Vetores Fisica Geral

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FÍSICA GERAL
VETORES
A FÍSICA LIDA COM UM GRANDE NÚMERO DE
GRANDEZAS QUE POSSUEM AMPLITUDE E
ORIENTAÇÃO, E PARA ISSO PRECISA DE UMA
LINGUAGEM MATEMÁTICA ESPECIAL, A LINGUGEM
DOS VETORES PARA DESCREVER ESSAS GRANDEZAS.
ESSA LINGUAGEM É BASTANTE UTILIZADAEM
OUTRAS ÁREAS COMO ANÁLISE ESPORTIVAS
ENGENHARIA, ODONTOLOGIA,
Esportes
LOCALIZAÇÃO
ONDE FICA O BANCO 
24H MAIS PRÓXIMO?SIGA POR ESTA RUA, 
ENTRE A SEGUNDA À 
DIREITA E DEPOIS A 
PRIMEIRA A ESQUERDA
Odontologia
Odontologia
Odontologia
Engenharia 
Engenharia
Engenharia
Padrão de corrente durante a preamar na maré de
sizígia durante o verão (http://principo.org/modelagem-
de-pluma-de-emissrios-com-t.html?page=12)
Estudo de Fenômenos Climáticos
Ortopedia 
GRANDEZAS FÍSICAS
Podemos dizer de modo mais usual que grandeza é
tudo aquilo que pode variar quantitativamente.Deste
modo, grandezas físicas são as que podem ser
medidas.
São divididas em dois grupos:
-Escalares
-Vetoriais.
Grandeza vetorial- é uma grandeza que possui
módulo e orientação e pode ser representado por um
vetor.
Exemplo: velocidade, aceleração, força.
Escalares- são grandezas que não possuem
orientação. Exemplo: temperatura, pressão, massa,
energia,...
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UM VETOR
 Para representar graficamente um vetor usamos um
segmento de reta orientado.
 O módulo do vetor, representa numericamente o
comprimento de sua seta.
 O vetor acima tem módulo igual a 3 u, que é igual a
distância entre os pontos A e B.
 Para indicar vetores usamos as seguintes notações:
V AB
onde: A é a origem e B é a extremidade
PRINCIPAIS CARACTERÍSTICAS DE UM VETOR
 Módulo: comprimento do segmento (através de uma 
escala pré-estabelecida).
O módulo de um vetor é indicado utilizando-se duas 
barras verticais.
|a| (Lê-se: módulo de a)
 Direção: reta que contém o segmento
 Sentido: orientação do segmento
VETOR OPOSTO
Um Vetor é o oposto de outro, quando tiver o mesmo
módulo, mesma direção e sentido contrário.
PRODUTO DE UM NÚMERO POR UM VETOR
O produto de um número por um vetor é
um vetor que possui módulo a vezes o módulo de
V e seu sentido será:
-Mesmo de V se a > 0
-Contrário ao de V se a < 0
VaR

.
Obs: Um escalar poderá modificar o
módulo e/ou o sentido de um vetor,
nunca sua direção.
Adição de vetores 
-Determinação do vetor soma, ou vetor resultante a
partir de dois ou mais vetores.
-Pode ser efetuada através do método gráfico e do
método analítico.
Soma de vetores: Método Gráfico
Podemos representar o
deslocamento global (qualquer que
seja a trajetória seguida pela
partícula) como a soma de dois
vetores deslocamentos sucessivos,
AB e BC, por exemplo.
O efeito resultante dos dois deslocamentos
corresponde a um deslocamento de A para C.
Ou seja, AC é a soma vetorial dos vetores AB e AC.
Para identificar o vetor:
- Usamos letras em negrito como:
a, b , c.
- Desenhamos a seta em cima do
símbolo(principalmente se está
escrevendo à mão), como:
.
Podemos representar a relação entre os vetores da 
figura acima por meio da equação:
s=a+b
Ou seja, usamos a Regra do polígono: Ligam-se
os vetores origem com extremidade. O vetor
soma ( ) é o que tem origem na origem do 1º
vetor e extremidade na extremidade do último
vetor.
.
Propriedades da adição
Propriedade Comutativa
a+b=b+a
Propriedade Associativa
(a+b) + c= a+(b+c)
O vetor –b é um vetor de mesmo módulo e mesma
direção que b, mas com o sentido oposto (como
visto antes)
Obs: Somar –b, é o mesmo que subtrair b. 
• d=a-b=a+(-b) (subtração)
Componentes de um vetor
Uma componente de um vetor é a projeção do vetor
em um eixo, por exemplo, ax é a componente do
vetor em relação ao eixo x, e ay é a componente
do vetor
y
x
a
ax
aY
θ
ax =acosθ
ay =asenθ
Com as componentes ax e ay podemos calcular o
módulo do vetor a e o ângulo θ, através das
seguintes equações:
Vetores Unitários
VETOR UNITÁRIO
-Módulo exatamente igual a 1;
--Aponta numa determinada direção;
--Não apresentam dimensões nem unidades;
--Única função é especificar certas direções no
espaço.
-- Os vetores unitários que apontam no sentido
positivo dos eixos dos x, y e z são chamados de
O vetor a no eixo x e y pode ser escrito da seguinte 
forma:
O vetor b no eixo x, y e z pode ser escrito da seguinte
forma:
ax , ay, bx , by ,bz são componentes escalares de a e b. axi ,
ayj, bxi , byj ,bzk são componentes vetorias de a e b.
Soma de Vetores Usando as Componentes
A soma de dois ou mais vetores usando as
componentes é feita fazendo a soma das
componentes vetoriais correspondentes.
Sejam
MULTIPLICAÇÃO DE VETORES
Existem 3 formas de multiplicação:
- Multiplicação de um vetor por um escalar
- Produto Escalar
- Produto Vetorial
Lembrando, a multiplicação de vetores NÃO é igual a 
multiplicação algébrica comum.
Multiplicação de um vetor por um escalar
Seja um vetor não nulo ( ≠ 0) e a R*, chamamos
multiplicação de um vetor por um escalar a, o
vetor = a , que satisfaz as condições:
1. | | = |a| | |
2. A direção do vetor é a mesma do vetor .
3. O sentido de será o mesmo de se a > 0,
e contrário ao de se a < 0.
Se a = 0 ou = 0, o produto a é o vetor nulo.
PRODUTO ESCALAR
Onde a e b são os módulos do vetor 
do vetor respectivamente.
Assim, o produto escalar pode ser
considerado como o produto de duas
grandezas:
1)O módulo dos vetores;
2)A Componente escalar do segundo
vetor na direção do primeiro.
Perceba, 
Quando =0, o produto escalar será máximo.
A lei comutativa é aplicável ao produto escalar. 
Quando os dois vetores são expressos em termos dos 
vetores unitário, o produto escalar assume a forma:
Lembrando que, os vetores unitários são perpendiculares
entre si(formam um ângulo de 90°) . Desta forma, o produto
escalar entre vetores unitários perpendiculares é zero.
Assim:
Desta forma,
Fica: 
0
0 0
0
0 0
Exemplo
Qual o ângulo entre os vetores e
Resolução
Lembrando que o módulo de um vetor é dado por:
Assim, para a questão temos:
Em termos de vetores unitários temos:
Assim, temos:
PRODUTO VETORIAL
O produto vetorial de dois vetores e é
representado pela expressão e produz um
terceiro vetor , cujo módulo é dado por:
Onde é o menor dos dois ângulos entre e .
A direção de é perpendicular ao 
plano que contém os vetores e
Quando os vetores e são paralelos ou antiparalelos 
o produto vetorial .
O módulo de será máximo quando e são
perpendiculares, pois o sen(90°)=1
Vetores 
paralelos
Vetores 
antiparalelos
A direção do vetor é perpendicular ao plano 
que contém os vetores e .
A direção também pode
ser determinado com o
auxílio da chamada
regra da mão direita,
como mostra as figuras
ao lado. Podemos
observar também que:
Quando os vetores são representados por meio de
vetores unitários temos:
Como
Assim,
0
0
0
0
0
0
Exercicio
Calcule o produto vetorial do problema anterior.
Assim, para o nosso problema temos: