Prova Complexos

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UFBA - Departamento de Matema´tica
Prova 1 - MATA06: Ca´lculo E
Professor: Henrique Barbosa da Costa
Nome:
Matr´ıcula
Data: 09/06/2017
Questa˜o Nota Valor
1 2,5
2 2,5
3 2,5
4 2,5
Total 10,0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• Respostas sem justificativas na˜o sera˜o consideradas.
• Leia atentamente todas as questo˜es antes de comec¸ar a prova.
Boa prova!
Questa˜o 1 Expresse os nu´meros complexos na forma alge´brica, isto e´, z = x+ iy.
(a)
1 + i
1− i ;
(b)
1
1 + i
;
(c)
i
i− 1
i
;
(d)
(
1 +
3
i+ 1
)2
.
Questa˜o 2 Mostre as identidades:
(a) (−1 + i)7 = −8(1 + i);
(b) (1 + i
√
3)−10 = 2−11(−1 + i
√
3).
Questa˜o 3 Represente geometricamente cada um dos subconjuntos do plano complexo. Classifique-
os em abertos, fechados, limitados e conexos.
(a) {z ∈ C; z3 = −64};
(b) {z ∈ C; |z − 2i| < 2};
(c) {z ∈ C; |Arg(z)| ≤ pi/4};
(d) {z ∈ C; Re(z2) < 0}.
Questa˜o 4 Considere uma func¸a˜o f : C→ C deriva´vel em z0. Sabemos que podemos escrever
f nas componentes reais e imagina´rias u(x, y) e v(x, y), se z = x + iy, da forma f(z) =
u(x, y) + iv(x, y), com u, v : R2 → R. Lembremos das definic¸o˜es de derivadas parciais para
func¸o˜es de R2 em R, isto e´,
∂u
∂x
(x0, y0) = lim
∆x→0
u(x0 + ∆x, y0)− u(x0, y0)
∆x
∂u
∂y
(x0, y0) = lim
∆y→0
u(x0, y0 + ∆y)− u(x0, y0)
∆y
(a) Defina f ser diferencia´vel no ponto z0 ∈ C.
(b) Mostre que se f e´ diferencia´vel em z0, enta˜o valem as igualdades:
∂u
∂x
(x0, y0) =
∂v
∂y
(x0, y0) e − ∂u
∂y
(x0, y0) =
∂v
∂x
(x0, y0).
(c) Utilize os itens anteriores para mostrar que a func¸a˜o f(z) = z na˜o e´ diferencia´vel para
nenhum z ∈ C.