 
 
Neste caso, as equações paramétricas seriam dadas por: 
 
Também é possível fazer: 
= = (2, 4) → vetor posição 
 = = - = (3, -1) - (2, 4) = (1, -5) → vetor direção 
r(t) = (x, y) = (2, 4) + t.(1, -5) 
 
Note que o sentido do vetor diretor escolhido neste caso é contrário ao 
do vetor diretor anterior. As equações paramétricas seriam dadas por: 
 
Para encontrar novas parametrizações é possível, por exemplo, usar as 
parametrizações acima para determinação de outros pontos da 
reta r para que sejam então escolhidos outros vetores posição e diretor. 
 
Exemplo 2: 
Seja r a reta em r a reta em ℝ³ que passa pelos pontos r a reta em A = 
(3,-1,5) e r a reta em B = (2,4,6). Encontre duas parametrizações 
possíveis para r e as respectivas equações paramétricas em cada caso. 
Uma primeira escolha poderia ser (sempre para r a reta em t real): 
 
 = = (3, -1, 5) → vetor posição 
= = - = (2, 4, 6) - (3, -1, 5) = (-1, 5, 1) → vetor direção 
r(t) = (x, y, z) = (3, -1, 5) + t.(-1, 5, 1) 
 
Neste caso, as equações paramétricas seriam dadas por: 
 
Também é possível fazer: 
= = (2, 4, 6) → vetor posição 
 = = - = (3, -1, 5) - (2, 4, 6) = (1, -5, -1) → vetor 
direção 
r(t) = (x, y, z) = (2, 4, 6) + t.(1, -5, -1) 
 
Novamente, o sentido do vetor diretor escolhido neste caso é contrário 
ao do vetor diretor anterior. As equações paramétricas seriam dadas 
por: 
 
Exemplo 3: 
Volte ao exemplo 2 e, para cada uma das parametrizações obtidas, 
determine o parâmetro correspondente ao ponto P = (-7, 49, 15). 
 
De r(t) = (x, y, z) = (3, -1, 5) + t. (-1, 5, 1), primeira parametrização obtida 
no exemplo 2, tem-se: 
 
 e então: . 
Portanto, para esta parametrização, o parâmetro t = 10 corresponde ao 
ponto P = (-7,49,15). 
 
De r(t) = (x, y, z)= (2, 4, 6) + t . (1, -5, -1), primeira parametrização obtida 
no exemplo 2, tem-se: 
 
 e então: . 
 
Portanto, para esta parametrização, o parâmetro t = –9 corresponde ao 
ponto P = (-7, 49, 15). 
 
Exemplo 4: 
No exemplo anterior, caso o ponto P fosse P = (-5, 24, 10), poderiam 
ser obtidos os parâmetros a ele correspondente em cada 
parametrização? De r(t) = (x, y, z) = (3, -1, 5) + t.(-1, 5, 1) tem-se: 
 
 
Como t não possui o mesmo valor nas três equações paramétricas, P = 
(-5, 24, 10) não é ponto da reta r e, portanto, não pode ser representado 
pelas parametrizações de r. 
 
Verifique que a mesma conclusão pode ser obtida a partirda 
parametrização dada por: 
r(t) = (x, y, z) = (2, 4, 6)+ t.(1, -5, -1). 
 
Exemplo 5: 
Considere o Exercício 1. Obtenha as equações paramétricas da reta r. 
 
 
Para finalizar, reveja o conteúdo assistindo ao vídeo do professor Nacib 
Jr disponível no material on-line! 
 
 
Retas: Ângulo, Paralelismo 
Ângulo entre retas, paralelismo e perpendicularismo 
O menor ângulo formado entre duas retas coincide com o menor ângulo 
formado entre os vetores diretores de cada reta: 
 
O ângulo entre duas retas r e s, dado pelo menor ângulo formado 
entre um vetor diretor de r e um vetor diretor de s, pode ser calculado 
por uma das formulações do produto interno: 
 
, ou ainda: 
 
 
Exemplo 1: 
Determine o ângulo entre as retas r e s com vetores diretores: 
 
 
 
Exemplo 2: 
Determine o ângulo entre as retas r e s dadas, respectivamente, pelas 
equações vetoriais: P = (1,-5,4) + t.(3,2,-4) e P = (0,0,4) + t.(2,1,2). 
 
Das equações podem ser obtidos vetores diretores de cada reta: 
: 
 
Assim: 
 
As retas r e s são ortogonais entre si! 
 
Exemplo 3 
Determine o ângulo entre as retas r e s dadas, respectivamente, pelas 
equações vetoriais: 
r e P = (4,0,1) + t.(1,-3,2) e r e P = (5,5,4) + t. (-3,9,-6). 
Das equações podem ser obtidos vetores diretores de cada reta: 
. 
Assim: 
 
As retas r e s são paralelas entre si! 
 
Exemplo 4: 
Encontre um vetor diretor para cada uma das retas dadas por r: y= 3x + 
5 e s: y= 3x + 1 e use os vetores encontrados para verificar que as retas 
são paralelas entre si. 
Reta r: y = 3x + 5: 
É possível obter dois pontos, A e B, da reta r substituindo-se dois 
valores distintos em x. Por exemplo: 
x = 0 : y = 3 . 0 + 5 = 5 → A = (0, 5) 
x = 1 : y = 3 . 1 + 5 = 8 → B = (1, 8) 
Com A e B pode-se determinar um vetor diretor da reta r: 
 
Reta s: y = 3x + 1: 
É possível obter dois pontos, P e Q, da reta s substituindo-se dois 
valores distintos em x. Por exemplo: 
x = 0 : y = 3 . 0 + 1 = 1 → P = (0, 1) 
x = 1 : y = 3 . 1 + 1 = 4 → Q = (1, 4) 
Com P e Q pode-se determinar um vetor diretor da reta s: 
 
Como e são paralelos entre si 
(neste exemplo os vetores são mais do que paralelos entre si: são 
equipolentes), as retas são paralelas entre si. 
Observe: 
 
1. Determine o ângulo entre as retas r1 e r2 de equações: 
 
 
 
 
 
 
Precisaremos utilizar as teclas e . 
Vamos digitar o valor do cosseno de . Nesse caso, 0,7219. Depois 
precisamos pressionar a tecla [SHIFT] e em seguida a tecla [cos-1]. Em 
alguns outros modelos, primeiro pressionamos a tecla [SHIFT], em 
seguida a tecla [cos-1] e depois digitamos o valor 0,7219. 
Veja como é simples: 
1° Caso: [ 0,7219 ] [ SHIFT ] [ cos-1 ] 
2° Caso: [ SHIFT ] [ cos-1 ] [ 0,7219 ] [ = ] 
 
 
 
2. Mostre que as retas r e s dadas por r e s são ortogonais. 
 
 
 
 
 
 
3. Considere as retas g e h definidas pelas equações vetoriais g = (1, 9, 
6) + t.(3, -2, 4) e h = (0, 3, -5) + t.(-6, 4, -8). Mostre que g e h são 
paralelas. 
 
 
 
Antes de partir para a próxima parte da aula, reveja no material on-line 
o conteúdo que você acabou de estudar: Retas: Ângulo, Paralelismo e 
Perpendicularismo. 
 
Intersecção entre Retas 
A intersecção entre duas retas, caso exista, pode ser obtida pela 
determinação do ponto cujas coordenadas solucionam os sistemas de 
equações formados pelas equações paramétricas das duas retas. 
Exemplo 1: 
Determine, se existir, o ponto de intersecção entre as retas r e s, sendo: 
 
e , para a e b reais. 
 
Se houver um ponto P = (xp, yp, zp) que pertença tanto àr como a s, 
obrigatoriamente se tem: 
, ou ainda: 
 
Como o sistema acima tem solução dada por a = 3 
e b = 1, as duas retas possuem um ponto de intersecção, cujas 
coordenadas podem ser calculadas substituindo-se a = 3 nas equações 
de r ou b = 1 nas equações de s: 
 
Ou então: 
 
Exemplo 2: 
Verifique se há ponto de intersecção entre as retas r e s, sendo: 
 
r: (x, y, z) = (2 + 3t, 5t, t) e , para a e t reais. 
 
Se houver um ponto P = (xp, yp, zp) que pertença tanto à r como a s, 
obrigatoriamente se tem: 
 
ou ainda: 
 
Mas este sistema não possui solução, portanto, r e s não se 
intersectam. 
 
Exemplo 3: 
Verifique que as retas r e s são paralelas entre si, sendo 
r: (x, y, z) = (-1 + t, 3 + 2t, 2 + 3t) e 
 
, para a e t reais. 
 
Pode-se escrever: r:(x,y,z) = (-1,3,2) + t. (1,2,3) e s: (x,y,z) = (0,4,1) + t. 
(2,4,6) com o que ficam evidenciados os vetores posição e diretor da 
parametrização de cada reta, em especial, os vetores 
diretores: e , múltiplos um do outro (
). 
 
Sendo assim, as retas podem ser paralelas entre si ou coincidentes. 
Para eliminar esta última hipótese, basta encontrar um ponto de r que 
não pertença a s, por exemplo, o ponto de coordenadas (-1, 3, 2) - 
verifique que, de fato, este ponto não pertence à reta s. 
 
1. Sejam as retas: 
 
 
Verifique se w e z são concorrentes. Em caso afirmativo, determine o 
ponto P de intersecção dessas retas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações da reta 
Equação cartesiana na forma reduzida: y = ax + b onde a é o 
coeficiente angular e b é o coeficiente linear. 
 
 
 
Equação cartesiana na forma y - y0 = m.(x - x0), onde 
e (x0, y0) = (xA, yA) ou (x0, y0) = (xB, yB). 
 
Equação cartesiana na forma geral: ax + by + c = 0 
Equação vetorial: r(t) = (vetor posição) + t(vetor direção) t ∈ ℝ, 
 
Para retas em R2: r(t) = (xA, yA) + t.(xB, yB) 
 
Para retas em R3: r(t) = (xA, yA, zA) + t.(xB, yB, zB) 
 
Equações paramétricas da reta: 
 
 
Ângulo entre retas, paralelismo e perpendicularismo 
Ângulo entre duas retas: 
 
 
 
Retas ortogonais: r1 r2 ⇔ 1 . 2 = 0 onde 1 e 2 são as 
direções de r1 e r2, respectivamente. 
 
 
Se r1 e r2 são concorrentes, então r1 e r2 são perpendiculares. 
 
 
Obs.: Duas retas são concorrentes quando há um ponto de intersecção 
entre elas. 
Retas paralelas: Duas retas são paralelas quando o ângulo entre elas é 
igual a 0. 
 
Intersecção de retas: Duas retas r1 e r2 possuem intersecção caso haja 
um ponto P comum às duas retas. 
 
 
 
Para encerrar essa aula, aprimore seus conhecimentos sobre 
Intersecção entre Retas assistindo ao vídeo com o professor Nacib Jr. 
no material on-line! 
Bons estudos! 
 
 
Na prática 
Vamos colocar em prática o que estudamos nessa aula! 
Um programador deseja fazer uma animação simples, onde um barco 
localizado no ponto de coordenadas (3, 5) irá se deslocar sobre uma 
linha reta até chegar ao ponto de coordenadas (10, 8). Para isso, ele irá 
precisar da equação da reta que passa por esses dois pontos. Vamos 
ajudá-lo a encontrar essa equação? Com o que estudamos até aqui, 
encontre a equação reduzida da reta. 
 
 
A forma geral da equação da reta é y=ax+b. Basta substituirmos as 
coordenadas de cada ponto na equação e resolvermos o sistema linear 
resultante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, para encontrarmos a equação reduzida da reta, precisamos 
resolver o seguinte sistema: 
{
3𝑎 + 𝑏 = 5
10𝑎 + 𝑏 = 8
 
Podemos utilizar o método da adição. Vamos multiplicar a primeira 
equação por (-1): 
{
−3𝑎 − 𝑏 = −5
10𝑎 + 𝑏 = 8
 
Agora precisamos somar as equações termo a termo: 
Para o ponto de coordenadas (3, 5), temos: 
y=ax+b 
5=a.3+b 
5=3a+b 
3a+b=5 
Essa é a primeira equação. 
 Para o ponto de coordenadas(10, 8), temos: 
y=ax+b 
8=a.10+b 
8=10a+b 
10a+b=8 
Essa é a segunda equação. 
 
{
−3𝑎 − 𝑏 = −5
10𝑎 + 𝑏 = 8
7𝑎 + 0 = 3
 
Resolvendo a equação 7a=3, temos a=3/7. 
Para encontrarmos o valor de b, basta substituirmos a=3/7 em uma das 
duas equações. Escolhendo ao acaso a primeira equação, temos: 
3a+b=5 
3(3/7)+b=5 
9/7+b=5 
b=5-9/7 
b=35/7-9/7 
b=26/7 
Logo, a equação da reta que passa pelos pontos (3, 5) e (10, 8) é dada 
por: 𝑦 =
3
7
𝑥 +
26
7
 
 
Síntese 
Chegamos ao final da aula! 
Após os estudos, você é capaz de determinar a equação reduzida da 
reta, na forma 
 0 0y y m x x   
 e na forma geral. Conhecemos 
também a equação vetorial da reta e as equações paramétricas. Em 
seguida, aprendemos a calcular o ângulo entre retas, determinar se 
duas retas são paralelas ou perpendiculares entre si e a encontrar, caso 
exista, a intersecção entre duas retas. 
Até a próxima! 
 
Referências 
WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo: 
Pearson, 2014.