Cap. 2 probabilidade

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Cap. II 
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS E EVENTOS NÃO- EXCLUSIVOS 
Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos, ou disjuntos, se os mesmos não 
podem ocorrer simultaneamente. Isto é, a ocorrência de um evento automaticamente impede 
a ocorrência do outro evento (ou eventos). Por exemplo, suponhamos que consideramos os 
dois eventos ‘ás’ e ‘rei’ com relação a uma carta retirada de um baralho. Estes dois eventos 
são mutuamente exclusivos porque qualquer carta não pode ser ao mesmo tempo um ás e um 
rei. 
Dois eventos são não exclusivos, ou conjuntos, quando é possível que ambos 
ocorram simultaneamente. Note que esta definição não indica que tais eventos devam 
necessariamente sempre ocorrer juntos. Por exemplo, suponhamos os dois possíveis eventos 
‘ás’ e ‘espadas’. Estes eventos não são mutuamente exclusivos, porque uma dada carta pode 
ser ambos, um ás e uma espada; contudo, isto não implica que cada ás seja uma espada ou 
que cada espada seja um ás. 
Exemplo: 
Um grupo de estudantes foi classificado de acordo com as variáveis “curso que 
freqüentam” (Contabilidade ou Economia) e “sexo” (masculino ou feminino). Qualquer que 
seja o número de estudantes, todos eles são classificados em uma das categorias da variável 
sexo, portanto, são eventos mutuamente exclusivos. O mesmo ocorre para o curso que 
freqüentam. Mas, os eventos masculino e curso de contabilidade são mutuamente exclusivos. 
Dessa forma: 
 
 
 
 
Do total de 90 estudantes, 20 deles são masculinos e cursam administração 
AS REGRAS DE ADIÇÃO 
As regras de adição são utilizadas quando desejamos determinar a probabilidade de 
ocorrer um evento ou outro (ou ambos) em uma só observação. Simbolicamente, podemos, 
representar a probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B por p (Aou B). Na 
linguagem da teoria dos conjuntos, isto é conhecido como união de A e B, e a probabilidade 
é designada por p (A U B). 
A regra de adição para eventos mutuamente exclusivos é: 
P(A ou B)= P(A U B)= p(A)+p(B) 
Masculino Feminino
Administração 20 15 35
Economia 30 25 55
Total 50 40 90
Curso Sexo Total
 
Exemplo: 
Ao retirar uma carta de baralho, os eventos “ás” (A) e “rei” (K) são mutuamente 
exclusivos. A probabilidade de tirar um ás ou um rei numa única tentativa é: 
p(A ou K)= p(A)+p(K)= + = = 
A figura 1(a) – Diagrama de Venn, ilustra o raciocínio implícito a essa regra de 
adição para eventos mutuamente exclusivos; 
Fig. 1 
 
 
 
 (a) 
A regra da adição para eventos não mutuamente exclusivos é: 
P(A ou B)= p(A)+p(B)-p(A e B), onde p(A e B) é a intersecção de A e B, cuja 
probabilidade é indicada por p(A I B). 
Exemplo: Ao retirar uma carta de um baralho, os eventos “ás” não são mutuamente 
exclusivos. A probabilidade de retirar um ás (A) ou uma espada (E) (ou ambos) em uma só 
tentativa é: 
p(Aou E)= p(A)+p(E)-p(A e E)= + - = = 
A figura 1(b), ilustra o raciocínio implícito a essa região de adição para eventos não 
mutuamente exclusivos: 
 Fig.1 
 
 
 (b) 
Note- se que existe uma superposição dos dois conjuntos de eventos; tal área de superposição 
é contada em dobro, de modo que precisa ser subtraída, para obtenção do resultado correto. 
 
 
 
 
A e B 
 
 A 
 
 B 
A B
�
 
EVENTOS INDEPENDENTES, EVENTOS DEPENDENTES E PROBABILIDADE 
CONDICIONAL 
Dois eventos são independentes quando a ocorrência ou não-ocorrência de um 
evento não tem efeito algum na probabilidade de ocorrência do outro evento. Dois eventos 
são dependentes quando a ocorrência ou não-ocorrência de um evento afeta a probabilidade 
de ocorrência do outro evento. 
Exemplo: 
Os resultados associados com dois lançamentos sucessivos ou não-ocorridos de uma 
moeda não viciada são considerados como eventos independentes, uma vez que o resultado 
do primeiro lançamento não tem efeito algum nas probabilidades respectivas de ocorrer uma 
cara ou uma coroa no segundo lançamento. A retirada de duas cartas sem reposição de um 
baralho são eventos dependentes, porque as probabilidades associadas coma segunda tirada 
são dependentes do resultado da primeira tirada. Especificamente, se na primeira tirada 
ocorreu um “ás”, então a probabilidade de ocorrer um “ás” na segunda tirada é a razão do 
número de ases ainda no baralho sobre o número total de cartas remanescentes, ou 3/51. 
Os eventos independentes e dependentes são chamados de Com e Sem reposição, 
respectivamente. 
Com Reposição significa o retorno do evento sorteado ao seu conjunto de origem; é 
isto que mantêm a probabilidade de sorteio constante, portanto não altera a probabilidade de 
sorteio do evento seguinte. 
Sem Reposição (condicional) significa o não retorno do evento sorteado ou seu 
conjunto de origem, alterando a probabilidade de sorteio do evento seguinte. 
É freqüente a confusão quanto á distinção entre eventos mutuamente exclusivos e 
não-exclusivos, de um lado, e, de outro, os conceitos de dependência e independência. A 
exclusão mútua significa que dois eventos não podem ocorrer conjuntamente, enquanto 
independência indica que a probabilidade de ocorrência de um evento não é afetada pala 
ocorrência de outro. 
Quando dois eventos são dependentes, o conceito de probabilidade é empregado para 
indicar a probabilidade de ocorrência de um evento relacionado. A expressão p(B/A) indica 
a probabilidade de ocorrer o evento B, dado que tenha ocorrido o evento A. Note que B/A 
não é uma fração. 
AS REGRAS DE MULTIPLICAÇÃO 
As regras de multiplicação relacionam-se com a determinação da probabilidade da 
ocorrência conjunta de A e B. Como mencionado anteriormente, isto é a intersecção de A e 
B, sendo a probabilidade designada por p (A ∩ B). Existem duas variações da regra de 
multiplicação, conforme os eventos sejam independentes ou dependentes. A regra de 
multiplicação para eventos independentes é: 
 
P(a e B)= p (A ∩ B)= p(A).p(b) 
Exemplo: 
Pela fórmula, se uma moeda não viciada é lançada duas vezes, a probabilidade de que 
ambos os resultados seja “cara” é (1/2).(1/2)=(1/4). 
O diagrama de árvore é particularmente útil como um método para descrever os 
possíveis eventos associados com observações ou tentativas seqüenciais. A figura 2 é um 
exemplo de um desses diagramas para eventos associados com dois lançamentos possíveis 
de uma moeda e indica os resultados possíveis a as probabilidades em cada ponto da 
sequência. 
Exemplo: 
Com referência á figura 2, vemos que existem 4 tipos de seqüências, ou eventos 
conjuntos, possíveis: C e C, E e O, O e C e, O e O. Pela regra de multiplicação para eventos 
independentes, a probabilidade de ocorrência conjunta par qualquer uma destas seqüências é, 
neste caso, igual a ¼ ou 0,25. Uma vez que estas são as únicas seqüências mutuamente 
exclusivas, pela regra da adição a soma das quatro probabilidades deveria ser 1, como de 
fato é: 
Evento Conjunto
Probabilidade do 
evento conjunto
Resultado do
primeiro lançamento
Resultado do
segundo lançamento
 
 
 
 
Para eventos dependentes, a probabilidade da ocorrência conjunta de A e B é a 
probabilidade de A multiplicada pela probabilidade condicional de B dado A. O mesmo 
valor será obtido se os dois eventos estiverem em posições inversas. Portanto, a regra de 
multiplicação para eventos dependentes é: 
p (A e B) = p(A) p(B/A) ou p(A e B) = p(B) p(A/B) 
 
Fig.2 
C e C 
 
C e O 
O e C 
 
 
 
O e O 
0,25 
 
0,25 
0,25 
 
 
 
0,25/1,00 
 
Exemplo: 
Suponha que um conjunto de 10 peças contenha oito em boas condições (B) e duas 
defeituosas (D). O diagrama de árvore da figura 3 representa as seqüênciasde possíveis 
resultados e as probabilidades, associadas ao experimento, de serem retiradas duas peças 
aleatoriamente e sem reposição( os subscritos representam a posição seqüencial dos 
resultados). Segundo a regra para a multiplicação de eventos dependentes, a probabilidade 
de que as duas peças selecionadas sejam boas é: 
P(B₁ e B₂) = p(B₁) p(B₂/B₁) = x = = 
Evento Conjunto
Probabilidade do 
evento conjunto
Resultado do
primeiro lançamento
Resultado do
segundo lançamento
 
Fig. 3 
 
 
 
 
 
 
B₁ e B₂ 
 
 
B₁ e B₂ 
D₁ e B₂ 
 
 
D₁ e D₂ 
56/90 
 
 
16/90 
16/90