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Aula 07 Círculo de Mohr e critérios

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30/04/2012 
1 
1 
Controle de Obras 
Mecânica dos solos 
Prof. Ilço Ribeiro Jr 
• Diagrama de Mohr 
• Critérios de ruptura 
2 Prof. Ilço Ribeiro Jr 
Forças em um ponto: 
- peso próprio 
- forças externas 
Várias forças agindo na massa do solo: 
Considerações Preliminares: 
30/04/2012 
2 
3 Prof. Ilço Ribeiro Jr 
Tensões no solo 
•Em qualquer ponto da massa do solo existem três 
planos ortogonais onde as tensões cisalhantes são 
nulas. Estes planos são chamados “planos 
principais de tensões”. Portanto, as tensões normais 
recebem o nome de tensões principais, onde a 
maior das tensões atuantes é chamada tensão 
principal maior (σ1), a menor é chamada tensão 
principal menor (σ3), e a terceira é chamada tensão 
principal intermediária (σ2). 
4 Prof. Ilço Ribeiro Jr 
•Em Mecânica dos Solos, normalmente, despreza-se a 
tensão principal intermediária (σ2). 
•Supondo k0 < 1, temos: 
- σv’0 = γ . z = σ1 (tensão principal maior) 
- σh’0 = k0 . σ’v0 = σ3 (tensão principal menor) 
30/04/2012 
3 
5 Prof. Ilço Ribeiro Jr 
•A maior parte dos problemas de Mecânica dos Solos 
permitem soluções considerando um estado de tensões no 
plano, isto é, trabalha-se com um estado plano de tensões ou 
estado duplo de tensões, que contêm as tensões principais 
σ1 e σ3. 
 
•Conhecida a magnitude e direção de σ1 e σ3 é possível 
encontrar as tensões normal e cisalhante em qualquer outra 
direção, conforme a seguir: 
Estado Plano de tensões 
6 Prof. Ilço Ribeiro Jr 
Estado Plano de tensões 
30/04/2012 
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7 Prof. Ilço Ribeiro Jr 
Estado Plano de tensões 
8 Prof. Ilço Ribeiro Jr 
Estado Plano de tensões 
30/04/2012 
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9 Prof. Ilço Ribeiro Jr 
Círculo de Mohr 
•O estado de tensões em todos os planos passando por um 
ponto podem ser representados graficamente em um 
sistema de coordenadas em que as abcissas são as tensões 
normais (σ) e as ordenadas são as tensões de cisalhamento 
(τ). 
 
•O círculo de Mohr tem seu centro no eixo das abcissas. 
Desta forma, ele pode ser construído quando se 
conhecerem as duas tensões principais, ou as tensões 
normais e de cisalhamento em dois planos quaisquer. 
10 Prof. Ilço Ribeiro Jr 
Círculo de Mohr 
•O estado de tensões em todos os planos passando por um 
ponto podem ser representados graficamente em um 
sistema de coordenadas em que as abcissas são as tensões 
normais (σ) e as ordenadas são as tensões de cisalhamento 
(τ). 
 
•O círculo de Mohr tem seu centro no eixo das abcissas. 
Desta forma, ele pode ser construído quando se 
conhecerem as duas tensões principais, ou as tensões 
normais e de cisalhamento em dois planos quaisquer. 
30/04/2012 
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11 Prof. Ilço Ribeiro Jr 
•Conhecendo-se σ1 e σ3 traça-se o círculo de Mohr. A 
inclinação (α) do plano principal maior (PPM), 
permite determinar o ponto P (pólo), traçando-se por 
σ1 uma reta com esta inclinação. 
•Procedimento idêntico pode ser utilizado traçando-se 
por σ3 uma paralela ao plano principal menor (ppm). 
•Qualquer linha reta traçado através do pólo ou origem 
dos planos (ponto P) intersecionará o circulo em um 
ponto que representa as tensões sobre um plano 
inclinado de mesma direção desta linha. 
Círculo de Mohr 
12 Prof. Ilço Ribeiro Jr 
Círculo de Mohr 
30/04/2012 
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13 Prof. Ilço Ribeiro Jr 
Círculo de Mohr 
14 Prof. Ilço Ribeiro Jr 
A resultante de “τ” e “σ” no plano bb é: 
 
e tem uma obliquicidade “θ” igual a tg θ = τ / σ. 
Círculo de Mohr 
30/04/2012 
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15 Prof. Ilço Ribeiro Jr 
Tensões Totais, Efetivas e Neutras 
O principio básico introduzido por Terzaghi que em solos 
saturados a tensão efetiva é igual a 
diferença entre a tensão total e a tensão neutra : 
σ' = σ - u . 
16 Prof. Ilço Ribeiro Jr 
As tensões de cisalhamento em qualquer plano são 
independentes da poro-pressão, pois a água não transmite 
esforços de cisalhamento. 
As tensões de cisalhamento são devidas somente à 
diferença entre as tensões normais principais e esta 
diferença é a mesma, tanto quanto se consideram as 
tensões efetivas como as tensões totais, como se verifica 
pela fórmula proposta por Terzaghi. 
Tensões Totais, Efetivas e Neutras 
Os círculos de Mohr para os dois tipos de tensão tem, 
portanto, o mesmo diâmetro. 
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17 Prof. Ilço Ribeiro Jr 
Tensões Totais, Efetivas e Neutras 
O círculo de tensões efetivas se situa deslocado para a esquerda em 
relação ao círculo de tensões totais de um valor igual à tensão neutra 
(u). Tal fato é decorrente da tensão neutra atuar hidrostaticamente 
(igual em todas as direções), reduzindo as tensões normais totais em 
todos os planos de igual valor. No caso de tensões neutras negativas, 
o deslocamento do círculo é para a direita. 
18 Prof. Ilço Ribeiro Jr

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