3ı Prova de Matemıtica I 2016 1 GABARITO

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Universidade Federal do Espírito Santo 
3ª Prova de Matemática I – MAT06013 – Prof. Antônio Luíz Rosa 
GABARITO Data: 05/07/2016. 
 
1. Obtenha a derivada de cada função a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
(a) . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) 
 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(d) 
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. A função custo mensal de fabricação de um produto é 
 
 
 
 
e o preço de venda é . Qual a quantidade que deve ser produzida e vendida 
mensalmente para dar o máximo lucro? 
 
2 
 
Solução: Temos 
 
 
 e . 
Sabemos que a função receita é dada por: . 
Logo, a função lucro é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
Daí, . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 + 
 
 - 1 3 - 
 
Desta forma, fazendo a leitura da figura acima concluímos que: 
 é decrescente em e em , 
 é crescente em . 
Disto, segue que: 
 é um ponto de mínimo, 
 é ponto de máximo. 
Resposta: a quantidade que deve ser produzida e vendida mensalmente para dar o 
máximo lucro é de unidades. 
 
3. Um monopolista (único produtor de determinado produto) tem uma função 
custo mensal dada por . A função de demanda mensal pelo 
produto é . Qual preço deve ser cobrado para maximizar o 
lucro, sabendo-se que: 
a) a capacidade máxima de produção é unidades por mês. 
b) a capacidade máxima de produção é unidades por mês. 
 
Solução: Temos e . 
Sabemos que a função receita é dada por: . 
Logo, a função lucro é: 
 
 
Logo, 
 
Daí, . 
 
 
 + 
 
 3300 - 
 
Como para todo , a concavidade da função é para baixo. Como 
 , podemos então afirmar que é ponto de máximo da função lucro 
 . 
3 
 
a) Se a capacidade máxima de produção é unidades por mês, teremos: 
 
b) Se a capacidade máxima de produção é unidades por mês, teremos: 
 
 
4. Obtenha os intervalos de crescimento e decrescimento da função 
 . Determine os eventuais pontos de máximo e de mínimo. 
 
Solução: Temos . 
Logo, 
 
Daí, 
 
 
 
 
 
 
 + + 
 1 - 3 
 
 
Desta forma, fazendo a leitura da figura acima concluímos que: 
 é crescente em e em , 
 é decrescente em . 
Disto, segue que: 
 é ponto de máximo. 
 é um ponto de mínimo. 
 
5. Obtenha os intervalos em que a função é côncava para cima 
ou côncava para baixo, indicando seus pontos de inflexão. 
 
Solução: Temos . 
Logo, 
 
Daí, 
 
 
 
Sinais da : 
 
 + + 
 - 
 
 
Sabemos que: concavidade voltada para baixo; , concavidade 
voltada para cima. 
Desta forma, fazendo a leitura da figura acima concluímos que: 
 em e em , 
 em . 
Disto, segue que: 
 é côncava para cima em e em . 
 é côncava para baixo em . 
Conclusão: e são pontos de inflexão pois neles a concavidade da 
função muda.