ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE (15)

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PROBABILIDADES Disciplina de Pós-Graduação – Departamento de Matemática 
 
(Apostila #1) 
 
INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE 
 
“A Teoria de Probabilidades nada mais é que senso comum transformado em cálculo” 
Laplace 
 
Exemplos que envolvem conceitos de probabilidade: 
a) Se de acordo com alguma hipótese, a probabilidade de ocorrer determinada amostra é 
excepcionalmente pequena, concluímos em estatística clássica pela rejeição desta hipótese. 
b) Alguém poderá decidir submeter-se a uma cirurgia complicada por considerar que os 
benefícios esperados compensam os riscos envolvidos. 
 
Definições 
 
D1 : Um experimento é qualquer processo que permite fazer observações. 
(Exemplos: lançamento de um dado para observar a fase vencedora; captura de um animal para 
determinar sexo, comprimento e peso; seleção de um eleitor para indicar seu candidato nas 
próximas eleições) 
 
D2 : Um evento é uma coleção de possíveis resultados do experimento. 
 
D3 : Um evento simples é um evento que não comporta decomposição em coleções menores. 
 
D4 : O espaço amostral de um experimento é a coleção de todos os possíveis eventos simples de 
um experimento. 
 
Notação 
 Qualquer evento A é um sub-conjunto do espaço-amostral Ω que, por sua vez é a 
coleção de todos os eventos simples w. Este conjunto poderá ser finito, infinito enumerável ou 
não-enumerável. Por hora, nos restringimos aos espaços amostrais finitos . 
 
P(A) denota a probabilidade da ocorrência do evento A. 
 
 A matemática dos eventos está ligada a Teoria dos Conjuntos. Em vista disso 
estabelecemos notação simplificada para operações com conjuntos. 
Símbolo Formato em Teoria de conjuntos 
A + B União lógica de A e B normalmente simbolizado por A ∪ B 
AB Produto lógico de A e B normalmente simbolizado por A ∩ B 
~A Negação de A, também denotado por evento complementar de A 
∅ Evento logicamente impossível correspondente aso conjunto vazio. 
 
Algumas definições: 
A – B = A(~B) é a diferença lógica entre A e B 
Se AB = ∅ dizemos que A e B são eventos mutuamente excludentes (isto é, A e B não podem 
ocorrer simultaneamente) 
 
Definições de Probabilidades 
 Há 3 formas de definir probabilidades é importante destacar que a necessidade prática de 
estender o cálculo de probabilidades motivou estas extensões no conceito. 
 
1- Probabilidade “Clássica” 
 
P(A) = número de eventos simples em A . = # A . 
 número de eventos simples em Ω #Ω 
 
 Esta probabilidade é natural em jogos de azar onde os eventos simples são considerados 
equiprováveis e o espaço amostral é finito. Permite, por exemplo determinar a probabilidade de 
obter quatro cartas de copas ao retirar uma mão de pôquer (5 cartas) de um baralho completo (52 
cartas). 
 Se, no entanto, o interesse está em determinar a probabilidade de que um percevejo 
lançado ao acaso acabe com a ponta virada para cima, o procedimento acima precisa ser 
substituído pelo conceito que deriva de estudos empíricos. 
 
2- Probabilidade como Freqüência relativa 
 
P(A) = número de ocorrências de A . = n A . 
 número de repetições do experimento n 
 
 A Lei dos grandes números garante que em experimentos que podem ser descritos por 
probabilidade clássica, a razão nA/n converge para P(A) quando nÆ∞. 
 No entanto, há fenômenos relevantes que desejamos descrever probabilisticamente mas 
que não podem ser enquadrados nas definições anteriores. Tipicamente, trata-se de eventos 
únicos no tempo como, por exemplo, a probabilidade de que o Brasil vença a próxima copa do 
mundo de futebol ou de que o consumo de soja transgênica não representa riscos a saúde. Estes 
fenômenos se caracterizam por sua incerteza e necessitam de uma definição mais ampla de 
probabilidades. 
 
3 - Probabilidade como medida de incerteza 
 
P(A) = denota a plausibilidade relativa do evento A 
 
 O conceito de probabilidade como uma medida do grau de plausibilidade de um evento 
surge no processo de construção formal de uma lógica indutiva. Esta conceituação estende 
enormemente as possibilidades da utilização de probabilidades e é a definição de probabilidade 
utilizada em Estatística Bayesiana. Embora também seja denominada “probabilidade subjetiva” 
devido a propriedade de que ela sempre dependente das informações disponíveis ao sujeito que a 
especifica, ela não é, de forma alguma “arbitrária”. Há princípios de coerência e consistência bem 
determinados e que precisam ser respeitados. Além disso, pode-se mostrar que as definições 
apresentadas anteriormente são casos especiais. 
 Em termos práticos a aferição (elicitation) de uma probabilidade subjetiva pode ser feita 
com a ajuda de um experimento de calibração ( o “padrão urna”). 
 
 Independentemente da conceituação de probabilidades que se queira adotar, o importante 
para o restante desta disciplina é que as propriedades matemáticas de Cálculo de Probabilidades 
(resultantes, por exemplo da axiomatização proposta por Kolmogorov) são únicas. 
 
AS TRÊS LEIS BÁSICAS DE PROBABILIDADES 
 
 Se desejarmos utilizar P(A) como uma medida de incerteza para A é razoável balisarmos 
esta medida entre os eventos extremos: impossível (∅) e certo (Ω). 
 Sejam P(∅) = 0 e P(Ω) = 1. Então, como qualquer evento A está entre o possível e o certo 
segue a primeira lei: 
 
L1 – 0 ≤ P(A) ≤ 1 
 
 A Segunda lei se refere ao cálculo de probabilidade para a união lógica de eventos 
mutuamente excludentes. 
 
L2 – Se AB = ∅ então P(A+B) = P(A) + P(B) 
 
 Há duas conseqüências importantes e imediatas de L1 e L2: 
1) Como A + (~A) = Ω e A (~A ) = ∅ segue que P(~A) = 1 – P(A) 
2) Se A1, A2 , ..., An satisfazem AiAj = ∅ para todo par de eventos ( i ≠ j ) então 
 P ( A1 + A2 + ... + An ) = P(A1) + P(A2 ) + ...+ P(An ) 
 
 A terceira e última lei refere-se ao cálculo de probabilidades para a ocorrência simultânea 
de qualquer par de eventos. 
 
L3 – Para qualquer par de eventos A e B, tem-se P(AB) = P(A)·P(B|A) 
 
 Introduziu-se um símbolo novo, P(B|A) que representa a probabilidade de ocorrência do 
evento B condicionado à ocorrência do evento A. Abreviadamente diz-se “probabilidade de B dado 
A”. O conceito de probabilidade condicional é fundamental em inferência estatística e será 
examinado em mais detalhes posteriormente. 
 A lei L3 pode ser facilmente expandida para um conjunto finito de eventos arbitrários A1, A2 
, ..., An . (Faça isso como exercício!) 
 P(A1, A2 , ..., An) = P(A1). P(A2|A1). P(A3|A1 A2).... P(An|A1 A2...An-1) 
 
 As demais propriedades associadas ao cálculo de probabilidades podem ser deduzidas 
dessas três leis básicas. Por exemplo, a extensão de L2 para dois eventos quaisquer será: 
 P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) 
 
Para demonstrar isso basta notar que: 
a) A + B = (A – B) + AB + (B – A ) 
b) A = (A – B) + AB 
c) B = (B – A) + AB 
(faça como exercício) 
 
EXEMPLO 1: Considere o experimento que consiste no lançamento simultâneo de duas moedas 
honestas e individualmente identificáveis. Estamos interessados em medir a probabilidade do 
evento A : “ aparecimento de ao menos uma cara” 
 
Se c denota o evento “cara” e k o evento “coroa” então temos: 
Ω = { (c,c); (c,k); (k,c); (k,k)} 
A = { (c,c); (c,k); (k,c) } 
Pela definição clássica tem-se P(A) = ¾ pois trata-se de um espaço amostral equiprovável. 
 
 
 
Diagrama de árvore do experimento: Ω Prob 
 ½ c cc ¼ 
 ½ 
 
C 
k 
ck ¼ 
 
½ 
K c kc ¼ 
 ½ k kk ¼ 
 
EXEMPLO 2: Ana , Beatriz e Clarisse disputam a rodada final de um torneio de tênis. Seja P(a),P(b) e P(c) as probabilidades de que Ana, Beatriz ou Clarisse vença uma partida, respectivamente. 
Sem perda de generalidade, vamos admitir que entre elas não há favoritas; isto é, todas as 
probabilidades de vitória em uma partida são de ½. O torneio declara vencedora a primeira tenista 
que vencer 2 partidas. 
Definem-se os seguintes eventos: 
A - Ana vence o campeonato 
B - Beatriz vence o campeonato 
C - Clarisse vence o campeonato 
D – A rodada final terá exatamente 3 partidas 
E – A rodada final terá no máximo três partidas 
 Calcule as probabilidades desses eventos e também a condicional P(E|A). 
Diagrama de árvore (notar que não se trata mais de um espaço amostral equiprovável!) 
 Ω Prob 
 a a aa 1/4 
 b b acba 1/16 
 c c acbb 1/16 
a acc 1/8 
 b bb 1/4 
 b a bcaa 1/16 
 a b bcab 1/16 
 c c bcc 1/8 
 
DOIS TEOREMAS IMPORTANTES 
 
T1 ( Teorema da probabilidade total ) Se E1, E2 , ..., En são eventos exclusivos (satisfazem EiEj = 
∅ pra todo i ≠ j ) e exaustivos ( E1 + E2 + ... + En = Ω) , então a probabilidade de qualquer evento A 
pode ser calculada como segue 
 
 P(A) = ∑P 
=
n
i
EiPEiA
1
)().|(
(Para provar o teorema basta notar que A = AE1 + AE2 + ... + AEn e que se trata da união de 
eventos mutuamente excludentes) 
 
EXEMPLO 3.a. : Há 3 urnas que contém bolas identicas em forma e tamanho nas cores azul (A) e 
vermelha (V), nas quantidades indicadas na tabela. Um experimento consiste no sorteio de uma 
urna com probabilidades 1/4, 2/3 e 1/12, respectivamente e a retirada ao acaso de uma bola dessa 
urna. Qual a probabilidade do evento A: “a bola sorteada é azul” ? 
Urna 1 (U1) Urna 2 (U2) Urna 3 (U3) 
A V A V A V 
4 2 9 9 3 0 
Resolução : aplicação direta de T1 
 
T2 : (teorema da Bayes) Sejam A e B eventos quaisquer e P(B) > 0, então: 
 P(A|B) = 
)(
)().|(
BP
APABP
 
A prova é imediata a partir de L3. 
 
EXEMPLO 3.b. Sabendo que a bola selecionada é azul. Qual a probabilidade de que ela saiu da 
Urna número 1. Ou seja: P(U1|A) = ? 
Resolução: aplicação direta de T2 
 
 
D5 : Dois eventos quaisquer A e B são (probabilisticamente) independentes se P(A|B) = P(A) . (e 
conseqüentemente P(B|A) = P(B)) 
 
EXEMPLO 4 Verificar se os seguintes eventos são independentes: 
a) No exemplo 3 os eventos A e U1 
b) No exemplo 2 os eventos D e A 
c) No exemplo 1 os eventos A e B: “cara no lançamento da primeira moeda” 
 
 
EXEMPLO 5 (“PORTA DA ESPERANÇA”) Há três portas sendo que uma delas esconde um 
prêmio. O apresentador (que sabe qual das três portas esconde o prêmio) pede ao candidato que 
escolha uma das portas. Em seguida o apresentador abre uma das outras duas portas que se 
revela sem prêmio e dá ao candidato a opção de ficar com sua primeira escolha ou trocar para a 
outra porta que ainda está fechada . O apresentador então abre a porta escolhida e o candidato 
leva o prêmio se a porta se revela como premiada. 
Pergunta : Qual será a melhor estratégia : permanecer com a primeira escolha ou trocar de porta 
na segunda decisão? 
 
Resolução 
 
Ai : o prêmio está com a porta número (i = 1,2,3) 
Bj : o apresentador abre a porta número (j = 1,2,3) 
P(Bj|Ai) = 0 se i=j 
P(Ai) = 1/3 ( i = 1,2,3) [probabilidades a priori] 
 
Sem perda de generalidade, vamos supor que o candidato inicie escolhendo a porta i = 1 
e que o apresentador, em seguida abra a porta j=2. O que o candidato deverá fazer agora: ficar 
com 1 ou trocar pela porta 3? 
Para definir a melhor das duas estratégias, precisa-se determinar P(A1|B2) e P(A3|B2). 
Somente faz sentido trocar de porta se P(A3|B2) > P(A1|B2) . 
 
Fica como exercício mostrar que P(A1|B2) = 1/3 e portanto P(A3|B2) = 1 - P(A1|B2) = 2/3 indicando 
que trocar de porta é uma estratégia com maiores chances de sucesso. 
 
Nota : este exercício exemplifica como o cálculo de probabilidades pode orientar ações em 
presença de incerteza. Mas note: tomar a melhor decisão não é garantia de sucesso num caso 
isolado; apenas a consistência trará os frutos esperados. 
 
TÉCNICAS DE CONTAGEM 
 
1. Regra fundamental da contagem: para dois eventos que podem ocorrer respectivamente de m 
e n maneiras distintas, há m.n maneiras pelas quais pares desses eventos podem ocorrer. 
 
Exemplo: a) número de bytes com 8 bits 
 b) tipo de sangue e fator Rh 
 
 
2. Regra do Fatorial (Permutações): Uma coleção de n objetos pode ser ordenada de n! maneiras 
distintas . [ n! = n (n-1) (n-2)...1] 
 
Exemplo: a) colocação de 5 bandeiras com cores distintas 
 b) ordenação de questões de prova 
 
3. Regra dos arranjos (com elementos distintos): O número de arranjos (= seqüências) de r 
elementos escolhidos entre n elementos (sem permitir repetição) é 
)!(
!
rn
nPnr −= 
Exemplos: 
a) Quantas programações noturnas de TV com 6 shows podem ser feitas a partir de um 
plantel de 20 seriados.