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Apostila Probabilidade e Estatistica

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PROBABILIDADE 
 
E 
 
ESTATÍSTICA 
 
 
 
 
 
 
Gráfico 4.1. Produção de Arroz do Município X - 1984-1994
0
500
1000
1500
2000
2500
84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
(1000 ton)
 
 
 
 
 
 
 
Luiz Roberto M. Bastos 
2005 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
SUMÁRIO 
 
1 TEORIA DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS ..................... 5 
5 
5 
6 
7 
8 
11 
12 
12 
13 
14 
17 
17 
18 
19 
23 
23 
25 
27 
28 
33 
34 
34 
35 
1.1 Introdução ....................................... 
1.2 Símbolos ......................................... 
1.3 Noções sobre Conjuntos ........................... 
1.4 Conjunto dos Números Naturais (N) ................ 
1.5 Conjunto dos Números Inteiros (Z) ................ 
1.6 Representação decimal das frações ................ 
1.7 Conjunto dos Números Irracionais ................. 
1.8 Conjunto dos Números Reais (R) ................... 
1.9 Intervalos ....................................... 
1.10 Problemas com número finito de elementos ......... 
2 ANÁLISE COMBINATÓRIA ............................... 
2.1 Introdução ....................................... 
2.2 Fatorial de um número natural .................... 
2.3 Princípio fundamental da contagem - PFC .......... 
2.4 Arranjos simples ................................. 
2.5 Cálculo do número de arranjos .................... 
2.6 Permutações simples .............................. 
2.7 Permutações com elementos repetidos .............. 
2.8 Combinações simples .............................. 
2.9 Exercícios ....................................... 
3 PROBABILIDADE ....................................... 
3.1 Experimento aleatório ............................ 
3.2 Espaço amostral .................................. 
 2 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
36 
36 
38 
38 
43 
45 
46 
48 
48 
49 
50 
52 
52 
52 
53 
54 
55 
56 
56 
57 
58 
58 
59 
59 
60 
61 
3.3 Evento ........................................... 
3.4 Probabilidade de um Evento ....................... 
3.5 Evento complementar .............................. 
3.6 Probabilidades em espaços amostrais equiprováveis 
3.7 Probabilidade da união de dois eventos ........... 
3.8 Experiência Composta ............................. 
3.9 Probabilidade condicional ........................ 
4 ESTATÍSTICA BÁSICA .................................. 
4.1 Conceitos fundamentais ........................... 
4.2 Divisão da estatística ........................... 
4.3 População ........................................ 
4.4 Amostragem ....................................... 
4.5 Amostra .......................................... 
4.6 Censo ............................................ 
4.7 Tipos de variáveis ............................... 
4.8 Definição do problema ............................ 
4.9 Definição dos objetivos (geral e específico) ..... 
4.10 Planejamento ...................................... 
4.11 Coleta dos dados .................................. 
4.12 Crítica dos dados ................................. 
4.13 Apuração (armazenamento) dos dados ................ 
4.14 Exposição ou apresentação dos dados ............... 
4.15 Análise e interpretação dos dados ................. 
4.16 Regras de arredondamento .......................... 
4.17 Série temporal, histórica ou cronológica .......... 
4.18 Gráficos estatísticos ............................. 
 3 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
62 
62 
63 
65 
66 
67 
68 
69 
74 
75 
76 
79 
79 
81 
82 
83 
84 
88 
88 
88 
91 
4.19 Principais tipos de gráficos ...................... 
4.19.1 Gráficos em curvas ou em linhas ................... 
4.19.2 Gráficos em colunas ............................... 
4.19.3 Gráficos em barras ............................... 
4.19.4 Gráfico em colunas múltiplas (agrupadas) ......... 
4.19.5 Gráfico em barras múltiplas (agrupadas) .......... 
4.19.6 Gráfico em setores ............................... 
4.20 Distribuição de freqüências ...................... 
4.21 Distribuições cumulativas ........................ 
4.22 Medidas de posição (ou de tendência central) ..... 
4.22.1 Média aritmética ................................. 
4.22.2 Esperança matemática ............................ 
4.22.3 Moda (mo) ....................................... 
4.22.4 Mediana (md) .................................... 
4.22.5 Medidas de dispersão (medidas de variabilidade) . 
4.22.6 Variância ....................................... 
4.22.7 Desvio-padrão ................................... 
4.23 Distribuições discretas de probabilidade ........ 
4.23.1 Distribuição de “bernoulli” ..................... 
4.23.2 Distribuição binomial ........................... 
BIBLIOGRAFIA ........................................... 
 
 4 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
1 TEORIA DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
1.1 Introdução 
 
Conjuntos numéricos são certos conjuntos cujos elementos são números 
que guardam entre si alguma característica comum. Tais conjuntos possuem 
elementos perfeitamente caracterizados e, dentre eles, o conjunto dos números 
naturais, dos inteiros, dos racionais, dos irracionais e, por fim, o dos 
números reais. 
 O conjunto dos números naturais surgiu da necessidade de se contarem os 
objetos; os outros foram surgindo com ampliações do conjunto dos números 
naturais. 
 Para se trabalhar com conjuntos, são adotados símbolos que representam 
os relacionamentos entre eles. 
 
1.2 Símbolos 
 
: pertence : existe 
: não pertence : não existe 
: está contido : para todo (ou qualquer que seja) 
: não está contido : conjunto vazio N 
: contém N: conjunto dos números naturais 
: não contém Z : conjunto dos números inteiros 
 I : tal que Q: conjunto dos números racionais 
: implica que Q'= I: conjunto dos números irracionais 
: se, e somente se R: conjunto dos números reais 
: pertence : existe 
∨ : ou : e ∧
 
 
Símbolos sobre Operações 
 
: A intersecção B a > b: a maior que b 
: A união B : a maior ou igual a b 
a - b: diferença de a com b : a e b 
a < b: a menor que b : a ou b 
: a menor ou igual a b ≠ : Diferente 
 5 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
1.3 Noções sobre Conjuntos 
 
Conjunto vazio: é um conjunto que não possui elementos. O conjunto 
vazio é representado por ou { }. 
 
Subconjuntos: quando todos os elementos de um conjunto A qualquer 
pertencem a um outro conjunto B, diz-se, então, que A é um subconjunto de B, 
ou seja A B. 
 
Obs.: Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja ; 
- O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto, 
ou seja 
 
União de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como união dos 
conjuntos A e B ao conjunto representado por , formado por todos os 
elementos pertencentes a A ou B, ou seja: . 
 
Intersecção de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como 
intersecção dos conjuntos A e B ao conjunto representado por , formado 
por todos os elementos pertencentes a A e B, simultaneamente, ou seja: 
 
 
Diferença de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como 
diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A-B, formado 
por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B,ou seja 
 
 6 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
1.4 Conjunto dos Números Naturais (N) 
 
N é o conjunto dos números naturais: 
 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., n, ...} 
 
Onde n representa o elemento genérico do conjunto. 
 Sempre que possível, procuraremos destacar o elemento genérico do 
conjunto em questão. 
 Quando houver “...” ao final dos elementos de um conjunto, trata-se de 
um conjunto de infinitos elementos, como acontece com N. 
 O conjunto N pode ser representado geometricamente por meio de uma reta 
numerada; escolhemos sobre essa reta um ponto de origem (correspondente ao 
número zero), uma medida unitária e uma orientação (geralmente para a 
direita). 
 
unidade 
 
O conjunto dos números naturais possui alguns subconjuntos importantes: 
1° O conjunto dos números naturais não nulos 
 
N* ={1, 2, 3, 4, 5, ..., n, ...} 
 
N* = N - {0} 
 Utilizamos o * (asterisco) à direita do nome do conjunto do qual se 
quer suprimir o elemento zero. 
 
2° O conjunto dos números naturais pares: 
 
Np={0, 2, 4, 6, ..., 2n, ...} n ∈ N 
 
3° O conjunto dos números naturais ímpares: 
 
Ni={1, 3, 5, 7, ..., 2n+1, ...} n ∈ N 
 7 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
4° O conjunto dos números primos: 
 
Pi={2, 3, 5, 7, 11, 13 ...} 
 
 No conjunto dos números naturais estão definidas duas operações: adição 
e multiplicação. Note que adicionando ou multiplicando dois elementos 
quaisquer de N, a soma ou o produto pertence igualmente a N. Em símbolos, 
temos: 
m,n N, m + n N e m * n N 
 Essa característica pode ser sintetizada na frase: 
“N é fechado em relação à adição e à multiplicação”. 
 
1.5 Conjunto dos Números Inteiros (Z) 
 
 Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} 
 
 
Todos os elementos de N pertencem também a Z, o que vale dizer que N é 
subconjunto de Z: 
N Z ou Z N 
 
Temos também outros subconjuntos de Z: 
 
Z* = Z - {0} Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...} 
Z+ = {0,1,2,3,4,5,...} conjunto dos inteiros não negativos 
Z *+ = {1,2,3,4,5,...} conjunto dos inteiros positivos 
Z_ = {..., -4, -3, -2, -1, 0} conjunto dos inteiros não positivos 
Z * = {..., -4, -3, -2, -1} conjunto dos inteiros negativos __
Observe que Z+ = N. 
 
 8 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
Números Opostos 
 
Dois números inteiros são ditos opostos um do outro quando apresentam 
soma zero; assim, os pontos que os representam distam igualmente da origem 
(zero). 
Considerando os números inteiros ordenados sobre uma reta, podemos 
tomar como exemplo o número 2. 
 
O oposto de 2 é –2, e o oposto de –2 é 2, pois: 
 2 + (-2) = -2 + 2 = 0 
2 unidades 2 unidades 
 
 
 
 No geral, dizemos que o oposto (ou simétrico) de a é -a., e vice-versa; 
particularmente, o oposto de zero é o próprio zero. 
 
 Módulo de um número inteiro 
 Damos o nome de módulo, ou valor absoluto de a, à distância da origem 
ao ponto que representa o número a. 
 
 Conjunto dos Números Racionais (Q) 
 
O conjunto Z é fechado em relação às operações adição, multiplicação e 
subtração, mas o mesmo não acontece à divisão: embora 
 (-12):(+4) = -3 Z, 
não existe número inteiro x para o qual se tenha x = (+4) : (-12). Por esse 
motivo, fez-se uma ampliação do conjunto Z, da qual surgiu o conjunto dos 
números racionais. 
 O conjunto dos números racionais é inicialmente descrito como o 
conjunto dos quocientes entre dois números inteiros. 
Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma 
de fração (com o numerador e denominador Z), ou seja, o conjunto dos 
números racionais é a união do conjunto dos números inteiros com as frações 
positivas e negativas. 
 9 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
 
 ,...,...,
5
2,
3
2,2,....
3
1 ,
2
1,1 0, Q
q
p±±±±±±±= I p e q inteiros e q ≠ 0 
 
Utilizando o elemento genérico, podemos dizer que: 
 
q
p Q = I p Z e q Z* 
 
 
Desta forma, podemos definir Q como o conjunto das frações 
q
p ; assim, 
um número é racional quando pode ser escrito como uma fração 
q
p , com p e q 
inteiros e q ≠ 0. 
 Quando q = 1, temos 
q
p = 
1
p = p Z, de onde se conclui que Z é 
subconjunto de Q. 
 Assim, podemos construir o diagrama: 
 
N Z Q 
 
 
 
 
 
 
No conjunto Q destacamos os seguintes sub-conjuntos: 
Q * : conjunto dos racionais não nulos 
Q+ : conjunto dos racionais não negativos 
Q * : conjunto dos racionais positivos +
Q : conjunto dos racionais não positivos _
Q * : conjunto dos racionais negativos _
O conjunto Q é fechado para as operações adição, subtração, 
multiplicação e divisão. 
 10 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
Exemplos: 
 
 
3
3
2
2
1
11 )
3
9
2
6
1
33)
===
−=−=−=−
b
a
Assim, podemos escrever: 
 
}0 e , com , |{ ≠∈∈== qZqZp
q
pxxQ 
 
 
1.6 Representação decimal das frações 
 
q
pTome um número racional , tal que p não é múltiplo de q. 
 
Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo 
denominador. Nessa divisão podem ocorrer dois casos: 
 
1°) O número decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de 
algarismos (não nulos): 
75,3
20
75 25,1
4
5 5,0
2
1 =−=−=
 
Tais números racionais são chamados decimais exatos. 
 
2°) O número decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem 
todos nulos), que se repetem periodicamente: 
 
 
3
1 = 
 
 
22
1 =
 
0,333... = 0,3 
7
9 = 0,777... = 0,7 
 0,0454545... = 0,045 
66
167 = 2,5303030... = 0,530 
 
 11 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
Toda decimal exata ou periódica pode ser representada na forma de 
número racional. 
 
1.7 Conjunto dos Números Irracionais (I) 
 
Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, 
os números que não podem ser escritos na forma de fração (divisão de dois 
inteiros). 
Vejamos alguns exemplos: 
 
1. O número 0,212112111... não é dízima periódica, pois os algarismos 
após a vírgula não se repetem periodicamente. 
2. O número 0,203040... também não comporta representação 
fracionária, pois não é dízima periódica. 
3. Os números 
= 1,7320508… 3 = 1,4142136… e 2 π=3,1415926535... , 
 
por não apresentarem representação infinita periódica, também não são números 
racionais. 
 
 
1.8 Conjunto dos Números Reais (R) 
 
Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais (I), 
definimos o conjunto dos números reais como: 
 R = Q ∪ I = {x | x é racional ou x é irracional} 
 
O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos: 
 
 R 
I
 12 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
Além desses (N, Z, Q, I), o conjunto dos números reais apresenta 
noutros subconjuntos importantes: 
R* = {x R I x ≠ 0} conjunto dos números reais não nulos 
R+ = {x R I x ≥ 0} conjunto dos números reais não negativos 
R = {x *+ R I x > 0} conjunto dos números reais positivos 
R- = {x R I x ≤ 0} conjunto dos números reais não positivos 
R = {x *− R I x < 0} conjunto dos números reais negativos 
Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais 
são todos números reais. Como subconjuntos importantes de “I” temos: 
I* = I - {0} 
I+ = conjunto dos números reais não negativos 
I_ = conjunto dos números reais não positivos 
 
Entre dois númerosinteiros existem infinitos números reais. Ex: 
Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais: 
1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 ... 
Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reais: 
5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 ... 
 
1.9 Intervalos 
 
a) Intervalo Aberto: 
]a,b[ = {x R I a < x < b} 3 5 
 
b) Intervalo Fechado: 
[a,b] = {x R I a ≤ x ≤ b} 3 5 
 
c) Intervalo aberto à direita: 
[a,b[ = {x R I a ≤ x < b} 
3 5 
 
d) Intervalo aberto à esquerda: 
]a,b] = {x R I a < x ≤ b} 
3 5 
 13 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
 
Existem ainda os intervalos infinitos: 
e) ]-∞,a] = {x R I x ≤ a} 
3 
3 
3 
 
f) ]-∞,a[ = {x R I x < a} 
 
g) [a, +∞[ = {x R I x ≥ a} 
 
h) ]a, +∞[ = {x R I x > a} 
3 
 
1.10 Problemas com número finito de elementos 
 
Exemplo 1 
O Instituto de Meteorologia de Curitiba quis fazer um estudo de variação da 
temperatura à sombra e mediu-a de hora em hora, conforme a tabela abaixo: 
 
Hora 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
Temperatura 7° 6° 5° 4° 3° 2° 2° 3° 5° 7° 12° 15° 
 
Hora 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 
Temperatura 18° 18° 20° 20° 20° 18° 15° 13° 11° 9° 8° 7° 
 
Nesse exemplo, são medidas duas grandezas: a hora do dia e a correspondente 
temperatura. A cada hora corresponde uma única temperatura. Dizemos, por 
isso, que a temperatura é função da hora. Como à mesma temperatura podem 
corresponder várias horas, a hora não é função da temperatura. 
 
Exemplo 2 
Uma barraca na praia da Barra da Tijuca vende cocos e exibe a seguinte 
tabela: 
 
Números de cocos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Preço (R$) 1,20 2,40 3,60 4,80 6,00 7,20 8,40 9,60 10,80 12,00 
 
 14 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
Nesse exemplo estão sendo medidas duas grandezas: o número de cocos e o 
respectivo preço. A cada quantidade de cocos corresponde um único preço. 
Dizemos, por isso, que o preço é função do número de cocos comprados. Aqui é 
possível até achar a fórmula que estabelece a relação de interdependência 
entre o preço (y) e o número de cocos (x): y = 1,20 x. 
 
Exemplo 3 
Um pedreiro vai ladrilhar uma sala de 3 x 3 metros. Com ladrilhos quadrados, 
todos iguais entre si. Se ele pode escolher ladrilhos com lados 10 cm, 12 cm, 
15 cm, 20 cm, 25 cm e 30 cm, qual é o número de ladrilhos que usará em cada 
caso? 
Para achar o número de ladrilhos (y), basta dividir a área da sala (9m2) pela 
área do ladrilho (em m2). Se o lado mede x m2, então a fórmula que relaciona y 
com x é: y = 9/x2. 
 
Medida do lado do ladrilho (x) 0,10 0,12 0,15 0,20 0,25 0,30 
Número de ladrilhos (y) 900 625 400 225 144 100 
 
Exercícios 
 
1. A tabela abaixo indica o deslocamento de um móvel num dado intervalo 
de tempo: 
 
Intervalo de tempo (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Deslocamento (cm) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 
 
a) Qual é o deslocamento do móvel num intervalo de 4 segundos? 
b) Qual é o intervalo de tempo correspondente a um deslocamento de 21 cm? 
c) O deslocamento é função do intervalo de tempo? 
d) Qual é o deslocamento d num intervalo de tempo t? (supor velocidade do 
móvel constante). 
 
2. A tabela abaixo indica o custo de produção de certo número de peças de 
automóvel: 
 
Número de peças 1 2 3 4 5 6 
Custo (R$) 1 4 9 16 25 36 
 
 15 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
a) Qual é o custo da produção de três peças? 
b) Qual é o número de peças produzidas com R$25,00? 
c) Qual é o custo c da produção de n peças? 
d) Com relação ao item anterior, qual é o numero máximo de peças 
produzidas com R$1.000,00? 
3. O preço do serviço executado por um pintor consiste em uma taxa fixa, 
que é de R$250,00, e mais uma quantia que depende da área pintada. A 
tabela seguinte mostra alguns orçamentos apresentados pelo pintor: 
Área pintada (m2) 5 10 15 20 30 40 80 
Total a pagar (R$) 350 550 700 850 1.150 1.450 2.050 
 
a) Como se exprime, matematicamente, o total a pagar (y) pela pintura de x 
m2? 
b) Qual é o preço cobrado pela pintura de uma área de 150 m2? 
c) Qual é a área máxima que pode ser pintada dispondo-se de R$6.250,00? 
 
4. O num erro de y pessoas (em milhares) que tomam conhecimento do 
resultado de um jogo de futebol, após x horas de sua realização é dado 
por xy 10= . Responda: 
a) Quantas pessoas sabem o resultado do jogo após 4 horas? 
b) Quantas pessoas sabem o resultado do jogo após um dia? 
c) Após quantas horas de sua realização, 30 mil pessoas tomam 
conhecimento do resultado do jogo? 
5. A velocidade média de um automóvel em uma estrada é de 90 Km/h. 
Responda: 
a) Qual é a distância percorrida pelo automóvel em uma hora? 
b) Em quanto tempo o automóvel percorre a distância de 360 Km? 
c) Qual é a expressão matemática que relaciona a distância 
percorrida (d) em função do tempo (t)? 
6. Um professor propõe a sua turma um exercício-desafio, comprometendo-se 
a dividir um prêmio de R$120,00 entre os acertadores. Seja x o número 
de acertadores (x = 1, 2, ..., 40) e y a quantia recebida por cada 
acertador (R$). Responda: 
a) y é função de x? Por quê? 
b) Quais os valores de y para x=2, x=8, x=20 e x=25? 
c) Qual é o valor máximo que y assume? 
d) Qual é a lei de correspondência entre x e y? 
 16 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
2 ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
2.1 Introdução: 
 
A necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos 
chamados jogos de azar levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória. 
Trata-se de uma parte da Matemática que estuda os métodos de contagem. Esses 
estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo 
Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois dele vieram os 
franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). 
 
 
Pascal 
 
Fermat 
 
Tartaglia 
 
 A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de 
uma forma indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses 
elementos agrupados sob certas condições. 
 
Consideremos o seguinte problema: 
Uma lanchonete oferece a seus clientes apenas dois tipos de sanduíches: 
hot dog e hambúrger. Como sobremesa, há três opções: sorvete, torta ou salada 
de frutas. 
Pergunta-se: quantas são as possibilidades de uma pessoa fazer uma refeição 
incluindo um sanduíche e uma sobremesa? 
Podemos ter as seguintes refeições: 
 
a) hot dog e sorvete 
b) hot dog e torta 
 17 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
c) hot dog e salada de frutas 
d) hambúrger e sorvete 
e) hambúrger e torta 
f) hambúrger e salada de frutas 
A determinação de tais possibilidades pode ser simplificada através de um 
diagrama, em que, na 1ª coluna, representaremos as possibilidades de escolha 
do sanduíche e, na 2ª coluna, as possibilidades de escolha da sobremesa. 
1ª coluna 2ª coluna 
 sorvete Refeição 1 
hot dog torta Refeição 2 
 salada de frutas Refeição 3 
 
 sorvete Refeição 4 
hambúrger torta Refeição 5 
 salada de frutas Refeição 6 
 
Este esquema é conhecido como diagrama de árvore. Fazendo a leitura de todas 
as “ramificações” da árvore, obtemos as possíveis refeições. 
Notemos que fazer uma refeição completa representa uma ação constituída de 
duas etapas sucessivas: 
1ª escolha do tipo de sanduíche: há duas possibilidades de fazer tal 
escolha. 
2ª escolha da sobremesa: para cada uma das possibilidades anteriores, há 
três maneiras de escolher a sobremesa. 
Assim, a realização da ação (duas etapas sucessivas)pode ser feita de 2 x 3 
= 6 maneiras distintas que foram anteriormente indicadas. 
 
2.2 Fatorial de um número natural 
 
Para resolver problemas de Análise Combinatória precisamos utilizar uma 
ferramenta matemática chamada Fatorial. 
Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado 
pelo símbolo n!) como sendo: 
 
n! = n . (n-1) . (n-2) . ... . 4 . 3 . 2 . 1 para n ≥ 2. 
Se n = 1, então 1! = 1. 
Se n = 0, então 0! = 1. 
 
 18 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
Exemplos: 
a) 6! = 6 . 5! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 
b) 4! = 4. 3! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 
c) 7! = 7 . 6! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040 
d) 10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 
e) 3! = 3 . 2 . 1 = 6 
Perceba que 7! = 7 . 6 . 5 . 4!, ou que 
6! = 6 . 5 . 4 . 3!, e assim sucessivamente. 
 
Relação de correspondência: N! = n . (n – 1)! , n N* e n ≥ 2 
 
Exercícios: 
1) efetuar: 
!6
!8 
2) efetuar: 
!6
)!7!8( + 
3) efetuar: 
)!1(
)!1(
−
+
n
n 
4) efetuar: 
)!3(
)!4(
−
−
n
n 
5) efetuar: 
!5
)!5!6( − + 0! 
6) efetuar: 
)!1(
)!2(
+
+
n
n 
7) efetuar: 
!11
)!9!10( + 
8) efetuar: 
!6
!7 + 
!7
!6 + 
!6
!8 
9) efetuar: 6! - 20 
10) Resolva a equação: (n+2)! = 6n! 
11) Resolva a equação: 
)!22(
)!2(
−n
n = 12 
2.3 Princípio fundamental da contagem - PFC 
 
 Suponhamos que uma ação seja constituída de duas etapas sucessivas. A 
primeira etapa pode ser realizada de p maneiras distintas. Para cada uma 
 19 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
dessas possibilidades, a 2ª etapa pode ser realizada de q maneiras distintas. 
Então, o número de possibilidades de se efetuar a ação completa é dado por 
p x q. 
 Esse princípio pode ser generalizado para ações constituídas de mais de 
duas etapas sucessivas. 
 Se determinado acontecimento ocorre em etapas independentes, e se a 
primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 
maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de 
maneiras de ocorrer o acontecimento, composto por n etapas, é dado por: 
T = k1. k2 . k3 . ... . kn 
 
Exemplo 1 
No Brasil as placas dos veículos são confeccionadas usando-se 3 letras do 
alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser 
licenciado? 
Imaginemos a seguinte situação: Placa ACD – 2172. 
Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 
algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 
alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 
alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 
alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número 
total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 
26 . 26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 = 175.760.000. 
 
Exemplo 2 
No Brasil, antes da alteração do sistema de emplacamento de automóveis, as 
placas dos veículos eram confeccionadas usando-se 2 letras do alfabeto e 4 
algarismos. Qual o número máximo de veículos que podia ser licenciado neste 
sistema? 
Imaginemos a seguinte situação: Placa AC – 2172. 
Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 
algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 
alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, também teremos 26 
alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 
alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número 
total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 
26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 = 6.760.000. 
 20 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
Percebe-se que a inclusão de apenas uma letra faz com que sejam licenciados, 
aproximadamente, mais 170.000.000 de veículos. 
 
Exemplo 3 
Há quatro estradas ligando as cidades e A e B, e três estradas ligando as 
cidades B e C. De quantas maneiras distintas pode-se ir de A a C, passando 
por B? 
Fazer a viagem de A a C pode ser considerado uma ação constituída de duas 
etapas sucessivas: 
1ª ir de A até B: teremos quatro possibilidades 
2ª ir de B a C: para cada uma das possibilidades anteriores, há três 
maneiras de chegar a C, a partir de B. 
Assim, o resultado procurado é 4 x 3 =12. 
 
Exemplo 4 
Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de três algarismos 
distintos podemos formar? 
Formar um número de três algarismos pode ser considerado uma ação constituída 
de três etapas sucessivas: 
1ª escolha do algarismo das centenas: são seis possibilidades. 
2ª escolha do algarismo das dezenas: como não pode haver repetição de 
algarismo, devemos ter um algarismo diferente do algarismo escolhido para a 
centena. Assim, há cinco possibilidades. 
3ª escolha do algarismo das unidades: devemos ter um algarismo diferente dos 
dois algarismos escolhidos para a centena e para a dezena. Assim, há quatro 
possibilidades. 
Pelo PFC, o resultado é: 6 x 5 x 6 = 120 números. 
 
Exemplo 5 
Uma prova consta de 10 questões do tipo V ou F. De quantas maneiras distintas 
ela pode ser resolvida? 
Resolver a prova representa uma ação constituída de 10 etapas sucessivas, que 
correspondem à resolução das 10 questões propostas. 
Para cada questão, há duas possibilidades de escolha de resposta: V ou F. 
 
Logo, pelo PFC, o resultado é: 2 x 2 x 2 ... x 2 = 210 = 1.024 
possibilidades. 
10 vezes 
 
 21 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
Exemplo 6 
 
Quantos números de três algarismos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 
3, 4, 5, 6 e 7? 
Algarismo das centenas: com exceção do zero, qualquer um dos algarismos dados 
pode ser escolhido, havendo, portanto, sete possibilidades. 
Algarismo das dezenas: não há restrição alguma, pois pode haver repetição de 
algarismos. Assim, há oito possibilidades. 
Algarismo das unidades: analogamente ao anterior, há oito possibilidades. 
Logo, pelo PFC: 7 x 8 x 8 = 448. 
 
Exemplo 7 
Quantos números ímpares de três algarismos distintos podemos formar com os 
algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7? 
Algarismo das unidades: há quatro possibilidades (1, 3, 5 e 7). 
Algarismo das centenas: há seis possibilidades – devemos excluir o zero e o 
algarismo escolhido para a unidade. 
Algarismo das dezenas: há seis possibilidades – devemos escolher algarismos 
diferentes dos algarismos escolhidos para a centena e unidade. 
Assim, pelo PFC, temos: 6 x 6 x 4 = 144 números. 
Todo problema de contagem pode, pelo menos teoricamente, ser resolvido pelo 
PFC. Porém, na prática, a resolução de alguns desses problemas pode se tornar 
muito complicada. 
Dessa forma, estudaremos técnicas de contagem de determinados agrupamentos – 
baseados no PFC – as quais simplificarão a resolução de muitos problemas. 
Consideraremos sempre os agrupamentos simples: arranjos, permutações e 
combinações. 
 
Exemplo 8 
Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA.(não considere o 
acento). 
Solução: 
Temos 10 elementos, com repetição. Observe que a letra M está repetida duas 
vezes, a letra A três , a letra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: 
n=10, a=2, b=3 e c=2. Sendo k o número procurado, podemos escrever: k= 10! / 
(2!.3!.2!) = 151.200 anagramas 
 
 22 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
2.4 Arranjos simples 
 
Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se arranjo dos n elementos, 
tomados k a k, a qualquer seqüência ordenada de k elementos distintos 
escolhidos entre os n existentes. 
Temos um Arranjo quando os agrupamentos conseguidos ficam diferentes ao se 
inverter a posição dos seus elementos. 
Perceba que para formar centenascom algarismos distintos, utilizando apenas 
os 5 primeiros algarismos ímpares (1; 3; 5; 7; 9) teremos as seguintes 
centenas: 135; 137; 139; 153, 157, e assim sucessivamente. 
Se invertermos a posição dos elementos de qualquer uma destas centenas 
conseguiremos outra centena diferente: 135 • 351. 
Temos então um ARRANJO de cinco elementos tomados de três em três. 
 
Exemplo 1 
Dado o conjunto A = (1, 2, 3, 4), vamos escrever todos os arranjos desses 
quatro elementos tomados dois a dois. 
(1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 1); (2, 3); (2, 4); (3, 1); (3, 2); (3, 4); (4, 
1); (4, 2); (4, 3) 
Notamos que (2, 3) (3, 2), isto é, a troca na ordem dos elementos de um 
possível agrupamento gera um agrupamento diferente. 
≠
 
Exemplo 2 
Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,...,9. O segredo do 
cofre é marcado por uma seqüência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa 
tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer(no máximo) para 
conseguir abri-lo? 
As seqüências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 
alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8. Aplicando a fórmula de 
arranjos pelo PFC, chegaremos ao mesmo resultado: 10.9.8 = 720. 
Observe que 720 = A10,3 
 
2.5 Cálculo do número de arranjos 
 
Seja um conjunto de n elementos distintos. Vamos encontrar uma expressão para 
o número de arranjos dos n elementos tomados k a k (An,k). 
Escrever um arranjo de n elementos formados k a k significa escrever uma 
seqüência ordenada de k elementos distintos (k n), escolhidos entre os n ≤
 23 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
disponíveis. Assim, pelo PFC, a ação pedida consta de k etapas sucessivas, 
que correspondem às escolhas dos k elementos. 
 
 1ª etapa 2ª etapa 3ª etapa ... k-ésima 
etapa 
 
 (há n elementos (como os elementos 
para serem escolhidos) devem ser distintos, 
 há n-1 possibilidades) 
 n n – 1 n – 2 n – (k – 1) 
 
 
 
 
 
 
Desta forma, o número total de arranjos dos n elementos tomados k a k é: 
An,k = n . (n – 1) . (n – 2) ... (n - k +1) 
 
Multiplicando e dividindo a expressão acima por 
(n – k)! = (n – k) (n – k – 1) ... 3 . 2 . 1 vem: 
An,k = n (n – 1) (n – 2) ... (n - k +1) . 
1.2.3)...1)((
1.2.3)...1)((
−−−
−−−
knkn
knkn , 
Isto é: 
 
 )!(
!
kn
n
− ≥An,k = n k 
 
Exemplo 3 
Obter o valor de A4,2 + A7,3. 
 
Temos A4,2 = 
)!24(
!4
− = !2
!4 = 
!2
!2.3.4 = 12 
A7,3 = 
)!37(
!7
− = !4
!7 = 
!4
!4.5.6.7 = 210 
 
 
Exemplo 4 
O quadrangular de um torneio mundial de basquete é disputado por quatro 
seleções: Brasil, China, Holanda e Itália. De quantas maneiras distintas 
podemos ter os três primeiros colocados? 
Um possível resultado do torneio é Holanda (campeã), Brasil (2°) e Itália 
(3°). Se trocarmos a ordem desses elementos, obtemos, entre outras, Brasil 
 24 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
(campeão), Itália (2°) e Holanda (3°), que é um resultado diferente do 
anterior. Dessa forma, cada resultado do torneio é um arranjo das quatro 
equipes tomadas três a três. 
Assim, o número de possibilidades é : 
An,k = 
)!(
!
kn
n
− ? A4,3 = )!34(
!4
− = !1
!4 = 24 
 
Exemplo 5 
A senha de um cartão de banco é formada por duas letras distintas seguidas 
por uma seqüência de três algarismos distintos. Quantas senhas poderiam ser 
confeccionadas? 
Como importa a ordem que são escolhidas as letras, o número de maneiras de 
escolhê-las é dado por A26,2. 
Analogamente, a seqüência de três algarismos distintos pode ser escolhida de 
A10,3. 
Pelo PFC, o número de senhas que podem ser confeccionas é: 
A26,2 x A10,3 = 650 x 720 = 468.000. 
 
Exemplo 6 
Usando-se as 26 letras do alfabeto (A,B,C,D,...,Z), quantos arranjos 
distintos com 3 letras podem ser montados? 
An,k = 
)!(
!
kn
n
− , n=26, k=3 
Resposta: A = 
!23
!26 = 
!23
23! . 24 . 25 . 26 = 26.25.24 = 15600 
 
2.6 Permutações simples 
 
Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com 
todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus 
elementos. 
 
De outro modo, podemos entender permutação simples como um caso especial de 
arranjo, onde n = k, ou seja: 
An,k = 
)!(
!
kn
n
− = !0
!n = 
1
!n = n! 
 Chega-se então à relação: Pn = n! 
 25 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
Notemos que a permutação é um caso particular de arranjo, pois, dado um 
conjunto de n elementos distintos, selecionamos exatamente n elementos para 
forma a seqüência ordenada. 
 
Exemplo 1 
Escrever todos os anagramas da palavra SOL. 
Um anagrama da palavra SOL é qualquer permutação das letras S, O, L de modo 
que se forme uma palavra com ou sem sentido. 
Assim, temos: SOL, SLO, OSL, OLS, LOS, LSO. 
 
Exemplo 2 
De quantas maneiras cinco pessoas, A, B, C, D e E podem ser dispostas em 
fila indiana? 
Cada maneira de compor a fila é uma permutação das cinco pessoas, pois 
qualquer fila obtida é uma seqüência ordenada na qual comparecem sempre as 
cinco pessoas. 
Assim, o resultado esperado é: P5 = 5! = 120 
 
Exemplo 3 
Baseado no exemplo anterior, quantas filas podem ser compostas começando por 
A ou B? 
A 1ª posição da fila pode ser escolhidas de duas maneiras (pois tanto A como 
B pode iniciá-la). 
Definido o início da fila, restarão sempre quatro lugares para serem 
preenchidos pelas quatro pessoas restantes, num total de P4 = 4! = 24 
possibilidades. 
Pelo PFC, o resultado é: 2 x 24 = 48. 
 
Exemplo 4 
Oito pessoas, entre elas, Antonio e Pedro, vão posar para uma foto. De 
quantas maneiras elas podem ser dispostas se Antonio e Pedro se recusarem-se 
a ficar lado a lado? 
Caso não houvesse a restrição mencionada, o número total de possibilidades 
seria: 
P8 = 8! = 40.320. 
Para determinar o número de possibilidades em que Antonio e Pedro aparecem 
juntos, vamos considerá-los uma só pessoa, que irá permutar com as seis 
restantes, num total de: 
 26 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
P7 = 7! = 5.040 maneiras. 
Porém, para cada uma das possibilidades acima, Antonio e Pedro podem trocar 
de lugar entre si, num total de: 
P2 = 2! = 2. 
Desta forma, o número de possibilidades em que Antonio e Pedro aparecem 
juntos é: 2x 5.040 = 10.080. 
A diferença 40.320 – 10.080 = 30.240 fornece o número de situações em que 
Antonio e Pedro não aparecem lado a lado. 
 
Exemplo 5 
Quantas possibilidades de agrupamentos há com os elementos A,B,C? 
São possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA. 
De forma matemática: P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6 
 
Exemplo 6 
Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um 
banco retangular de cinco lugares. 
P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 
 
Exemplo 7 
Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que 
podem ter ou não significado na linguagem comum. Os possíveis anagramas da 
palavra REI são: REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER. Calcule o número de anagramas 
da palavra MUNDIAL. 
P7 = 7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040 
 
2.7 Permutações com elementos repetidos 
 
Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b 
elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente, o número 
total de permutações que podemos formar é dado por: 
Pn (a,b,c) = 
!!!
!
cba
n 
 
Exemplo 1 
Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA.(não considere o 
acento) 
Temos 10 elementos, com repetições. A letra M está repetida duasvezes, a 
 27 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
letra A três, a letra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n=10, a=2, 
b=3 e c=2. 
P = 10! / (2!.3!.2!) = 151200 
 
Exemplo 2 
Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra MARIA? 
Neste problema temos n = 5 (cinco letras) e a = 2 (a letra A se repete duas 
vezes) 
P = 5!/2! = 5.4.3 = 60 
 
Exemplo 3 
Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra ARARA? 
Neste problema temos n = 5 (cinco letras), a = 2 (a letra R se repete duas 
vezes) e b = 3 (a letra A se repete três vezes). 
P = 5!/(3!.2!) = 5.4.3!/(3!.2) = 10 
 
2.8 Combinações simples 
 
Dado um conjunto A com n elementos distintos, chama-se combinação dos n 
elementos de A, tomados k a k, a qualquer subconjunto formado por k 
elementos, isto é, temos uma combinação quando os agrupamentos conseguidos 
permanecem iguais ao se inverter a posição dos seus elementos. 
Perceba que se houver cinco pessoas entre as quais desejamos formar grupos de 
três, o grupo formado por João, Pedro e Luís é o mesmo grupo formado por 
Luís, Pedro e João. Temos, então, uma COMBINAÇÃO de cinco elementos em grupos 
de três. 
 
Cálculo do número de combinações 
 
Considere o seguinte problema: 
Uma turma é formada por 10 alunos. Deseja-se formar uma comissão de três 
alunos para representação discente na universidade. De quantas maneiras 
podemos fazer tal escolha? 
Calculemos inicialmente o número de triplas ordenadas de alunos: 
A10,3 = 
!7
!10 = 720 seqüências ordenadas. 
Suponhamos que A, B, C estejam entre os 10 alunos da turma. Essas 720 
possibilidades incluem, entre outras, os seguintes arranjos: 
 28 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
(A,B,C), (A,C,B), (B,A,C), (B,C,A), (C,A,B) e (C,B,,A) 
 
Em cada um desses casos – que diferem entre si apenas pela ordem – os alunos 
A, B e C farão parte da comissão. Assim, os seis arranjos acima passam a ser 
equivalentes entre si, correspondendo a uma única combinação { , pois 
determinam sempre a mesma comissão. 
}CBA ,,
Desta forma, aos seis arranjos corresponde uma combinação; então, para os 720 
arranjos, teremos x combinações: 
 
 
 
Logo, x = 
6
720 = 120 comissões 
Número de permutações da tripla (A,B,C) 
Número de arranjos dos 10 alunos tomados três a três 
 6 arranjos 1 combinação 
 
720 arranjos x combinações 
 
De modo geral, qualquer permutação de uma determinada seqüência ordenada dá 
origem e uma única combinação. 
Representando por Cn,k o número total de combinações de n elementos tomados k 
a k (taxa k), temos: 
 
 
 
)!(!
!
knk
n
−
k 
k n,
P
A ≥ou , n k Cn,k = Cn,k = 
 
Exemplo 1 
Escrever todas as combinações dos cinco elementos do conjunto 
M = { tomados dois a dois. }
} }
} } } } } } }
uoiea ,,,,
Devemos determinar todos os subconjuntos de M formados por dois elementos. 
Lembremos que não importa a ordem dos elementos escolhidos: = { , por 
exemplo. 
{ ea, ae,
Assim, as combinações pedidas são: 
{ ea, , { , { }, { }, { , { , { , { , { , { } ia, oa, ua, ie, oe, ue, oi, ui, uo,
 
 
 29 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
Exemplo 2 
Cinco alunos – Pedro, Luís, José, Abel e Márcio – participam de um concurso 
que serão sorteadas três bicicletas. Quais os possíveis resultados do 
concurso? 
Sortear é o mesmo que sortear { }, pois 
nas duas situações, esses alunos ganharão as bicicletas. 
{ MárcioJoséPedro ,, } PedroMárcioJosé ,,
Desta forma, cada resultado do sorteio é uma combinação dos cinco alunos 
tomados três a três. 
Os possíveis resultados do concurso são: 
{ }MJP ,,
{ }MAJ ,,
, , , , , , , , 
, 
{ }AJP ,,
{ }MAL ,,
{ }AMP ,, { }JLP ,, { }MLP ,, { }ALP ,, { }AJL ,, { }MJL ,,
 
Exemplo 3 
Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De 
quantas formas ele poderá escolher as 10 questões? 
Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que 
trata-se de um problema de combinação de 15 elementos com taxa 10. 
Aplicando simplesmente a fórmula chegaremos a: 
C15,10 = 15! / [(15-10)! . 10!] = 15! / (5! . 10!) = 15.14.13.12.11.10! / 
5.4.3.2.1.10! = 3003 
 
 
 
 
 
Tanto arranjo como combinação são agrupamentos de k elementos
escolhidos a partir de um conjunto de n elementos. A diferença é que,
no arranjo, se mudarmos a ordem dos elementos de certo agrupamento,
obteremos um novo agrupamento; na combinação, mudando a ordem dos
elementos de certo agrupamento, obtemos o mesmo agrupamento. 
Exemplo 3 
Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De 
quantas formas ele poderá escolher as 10 questões? 
Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que 
trata-se de um problema de combinação de 15 elementos com taxa 10. 
C15,10 = 
!10)!.1015(
15!
− = !10!.5
15! = 
 10!5.4.3.2.1.
 2.11.10!15.14.13.1 = 3003 
 
 30 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
Exemplo 4 
Um coquetel é preparado com três bebidas distintas. Se existem 7 bebidas 
distintas, quantos coquetéis diferentes podem ser preparados? 
 
C7,3 = 
!3)!.37(
7!
− = !3!.4
7! = 
1.2.3!.4
 7.6.5.4! = 35 
 
Exemplo 5 
Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos, dois a dois distintos. 
Quantas retas podem ser construídas passando por estes 9 pontos? 
C9,2 = 
!2)!.29(
9!
− = !2!.7
9! = 
1.2!.7
 9.8.7! = 36 
 
Exemplo 6 
Uma pizzaria oferece 15 sabores de pizzas diferentes. 
a) De quantas maneiras se pode escolher três desses sabores? 
b) Suponha que uma família sempre opte por mussarela. Como poderão ser 
escolhidos os outros dois sabores? 
Resp. a) 
Escolher as pizzas { é o mesmo que escolher as pizzas { }. 
Assim, cada possível escolha é uma combinação das 15 pizzas tomadas três a 
três: 
}3,2,1 PPP 1,2,3 PPP
C15,3 = 
!12!3
15! = 
 3.2.1.12!
 2!15.14.13.1 = 455 
Resp. b) 
Como um dos sabores já foi definido, os outros dois sabores serão escolhidos 
entre os 14 restantes. 
C14,2 = 
!2!
14!
12
 = 
 12!.2.1
 14.13.12! = 91 
 
Exemplo 7 
Uma turma tem 15 alunos, sendo 9 meninos e 6 meninas. 
a) Quantas comissões de dois meninos e duas meninas podem ser formadas? 
O número de escolher os meninos é C9,2. 
O número de escolher as meninas é C6,2. 
Pelo PFC, temos: C9,2 x C6,2 = 36 x 15 = 540 
 
 31 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
 
b) Quantas comissões de quatro pessoas têm pelo menos um menino? 
O número total de comissões de quatro pessoas, sem nenhuma restrição, é 
C15,4. 
O número de comissões onde não aparecem meninos é C6,4, pois as vagas serão 
preenchidas pelas meninas. 
Assim, o número de comissões onde há pelo menos um menino é: 
C15,4 – C6,4 = 1.365 – 15 = 1.350 
 
Exemplo 8 
 
Marcam-se cinco pontos sobre uma reta r. Sobre outra reta s, paralela a r, 
marcam-se quatro pontos. Quantos triângulos podem ser formados com vértices 
em três quaisquer desses pontos? 
Observando a figura, vemos que para construir um triângulo não importa a 
ordem dos pontos escolhidos, pois, por exemplo, { } e { determinam 
o mesmo triângulo. 
CBA ,, }ACB ,,
 
C 
B 
A 
 
 
 
 
 
 
Por outro lado, podemos construir um triângulo se escolhermos: 
1° caso: dois pontos de r e um ponto de s 
 
 
Pelo PFC, há 10 x 4 = 40 possibilidades. 
 
2° caso: um ponto de r e dois pontos de s 
C4,1 = 4 possibilidades C5,2 = 10 possibilidades 
 C5,1 = 5 possibilidades C4,2 = 6 possibilidades 
Pelo PFC, há 5 x 6 = 430 possibilidades. 
Dessa forma,o número total de triângulos que podem ser construídos é: 
40 + 30 = 70. 
 
 
 32 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
 
Exemplo 9 
 
Um salão tem 6 portas. De quantos modos distintos esse salão pode estar 
aberto? 
Para a primeira porta temos duas opções: aberta ou fechada 
Para a segunda porta temos também, duas opções, e assim sucessivamente. 
Para as seis portas, teremos então, pelo PFC: 
N = 2.2.2.2.2.2 = 64 
Lembrando que uma dessas opções corresponde a todas as duas portas fechadas, 
teremos então que o número procurado é igual a 64 - 1 = 63. 
Resposta: o salão pode estar aberto de 63 modos possíveis. 
 
2.9 Exercícios 
01 - Um coquetel é preparado com duas ou mais bebidas distintas. Se existem 7 
bebidas distintas, quantos coquetéis diferentes podem ser preparados? 
Resp: 120 
02 - Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos distintos. Quantos 
triângulos podem ser construídos com vértices nos 9 pontos marcados? 
Resp: 84 
03 - Uma família com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. Sabendo que 
somente 2 pessoas sabem dirigir, de quantos modos poderão se acomodar para 
uma viagem? 
Resp: 48 
 33 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
3 PROBABILIDADE 
 
 
Todas as vezes que se estudam fenômenos de observação, cumpre-se 
distinguir o próprio fenômeno e o modelo matemático que melhor o explique. 
Os fenômenos estudados pela Estatística são fenômenos cujos resultados, 
mesmo em condições normais de experimentação variam de uma observação para 
outra. 
Para a explicação desses fenômenos – fenômenos aleatórios – 
adota-se um modelo matemático probabilístico. Nesse caso, o modelo 
utilizado será o CÁLCULO DAS PROBABILIDADES. 
 
3.1 Experimento aleatório 
 
Todo experimento que, repetido em condições idênticas, pode apresentar 
diferentes resultados, recebe o nome de experimento aleatório. A 
variabilidade de resultados deve-se ao acaso. 
A fim de se entender melhor a caracterização desses experimentos, 
convém observar o que há de comum nos seguintes experimentos: 
 E1: Retirar uma carta de um baralho com 52 cartas e observar seu naipe. 
 E2: Jogar uma moeda 10 vezes e observar o número de coroas obtidas. 
 E3: Retirar com ou sem reposição, bolas de uma urna que contém 5 bolas 
brancas e seis pretas. 
 E4: Jogar um dado e observar o número mostrado na face de cima. 
 E5: Contar o número de peças defeituosas da produção diária da máquina A. 
 
A análise desses experimentos revela: 
a) Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob as mesmas 
condições. 
b) Não se conhece um particular valor do experimento “a priori” , porém 
pode-se descrever todos os possíveis resultados – as possibilidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 34 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
c) Quando o experimento for repetido um grande número de vezes surgirá uma 
regularidade, isto é, haverá uma estabilidade da fração f = r/n 
(freqüência relativa), onde n é o número de repetições e r o número de 
sucessos. 
 
3.2 Espaço amostral 
 
Para cada experimento aleatório E, define-se espaço amostral o conjunto 
de todos os resultados possíveis desse experimento. 
Consideremos um experimento aleatório. O conjunto de todos os possíveis 
resultados desse experimento é chamado espaço amostral e indicado por Ω 
(letra grega que se lê: “omega”). 
Indicaremos o número de elementos de um espaço amostral por n(Ω). 
 
 
Exemplo 1 
a) E = Jogar um dado e observar o número mostrado na face de cima 
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
b) E = jogar duas moedas e observar os resultados. 
Ω = {(C,C), (C,K), (K,C), (K,K)} onde C = cara e K = coroa. 
 
Exemplo 2 
Lançamos uma moeda honesta e observamos a face voltada para cima: 
Temos: 
Ω = {K,C}, onde K: cara; e C: coroa; n(Ω) = 2. 
Chamamos cada um dos resultados possíveis de ponto amostral. 
 
Exemplo 3 
Uma urna contém cinco bolas vermelhas e quatro brancas. Duas bolas são 
extraídas, ao acaso, sucessivamente e sem reposição. Observamos a seqüência 
de cores das bolas sorteadas. 
Para determinar Ω , vamos construir um diagrama de árvore: 
 
1ª extração 2ª extração 
 
vermelha vermelha 
 
branca 
 
 Vermelha 
 
branca branca 
 
 35 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
Indicando vermelha por V e branca por B, temos: 
 
Ω = { } ? n(Ω) = 4. ),(),,(),,(),,( BBVBBVVV
 
Cada par acima é um dos pontos amostrais de Ω. 
 
 
3.3 Evento 
 
Evento é um conjunto de resultados do experimento, em termos de 
conjuntos, é um subconjunto de Ω. Em particular, Ω e Ø (conjunto vazio) são 
eventos. Ω é dito o evento certo e Ø o evento impossível. 
Usando as operações em conjunto, podemos formar novos eventos: 
 
A U B ? é o evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre ou ambos ocorrem. 
 
A I B ? é o evento que ocorre se A e B ocorrem. 
 
Ā ? é o evento que ocorre se A não ocorre. 
 
Exemplo 1 
 
a) Seja o experimento E: jogar três moedas e observar os resultados: 
 
Ω = {(c,c,c), (c,c,k), (c,k,c), (k,c,c), (k,k,k), (k,k,c), (k,c,k), 
(c,k,k)} 
 
Seja E1 o evento: ocorrer pelo menos duas caras. Então, 
 
E1 = {(c,c,c),(c,c,k), (c,k,c), (k,c,c)} 
 
b) Seja o evento E2: lançar um dado e observar o número de cima. 
Então, 
E2 = Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} é um evento certo. 
E3: ocorrência de número maior que 8. 
E3 = Ø é um evento impossível. 
 
Seja E4: ocorrer múltiplo de 2. 
Então E4 = {2, 4, 6}; observe que E4 Ω. ⊂
Seja E5: ocorrer número ímpar. 
Então E5 = {1, 3, 5}; observe que E5 Ω. ⊂
 
3.4 Probabilidade de um Evento 
 
 Agora podemos quantificar o grau de confiança de qualquer evento. 
 36 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
 Atribuímos a cada evento um número obtido da soma das imagens de cada 
um de seus elementos na relação de freqüência. Este número chama-se 
probabilidade do evento. Observe como se resolve o seguinte caso. 
 
Exemplo: 
 
 O experimento consiste em extrair uma bola do interior de uma caixa e 
observar sua cor. Há um total de nove bolas na caixa: duas brancas, três 
vermelhas e quatro pretas. 
 
 
 
 Qual será a probabilidade de tirar uma bola que não seja preta? 
Para solucionar esta questão, preparamos o esquema da figura acima: 
O espaço amostral da figura acima é: 
 
Elemento Imagem 
(B) branca 2/9 
(V) vermelha 3/9 
(P) preta 4/9 
 
 = {branca, vermelha, preta} 
 
 
O evento “tirar uma bola de cor diferente do preto”, A = {B,V}, consta 
de dois elementos. 
Como foi dito na definição de probabilidade, atribuímos a cada evento 
um número obtido da soma das imagens de cada elemento na relação de 
freqüência. 
Portanto, se somarmos as imagens da bola branca, 2/9, e da vermelha, 
3/9, que aparecem na relação de freqüência deste exemplo, vamos conhecer o 
valor da probabilidade do evento A, indicado por P(A). 
Assim, 
p(A) = 
9
2 + 
9
3 = 
9
5 
Em alguns experimentos aleatórios, cada um dos resultados (eventos 
elementares) tem a mesma freqüência relativa esperada. 
 37 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
Este é o caso de lançar uma moeda ou um dado e comprovar o resultado. 
Dizemos, então, que o espaço amostral é equiprovável, e que sua 
probabilidade é uniforme. 
 
3.5 Evento complementar 
 
Consideremos um evento E relativo a um espaço amostral Ω. Chamamos 
evento complementar de – indicado por E – ao evento que ocorre quando se, 
e somente se, E não ocorre. 
Observe o seguinte diagrama: 
Ω 
 
Notemos que E I E = Ø e E U E = Ω 
 
Exemplo 1 
Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retira-se da urna, ao acaso,uma bola. Se E é o evento “ocorre múltiplo de 3”, então E será: 
 
Temos: Ω = {1, 2, 3, ..., 10} e E = {3, 6, 9}; logo: 
 
E = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} ? é o evento “não ocorre múltiplo de 3”. 
Notemos que E U E = Ω. 
 
3.6 Probabilidades em espaços amostrais equiprováveis 
 
Consideremos o espaço amostral Ω formado por k pontos amostrais (ou eventos 
elementares): Ω = {a1, a2, a3, ..., ak} 
Vamos associar cada um desses pontos amostrais um número real, p{ai}, ou 
simplesmente pi, chamado probabilidade do evento {ai}, ou seja, probabilidade 
de ocorrência do ponto amostral ai, tal que: 
(I) 0 ≤ pi ≤ 1 
(II) = 1 , isto é, p∑=
k
1
i
i
p 1 + p2 + ... + pk = 1 
 
 38 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
Consideremos aqui os espaços amostrais equiprováveis, isto é, aqueles cujos 
pontos amostrais têm a mesma probabilidade de ocorrer. Assim, se denotarmos 
por p a probabilidade de ocorrência de cada um dos pontos amostrais de Ω, 
temos, em (II): 
p + p + p + ... + p = 1 ? k . p = 1 ? p = 
k
1 
 
 K vezes 
 
A probabilidade de ocorrência de um evento E, formado por r pontos amostrais 
E = {a1, a2, a3, ..., ar} , com r k, é dada por: ≤
 
P (E) = p1 + p2 + ... + pr ? p(E) = k
1 + 
k
1 + 
k
1 + … 
k
1 ? 
 
? p(E) = 
k
r = = Número de elementos de E n(E) 
Número de elementos de Ω n(Ω) 
Como E Ω, temos que n(E) ≤ n(Ω). Assim: ⊂
 
 
 
n(E) ≤ ≤ tal que 0 p(E) 1 
n(Ω) 
P(E) = 
 
Essa definição de probabilidade é intuitiva, isto é, a probabilidade de 
ocorrer determinado evento é dada pala razão entre o número de casos 
favoráveis (ou número de caos que nos interessam) e o número de casos 
possíveis (ou número total de casos). 
 
Assim: 
= 
Número de casos favoráveis 
Número de casos possíveis n(Ω) 
n(E) 
p(E) = 
 
 
 
 
Uma vez que o número de casos favoráveis coincide com o número de 
elementos do evento, e o número de casos possíveis corresponde ao número de 
elementos do espaço amostral, podemos escrever: 
p(A) = 
k
f , onde o evento A tem f elementos e k o número possível de 
elementos. Para ocorrer o evento A, o resultado deve ser algum desses f 
elementos, que são os casos favoráveis. 
Assim, no exemplo do lançamento de um dado, se o evento A consiste em 
obter um “5”, o número de casos favoráveis será 1, pois num dado não-viciado 
 39 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
só existe um “5”, e o número de casos possíveis é 6, portanto o espaço 
amostral é: = {1,2,3,4,5,6} 
Assim, a probabilidade do evento A será: P (A) = 1/6 
Quando dizemos que a probabilidade do evento A é 1/6, isto não 
significa que, se jogarmos o dado seis vezes, em uma delas sairá, com toda a 
certeza, o número “5”. Pode ser que o número “5” não saia nenhuma vez, ou ele 
pode sair mais de uma vez. 
A probabilidade 1/6 indica apenas que, se repetirmos esse experimento 
um número muito grande de vezes, o evento A vai ocorrer em aproximadamente 
1/6 do total de jogadas. 
 
Exemplo 1 
Uma urna contém 15 bolas numeradas de 1 a 15. Uma bola é extraída ao acaso. 
Qual a probabilidade de ser sorteada uma bola com número maior ou igual a 11? 
Temos: Ω = {1, 2, 3, ..., 15} 
 
Seja o evento E: “o número da bola sorteada é maior ou igual a 11”. 
Logo: E = {11, 12, 13, 14, 15}. 
 
Assim, p(E) = = 
15
 = 5
3
1 = 33,3% 
n(E) 
n(Ω) 
 
Exemplo 2 
Um dado é lançado e observa-se o número da face voltada para cima. Qual a 
probabilidade desse número ser: 
a) menor que 3? b) Maior ou igual a 3? 
 
a) Temos Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
E = {1, 2}. Então, p(E) = 
6
2 = 
3
1 
b) basta considerar o evento complementar: Ec = {3, 4, 5, 6}. 
Assim, p(Ec) = = 
6
4 = 
3
2 . 
n(Ec) 
n(Ω) 
 
p(E) + p(Ec) = 1 Note que 
 
Exemplo 3 
Uma moeda é lançada três vezes, sucessivamente. Qual a probabilidade de 
observarmos: a) exatamente uma cara?; b) No máximo duas caras? 
 40 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
Vamos construir um diagrama de árvore onde na 1ª, 2ª e 3ª colunas, 
respectivamente, representaremos os possíveis resultados para o 1°, 2° e 3° 
lançamentos. 
 
 K (K,K,K) 
 K 
 C (K,K,C) 
K 
 K (K,C,K) 
 C 
 C (K,C,C) 
 
 K (C,K,K) 
 K 
 C (C,K,C) 
C 
 K (C,C,K) 
 C 
 C (C,C,C) 
K: cara 
 
C: coroa 
 
 
O espaço amostral é formado pelas oito seqüências indicadas. 
 
a) O evento E1 = {(K,C,C), (C,C,K), (C,K,C)} 
 
Assim, p(E1) = = 8
3 = 37,5% 
n(E1) 
n(Ω) 
 
b) As seqüências que nos interessam são aquelas que apresentam nenhuma, 
uma ou duas caras. Assim, o evento pedido é: 
E2 = {(C,C,C),(K,C,C),(C,K,C),(C,C,K),(K,K,C),(K,C,K),(C,K,K)} 
Logo, p(e2) = 
8
7 = 87,5%. 
Exemplo 4 
Uma turma tem 20 homens e 25 mulheres. Deseja-se formar uma comissão de cinco 
alunos para representantes de turma. Qual a probabilidade de essa comissão 
vir a ser formada exclusivamente por meninos? 
O número de elementos de Ω é igual ao número de maneiras de se escolher uma 
comissão qualquer de cinco pessoas, a partir dos 45 alunos. Como vimos, n(Ω) 
= C45,5 . 
O evento que interessa é aquele em que “todos os alunos da comissão são 
meninos”. O número de comissões assim existentes é C20,5 . 
Assim, a probabilidade pedida é: 
 
P(E) = = 0,0126 = 1,26% 
C20,5 
C45,5 
 41 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
Exemplo 5 
Escolhe-se, ao acaso, um dos anagramas da palavra XADREZ. Qual a 
probabilidade da palavra escolhida começar por XA? 
O número de elementos de Ω é o número de permutações da palavra XADREZ. 
Então, n(Ω) = P6 = 6! = 720. 
O evento E = “palavra começa por XA”: 
 
X A __ __ __ __ 
 
 Definidas as duas primeiras letras, há P = 4! 4
maneiras de se preencherem as lacunas restantes. 
 
Assim, n(E) = 4! = 24. 
Logo, a probabilidade pedida é p(E) = = 
720
24 = 3,33% 
n(E) 
n(Ω) 
 
Exemplo 6 
Numa comunidade residem 100 pessoas. Uma pesquisa sobre os hábitos 
alimentares dessa comunidade revelou que: 
• 25 pessoas consomem carnes e verduras 
• 83 pessoas consomem verduras 
• 39 pessoas consomem carnes 
Uma pessoa da comunidade é escolhida ao acaso. Qual é a probabilidade de ela: 
a) consumir exclusivamente carne? 
 b) Ter o hábito alimentar de não comer nem carne nem verdura? 
Vamos construir um diagrama representando carne por C e verdura por V. 
 
 
comunidade 
V 
25 
C 
58 14 
3 
 
1°) Há 25 pessoas na integração de C e V. 
2°) Pessoas que consomem exclusivamente verduras: 83 – 25 = 58 
3°) Pessoas que consomem exclusivamente carnes: 39 – 25 = 14 
4°) Como 25 + 58 + 14 = 97, há 3 pessoas que não comem carnes nem verduras. 
Assim, as probabilidades pedidas são: 
a) 
100
14 = 0,14 = 14% b) 
100
3 = 0,03 = 3% 
 
 42 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
3.7 Probabilidade da união de dois eventos 
 
Sejam A e B eventos de um mesmo espaço amostral Ω. Vamos encontrar uma 
expressão para a probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B, isto é, a 
probabilidade da ocorrência do evento A U B. 
Consideremos dois casos: 
 
1°) eventos mutuamente exclusivos 
 
A I B = Ø Temos: 
n(A U B) = n(A) + n(B) 
Ω
B
A
 
 
 
 
 
 
 
 
Da definição de probabilidade, seg
 
P(A U B
 
Nesse caso, A e B são chamados eve
 
2°) eventos com ocorrências simult
 
 
A B
 A I B 
 
 
O evento A I B representa a ocorrê
 
Exemplo 1 
Uma urna contém 25 bolas numerada
dessa urna. 
a) Qual é a probabilidadede o
ou de 3? 
Consideremos os eventos A, “o n
múltiplo de 3”. Queremos encontrar
≠Como n(Ω) 0, podemos escrever: 
 
n(A U B) n(A) n(B) 
 
 n(Ω) n(Ω) n(Ω) + = 
ue: 
) = p(A) + p(B) 
ntos mutuamente exclusivos. 
âneas: A I B Ø ≠
Da teoria dos conjuntos, temos: 
 
n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A I B) 
 
De modo análogo ao primeiro caso: 
 
 
p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A I B) 
ncia simultânea dos eventos A e B. 
s de 1 a 25. Uma bola é extraída ao acaso 
 número da bola sorteada ser múltiplo de 2 
úmero é múltiplo de 2” e B, “o número é 
 p(A U B). Temos: 
 43 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24} ? p(A) = = 
25
12 
n(A) 
n(Ω) 
B = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24} ? p(B) = = 
25
8 n(B) 
n(Ω) 
A I B = {6, 12, 18, 24}: é o evento formado pelos múltiplos de 2 e 3 ao mesmo 
tempo, isto é, pelos múltiplos de 6. Temos: p(A I B) = 
25
4 . 
Como p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A I B) 
Temos: p(A U B) = 
25
12 + 
25
8 – 
25
4 = 
25
16 = 0,64 = 64%. 
 
b) Qual é a probabilidade de o número da bola sorteada ser múltiplo de 5 
ou de 7? 
A = {5, 10, 15, 20, 25} ? p(A) = 
25
5 
B = {7, 14, 21} ? p(B) = 
25
3 
Como A I B = Ø, temos: 
p(A U B) = p(A) + p(B) ? p(A U B) = 
25
5 + 
25
3 = 
25
8 = 0,32 = 32%. 
Exemplo 2 
A probabilidade de um guarda rodoviário aplicar quatro ou mais multas em um 
dia é de 63%; a probabilidade de ele aplicar quatro ou menos multas em um dia 
é de 56%. Qual é a probabilidade de o guarda aplicar exatamente quatro 
multas? 
Consideremos os eventos: 
A: “quatro ou mais multas”; p(A) = 0,63 
B: “quatro ou menos multas”; p(B) = 0,56 
Temos: 
1°) A B é o evento “guarda aplica exatamente quatro multas”. Queremos 
determinar p(A I B). 
I
2°) A B = (em um dia o guarda aplica menos de quatro multas, ou quatro 
multas, ou mais de quatro multas). 
U
 44 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
Assim, p(A U B) = p(Ω) = 1 (pois A U B é o evento certo). Daí: 
P(A U B) = p(A) + p(B) – p(A I B) 
1 = 0,63 + 0,56 - p(A I B) ? p(A I B) = 0,19 = 19% 
 
Exemplo 3 
Observe a roleta da figura abaixo e pense na probabilidade existente de saída 
para cada número. 
 
a) Qual a probabilidade de cada evento elementar? 
P(1) = P(2) = P(4) = P(5) = P(6) = P(7) = 1/8 P(3) = 2/8 
b) Qual a probabilidade de o número ser par? ? P({2,4,6}) = 3/8 
c) Qual a probabilidade de dar o número 3? ? P(3) = 2/8 = 1/4 
 
3.8 Experiência Composta 
Também pode nos interessar o cálculo da probabilidade de uma 
experiência composta, ou seja, a realização de dois ou mais experimentos 
aleatórios simples. 
Nesses casos, a freqüência relativa esperada para cada resultado 
possível do experimento é obtida a partir do produto das freqüências 
relativas esperadas de cada elemento que compõe o referido resultado. 
 
Exemplo: 
 
Temos uma moeda e duas caixas cheias de bolas coloridas. Na caixa A 
temos duas bolas vermelhas e cinco pretas, enquanto na B há quatro bolas 
vermelhas e uma bola azul. 
Imagine a seguinte experiência composta: lançamos uma moeda; se der 
"cara", extraímos uma bola da caixa A; e se der "coroa", uma bola da caixa B. 
Em seguida, vamos representar por um diagrama em árvore os resultados 
possíveis da experiência composta. 
Vamos Indicar também as freqüências relativas esperadas para cada 
experiência parcial. 
Como observamos no esquema da figura anterior, o espaço amostral é: 
 = {(cara, vermelha), (cara, preta), (coroa, vermelha), (coroa, azul)} 
 45 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
cara 
coroa 
5
1
5
4
7
5
7
2 vermelha 
2
1
2
1
preta 
vermelha 
azul 
O objetivo é definir uma probabilidade para o conjunto , que 
representa os resultados possíveis da experiência composta. 
A relação de freqüência é obtida atribuindo-se a cada resultado o 
produto das freqüências relativas esperadas, que aparecem em cada ramo 
completo do diagrama em árvore da figura. 
Desta maneira, comprovamos que a relação de freqüência, neste caso, é a 
seguinte: 
Elemento Imagem 
cara, vermelha 1/2 x 2/7 = 2/14 
cara, preta 1/2 x 5/7 = 5/14 
coroa, vermelha 1/2 x 4/7 = 4/14 
coroa, azul 1/2 x 1/7 = 1/10 
 
Agora podemos calcular a probabilidade de qualquer evento dessa 
experiência composta. 
 
3.9 Probabilidade condicional 
Seja E: lançar um dado e o evento A = {sair o n° 3}. Então, P(A) = 
6
1 
Considere agora o evento B = {sair um número ímpar} = {1, 3, 6}. 
É de grande importância para o cálculo das probabilidades se calcular 
a probabilidade condicional. No exemplo, pode-se querer avaliar a 
probabilidade do evento A condicionada à ocorrência do evento B. Em símbolos, 
 46 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
designa-se por P(A/B) e lê-se: “probabilidade do evento A condicionada à 
ocorrência de B”, ou melhor, “probabilidade de A dado B”. 
Assim: P(A/B) = 1/3. 
 
Obs: dada a ocorrência de um evento, teremos a redução do espaço-amostra; no 
caso, = {1, 2, 3, 4, 5, 6} foi reduzido para `= {1, 3, 5} e é neste 
espaço-amostra reduzido que se avalia a probabilidade do vento. 
Definição: Dados dois eventos, A e B, denota-se P(A/B) a probabilidade 
condicionada do evento A, quando B tiver ocorrido, por: 
 
com P(B) 0, 
pois B já ocorreu 
≠P(A B) I
P(B) 
P(A/B) = 
 
Vamos encontrar uma fórmula para o cálculo da probabilidade condicional: 
 
P(A I B) 
I
I
NCF (B) 
 NCF(A B) 
= 
NTC 
 NCF(B) 
= 
 NCF(A B) 
 NTC 
P(B) 
NTC = Número 
total de casos 
 P(A/B) = 
 
 
Desta maneira, para calcular a probabilidade de A dado B, basta contar o 
número de casos favoráveis ao evento A I B: [NCF(A I B)] e dividir pela 
quantidade de casos favoráveis ao evento B: [NCF(B)]. 
 
Exemplo: Dois dados são lançados. Consideremos os eventos: 
A = {(X1, X2)/ X1 + X2 = 10} e B = {(X1, X2)/ X1 > X2} 
Onde X1 é o resultado do dado 1 e X2 é o resultado do dado 2. 
Calcular P(A); P(B); P(A/B); P(B/A) 
 
Solução 
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 
Ω = 
 NCF ao evento A 
36
3
 
12
1= P(A) = = 
NTC 
Obs: apenas o par 
(6,4) é favorável 
ao evento (A B). I
 
 1 
3 
 NCF a (A I B) 
P(A/B) = = 
NTC a B 
 47 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
4 ESTATÍSTICA BÁSICA 
 
4.4 CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
 
A Estatística pode ser encarada como uma ciência ou como um método de 
estudo. Duas concepções para a palavra ESTATÍSTICA: 
 
a) no plural (estatísticas), indica qualquer coleção consistente de dados 
numéricos, reunidos com a finalidade de fornecer informações acerca de uma 
atividade qualquer. Por exemplo, as estatísticas demográficas referem-se 
aos dados numéricos sobre nascimentos, falecimentos, matrimônios, 
desquites, etc. 
 
b) no singular (estatística), indica um corpo de técnicas, ou ainda uma 
metodologia técnica desenvolvida para a coleta, a classificação, a 
apresentação, a análise e a interpretação de dados quantitativos e a 
utilização desses dados para a tomada de decisões. 
Qualquer ciência experimental não pode prescindir das técnicas proporcionadas 
pela Estatística, como por exemplo, a Física, a Biologia, a Administração, a 
Economia, etc. Todos esses ramos de atividade profissional tem necessidadede 
um instrumental que se preocupa com o tratamento quantitativo dos fenômenos 
de massa ou coletivos, cuja mensuração e análise requerem um conjunto de 
observações de fenômeno ou particulares. 
 
DEFINIÇÃO DE ESTATÍSTICA 
 
Estatística é a ciência que se preocupa com a coleta, a organização, 
descrição (apresentação), análise e interpretação de dados experimentais e 
tem como objetivo fundamental o estudo de uma população. 
 Este estudo pode ser feito de duas maneiras: 
• Investigando todos os elementos da população ou 
• Por amostragem, ou seja, selecionando alguns elementos da população. 
 48 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
 
 
Modelagem 
Planejamento 
Experimentação 
Comparação e 
identificação 
das melhores 
soluções 
 
Documentação 
Apresentação 
dos resultados 
Implementação 
 
Projeto 
experimental 
 
Experimentação 
 
Análise 
estatística 
dos 
resultados 
 
Coleta de 
dados 
 
Tradução do 
modelo 
 
Verificação 
e validação 
do modelo 
 
Formulação e 
análise do 
Problema 
 
Planejamento do 
projeto 
 
Formulação do 
modelo 
conceitual 
 
Coleta de macro 
informações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Conclusão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.5 DIVISÃO DA ESTATÍSTICA 
 
 
Estatística 
Inferencial 
Estatística 
Descritiva 
Métodos 
Estatísticos 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estatísti é aq e preoc oleta , 
classific ão, ão e a ados o 
fenômeno ficos além d edid a 
descrever
 
Estatísti mostral ou Inferencial): é a aquela que partindo de 
uma amost e hipóteses, tira conclusões sobre a população de 
origem e visões fundamentando-se na teoria das probabilidades. 
A estatís
O
margem de
obter par
caracterí
ca Descritiva: 
ação,apresentaç
através de grá
 o fenômeno. 
ca Indutiva (A
ra, estabelec
que formula pre
tica indutiva cuida
 processo de gener
 incerteza. Isto se
a o conjunto de tod
sticas comuns basei
uela que s
interpretaç
 e tabelas
 da análise e inter
alização do método 
 deve ao fato de q
os os indivíduos an
a-se em uma parcela
 49 
upa com a c
nalise de d
e calcular m
pretação dos dad
indutivo está a
ue a conclusão q
alisados quanto 
 do total de obs
, organização
 referentes a
as que permit
os. 
ssociado a uma 
ue se pretende 
a determinadas 
ervações. 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
 
PPooppuullaaççããoo?? Envolve: 
• Estimação 
• Teste de Hipótese 
 
Propósito: 
• Tomar Decisões sobre as 
características da População 
PPooppuullaaççããoo 
AAmmoossttrraa 
EEssttaattííssttiiccaa 
AAmmoossttrraall 
 
(( XX )) 
EEssttiimmaattiivvaass && 
tteesstteess 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.6 POPULAÇÃO 
 
É o conjunto, finito ou infinito, de indivíduos ou objetos que 
apresentam em comum determinadas características definidas, cujo 
comportamento interessa analisar. 
A população é estudada em termos de observações de características nos 
indivíduos (animados ou inanimados) que sejam relevantes para o estudo, e não 
em termos de pessoas ou objetos em si. O objetivo é tirar conclusões sobre o 
fenômeno em estudo, a partir dos dados observados. 
Como em qualquer estudo estatístico temos em mente estudar uma ou mais 
características dos elementos de uma população, é importante definir bem 
essas características de interesse para que seja delimitado os elementos que 
pertencem à população e quais os que não pertencem. 
 
 
 50 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
Exemplos: 
1. Estudar os filhos tidos, tipo de moradia, condições de trabalho, tipo de 
sanitário. Números de quartos para dormir, estado civil, uso da terra, tempo 
de trabalho, local de nascimento, tipo de cultivo, etc., dos agricultores do 
Estado do Amazonas. 
População: Todos os agricultores (proprietários de terra ou não) plantadores 
das culturas existentes no Estado do Amazonas. 
 
2. Estudar a precipitação pluviométrica anual (em mm) na cidade de Manaus. 
População: Conjunto das informações coletadas pela Estação Pluviométrica, 
durante o ano. 
 
4. As alturas dos cidadãos do Amazonas constituem uma população ou a 
população dos pesos desses cidadãos. 
 
 
EEssttaattííssttiiccaa IInnffeerreenncciiaall 
((PPrroobbaabbiilliiddaaddee)) 
EEssttaattííssttiiccaa 
DDeessccrriittiivvaa 
AAmmoossttrraaggeemm 
 
Dados 
 
População 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Divisão Da População 
 
- População Finita: apresenta um número limitado de elementos. É possível 
enumerar todos os elementos componentes. 
 
Exemplos: 
1. Idade dos universitários do Estado do Pará. 
População: Todos os universitários do Estado do Pará. 
 
- População Infinita: apresenta um número ilimitado de elementos. Não é 
possível enumerar todos os elementos componentes. 
Entretanto, tal definição existe apenas no campo teórico, uma vez que, 
na prática, nunca encontraremos populações com infinitos elementos, mas sim, 
 51 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
populações com grande número de componentes; e nessas circunstâncias, tais 
populações são tratadas como se fossem infinitas. 
 
Exemplos: 
1. Tipos de bactérias no corpo humano 
População: Todas as bactérias existentes no corpo humano. 
 
2. Comportamento das formigas de certa área 
População: Todas as formigas da área em estudo. 
 
4.4 AMOSTRAGEM 
 É a coleta das informações de parte da população, chamada 
amostra (representada por pela letra “n”), mediante métodos adequados de 
seleção destas unidades. 
 
4.5 AMOSTRA 
 É uma parte (um subconjunto finito) representativa de uma 
população selecionada segundo métodos adequados. 
 O objetivo é fazer inferências, tirar conclusões sobre populações 
com base nos resultados da amostra, para isso é necessário garantir que 
amostra seja representativa, ou seja, a amostra deve conter as mesmas 
características básicas da população, no que diz respeito ao fenômeno que 
desejamos pesquisar. 
O termo indução é um processo de raciocínio em que, partindo-se do 
conhecimento de uma parte, procura-se tirar conclusões sobre a realidade no 
todo. 
Ao induzir estamos sujeitos a erros. Entretanto, a Estatística 
Indutiva, que obtém resultados sobre populações a partir das amostras, diz 
qual a precisão dos resultados e com que probabilidade se pode confiar nas 
conclusões obtidas. 
 
4.6 CENSO 
 
É o exame completo de toda população. 
Quanto maior a amostra, mais precisas e confiáveis deverão ser as 
induções feitas sobre a população. Logo, os resultados mais perfeitos são 
obtidos pelo Censo. Na prática, esta conclusão muitas vezes não acontece: o 
emprego de amostras, com certo rigor técnico, pode levar a resultados mais 
 52 
Probabilidade e Estatística Luiz Roberto 
confiáveis ou até mesmo melhores do que os que seriam obtidos através de um 
Censo. 
As razões de se recorrer a amostras são: menor custo e tempo para 
levantar dados; melhor investigação dos elementos observados. 
 
4.7 TIPOS DE VARIÁVEIS 
 
Variável Qualitativa 
Quando seus valores são expressos por atributos ou qualidade. 
 
Exemplos: 
 
1) População: Estudantes universitários do Estado do Pará. 
Variáveis: sexo, profissão, escolaridade, religião, meio onde vivem (rural, 
urbano). 
 
2) População: População dos bairros periféricos do município de Belém. 
Variáveis: tipo de casa, existência de água encanada (sim, não), bairro de 
origem. 
 
Variáveis qualitativas que não são ordenáveis recebem o nome de nominais. 
Exemplo: religião, sexo, raça, cor. 
 
 Raça do AM - 2005 
Raça

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