4 Barras Curvas

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FLEXÃO DE BARRAS CURVAS 
BARRAS CURVAS – são barras em que a linha de centros 
(linha que une os centroides de todas as seções transversais) 
é uma curva plana, tendo um raio e um centro de curvatura 
FLEXÃO DE BARRAS CURVAS 
A análise de barras curvas é necessária quando o raio de 
curvatura de uma barra for menor que cinco vezes a altura da 
seção transversal. 
Quando essa for a situação, a equação da flexão não fornece 
resultados precisos, resultando em erros no projeto. 
h 
hr 5≤_ 
EXEMPLOS DE BARRAS CURVAS 
A dedução da equação para as tensões provocadas pela flexão de barras 
curvas parte das seguintes considerações: 
 
 Barras com seção transversal uniforme e com um plano de simetria; 
 
 Momentos fletores atuando no plano de simetria da barra; 
 
 A linha de centros (linha que une os centróides de todas as seções 
transversais) é uma curva plana; 
 
 As seções transversais que eram planas e perpendiculares à linha de 
centros antes da flexão, devem permanecer assim após a flexão; 
 
 Os materiais da barra devem apresentar comportamento elástico linear; 
 
 As tensões atuantes na barra devem permanecer abaixo do limite de 
proporcionalidade do material. 
FLEXÃO DE BARRAS CURVAS 
M – Momento fletor que atua em torno do eixo neutro da seção de uma seção 
transversal da barra curva 
R – Distância entre o eixo neutro e o centro de curvatura 
 – Distância entre o centróide da área da seção transversal e o centro de curvatura 
r – Distância do ponto onde a tensão deve ser determinada e o centro de curvatura 
e – Distância do eixo neutro até o centroide da área da seção transversal 
y – Posição do ponto onde se deseja determinar a tensão em relação ao eixo neutro 
r
FLEXÃO DE BARRAS CURVAS 
2
)..(2 δθrRS −=∆
Chamando 





 −=
r
rRk.ε
Como εE=σ . então: 





 −=
r
rRkE ..σ
θ
δθ
d
k =
FLEXÃO DE BARRAS CURVAS 
;
dθr
δθr)(R
=
S
ΔS=ε
.
2
..2 −
S
ΔS=ε
θdrS .=
0. =∫
A
d Aσ
Isolando R chega-se a: 
0=Σ= xR FF
0.... =− ∫∫
AA
d AkE
r
d ARkE
Localização do eixo neutro: 
FLEXÃO DE BARRAS CURVAS 
0... =




 −
∫ d Ar
rRkE
A
0...... =−∫∫ r
d ArkE
r
d ARkE
A
Como E.k e R são constantes, tem-se: 
∫
=
A r
dA
AR
∫
=
A r
dA
AR
Tanto R como r são medidos a partir do Centro de Curvatura da barra, representado 
nas figuras por O’. 
r que indica a posição do eixo centroidal, também é medido a partir do centro de 
curvatura da barra. 
 
R – Localização do eixo neutro a partir do centro de curvatura O’ da barra; 
A – Área da seção transversal; 
r – Posição do elemento de área dA na seção transversal, onde a tensão “σ” 
deve ser determinada, medida a partir do centro de curvatura O’ da barra. 
FLEXÃO DE BARRAS CURVAS 
Eixo que passa pelo Centro de 
Curvatura O’ da barra curva 
É importante destacar então que em Barras Curvas, 
o Eixo Neutro não coincide com o eixo centroidal da 
seção transversal (R ≠ r) 
A equação fornece a localização do eixo neutro a 
partir do Centro de Curvatura O’ da barra: 
Essa integral que é o denominador 
da equação de R pode ser 
determinada para várias geometrias 
de seção transversal conhecidas. 
As mais comuns estão mostradas na 
figura ao lado. 
∫
A r
dA
A=R
∫
A r
dA
Então, para determinarmos a posição 
do eixo neutro é preciso calcular o 
valor de R: 
Para calcular o valor de R é preciso 
resolver a integral: 






+−= ∫ ∫∫
A AA
R drd ARr
d ARkEM .2. 2
Então: 
Determinação da tensão: 
Expandindo e lembrando que E.k e R são constantes, tem-se: 





 −=
r
rRkE ..σrRy −=
Sabendo que: 
∫ ∫∫ ===
A AA
R dyd Fyd MM ... σ
∫ 



 −−=
A
R dr
rRkErRM ...) .(
FLEXÃO DE BARRAS CURVAS 
Referência a partir de O’ 
Determinação da tensão: 






+−= ∫ ∫∫
A AA
R drd ARr
d ARkEM .2. 2
- A segunda integral representa a área da seção transversal “A” 
R
A
r
dA
A
=∫∫
=
A r
dA
AR
- Entendendo-se que a localização do centróide da seção transversal é dada por: 
A terceira integral pode ser substituída por: 
A
dAr
r A
∫
=
.
_
Ar .
_
- A primeira integral equivale a: 
Assim podemos escrever: ).(
.
RrA
MkE
−
=
FLEXÃO DE BARRAS CURVAS 
∫=
A
d ArAr ..
_
)RrA(kE=M −..
Determinação da tensão: 
Com isso obtém-se: 
ou yRr −=
Quando esses valores são substituídos na equação de “σ”, tem-se 
uma outra equação que pode ser usada: 
Como: rRy −= e ainda: Rre −=
FLEXÃO DE BARRAS CURVAS 
).(
.
RrA
MkE
−
=
⇒




 −
− r
rR
RrA
M=σ .
)(
Anteriormente , obteve-se uma expressão para a tensão que era dada por: 
O produto de E.K pode agora ser substituído por : 





 −=
r
rRkE ..σ
( )yReA
yM
−
=
..
.σ






−
−
=
Rr
rR
rA
M
.
σ
Contudo, a equação mais usual é a primeira que foi deduzida, em que a 
tensão de flexão em uma barra curva é dada por: 
Nessa equação tem-se que: 
σ - Tensão normal de flexão em uma barra curva; 
M – Momento fletor interno resultante em torno do eixo neutro que atua nas seções 
transversais da barra curva; ele é positivo quando tender a tornar a barra reta; 
R – Distância entre o centro de curvatura e o eixo neutro; 
 – Distância entre o centro de curvatura e o centroide da área da seção transversal 
r – Distância entre o centro de curvatura e o ponto em que a tensão “σ” deve ser 
determinada; 
e – posição do eixo neutro em relação ao centroide da área da seção transversal 
y – posição, em relação ao eixo neutro, do ponto onde se deseja determinar a tensão, 
sendo positivo quando no sentido do centro de curvatura da barra 
FLEXÃO DE BARRAS CURVAS 
r






−
−
=
Rr
rR
rA
M
.
σ
FLEXÃO DE BARRAS CURVAS 
A distribuição de tensão normal em barras curvas determinada a partir da 
equação é hiperbólica. 
 
As figuras a seguir mostram a representação dessa distribuição de tensão. 






−
−
=
Rr
rR
rA
M
.
σ
Curva hiperbólica da distribuição de tensões 
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