Buscar

Algebra da Demanda

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 19 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 6, do total de 19 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 9, do total de 19 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Santa Catarina
From the SelectedWorks of Sergio Da Silva
2010
Demanda
Sergio Da Silva
Available at: http://works.bepress.com/sergiodasilva/135/
 
Demanda Hal R. Varian 
 Intermediate Microeconomics, 8th edition 
 Capítulo 6 
 
A maximização da utilidade, levando em conta a restrição orçamentária, leva à escolha ótima. 
Esta depende, portanto, da renda do consumidor e dos preços. Quando a renda e os preços dos 
bens se alteram, a escolha ótima também deverá se alterar. As funções demanda do 
consumidor expressam as quantidades ótimas de cada bem em função dessas possíveis 
alterações da renda e dos preços: 
 
 1 1 1 2( , , )x x p p m= 
 
 2 2 1 2( , , )x x p p m= . 
 
Podemos prosseguir com análises de “estática comparativa”, onde “comparativa” significa 
que comparamos as situações de antes e de depois das mudanças ocorridas na renda e nos 
preços. “Estática” significa que desconsideramos o que ocorre entre o equilíbrio inicial e o 
final. 
 
Bens normais e inferiores 
 
Quando a renda aumenta, a reta orçamentária desloca-se para cima. E desloca-se 
paralelamente, porque os preços não variam. Na Figura 1, vemos que isto provoca um 
aumento da quantidade demandada. Se o bem 1 se encaixar nesse caso, ele será um “bem 
normal” e 
*
1 0xm
∆
∆ > . 
 
 Porém, se o bem 1 for um produto de baixa qualidade ou um bem para o qual há 
alternativas tecnologicamente melhores, pode ocorrer que 
*
1 0xm
∆
∆ < . Nesse caso, ele será um 
“bem inferior” (Figura 2). 
 
Curva renda-consumo e curva de Engel 
 
Unindo os pontos de escolha ótima da Figura 1 obtemos o caminho de expansão da renda ou 
curva renda-consumo. Se tanto o bem 1 como o bem 2 forem normais, a curva renda-consumo 
terá inclinação positiva (Figura 3). 
 
Para o bem 1, plotando as escolhas ótimas para diferentes níveis de renda, obtemos a curva de 
Engel (Figura 4). 
 Como exemplo, para bens substitutos perfeitos, se 1 2p p< o consumidor consumirá 
apenas o bem 1, como vimos no Capítulo 5. No ótimo de fronteira, quando a renda aumenta, o 
consumo ótimo do bem 1 aumenta. Logo, a curva renda-consumo ficará sobre o eixo 
horizontal (Figura 5). Além disso, como na escolha ótima 
1
*
1
m
px = , temos que *1 1m p x= . A 
curva de Engel será então a linha reta que passa pela origem e possui inclinação 1p (Figura 
6). 
 
 
 Para o caso de bens complementares perfeitos, como na escolha ótima 
1 2
*
1
m
p px += , 
então *1 2 1( )m p p x= + . A curva renda-consumo será a diagonal que passa pela origem, porque 
* *
1 2x x= (Figura 7). Já a curva de Engel será a reta que passa pela origem de inclinação 
1 2p p+ (Figura 8). 
 
 
 Para o caso de preferências Cobb-Douglas: 
 
 1 2 1 2( , )
c du x x x x= , 
 
a escolha ótima do bem 1 será, como vimos, 
 
 *1
1
c mx
c d p
= + . 
 
Sendo c a= e 1d a= − , 
 
 11 2 1 2( , )
a au x x x x −= 
 
e 
 
 *1
1(1 )
a mx
a a p
= + − 
 
 *1
1
amx
p
= . 
 
Dado 1p , a demanda pelo bem 1 será função linear de m . 
 
 A demanda pelo bem 2 será: 
 
 *2
2
d mx
c d p
= + 
 
ou 
 
 *2
2
1
(1 )
a mx
a a p
−= + − 
 
 *2
2
(1 )a mx
p
−= , 
 
que é também função linear da renda. Isso implica que a curva renda-consumo é a reta que 
passa pela origem (Figura 9). Como 
 
 *2 21
pm x
a
= − , 
 
substituindo no m de *1x : 
 
 * *21 2
11
pax x
a p
= − . 
 
Para qualquer m , dados os preços 1p e 2p , 
*
1x será função linear de 
*
2x ; se 
*
2 0x = , logo 
*
1 0x = e a reta passará pela origem. 
 
 Para o bem 1, como 
 
 *1 1
pm x
a
= , 
 
a curva de Engel será a reta de inclinação 1pa (Figura 10). 
Preferências homotéticas 
 
As preferências para substitutos perfeitos, complementares perfeitos e Cobb-Douglas são 
homotéticas. Neste caso, as curvas renda-consumo e de Engel serão linhas retas que passam 
pela origem. Além disso, se a renda aumentar ou diminuir no montante 0t > , a cesta 
demandada aumentará ou diminuirá na mesma proporção. 
Preferências quase-lineares 
 
Preferências quase-lineares são representadas por curvas de indiferença que são versões 
deslocadas verticalmente de uma inicial (Figura 11). 
 Sua função utilidade é dada por: 
 
 1 2 1 2( , ) ( )u x x v x x= + . 
 
No equilíbrio * *1 2( , )x x , se aumentarmos a renda em m k= chegaremos ao novo equilíbrio em 
que * *1 2( , )x x k+ . O aumento da renda não alterará o consumo de equilíbrio inicial do bem 1: 
apenas aumentará o consumo do bem 2. 
 
 
 Para o bem 1, a curva de Engel fica vertical depois do equilíbrio inicial (Figura 12). Se 
m variar, *1x permanecerá constante. Como exemplo, se o bem 1 for lápis e o bem 2 for 
“dinheiro”, que pode ser usado para gastar com os outros bens, de início podemos gastar a 
renda apenas em lápis; mas isto deixará de acontecer em seguida. 
 
 
 
 
Bens de Giffen 
 
Se 1p diminuir e 2p e m ficarem constantes, 1x aumentará, no caso de bens comuns. Na 
Figura 13, 1p se reduzirá e a reta orçamentária rotará para a direita, ficando menos inclinada. 
 
 
 Porém, para os bens de Giffen, mesmo que as preferências sejam bem comportadas, se 
1p diminuir e 2p e m ficarem constantes, 1x diminuirá (Figura 14). 
 Sendo mingau o bem 1, digamos que seu consumo ótimo seja *1 7x = tigelas. Sendo 
leite o bem 2, o seu consumo ótimo é *2 7x = copos. Caso 1p se reduza, o consumidor poderá 
consumir as mesmas 7 tigelas e ainda ficar com dinheiro sobrando. Com o dinheiro que 
sobrou, ele poderá aumentar o consumo de leite e até mesmo reduzir o de mingau. Embora 
improvável, isto será possível. 
 
Curva preço-consumo e curva de demanda 
 
Com 2p e m fixos, se 1p cair, a reta orçamentária girará para a direita: unindo os pontos de 
escolha ótima encontraremos a curva preço-consumo, que mostra as cestas demandadas a 
diversos preços do bem 1 (Figura 15). A curva de demanda apresenta esta mesma informação. 
Ela é o gráfico da função demanda 1 1 2( , , )x p p m , onde 2p e m estão fixos. No exemplo da 
Figura 15, inicialmente *1 2x = e 1 40p = . Se 1 20p ↓= , *1 4x = . Se 1 10p ↓= , *1 6x = . 
 Para a maioria dos bens (bens comuns), quando 1p se reduz, 1x aumenta e, portanto, a 
curva de demanda apresenta inclinação negativa. Em termos de taxas de variação: 
 
 1
1
0x
p
∆ <∆ . 
 
Porém, para os bens de Giffen, como 1 1p x↓→ ↓ , a curva de demanda apresenta inclinação 
positiva. 
Exemplos de curvas de demanda 
 
Para bens substitutos perfeitos, como vimos no Capítulo 5: 
 
 
1
1 2
1 1 2
1 2
0, se p
qualquer número sobre a reta orçamentária, se p
, se pmp
p
x p
p
 >= = <
 
 
 Na Figura 16, dado 2 5p = , se 1 2 5p p> = (por exemplo, 1 10p = ), na cesta ótima, 
*
1 0x = . Se 1 2 5p p= = , todos os pontos sobre a reta orçamentária contêm cestas ótimas. Se 
1 2 5p p< = (por exemplo, 1 2p = ), então *1
1
mx
p
= . 
 Para bens complementares perfeitos, como vimos no Capítulo 5, 
 
 1
1 2
mx
p p
= + 
 
e a curva preço-consumo será uma diagonal (Figura 17), porque, a qualquer preço, o 
consumidor demandará a mesma quantidade dos dois bens. 
 
 Para bens discretos, sendo o bem 1 discreto, 1r seu preço de reserva e o consumidor 
for indiferente entre consumir ou não o bem, se 1p for alto de modo que 1 1p r> , o 
consumidor não irá querer consumir o bem; e se 1p for baixo de modo que 1 1p r< , o 
consumidor irá querer apenas umaunidade do bem. 
 
 Na Figura 18, inicialmente a reta orçamentária passa por dois pontos com consumo 
ótimo *1 0x = ou *1 1x = , onde 1 1p r= . Se 1 2p r↓= , a reta orçamentária girará e agora passará 
pelos outros dois pontos com consumo ótimo *1 1x = ou *1 2x = . A “curva” de demanda será 
descrita pela sequência de quedas desses preços de reserva, quando 1x aumenta em mais outra 
unidade. 
 Observe que agora 1r satisfaz a equação 
 
 1 2 1( , ) (0, ) (1, )u x x u m u m r= = − (1) 
 
e que 2r satisfaz a 
 
 2 2(1, ) (2, 2 )u m r u m r− = − , (2) 
 
onde 2(1, )u m r− é a utilidade de se consumir uma unidade do bem discreto ao preço 2r , e 
2(2, 2 )u m r− é a utilidade de se consumir duas unidades do bem discreto, cada uma ao preço 
2r . 
 
 Para calibrar, podemos supor que a utilidade é quase-linear: 
 
 1 2 1 2( , ) ( )u x x v x x= + , 
 
sendo (0) 0v = . Nesta forma funcional, os preços de reserva não dependerão da quantidade do 
bem 2 possuída pelo consumidor (no caso, dada por m ). Assim, (1) fica sendo 
 
 1(0) (1)v m v m r+ = + − 
 1(1)m v m r= + − 
 
 1 (1)r v= . (3) 
 
 Analogamente, (2) fica sendo 
 
 2 2(1) (2) 2v m r v m r+ − = + − 
 
 2 22 (2) (1)r r v v− = − 
 
2 (2) (1)r v v= − . (4) 
 
Podemos, então, inferir que o preço de reserva da terceira unidade será: 
 
 3 (3) (2)r v v= − , (5) 
 
e assim por diante. O preço de reserva irá medir o aumento de utilidade necessário para 
induzir o consumidor a escolher mais outra unidade do bem discreto. Os preços de reserva 
medem então as utilidades marginais do consumo adicional do bem discreto. Como a 
utilidade marginal é decrescente: 
 
 1 2 3...r r r> > 
 
Dado um preço qualquer p , a questão é saber onde ele se situará na lista dos preços de 
reserva. Se, por exemplo, p estiver entre 6r e 7r , sendo 6 7r r> , isto significa que o 
consumidor estará disposto a abrir mão de p unidades monetárias para obter 6 unidades do 
bem discreto (bem 1), pois 6p r< . Isto também significa que ele não estará disposto a abrir 
mão de p unidades monetárias para obter a sétima unidade do bem 1, pois 7p r> . 
 Se o consumidor demandar 6 unidades do bem 1, isto gerará mais (ou a mesma) 
utilidade que 5 unidades. Então (veja (2)): 
 
 1 2( , ) (6, 6 ) (5, 5 )u x x u m p u m p= − ≥ − . 
 
Na forma quase-linear 
 
 1 2 1 2( , ) ( )u x x v x x= + , 
 
temos: 
 
 (6) 6 (5) 5v m p v m p+ − ≥ + − 
 
 (6) (5) 6 5v v p p− ≥ − 
 
 (6) (5)v v p− ≥ . 
 
Por (5): 
 
 6 (6) (5)r v v= − . 
 
Substituindo, temos: 
 
 6r p≥ . 
 
 Por outro lado, se o consumidor demandar 6 unidades do bem 1, isto gerará mais (ou a 
mesma) utilidade que 7 unidades: 
 
 (6, 6 ) (7, 7 )u m p u m p− ≥ − . 
 
Para a utilidade quase-linear: 
 
 (6) 6 (7) 7v m p v m p+ − ≥ + − 
 
 (7) (6) 7 6v v p p− ≤ − 
 
 (7) (6)v v p− ≤ 
 
 7r p≤ . 
 
Portanto, 
 
 7 6r p r≤ ≤ . 
Bens substitutos e complementares imperfeitos 
 
Lápis vermelhos e lápis azul são substitutos perfeitos para o consumidor que não se importa 
com cor. Lápis e caneta são substitutos – pode-se escrever com eles – mas somente até certo 
ponto. Não se pode, por exemplo, assinar documentos com lápis. 
 Sapato e meia são bens complementares imperfeitos: são consumidos em conjunto, 
embora não necessariamente. 
 Já que a função demanda 
 
 1 1 2( , , )x p p m 
 
depende dos dois preços, além da renda, se 1x ↑ quando 2p ↑ , o bem 1 será substituto do 
bem 2. Se o bem 2 ficar mais caro, o consumidor o substituirá pelo bem 1. Em termos de 
taxas de variação, para bens substitutos brutos, 
 
 1
2
0x
p
∆ >∆ . 
 
Se 1x ↓ quando 2p ↑ , o bem 1 será complementar ao bem 2. Se café ficar mais caro, isto 
pode reduzir o consumo de açúcar. Então, para bens complementares brutos, 
 
 1
2
0x
p
∆ <∆ . 
Função demanda inversa 
 
Para a curva de demanda de inclinação negativa podemos obter a função demanda inversa, 
onde agora é preço que é função da quantidade. O gráfico é similar ao da função demanda 
direta (Figura 19). Mudamos apenas o ponto de vista: para cada nível de demanda do bem 1, a 
função demanda inversa informa qual deverá ser o preço para que o consumidor escolha esse 
nível de consumo. 
 Considerando a função demanda (direta) Cobb-Douglas 
 
 1
1
amx
p
= , 
 
a função demanda inversa será, apenas, 
 
 1
1
amp
x
= . 
 
Vimos que, na escolha ótima interior, 
 
 1
2
TMS p
p
= 
 
ou 
 
 1 2 TMSp p= ⋅ . 
 
 Portanto, no ótimo, o preço do bem 1 será proporcional à TMS entre o bem 1 e o bem 
2. Para 2 1p = , 
 
 1 TMSp = . 
 
Neste caso, o preço do bem 1 medirá em quanto o consumidor está disposto a abrir mão de 
quantidades do bem 2 para obter mais do bem 1 (custo de oportunidade). Se o bem 2 for a 
quantidade de dinheiro a ser gasta em todos os outros bens, a TMS passa a ser a quantidade de 
dinheiro que o consumidor quer oferecer para consumir mais do bem 1: a TMS torna-se a 
propensão marginal a pagar. Como 1 TMSp = , então 1p passa a medir a propensão marginal 
a pagar. 
 No caso de preferências quase-lineares, estas apresentam curvas de indiferenças 
exatamente similares que podem ser representadas pela função utilidade 
 
 1 2 1 2( , ) ( )u x x v x x= + . 
 
A restrição orçamentária 
 
 1 1 2 2p x p x m+ = 
 
pode ser escrita como 
 
 2 2 1 1p x m p x= − 
 
 1 12
2
m p xx
p
−= 
 
e substituída na função utilidade para maximizá-la: 
 
 
1 2
1 2,
max ( )
x x
v x x+ 
 
 
1
1
1 1
2 2
max ( )
x
pmv x x
p p
+ − 
 
 11
1 2
( ) 0pu v x
x p
∂ ′= − =∂ 
 
* 1
1
2
( ) pv x
p
′ = . 
 
Logo, a demanda quase-linear pelo bem 1 independe da renda ( m ), desde que 0m ≠ . 
 A demanda inversa pode ser escrita como: 
 
 *1 2 1( )p p v x′= . 
 
Para a forma funcional específica de 1( )v x dada por 
 
1 2 1 2( , ) lnu x x x x= + 
 
podemos encontrar a função demanda direta pelo bem 1 como: 
 
1
1
1 1
2 2
max ln
x
pmx x
p p
+ − 
 
1
1 2
1 0p
x p
− = 
 
1
1 2
1 p
x p
= 
 
* 2
1
1
px
p
= . 
 
Logo, a função demanda inversa será: 
 
 21 *
1
pp
x
= . 
 
A função demanda direta do bem 2 pode agora ser encontrada substituindo 1x de volta na 
restrição orçamentária: 
 
 12 1
2 2
pmx x
p p
= − 
 
 1 22
2 2 1
p pmx
p p p
= − 
 
 *2
2
1mx
p
= − . 
 
Assim, a demanda pelo bem 2 passa a depender da renda m . Se 
2
*
2 21 0mpm p x< → < → < , o 
que é impossível. Logo, a solução acima não se define para 2m p< . Na prática, *2 0x = , já que 
não pode ser negativo. Em suma, 
 
 
2
*
2
2
2
0, se 
1, se 
m p
x m m p
p
≤=  − >
 
 
© Sergio Da Silva 2010 
 sergiodasilva.com 
	Universidade Federal de Santa Catarina
	From the SelectedWorks of Sergio Da Silva
	2010
	Demanda
	Microsoft Word - Demanda

Outros materiais

Materiais relacionados

Perguntas relacionadas

Materiais recentes

Perguntas Recentes