AULA Inferencia EST207

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1 
 
Parte I 
1. Inferência Estatística 
Trata-se do processo de se obter informações sobre uma população a partir dos 
resultados observados numa amostra. 
De um modo geral, tem-se uma população com um grande número de elementos e 
deseja-se, a partir de uma amostra dessa população, “conhecer o mais próximo possível” 
algumas características da população. 
 Toda conclusão tirada por uma amostragem, quando generalizada para a população, virá 
acompanhada de um grau de incerteza ou risco. 
Ao conjunto de técnicas e procedimentos que permitem dar ao pesquisador um grau de 
confiabilidade, de confiança nas afirmações que faz sobre a população, baseados nos resultados 
provenientes de uma amostra, damos o nome de Inferência Estatística. 
O problema fundamental da estatística é, portanto, medir o grau de incerteza ou risco 
dessas generalizações. Os instrumentos da Inferência Estatística permitem a viabilidade das 
conclusões por meio de afirmações estatísticas. 
 
1.1. Definições importantes 
 
- População é uma coleção completa de todos os elementos a serem estudados. (valores, 
pessoas, medidas, etc). A população é o conjunto Universo, podendo ser finita ou infinita. 
- Finita - apresenta um número limitado de observações, que é passível de contagem. 
- Infinita - apresenta um número ilimitado de observações que é impossível de contar e 
geralmente. 
Exemplos: 
– Todos as cabeças de gado criados em confinamento; 
– Todas as plantas de uma determinada cultivar de milho; 
– Todos os estudantes da UFVJM. 
 
- Amostra é uma subcoleção de elementos extraídos de uma população e deverá ser considerada 
finita. A amostra deve ser selecionada seguindo certas regras e deve ser representativa, de modo 
que ela represente todas as características da População. Se esses elementos são selecionados de 
tal maneira que cada um deles tenha a mesma chance de ser selecionado, temos uma Amostra 
Aleatória. 
 
- Parâmetro é uma medida numérica que descreve uma característica de uma população. 
Geralmente é representada pela letra grega θ. Alguns parâmetros recebem nomes especiais. A 
2 
 
média (µ), a variância (σ2) e o coeficiente de correlação (ρ) são exemplos de parâmetros 
populacionais. 
 
- Estimador: também chamado “estatística de um parâmetro populacional” é uma medida 
numérica que descreve uma característica determinada na amostra, uma função de seus 
elementos. Genericamente, é representada por θ̂. A média amostral (�̅�) e a variância amostral 
(s
2
) são exemplos de estimadores. 
Os estimadores são funções de variáveis aleatórias e , portanto, eles também são variáveis 
aleatórias, desta forma, eles também possuem distribuições de probabilidade associadas. 
- Estimativa: aos valores numéricos assumidos pelos estimadores, denominamos estimativas. 
 
 
 
2. Distribuição Amostral 
 
Como foi visto, o problema da Inferência Estatística é fazer uma afirmação sobre os 
parâmetros da população por meio de amostras. 
 
2.1. Distribuição Amostral da Média 
Suponha uma população identificada pela variável aleatória X, cujos parâmetros média 
populacional 𝜇 = 𝐸(𝑋) e variância 𝜎2 = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) são supostamente conhecidos. Vamos 
retirar todas as amostras possíveis, com reposição, de tamanho n dessa população e para 
cada uma delas, calcular a média �̅�. 
Vamos supor a seguinte população {2,3,4,5} com média 𝜇 = 3,5 e variância 𝜎2 = 1,25. 
Vamos relacionar todas as amostras possíveis de tamanho 2, com reposição, desta 
população. 
 
 
 
POPULAÇÃO PARÂMETROS 
AMOSTRAS ESTIMADORES 
3 
 
(2,2) (2,3) (2,4) (2,5) 
(3,2) (3,3) (3,4) (3,5) 
(4,2) (4,3) (4,4) (4,5) 
(5,2) (5,3) (5,3) (5,5) 
 
Agora, vamos calcular a média de cada amostra. Teremos: 
 
2,0 2,5 3,0 3,5 
2,5 3,0 3,5 4,0 
3,0 3,5 4,0 4,5 
3,5 4,0 4,5 5,0 
 
Por fim, vamos calcular a média das médias, ou seja, 
 
𝐸(�̅�) =
2,0 + 2,5 + ⋯ + 5,0
16
= 
 
Agora, vamos calcular a variância: 
 
𝑉𝑎𝑟(�̅�) =
1
𝑛
∑(𝑋𝑖 − �̅�)
2
𝑛
𝑖=1
=
1
𝑛
(𝑋1 − �̅�)
2 + (𝑋1 − �̅�)
2 + ⋯ + (𝑋𝑛 − �̅�)
2 
𝑉𝑎𝑟(�̅�) =
1
𝑛
[(2,0 − 3,5)2 + (2,5 − 3,5)2 + ⋯ + (5,0 − 3,5)2] 
𝑉𝑎𝑟(�̅�) = 
 
Sendo assim, 𝑉𝑎𝑟(�̅�) =
𝑉𝑎𝑟(𝑋)
𝑛
, em que n é o tamanho das amostras retiradas da 
população. No nosso exemplo, 
𝑉𝑎𝑟(�̅�) =
𝑉𝑎𝑟(𝑋)
𝑛
=
1,25
2
= 
______________________________________________________________________ 
Teorema: para amostras casuais simples(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛) retiradas de uma população com média 
𝜇 e variância 𝜎2, a distribuição amostral da média =
𝑋1+𝑋2+⋯+𝑋𝑛
𝑛
, aproxima-se de uma 
distribuição normal com média 𝜇 e variância 
𝜎2
𝑛
. Dessa forma: 
𝐸(�̅�) = 𝜇 e 𝑉𝑎𝑟(�̅�) =
𝜎2
𝑛
 
4 
 
Logo, o desvio padrão amostral é dado por 
𝜎
√𝑛
. 
Assim, se 𝑋~𝑁(𝜇; 𝜎2) → �̅�~𝑁 (𝜇;
𝜎2
𝑛
) ∀ 𝑛 > 1. 
Para padronizar a variável aleatória, temos: 
𝑍 =
�̅� − 𝜇
𝜎
√𝑛
→ 𝑍~𝑁(0; 1) 
____________________________________________________________________________ 
 
2.2. Distribuição amostral da proporção 
Outro parâmetro de interesse em estudos estatísticos é a proporção (p). 
Exemplo: para detectar o apoio popular a um projeto governamental de reforma agrária, foram 
entrevistadas 400 pessoas espalhadas em varias capitais. A amostra consiste das 400 pessoas 
que responderam sim (concordam com o projeto) ou não (discordam). 
Neste caso, a informação desejada é a PROPORÇÃO das pessoas que concordam com o 
referido projeto. Então, o parâmetro de interesse é p (proporção) e seu estimador é dado por: 
 
�̂� =
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑣𝑖𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑣𝑎𝑚 𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑒𝑡𝑜 
400
 
Genericamente, 
�̂� =
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑡𝑒𝑛𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑛𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎
𝑛
 
em que n é o tamanho da amostra. , 
Quando 𝑛 → ∞, �̂� ≅ 𝑁 (𝑝;
𝑝(1−𝑝)
𝑛
) 
em que 𝐸(�̂�) = 𝑝 e 𝑉𝑎𝑟(�̂�) =
𝑝(1−𝑝)
𝑛
. 
Note que a variância da proporção amostral é a variância da população dividida pelo 
número de elementos na amostra, e para n grande, 
𝑍 =
�̂� − 𝑝
√𝑝(1 − 𝑝)
𝑛
≅ 𝑁(0,1) 
Exemplo dado em sala de aula. 
 
3. Teoria da Estimação 
 
3.1. Estimação Pontual: 
Quando a estimativa de um parâmetro é representada apenas por um valor. A principal 
desvantagem é que a estimativa pontual é pouco informativa. Ela não fornece nenhuma ideia do 
5 
 
erro que se comete ao assumir o valor da estimativa como igual ao verdadeiro valor do 
parâmetro desconhecido. 
 
O Método da Máxima Verossimilhança: 
O método da Máxima Verossimilhança foi introduzido por R.A. Fisher em 1922. Esse 
método exige que a função de verossimilhança seja conhecida ou pressuposta. 
A função de verossimilhança é a distribuição de probabilidade da amostra aleatória dada, 
em geral, pelo produtório das distribuições de probabilidade individualmente. 
Para apresentar o conceito vamos considerar 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 uma amostra de uma população 
com densidade 𝑓(𝑥), determinada pelos parâmetros 𝜃𝑖, 𝑖 = 1,2,3 … , 𝑘. Inicialmente, vamos 
considerar a situação específica de apenas um parâmetro 𝜃 (𝑘 = 1). 
Para uma amostra aleatória particular 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛, o estimador de máxima 
verossimilhança, θ̂, do parâmetro 𝜃 é aquele que maximiza a função de verossimilhança 
conjunta de 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛. 
Pelo fato de os valores amostrais 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛, é possível definir a densidade conjunta da 
função de verossimilhança (𝐿) pelo produtório das densidades de cada 𝑋𝑖, 𝑖 = 1,2,3 … , 𝑛. 
Assim, a função de verossimilhança PE dada por: 
𝐿 = 𝑓(𝑋1)𝑓(𝑋2) ⋯𝑓(𝑋𝑛) = ∏ 𝑓(𝑋𝑖)
𝑛
𝑖=1
 
O estimador de máxima verossimilhança (EMV) é aquele que maximiza 𝐿. Para obtermos 
tal estimador, basta tomarmos a primeira derivada de 𝐿 em relação ao parâmetro 𝜃, igualar a 
zero e resolver para 𝜃. Quando se tem mais de um parâmetro, tomam-se as derivadas parciais de 
𝐿 com respeito a cada um deles, iguala-se cada derivada a zero e resolve-se o sistema formado, 
obtendo-se o EMV dos parâmetros. 
Algumas propriedades matemáticas da função 𝐿 garantem a possibilidade de se usar a 
função suporte 𝑆 = ln(𝐿) em seu lugar, já que apresentam o mesmo máximo para o valor de 𝜃. 
Isso é feito para facilitar a obtenção do máximo, uma vez que o produtório se transforma em 
somatório. 
Exemplo em sala 
 
3.2. Estimação Intervalar 
A estimação pontual não fornece a ideia da margem de erro que se comete ao estimar um 
parâmetro de interesse. A estimação por intervalo procura corrigir essa lacuna a partir da criação 
de um intervalo que garanta uma alta probabilidade de conter o verdadeiro valor do parâmetro 
desconhecido. 
6 
 
Uma da maneira de se expressar a precisão da estimação é estabelecer limites da forma 
[a,b], que com certa probabilidade, incluam o verdadeiro valor do parâmetro de interesse. 
Sendo assim, a estimação por intervalo consiste na fixação de dois valores, a e b, tais que 
(1 − 𝛼) seja a probabilidade de que o intervalo, por eles determinado, contenha o real valor de 
𝜃. 
O intervalo [a,b] pode ser constituído a partir das distribuições amostrais. Ou seja, 
utilizando as distribuições de amostragem, podemos obter expressões do tipo: 
𝑃(𝑎 < 𝜇 < 𝑏) = 1 − 𝛼 
𝑃(𝑎 < 𝜎2 < 𝑏) = 1 − 𝛼 
Tais expressões podem ser interpretadas da seguinte maneira: Existe 100(1- 𝛼)% de 
confiança que o verdadeiro valor de 𝜇 ou (𝜎2) esteja contido no intervalo [a,b]. 
Logo, [a,b] pode ser considerado uma estimativa para 𝜇 ou (𝜎2) em que a probabilidade 
(1- 𝛼) ou 100(1- 𝛼)% expressa o grau de confiança que se tem na estimação. 
Se [a,b] é uma estimativa com 100(1- 𝛼)% de confiança para θ, então, 
i. O intervalo [a,b] é chamado intervalo de confiança para θ. 
ii. a e b são chamados “limite inferior” e “limite superior” do intervalo de confiança 
para θ. 
iii. A probabilidade (1- 𝛼) = 100(1- 𝛼)% é chamada coeficiente de confiança. 
iv. A probabilidade 𝛼 é chamada nível de significância. 
 
3.2.1. Intervalo de Confiança para a média populacional (𝝁) com variância (𝝈𝟐) 
conhecida. 
Seja 𝑋~𝑁(𝜇; 𝜎2) , logo, �̅�~𝑁 (𝜇;
𝜎2
𝑛
) então, o desvio padrão amostral é dado por 
𝜎
√𝑛
. 
Assim, 
𝑍 =
�̅� − 𝜇
𝜎
√𝑛
~𝑁(0; 1) 
Então temos que, 
 
7 
 
 
Sendo assim, o intervalo com 1-α ou 100(1- 𝛼)% de confiança para 𝜇 com 𝜎2 conhecida é: 
 
𝐼𝐶(1−𝛼)(𝜇) = (�̅� − 𝑧𝛼 2⁄
×
𝜎
√𝑛
; �̅� + 𝑧𝛼
2⁄
×
𝜎
√𝑛
) 
 
Obs: os níveis de confiança de confiança mais usados são: 
 
1-α = 90% 𝑧𝛼
2⁄
= ±1,64 
1-α = 95% 𝑧𝛼
2⁄
= ±1,96 
1-α = 99% 𝑧𝛼
2⁄
= ±2,58 
Exemplo dado em sala 
 
3.2.2. Distribuição t de Student 
Foi visto que �̅�~𝑁 (𝜇;
𝜎2
𝑛
) e que 𝑍 =
�̅�−𝜇
𝜎
√𝑛
~𝑁(0; 1). 
No entanto, quando não se conhece a variância populacional, situação mais comum na 
prática, se as amostras forem pequenas (n < 30) e s
2
 (variância da amostra), sujeita a variação 
amostral for utilizada como estimador de 𝜎2, os valores estandartizados, de uma população 
normal: 
𝑡𝑐 =
�̅� − 𝜇
𝑠
√𝑛
~𝑡𝑛−1 
Em palavras, 𝑡𝑐 segue uma distribuição t com (n-1) graus de liberdade. 
Características da distribuição t 
- simétrica em relação a media; 
- forma de sino; 
- quando 𝑛 → ∞, a distribuição t se torna equivalente a distribuição normal; 
- possui (n-1) graus de liberdade. 
8 
 
 
3.3.3. Intervalo de Confiança para a média populacional (𝝁) com variância (𝝈𝟐) 
desconhecida. 
 Um intervalo com 1-α ou 100(1- 𝛼)% de confiança para 𝜇 será: 
𝐼𝐶(1−𝛼)(𝜇) = (�̅� − 𝑡(𝑛−1; 𝛼 2⁄ )
×
𝑠
√𝑛
; �̅� + 𝑡(𝑛−1; 𝛼 2⁄ )
×
𝑠
√𝑛
) 
em que: 
s é o desvio padrão amostral 
𝑡(𝑛−1; 𝛼 2⁄ ) é o valor tabelado da distribuição t de Student. 
 
 
Exercícios 
 
1. Por meio de uma amostra aleatória simples referente ao numero de ocorrências 
criminais num certo bairro na cidade de São Paulo, coletada durante 30 dias, obteve-se 
os seguintes valores: 
7 11 8 9 10 14 6 8 8 7 
8 10 14 12 14 12 9 11 13 13 
8 6 8 13 10 14 5 14 10 10 
 
Construa um intervalo de confiança com: 
a) 90% 
b) 95% 
c) 99% 
 
3.3.4. Intervalo de confiança para diferença de médias 
 1 2 
com variâncias 
2
1
 e 
2
2
 
conhecidas. 
9 
 
 Seja 
 21 1 1;X N  
 e 
 22 2 2;X N  
variáveis aleatórias associadas às populações 
1 e 2. Os estimadores por intervalo para 
1 2 
, obtidos a partir de amostras 
1n
 e 
2n
 retiradas 
dessas populações serão dados pelos seus intervalos de confiança. 
Para 
2
1
 e 
2
2
conhecidos, temos: 
       
2 2 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 21
1 2 1 22 2
;IC X X z X X z
n n n n
 
    

 
          
  
 
Em que 
1X
 é a média da amostra 
1n
 e 
2X
 é a média da amostra 
2n
. 
 
OBS: a intenção nesse caso é concluir se há diferença entre as duas médias. Assim, se o 
intervalo de confiança contiver o valor “zero”, não temos evidencias significativas para afirmar 
que uma média difere da outra. 
 
Exemplo: duas variáveis aleatórias 
1X
e 
2X
seguem distribuições normais com variâncias 
2
1 3,64 
 e 
2
2 4,03 
. Construa um intervalo de confiança para a diferença de médias 
sabendo que em amostras recolhidas obteve-se: 
AMOSTRA 1 
1 32n 
 
1 16,20X 
 
AMOSTRA 2 
2 40n 
 
2 14,85X 
 
 
RESOLUÇÃO: 
       1 295%
3,64 4,03 3,64 4,03
16,20 14,85 1,96 ; 16,20 14,85 1,96
32 40 32 40
IC              
 
 
     1 295% 0,44;2,26IC   
 
 
COMO O INTERVALO DE CONFIANÇA NÃO CONTEM O ZERO, PODEMOS DIZER 
QUE HÁ EVIDENCIAS ESTATÍSTICAS PARA AFIRMAR QUE EXISTE DIFERENÇA 
ENTRE AS MÉDIAS. 
 
3.3.5. Intervalo de confiança para diferença de médias 
 1 2 
com variâncias 
2
1
 e 
2
2
 
desconhecidas, porém iguais (
2 2
1 2 
). 
Neste caso, um intervalo de confiança 
 100 1 %
 de confiança para 
1 2 
 será: 
 
10 
 
       
1 2 1 2
2 2
1 2 1 2 1 21
2; 2;
1 2 1 22 2
1 1 1 1
;p p
n n n n
IC X X t s X X t s
n n n n
       
      
   
    
             
     
 em que 
2
ps
 é a variância amostral ponderada 
   2 21 1 2 22
1 2
1 1
2
p
n s n s
s
n n
  

 
 
 
3.3.6. Intervalo de confiança para diferença de médias 
 1 2 
com variâncias 
2
1
 e 
2
2
 
desconhecidas, porém diferentes (
2 2
1 2 
). 
Neste caso, um intervalo de confiança 
 100 1 %
 de confiança para 
1 2 
 será: 
 
       
2 2 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 21
; ;
1 2 1 22 2
;
v v
s s s s
IC X X t X X t
n n n n
       
   
   
    
             
     
 
Em que, os graus de liberdade são dados pela fórmula de Satterthwaite, 1946. 
2
2 2
1 2
1 2
2 2
2 2
1 2
1 2
1 21 1
s s
n n
v
s s
n n
n n
 
 
 
      
      
          
   
     
 
 
3.2.3. Intervalos de Confiança para a Proporção 
Um intervalo com 
 100 1 %
 de confiança para p é dado por: 
 
𝐼𝐶(1−𝛼)(𝑝) = [�̂� − 𝑧𝛼
2
× √
�̂�(1 − �̂�) 
𝑛
; �̂� + 𝑧𝛼
2
× √
�̂�(1 − �̂�) 
𝑛
] 
 
Exemplo: Pretende-se estimar a proporção p de cura, através do uso de certo medicamento em 
doentes contaminados com cercaria, que é uma das formas da esquistossomose. Um 
experimento consistiu de aplicar o medicamento em 200 pacientes, escolhidos ao acaso, e 
observou-se que 160 deles foram curados. O que podemos dizer da proporção pna população em 
geral? 
11 
 
 
Uma estimativa pontual para p é �̂� = 160 200 = 0,8.⁄ entretanto, podemos dizer mais que isso. 
Apesar da proporção amostral �̂� não ter distribuição Normal, o Teorema Central do Limite nos 
garante que, para um tamanho de amostra grande, podemos aproximá-la para a Normal. Desse 
modo, segue que: 
�̂� ~𝑁 (𝑝;
𝑝(1 − 𝑝)
𝑛
) 
Assim, um intervalo de confiança para a proporção com 95% de confiança é dado por: 
 
   0,95
0,8(1 0,2) 0,8(1 0,2)
0,8 1,96 ;0,8 1,96
200 200
IC p
  
     
 
 
Assim, 
     0,95 0,745;0,855IC p 
 
 
Exercícios 
 
1. Retiramos de uma população uma amostra de 100 elementos e encontramos 20 
sucessos. Sendo 𝛼 = 1%, determine um intervalo de confiança para a proporção real de 
sucessos na população. 
Resposta: 
     0,99% 9,72%;30,28%IC p 
 
 
2. Para se estimar a porcentagem de alunos de um curso favoráveis a modificação do 
currículo escolar, tomou-se uma amostra de 100 alunos, dos quais, 80 foram favoráveis. 
Construa um intervalo de confiança a 96% para a proporção de todos os alunos 
favoráveis a modificação. 
Resposta: 
     0,96% 71,8%;88,2%IC p  
 
Parte II 
 
Testes de Hipóteses 
 
Trata-se de uma técnica estatística para se fazer inferência. A partir de um teste de 
hipóteses, realizado com os dados amostrais, pode-se fazer inferência sobre a população e 
tomar decisões. 
12 
 
 No caso dos intervalos de confiança, buscava-se “cercar” o parâmetro de interesse. 
Agora serão formuladas hipóteses quanto ao valor dos parâmetros populacionais, e pelos 
elementos amostrais, é realizado um teste, que indicará a aceitação ou rejeição das hipóteses 
formuladas. 
 
1. Principais conceitos 
 
a) Hipótese estatística: trata-se de uma suposição quanto ao valor de um parâmetro 
populacional, ou quanto à natureza da distribuição de probabilidade de uma variável 
aleatória populacional. 
Exemplos: 
(i) A altura média da população brasileira é 1,65m, ou seja, 𝐻: 𝜇 = 1,65. 
(ii) A variância populacional dos salários num determinado país é de $5.000,002, 
ou seja, 𝜎2 = 50002. 
 
b) Teste de hipótese: é uma regra de decisão para aceitar ou rejeitar uma hipótese 
estatística com base nos elementos de uma amostra. 
 
c) Tipos de hipóteses: designa-se por 𝐻0, chamada “hipótese nula”, a hipótese a ser 
testada, e por 𝐻1 ou 𝐻𝑎, a hipótese alternativa. A hipótese nula expressa uma igualdade, 
enquanto a hipótese alternativa é dada por uma desigualdade. 
 
Exemplos: 
(i) 𝐻0: 𝜇 = 1,65 versus 𝐻1: 𝜇 ≠ 1,65 
Esse tipo de formulação dará origem a um teste bicaudal ou bilateral. 
 
(ii) 𝐻0: 𝜇 = 1,65 versus 𝐻1: 𝜇 > 1,65 
Esse tipo de formulação dará origem a um teste unicaudal ou unilateral à 
direita. 
 
(iii) 𝐻0: 𝜇 = 1,65 versus 𝐻1: 𝜇 < 1,65 
Esse tipo de formulação dará origem a um teste unicaudal ou unilateral à 
esquerda. 
 
OBS1: Estabelecer 𝐻0e 𝐻1 depende exclusivamente da natureza do problema. 
OBS2: A rejeição de 𝐻0 implicará na aceitação de 𝐻1. 
13 
 
 
d) Tipos de Erros: como a tomada de decisões sobre a aceitação ou rejeição de uma 
hipótese estatística é baseada apenas nas informações contidas numa amostra, dois tipos 
de erros podem ser cometidos: 
(i) Erro Tipo I: rejeitar 𝐻0 quando ela é verdadeira. 
(ii) Erro Tipo II: aceitar 𝐻0 quando ela é falsa. 
 
A probabilidade de se cometer Erro do Tipo I é denotada por 𝛼 e é chamada nível de 
significância do teste. A probabilidade se cometer Erro do Tipo II é denotada por 𝛽. Sendo 
assim, 
 
P(Erro Tipo I) = P(rejeitar H0 |H0 verdadeira) = 𝛼 
P(Erro Tipo II) = P(aceitar H0 |H0 falsa) = 𝛽 
 
O quadro a seguir resume a natureza dos erros envolvidos no processo de tomada de 
decisões por meio de testes de hipóteses: 
 H0 verdadeira H0 falsa 
Rejeição de H0 Erro Tipo I (𝛼) Decisão correta (1- 𝛽) 
Aceitação de H0 Decisão correta (1- 𝛼) Erro Tipo I (𝛽) 
 
O tomador de decisões deseja, obviamente, reduzir ao mínimo a probabilidade de se 
cometer os dois tipos de erro. Tarefa difícil, pois, para um determinado tamanho de amostra, a 
probabilidade de se cometer Erro Tipo II aumenta à medida que diminui a probabilidade de se 
cometer Erro Tipo I e vice versa. 
A redução simultânea dos dois tipos de erros só poderá ser alcançada pelo aumento do 
tamanho da amostra. 
 
2. Testes de Significância 
Os passos para a execução de um teste de hipótese são: 
 
(i) Formular as hipóteses 𝐻0e 𝐻1 seguindo a natureza do problema em estudo. 
(ii) Especificar o nível de significância 𝛼 
(iii) Estabelecer a estatística adequada (z, t, 𝜒2, F), segundo as informações disponíveis 
e determinar as regiões de rejeição e aceitação de 𝐻0. 
14 
 
(iv) Calcular o valor da estatística que definirá a decisão. 
(v) Se o valor da estatística pertencer à região de aceitação de 𝐻0, aceita-se a hipótese 
nula, caso contrário, rejeita-se 𝐻0 com nível de significância 𝛼. 
 
2.1. Teste de hipótese para a média (𝝁) de uma população Normal com variância (𝝈𝟐) 
conhecida: 
 
(i) Formular as hipóteses 
𝐻0: 𝜇 = 𝜇0 
𝐻1 : uma das alternativas 
 𝐻1: 𝜇 ≠ 𝜇0 (teste bilateral) 
 𝐻1: 𝜇 > 𝜇0 (teste unilateral à direita) 
 𝐻1: 𝜇 < 𝜇0 (teste unilateral à esquerda) 
 
(ii) Nível de significância 𝛼. 
 
(iii) Estatística do teste: 
𝑍 =
�̅� − 𝜇
𝜎
√𝑛
~𝑁(0; 1) 
Se 𝐻1: 𝜇 ≠ 𝜇0, então: 
 
 
Se 𝐻1: 𝜇 > 𝜇0, então, 
15 
 
 
 
Se 𝐻1: 𝜇 < 𝜇0, então, 
 
 
em que 𝑅𝑅𝐻0 é a região de rejeição de 𝐻0 e 𝑅𝐴𝐻0 é a região de aceitação de 𝐻0. 
 
(iv) Sob 𝐻0 calcular 
𝑍𝑐 =
�̅� − 𝜇0
𝜎
√𝑛
 
(v) Rejeita-se 𝐻0 com nível de significância 𝛼 se 𝑍𝑐 ∈ 𝑅𝑅𝐻0 
 
Exemplo: técnicas do INMETRO desejam avaliar um processo para conservar alimentos 
enlatados, cuja principal variável de interesse é o tempo de duração dos alimentos. O tempo 
segue uma distribuição normal com variância 100. A indústria que utiliza o processo afirma que 
o tempo médio de duração é de 70 dias. Foi retirada uma amostra de 25 latas e a média 
encontrada foi 60 dias. O que se pode concluir sobre o tempo médio de duração dos enlatados? 
Utilize 𝛼 = 0.01. 
𝐻0: 𝜇 = 70 
𝐻1: 𝜇 < 70 
𝛼 = 0.01 
𝑍𝑐 =
�̅� − 𝜇0
𝜎
√𝑛
 
16 
 
 
Então, 
𝑍𝑐 =
60 − 70
10
√25
= −5 
Conclusão: existe evidencia estatística para rejeitar 𝐻0: 𝜇 = 70 ao nível 
𝛼 = 0.01. Portanto, pode-se concluir que o tempo médio de duração dos enlatados é menor que 
70 dias. 
 
2.2. Teste de hipótese para a média (𝝁) de uma população Normal com variância (𝝈𝟐) 
desconhecida: 
 
(i) 
𝐻0: 𝜇 = 𝜇0 
𝐻1 : uma das alternativas 
 𝐻1: 𝜇 ≠ 𝜇0 (teste bilateral) 
 𝐻1: 𝜇 > 𝜇0 (teste unilateral à direita) 
 𝐻1: 𝜇 < 𝜇0 (teste unilateral à esquerda) 
 
(ii) Nível de significância 𝛼. 
 
(iii) Estatística do teste: 
𝑡 =
�̅� − 𝜇
𝜎√𝑛
~𝑡(𝑛−1) 
 
Se 𝐻1: 𝜇 ≠ 𝜇0, então: 
17 
 
 
 
 
Se 𝐻1: 𝜇 > 𝜇0, então, 
 
 
Se 𝐻1: 𝜇 < 𝜇0, então, 
 
 
em que 𝑅𝑅𝐻0 é a região de rejeição de 𝐻0 e 𝑅𝐴𝐻0 é a região de aceitação de 𝐻0. 
 
(vi) Sob 𝐻0 calcular 
𝑡𝑐 =
�̅� − 𝜇0
𝑠
√𝑛
 
(vii) Rejeita-se 𝐻0 com nível de significância 𝛼 se 𝑍𝑐 ∈ 𝑅𝑅𝐻0 
 
18 
 
Exemplo: Deseja-se investigar certa moléstia que ataca o rim, alterando o consumo de oxigênio 
desse órgão. Para indivíduos sadios, admite-se que esse consumo tem distribuição Normal com 
média 12 cm
3
/min. Os valores medidos em cinco pacientes com a moléstia foram: 14,4; 12,9; 
15,0; 13,7; 13,5. Qual seria a conclusão ao nível de 1% de significância? E a 5%? 
 
𝐻0: a moléstia não altera a média do consumo renal de oxigenio 
𝐻1: indivíduos portadores da moléstia tem média alterada. 
Ou seja: 
𝐻0: 𝜇 = 12 
𝐻1: 𝜇 ≠ 12 
 
𝛼 = 0.01 
𝑡𝑐 =
�̅̅� − 𝜇0
𝑠
√𝑛
 
 
Então, 
𝑍𝑐 =
�̅̅� − 12
𝑠
√5
=
13,90 − 12
0,82
√5
= 5,18 
 
 
Conclusão: existe evidência estatística para rejeitar 𝐻0 ao nível 
𝛼 = 0.01. Portanto, pode-se concluir que a moléstia tem influencia sobre o consumo renal 
médio de oxigênio.