5 Cisalhamento Transversal

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CISALHAMENTO 
EM VIGAS E EIXOS 
CISALHAMENTO TRANSVERSAL 
A flexão pura (vista no capítulo anterior) é um caso muito particular. 
 
A grande maioria das vigas está submetida a carregamentos que produzem não só 
momentos fletores, mas também forças de cisalhamento; 
 
Nessas situações a flexão não é uniforme, ou seja, o momento fletor varia de seção 
para seção; 
 
Com isso surgem tensões normais e tensões de cisalhamento; 
 
As tensões normais são calculadas a partir da fórmula da flexão vista no Capítulo 6; 
 
As tensões de cisalhamento são determinadas a partir de uma equação que será 
deduzida neste capítulo. 
CISALHAMENTO TRANSVERSAL 
Devido à propriedade complementar do cisalhamento, 
o par de tensões que age transversalmente no 
elemento é acompanhado por um par de tensões de 
cisalhamento que age longitudinalmente. 
As figuras a seguir mostram a distribuição de tensões que geram esforços 
internos de cisalhamento – Esforço Cortante. 
O esforço cortante interno V é o resultado da 
distribuição das tensões de cisalhamento ao longo 
da seção transversal. 
As tensões agem na seção transversal da viga, 
tendendo a fazer com que tal seção deslize em 
relação às seções adjacentes. 
CISALHAMENTO TRANSVERSAL 
Com a união das tábuas o 
deslocamento é impedido. 
O exemplo a seguir permite que se visualize fisicamente o efeito do cisalhamento 
longitudinal. São três tábuas que devem formar uma viga como mostra a figura. 
Deslocamento de 
uma tábua em 
relação à outra 
Apoiando-se as tábuas umas sobre as outras, ao se aplicar uma força tal como P, 
o que se percebe é um deslocamento relativo entre as tábuas. 
Unindo-se as tábuas, seja por pinos, pregos, cola ou outro meio qualquer. o 
deslocamento é impedido. 
Isso significa que o elemento de união está suportando o cisalhamento 
longitudinal resultante. 
CISALHAMENTO TRANSVERSAL 
Em função da existência de tensões na direção transversal e de tensões na 
direção longitudinal, desenvolvem-se Deformações de Cisalhamento que 
distorcem a seção transversal de maneira bem complexa 
CISALHAMENTO TRANSVERSAL 
No caso do cisalhamento transversal isso não será possível, pois as deformações 
são complexas e não podem ser expressas facilmente em termos matemáticos. 
Nos capítulos anteriores quando foram deduzidas as equações para carga axial, 
para torção e para flexão, tomou-se como ponto de partida, premissas referentes 
à deformação da seção transversal. 
A dedução aqui será feita de maneira indireta, isto é, usando-se a equação da 
flexão e a relação entre momento fletor e esforço cortante (V=dM/dx). 
DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO PARA TENSÕES DE CISALHAMENTO TRANSVERSAL 
Vamos considerar uma viga submetida a um carregamento genérico qualquer 
tal como o mostrado na figura (a). 
 
Fazendo uso do Método das Seções, vamos isolar um pequeno segmento da 
viga de comprimento dx situado a uma distância x do apoio da esquerda. 
 
O pequeno segmento isolado está mostrado na figura (b). 
 
Admite-se que o eixo neutro da seção é o eixo representado pela reta NA. 
A figura (c) mostra o diagrama de corpo livre do segmento (b), representando 
apenas a distribuição das tensões normais provocadas pelos momentos fletores 
M e M+dM. 
(c) 
σ σ’ 
σ 
σ’ 
Do segmento isolado, vamos aplicar mais uma vez um corte, porém agora 
longitudinalmente e isolar a parte superior, seccionada a partir de uma distância 
y’ em relação ao eixo neutro. 
A parte superior isolada tem largura t na base 
e cada um dos lados da seção transversal tem 
área A’. 
Analisando-se o equilíbrio da parte superior é possível fazer as seguintes 
observações: 
 σ ≠ σ’ , isto é, a tensão na face esquerda σ é diferente da tensão na face direita σ’; 
 Assim, se apenas as forças originadas por σ e por σ’ estivessem presentes, a parte 
isolada não estaria em equilíbrio; 
 Então se a parte isolada está em equilíbrio é porque na sua face inferior age uma 
força que compensa essa diferença; 
 Tal força é originada por uma distribuição de tensões de cisalhamento τ , que atua 
na direção longitudinal. 
0=∑ xF ( ) 0...'
''
=−− ∫∫ dxtdAdA
ÁA
τσσ ( ) 0......
' '
=−




−




 +
∫ ∫ dxtdAyI
MdAy
I
dMM
A A
τ
( )dxtdAy
I
dM
A
....
'
τ=





∫ ∫



=
'
.
.
1
A
dAy
dx
dM
It
τ
Considerando-se então as forças resultantes geradas pelas tensões σ’, σ e τ e 
aplicando-se as equações de equilíbrio à parte isolada tem-se que: 
∫



=
'
.
.
1
A
dAy
dx
dM
It
τ
dx
dMV = ''..
'
AyQday
A
==∫
 
 
 
 
tI
QV
.
.
=τ
EQUAÇÃO PARA O CISALHAMENTO TRANSVERSAL 
EQUAÇÃO PARA O CISALHAMENTO TRANSVERSAL 
 
 
 
 
tI
QV
.
.
=τ
τ - Tensão de cisalhamento no ponto localizado a uma distância y’ do eixo 
neutro do elemento; 
V – Esforço Cortante Interno Resultante que atua na seção transversal sob 
análise, determinado pelo método das seções e pelas equações de equilíbrio; 
Ι – Momento de inércia de toda a área da seção transversal, calculado em 
torno do eixo neutro (eixo neutro em relação à flexão); 
t – Largura da área da seção transversal, medida no ponto em que a tensão de 
cisalhamento deve ser determinada; 
Q – Momento de primeira ordem da área acima (ou abaixo) do ponto onde se 
deseja determinar a tensão, calculado em relação ao eixo neutro. 
EQUAÇÃO PARA O CISALHAMENTO TRANSVERSAL 
 
 
 
 
tI
QV
.
.
=τ
A equação deduzida é conhecida como Fórmula do Cisalhamento. 
 
Na dedução dessa equação, embora tenha-se considerado apenas as tensões 
de cisalhamento que agem no plano longitudinal da viga, ela pode ser aplicada 
para determinar a tensão de cisalhamento transversal. 
 
Isso deve-se à propriedade complementar do cisalhamento, o que significa 
que as tensões de cisalhamento ocorrem aos pares, atuando em planos 
paralelos e perpendiculares entre si, e possuem o mesmo módulo, ou seja, 
numericamente são iguais. 
 
Como a equação foi derivada indiretamente da fórmula da flexão, é necessário 
que o material se comporte de uma maneira linear elástica. 
LIMITAÇÕES DA EQUAÇÃO DO CISALHAMENTO TRANSVERSAL 
 
 
 
 
tI
QV
.
.
=τ
A equação do cisalhamento foi deduzida considerando que a tensão de 
cisalhamento é uniformemente distribuída pela largura da seção t. 
 
Estudos feitos a partir da teoria da elasticidade mostram que a verdadeira 
distribuição das tensões de cisalhamento no eixo neutro em relação à flexão varia 
como mostra a figura a seguir. 
LIMITAÇÕES DA EQUAÇÃO DO CISALHAMENTO TRANSVERSAL 
O valor máximo de “τ” ocorre nas bordas da seção transversal e seu valor 
depende da relação b/h (largura pela altura). 
 
Para seções nas quais b/h=0,5 , o valor da tensão de cisalhamento máxima é 
apenas 3% maior que o valor calculado pela equação do cisalhamento. 
 
Já para seções achatadas, para as quais b=2h, por exemplo, o valor da tensão 
de cisalhamento máxima é 40% maior que o valor calculado pela equação do 
cisalhamento. 
 
O erro torna-se maior à medida que a seção torne-se mais achatada. 
 
LIMITAÇÕES DA EQUAÇÃO DO CISALHAMENTO TRANSVERSAL 
A equação do cisalhamento também apresenta problemas quando é aplicada 
para perfis de abas largas. 
 
Com as regiões internas das abas são bordas livres, as tensões de cisalhamento 
nessas regiões devem ser nulas. 
 
Entretanto, se a equação for aplicada, obteremos um valor de “τ” que não será 
igual a zero. 
Na prática, tais limitações não são importantes. 
Para esses casos, a região de interesse é aquela 
situada no eixo neutro em relação à flexão, onde as 
tensões de cisalhamento atingem seu valor máximo. 
Como são regiões em que a relação entre largura ealtura do perfil é pequena, o valor calculado para a 
tensão de cisalhamento pela equação é bem próximo 
do valor da tensão de cisalhamento máxima. 
FLUXO DE CISALHAMENTO EM VIGAS COMPOSTAS POR VÁRIOS ELEMENTOS 
Na prática da engenharia, quando há necessidade de se aumentar a resistência 
e a rigidez de uma estrutura, um recurso bastante utilizado é construir um perfil a 
partir da composição de elementos. As figuras a seguir ilustram tal situação: 
Presenter
Presentation Notes
FG07_13-01UN.TIF
Notes:
Magnitude of the shear flow along any longitudinal section of a beam can be obtained using a development similar to that for finding the shear stress in the beam. 
Em geral, os perfis compostos são utilizados em vigas e, portanto, estarão sendo 
submetidos a esforços de flexão. 
 
Devido à flexão surgem esforços longitudinais que tendem a promover o 
deslocamento relativo nessa direção das partes constituintes do perfil 
 
Em função disso, os elementos usados na fixação das partes do perfil precisarão 
ser dimensionados para suportar esse esforços longitudinais. 
 
Os elementos de fixação podem ser, por exemplo, pinos, rebites, pregos, solda, 
cola. 
Elemento 
de União 
Presenter
Presentation Notes
FG07_15a.TIF
Notes:
This value of q will be resisted by a single fastener in Fig. 7–15a and 7–15b, by two fasteners in Fig. 7–15c, and by three fasteners in Fig. 7–15d.
7-20 
FLUXO DE CISALHAMENTO EM VIGAS COMPOSTAS POR VÁRIOS ELEMENTOS 
O dimensionamento dos elementos de fixação exige que se conheça a força a qual 
os mesmos estão submetidos. 
 
Para demonstrar como obter tal força, vamos tomar como exemplo uma viga feita 
de um perfil de abas largas, constituído tal como representado na figura a seguir. 
 
Vamos supor que a viga está em equilíbrio estático e submetida a um carregamento 
de flexão que varia ao longo de seu comprimento. 
 
Sendo assim, se tomarmos para análise um pequeno segmento de comprimento 
dx, os esforços internos resultantes que agem na seção de corte podem ser 
representados por M e M+dM. 
Presenter
Presentation Notes
FG07_14a_b.TIF
Notes:
Consider finding the shear flow along the juncture where the composite part is connected to the flange of the beam. 
FLUXO DE CISALHAMENTO EM VIGAS COMPOSTAS POR VÁRIOS ELEMENTOS 
Devido a essa variação do momento fletor, as tensões normais que agem na seção 
onde atua M serão diferentes das tensões normais que agem na seção em que atua o 
momento M+dM. 
 
As forças resultantes dessa distribuição de tensões serão F e F+dF, respectivamente. 
 
Se o elemento está em equilíbrio é porque na zona de união é gerada uma força que 
equilibra essa diferença. 
 
Essa força é designada por df. 
 
É justamente essa força df que deverá ser absorvida pelos elementos de união 
 
Presenter
Presentation Notes
FG07_14a_b.TIF
Notes:
Consider finding the shear flow along the juncture where the composite part is connected to the flange of the beam. 
FLUXO DE CISALHAMENTO EM VIGAS COMPOSTAS POR VÁRIOS ELEMENTOS 
A dedução de uma equação para df pode ser feita do mesmo modo como foi feita a 
dedução da equação para as tensões de cisalhamento. 
 
Sendo assim, vamos estabelecer a equação de equilíbrio de forças na direção 
longitudinal, ou seja, o equilíbrio de forças na direção x, tal como mostrado a seguir: 
∫=
'
.
Á
dAF σ y
I
M
=σ
'..
'∫



=
A
dAy
I
dMdF
0=∑ xF 0..'
''
=−− ∫∫ dFdAdA
ÁA
σσ
dAdFF
A
.'
'
∫=+ σ
0'..'..
' '
=−




−




 +
∫ ∫ dFdAyI
MdAy
I
dMM
A A
y
I
dMM +
='σ
Presenter
Presentation Notes
FG07_14a_b.TIF
Notes:
Consider finding the shear flow along the juncture where the composite part is connected to the flange of the beam. 
FLUXO DE CISALHAMENTO EM VIGAS COMPOSTAS POR VÁRIOS ELEMENTOS 
A força df é a resultante de forças que atua na direção x ao longo do comprimento dx. 
 
Dividindo-se o valor de df pelo comprimento dx se obtém uma grandeza denominada 
de Fluxo de Cisalhamento. 
 
O Fluxo de Cisalhamento é representado pela letra q. 
 
A equação do Fluxo de Cisalhamento é obtida dividindo-se ambos os membros da 
equação de df por dx, conforme mostrado a seguir: 
V
dx
dM
= ''.
'
QdAy
A
=∫qdx
dF
=
'..1
'∫



=
A
dAy
I
dM
dxdx
dF
'.Q
I
Vq =
Presenter
Presentation Notes
FG07_14a_b.TIF
Notes:
Consider finding the shear flow along the juncture where the composite part is connected to the flange of the beam. 
FLUXO DE CISALHAMENTO EM VIGAS COMPOSTAS POR VÁRIOS ELEMENTOS 
Nessa equação, cada um dos termos tem o seguinte significado: 
 
q - Fluxo de Cisalhamento medido como uma força por unidade de comprimento ao 
longo da viga; 
 
V – Esforço cortante interno resultante determinado pelo método das seções e 
equações de equilíbrio; 
 
I – Momento de inércia de toda a área da seção transversal em relação ao eixo neutro 
à flexão; 
 
Q’ – Momento estático da área da seção transversal do segmento acoplado à viga na 
junção onde o fluxo de cisalhamento deve ser calculado em relação ao eixo neutro à 
flexão. 
V
dx
dM
= ''.
'
QdAy
A
=∫qdx
dF
=
'..1
'∫



=
A
dAy
I
dM
dxdx
dF
'.Q
I
Vq =
Presenter
Presentation Notes
FG07_14a_b.TIF
Notes:
Consider finding the shear flow along the juncture where the composite part is connected to the flange of the beam. 
FLUXO DE CISALHAMENTO EM ELEMENTOS DE PAREDES FINAS 
A equação geral para o fluxo de cisalhamento que age ao longo de qualquer 
plano longitudinal de um elemento é: 
Como será demonstrado, essa equação também pode ser 
usada para determinara a distribuição do fluxo de 
cisalhamento pela área da seção transversal de elementos 
de paredes finas. 
Na demonstração, admite-se que os elementos possuem 
paredes finas, ou seja, a espessura da parede “t” é 
pequena em relação à altura e à largura (conforme figura 
ao lado). 
Admite-se também que o Esforço Cortante V é aplicado ao 
longo do eixo principal de inércia da seção transversal 
I
QVq .=
FLUXO DE CISALHAMENTO EM ELEMENTOS DE PAREDES FINAS 
Assim como a tensão de cisalhamento, o fluxo de cisalhamento age em ambos 
os planos, longitudinal e transversal. 
Por exemplo, isolando-se, para análise, o elemento 
situado no canto superior direito (figura ao lado), o 
fluxo age conforme mostrado na figura (b), ou seja, 
ao longo do comprimento e ao longo da largura. 
Embora exista fluxo de cisalhamento transversalmente 
(mesma direção do esforço cortante), este pode ser 
desprezado, pois tal componente, assim como a 
tensão de cisalhamento, é aproximadamente zero em 
toda a espessura do elemento. 
Como o elemento é de paredes finas, as superfícies 
superior e inferior do elemento estão livres de tensão. 
 
(c) 
FLUXO DE CISALHAMENTO EM ELEMENTOS DE PAREDES FINAS 
A partir de tais análises, conclui-se que: 
- O valor do fluxo de cisalhamento(q) varia ao 
longo da seção transversal; 
- O fluxo de cisalhamento varia linearmente ao 
longo dos segmentos perpendiculares ao esforço 
cortante “V” e parabolicamente ao longo de 
segmentos inclinados ou paralelos à direção de 
“V”; 
Por uma análise semelhante, isolando-se o elemento situado no 
canto superior esquerdo (canto C), se obtêm a direção do fluxo 
de cisalhamento nessa região. 
Seguindo o mesmo raciocínio, pode-se obter a direção do fluxo 
de cisalhamento em C’ e B’, assim como em qualquer ponto da 
seção transversal. 
FLUXO DE CISALHAMENTO EM ELEMENTOS DE PAREDES FINAS 
Outros exemplos da direção do fluxo de cisalhamento estão mostrados nas figuras a 
seguir. 
- O fluxo de cisalhamento age paralelamente às paredes 
da seção transversal; 
- O sentido da direção do fluxode cisalhamento é tal que 
parece fluir pela seção transversal para dentro na aba 
superior, combinando-se e fluindo para baixo na alma, 
e então, separando-se e fluindo para fora na aba 
inferior. 
CENTRO DE CISALHAMENTO PARA SEÇÕES TRANSVERSAIS ABERTAS 
Um exemplo típico dessa situação é o caso de um elemento de seção 
transversal na forma de “U”, tal como mostra a figura a seguir: 
Uma situação particular no dimensionamento de elementos estruturais sob 
cisalhamento é quando o Esforço Cortante Interno “V” age ao longo de um eixo 
que não é um eixo de simetria da seção transversal. 
CENTRO DE CISALHAMENTO PARA SEÇÕES TRANSVERSAIS ABERTAS 
 Neste exemplo, o elemento está engastado em uma extremidade e livre na 
outra. Na extremidade livre age um esforço “P“, tal como indicado. Admite-se 
ainda, tal como anteriormente, que as paredes são finas e, sendo assim, as 
dimensões serão tomadas com relação a uma linha média das paredes da 
seção. 
Se a força “P“ for aplicada ao longo do eixo principal de inércia vertical que 
passa pelo centroide e é assimétrico, o perfil não só sofrerá uma flexão 
(curvando-se para baixo), mas também será torcido em sentido horário. 
CENTRO DE CISALHAMENTO PARA SEÇÕES TRANSVERSAIS ABERTAS 
 O motivo para essa torção pode ser entendido analisando-se a distribuição do 
fluxo de cisalhamento ao longo das abas e da alma do perfil desse exemplo. 
Tal distribuição está representada na Figura (b). 
CENTRO DE CISALHAMENTO PARA SEÇÕES TRANSVERSAIS ABERTAS 
 Quando a distribuição do fluxo é integrada ao longo das áreas da aba e da 
alma, serão geradas forças resultantes em cada aba (Faba) e uma força 
resultante na alma Falma. A força na alma é igual ao esforço cortante interno V, 
cujo valor é igual a P. 
Uma vez que as linhas de atuação das forças das abas (Faba) não passam por A, 
criam-se conjugados em torno desse ponto, sendo estes responsáveis pela 
torção do perfil. 
CENTRO DE CISALHAMENTO PARA SEÇÕES TRANSVERSAIS ABERTAS 
O valor da distância “e” deve ser determinado aplicando-se a equação de 
equilíbrio de momentos em torno do ponto “A”, localizado na alma do perfil. 
Assim tem-se: 
 A alternativa usada para impedir a ocorrência dessa torção é alterar o ponto de 
aplicação da força P. 
Ao invés de aplicar a força P ao longo do eixo que passa por C, ela deve ser 
aplicada em um ponto O, que fica a uma distância “e” da alma do perfil. 
∑ == ePdFM abaA .2..2 P
dFe aba .=
CENTRO DE CISALHAMENTO PARA SEÇÕES TRANSVERSAIS ABERTAS 
O ponto “O” localizado por meio da equação de “e” é denominado de Centro 
de Cisalhamento ou Centro de Flexão. 
Aplicando-se a carga P no Centro de Cisalhamento, garante-se que a viga 
estará submetida apenas à flexão, sem torção. 
Para vigas com seções transversais de paredes finas comumente utilizadas na 
prática é possível encontrar expressões tabeladas para a determinação do 
centro de cisalhamento. 
P
dFe aba .=
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