APOSTILA - ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE

Prévia do material em texto

ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��
ÍNDICE 
 PÁG 
1. ESTATÍSTICA, CONCEITO e HISTÓRIA 06 
1.1. O QUE É ESTATÍSTICA 07 
1.2. SURGIMENTO DA ESTATÍSTICA 07 
 
2. FASES PARA UMA PESQUISA ESTATÍSTICA 11 
2.1. COLETA DOS DADOS 12 
2.2. CRÍTICA SOBRE OS DADOS 13 
2.3. APURAÇÃO DOS DADOS 13 
2.4.EXPOSIÇÃO OU APRESENTAÇÃO DOS DADOS 13 
2.5.ANÁLISE DOS RESULTADOS 13 
 
3. POPULAÇÃO E TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM 14 
3.1. POPULAÇÃO e AMOSTRA 15 
3.2. TÉCNICAS de AMOSTRAGEM 16 
3.2.1 Amostragem Casual 17 
3.2.2 Amostragem Proporcional Estratificada 19 
3.2.3 Amostragem Sistemática 21 
3.3. EXERCÍCIOS 23 
 
4. GRÁFICOS ESTATÍSTICOS 25 
4.1. GRÁFICO EM LINHA OU CURVA 26 
4.2. GRÁFICO EM COLUNA 28 
4.3.GRÁFICO EM BARRA 29 
4.4.GRÁFICO DE SETORES 30 
4.5. CARTOGRAMA 33 
4.6. PICTOGRAMA 35 
4.7.EXERCÍCIOS 36 
 
 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��
5. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 37 
5.1. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 38 
5.2. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA COM INTERVALO DE CLASSE 39 
5.3. ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 41 
5.3.1. Classe 41 
5.3.2. Limite de Classe 42 
5.3.3. Amplitude 42 
5.3.4. Ponto Médio 43 
5.4. EXERCÍCIOS 44 
 
6. TIPOS DE FREQUÊNCIA 45 
6.1.TIPOS DE FREQUÊNCIA 46 
6.1.1. Freqüência simples ou absoluta 46 
6.1.2. Freqüência relativa 46 
6.1.3. Freqüência acumulada 47 
6.1.4. Freqüência acumulada relativa 47 
6.2. EXERCÍCIOS 48 
 
7. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO 
DE FREQUÊNCIA 49 
7.1.REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 50 
7.1.1. Histograma 50 
7.1.2. Polígono de Freqüência 51 
7.1.3. Polígono de Freqüência acumulada 53 
7.2. EXERCÍCIOS 55 
 
8. MEDIDAS DE POSIÇÃO 56 
8.1. MEDIDAS DE TENDÊNCIA 57 
8.2. MEDIDAS DE POSIÇÃO 57 
8.2.1. Média Aritmética 58 
8.2.2. Média Ponderada 60 
8.2.3. Média para distribuição de frequência 62 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��
8.2.4. Mediana 63 
8.2.5. Moda 65 
8.3.EXERCÍCIOS 66 
 
9. MEDIDAS DE DISPERSÃO (VARIABILIDADE) 67 
9.1. MEDIDAS DE DISPERSÃO 68 
9.1.1. Amplitude 69 
9.1.2. Variância e Desvio Padrão 70 
9.1.3. Desvio Padrão com intervalo de classe 73 
9.2.EXERCÍCIOS 76 
 
10. MEDIDAS DE ASSIMETRIA 77 
10.1. MEDIDAS DE ASSIMETRIA 78 
10.1.1. Distribuição Simétrica 78 
10.1.2. Distribuição Assimétrica á esquerda 79 
10.1.3. Distribuição Assimétrica á direita 80 
10.2.EXERCÍCIOS 82 
 
11. CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 83 
11.1. COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO 84 
11.2.EXERCÍCIOS 89 
11.3.REGRESSÃO LINEAR SIMPLES 84 
11.4.EXERCÍCIOS 89 
 
12. NÚMEROS - ÍNDICES 91 
12.1 NÚMEROS - ÍNDICES 92 
12.1.1 Elos de relativo 95 
12.1.2 Relativo em cadeia 96 
12.1.3 Índices Agregativos 98 
12.2 INDICES ECONÔMICOS E DE INFLAÇÃO 99 
12.3EXERCÍCIOS 101 
 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��
13. PROBABILIDADE 104 
13.1 EXPERIMENTO ALEATÓRIO 105 
13.2 ESPAÇO AMOSTRAL 105 
13.3 EVENTOS 106 
13.3.1 Eventos complementares 108 
13.3.2 Eventos independentes 109 
13.3.3 Eventos mutuamente exclusivos 111 
13.4 EXERCÍCIOS 113 
13.5 PROBABILIDADE CONDICIONAL 115 
13.6EXPERIMENTO ALEATÓRIO 116 
13.7 EXERCÍCIOS 121 
 
14. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE 122 
14.1 VARIÁVEL ALEATÓRIA 123 
14.2 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE 123 
14.3 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 125 
14.4 EXERCÍCIOS 129 
14.5 DISTRIBUIÇÃO NORMAL 130 
14.6 EXERCÍCIOS 133 
 
15. TESTE DE HIPÓTESE 134 
15.1. Componentes de um teste de hipótese 136 
15.2. 3 passos para definir os sinais das hipóteses H0 e H1 136 
15.3. Tipos de tetse de hipóteses 138 
15.4. Valores para as regiões de rejeição 139 
15.5. Fórmulas para os testes de hipóteses 140 
15.6. EXERCÍCIOS 149 
 
 ANEXOS 150 
 
 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��
O QUE É ESTATÍSTICA? 
 
 É uma parte da matemática aplicada que fornece métodos para a COLETA, 
ORGANIZAÇÃO, DESCRIÇÃO, ANÁLISE e INTERPRETAÇÃO DE DADOS, 
para a utilização dos mesmos na tomada de decisões. 
 
 
SURGIMENTO DA ESTATÍSTICA 
 
 A necessidade de um conhecimento numérico sobre os recursos disponíveis, começaram a 
surgir quando as sociedades começaram a se organizar. 
 
 Os estados, desde a antiguidade, precisavam conhecer determinadas características da 
população. Efetuar sua contagem, saber sua composição e seus rendimentos. 
 
 Para que os governantes das grandes civilizações antigas, tivessem conhecimento dos bens 
que o Estado possuía e como estavam distribuídos pelos habitantes, surgiram o esboço das 
primeiras “Estatísticas”. 
 
 Ainda não possuía esse nome e era utilizada para determinar Leis sobre os impostos e 
número de homens disponíveis para guerras. Estas “estatísticas” eram limitadas á 
população adulta masculina. 
 
 O primeiro dado disponível sobre um levantamento estatístico foi referido pelo Imperador 
Egípcio Heródoto em 3.050 a.c. O levantamento Estatístico teve como finalidade, 
averiguar as riquezas do Egito e seus recursos humanos para a construção das pirâmides. 
 
 Existem relatos na Bíblia de recenseamentos realizados por Moisés em 1.490 a.c.. 
 Durante o Império Romano, era comum o Recenseamento da população e seus bens. 
 
ESTATÍSTICA – CONCEITO e HISTÓRIA 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com 	�
 No início da Idade Média, após a queda do império Romano, fora realizada estatística 
sobre as terras que eram propriedades da Igreja Católica, para saber a riqueza de seu 
poderio. 
 
 No Sec. XI, a Inglaterra realizou seu levantamento estatístico, onde incluía informações 
sobre a terra, seus proprietários, o uso dessa terra, a quantidade de animais e serviria 
de base para cálculo de impostos 
 
 Podemos observar, que atéo início do sec. XVII, a Estatística limitou-se ao estudo dos 
assuntos de Estado. A Estatística limitava-se a uma simples técnica de contagem, 
traduzindo numericamente, fatos ou fenômenos observados. 
 
 Esse tipo de coleta, organização e descrição dos dados, fazem parte da ESTATÍSTICA 
DESCRITIVA, ou seja, que apenas descreve em números o cenário dos fatos existentes. 
 
 Então, ESTATÍSTICA DESCRITIVA, é um ramo da estatística que 
aplica várias técnicas para descrever e sumariar um conjunto de dados 
existentes. 
 
 Durante o sec. XVII, inicia-se uma nova fase da Estatística iniciada pelo inglês John 
Graunt (1.620 – 1674), voltada agora para a análise do resultado dos dados observados, 
chamada de Estatística Analítica ( ou indutiva ou inferencial). 
 
 ESTATÍSTICA ANALÍTICA é nada menos do que a análise e a 
interpretação dos dados existentes auferidos pela Estatística descritiva. 
 
 Em 1.660, John Graunt publicou um trabalho estatístico sobre a mortalidade dos 
habitantes de Londres, procurando dar interpretações sociais ao seu estudo. 
 Em 1.692, o inglês e astrônomo Edmund Halley (1.658 – 1.744), famoso pela 
descoberta do cometa que leva o seu nome, baseando-se em dados sobre nascimento e 
falecimento, foi o precursor das Tábuas de Mortalidade, bastante utilizada nos ramos de 
ESTATÍSTICA – CONCEITO e HISTÓRIA 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com 
�
seguros de vida e planos de previdência. 
 
 Ainda no séc. XVII surge O Cálculo das Probabilidades pelo francês Blaise Pascal 
(1.623 – 1.662), dando uma nova dimensão para a Estatística. O estudo das probabilidades 
tem a finalidade em deduzir os fatos que poderão ocorrer, baseado no acontecimento dos 
fatos existentes. 
 
 A palavra ESTATÍSTICA surge somente no Séc. XVIII pelo alemão Godofredo 
Achenwall ( 1.719 – 1772) 
 
 Na atualidade, a Estatística não se limita apenas ao Estado e ao estudo da Demografia e da 
Economia. Hoje, ela estende-se para a análise de dados em Biologia, Medicina, Física, 
Psicologia, Indústria, Comércio, Metereologia, Educação, Tecnologia de Informação e 
principalmente na administração e nos planejamentos estratégicos das empresas. 
 
 
RESUMO 
 
 ESTATÍSTICA 
 
 É uma parte da matemática aplicada que fornece métodos para a COLETA, 
ORGANIZAÇÃO, DESCRIÇÃO, ANÁLISE e INTERPRETAÇÃO DE DADOS, para a 
utilização dos mesmos na tomada de decisões. 
 
 ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
 
 É a parte da Estatística que coleta, organiza e descreve numericamente o cenário dos 
dados existentes. 
 
 
 
ESTATÍSTICA – CONCEITO e HISTÓRIA 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
 ESTATÍSTICA ANALÍTICA 
 
 É a parte da Estatística que interpreta e analisa o resultado dos dados descritos pela 
Estatística Descritiva. 
 
 
 PROBABILIDADE 
 
 É o estudo que tem por finalidade, deduzir os fatos que poderão ocorrer, baseado no 
acontecimento dos fatos existentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA – CONCEITO e HISTÓRIA 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
FASES PARA A ELABORAÇÃO DE UMA PESQUISA 
ESTATÍSTICA 
 
 Para realizarmos uma pesquisa que envolva um trabalho estatístico é necessário 
observar 5 fases para esse trabalho. 
 
 A coleta dos dados; 
 A crítica sobre os dados; 
 A apuração dos dados; 
 A exposição ou apresentação dos dados 
 E a análise dos resultados 
 
 
1 - COLETA DOS DADOS 
 
 Depois de definido o objetivo da pesquisa ( qual o motivo para ela ser realizada), 
damos início a primeira fase da pesquisa que é a Coleta dos dados e que pode ser: 
 
 Contínua: Feita com freqüência. 
 EX: A chamada em sala de aula 
 
 Periódica: Em intervalos constantes. 
 EX: O censo ( feito a cada 10 anos) 
 
 Ocasional: Quando é feito a fim de atender uma emergência. 
 EX: Uma epidemia 
 
 
 
FASES DE UMA PESQUISA ESTATÍSTICA 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
2 - CRÍTICA SOBRE OS DADOS 
 
 Após coletados os dados, eles devem ser analisados com cuidado, á procura de falhas 
que possam influir sensivelmente no resultado da pesquisa. 
 
 EXEMPLO: Alguma idade informada com 250 anos. 
 
 
3 - APURAÇÃO DOS DADOS 
 
 É a Soma e o processamento dos dados obtidos e a disposição mediante critérios de 
classificação. 
EXEMPLO: Se vamos tentar descobrir em uma população, a média de idade, o mais 
velho, o mais novo. 
 
 
4 - EXPOSIÇÃO OU APRESENTAÇÃO DOS DADOS 
 
 É a forma de apresentação dos dados de forma mais adequada . 
 
EXEMPLO: Uso de Tabelas, Gráficos. 
 
 
5 - ANÁLISE DOS RESULTADOS 
 
 É o objetivo da pesquisa. É onde tiramos conclusão sobre os resultados da nossa 
pesquisa. 
 EXEMPLO: Constatamos que a população de alunos é envelhecida e etc... 
FASES DE UMA PESQUISA ESTATÍSTICA 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
POPULAÇÃO E AMOSTRA 
 
 VARIÁVEIS 
 
 É o conjunto das possibilidades que possui um fenômeno. 
 
 O fenômeno SEXO por exemplo, só possui duas possibilidades: 
Masculino ou Feminino. 
 
 
 TIPOS DE VARIÁVEIS 
 
 Qualitativa: Sexo, cor de um objeto, nomes ... 
 Quantitativa: Expressa em números. altura, qtde de filhos, idade ... 
 
 Quantitativa discreta: Nº Naturais 
 Ex: Qtde de filhos, idade... 
 Quantitativa contínua: Nº não Naturais 
 Ex: Altura, nota dos alunos. 
 
 
 POPULAÇÃO 
 
 População estatística (Universo) é o conjunto de fenômenos que possuem pelo 
menos uma variável em comum. 
 
 Na maioria das vezes, por impossibilidade ou inviabilidade econômica, 
limitamos as observações de uma pesquisa á apenas uma parte da população. Essa 
parte, chamamos de AMOSTRA. 
 
POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
 AMOSTRA 
 
 Amostra é um subconjunto retirado de uma população. 
 
 Mas para que a pesquisa esteja correta é necessário garantir que a amostra seja 
representativa da população, isto é, precisa possuir as mesmas características básicas da 
população e para isso, existem técnicas especiais para recolher amostras chamadas de 
AMOSTRAGEM. 
 
 
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM 
 
 Existem vários tipos de amostragem, mas as três mais utilizadas são: 
 
 Amostragem Casual; 
 Amostragem ProporcionalEstratificada; 
 Amostragem sistemática. 
 
 Para facilitar o nosso entendimento vamos dar o seguinte exemplo para as três técnicas 
de Amostragem. 
 
 Um escola fez uma pesquisa, para saber a média de idade dos seus 135 alunos e obteve 
as seguintes idades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
IDADE DOS ALUNOS DE UMA ESCOLA 
 
21; 19; 24; 21; 22; 25; 27; 22; 21; 26; 27; 25; 26; 21; 22 
24; 23; 20; 21; 22; 25; 23; 20; 18; 18; 22; 23; 24; 21; 22 
21; 22; 24; 21; 22; 20; 18; 22; 21; 26; 18; 25; 20; 18; 18 
19; 22; 18; 21; 20; 25; 23; 22; 21; 18; 18; 20; 26; 21; 29 
21; 19; 24; 23; 19; 23; 27; 19; 21; 26; 27; 19; 26; 21; 22 
30; 22; 18; 21; 18; 20; 18; 22; 29; 20; 18; 25; 18; 19; 20 
21; 22; 19; 23; 22; 25; 18; 22; 28; 25; 18; 20; 23; 21; 22 
19; 18; 20; 30; 22; 20; 18; 28; 21; 26; 27; 25; 26; 18; 22 
21; 22; 24; 21; 18; 25; 18; 28; 21; 19; 19; 25; 18; 21; 19 
 
OBS: Os alunos que em negrito e com um traço nas idades representam 
alunos do sexo feminino. 
 
 
 AMOSTRAGEM CASUAL 
 
 Ex: Queremos saber a média de idade entre os 135 alunos (POPULAÇÃO) e 
decidimos retirar somente 20% como amostra. 
 
 
POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com �	�
 
 
 Então, vamos retirar 27 alunos aleatoriamente para compor a nossa amostra. Para que 
o seu resultado e o resultado dos seus colegas tenham o mesmo resultado, vamos selecionar os 
27 primeiros alunos. 
 
IDADE DOS ALUNOS DE UMA ESCOLA 
21; 19; 24; 21; 22; 25; 27; 22; 21; 26; 27; 25; 26; 21; 22 
24; 23; 20; 21; 22; 25; 23; 20; 18; 18; 22; 23; 24; 21; 22 
21; 22; 24; 21; 22; 20; 18; 22; 21; 26; 18; 25; 20; 18; 18 
19; 22; 18; 21; 20; 25; 23; 22; 21; 18; 18; 20; 26; 21; 29 
21; 19; 24; 23; 19; 23; 27; 19; 21; 26; 27; 19; 26; 21; 22 
30; 22; 18; 21; 18; 20; 18; 22; 29; 20; 18; 25; 18; 19; 20 
21; 22; 19; 23; 22; 25; 18; 22; 28; 25; 18; 20; 23; 21; 22 
19; 18; 20; 30; 22; 20; 18; 28; 21; 26; 27; 25; 26; 18; 22 
21; 22; 24; 21; 18; 25; 18; 28; 21; 19; 19; 25; 18; 21; 19 
113355 
XX 
XX == 2277 
= 
 
110000%% 
2200%% 
XX == 113355 xx 2200 
110000 
22770000 
XX == 
POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com �
�
 
 
 
 Então, a média de idade dos alunos dessa escola é de 22,52 anos, baseado na amostra 
casual de 27 alunos. 
 
 
 AMOSTRAGEM PROPORCIONAL ESTRATIFICADA 
 
 Seria retirar a amostra, proporcionalmente as características da população. 
 
 Continuando com o mesmo exemplo dos 135 alunos e tiraremos 20% deles como 
amostra. 
 
 Podemos observar, que dos 135 alunos, 77 são do sexo masculino e 58 são do sexo 
feminino. Nesse tipo de amostragem, iremos tirar 20% dos alunos, proporcionalmente a 
quantidade de alunos do sexo masculino e do sexo feminino. Iremos retirar 20% dos homens e 
20% das mulheres. 
 
 
XX == 
2277 
660088 
 2222,,5522 
 
XX == 
POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
 
 
 Dessa forma, iremos extrair 15 alunos do sexo masculino e 12 alunos do sexo 
feminino. 
 
IDADE DOS ALUNOS DE UMA ESCOLA 
21; 19; 24; 21; 22; 25; 27; 22; 21; 26; 27; 25; 26; 21; 22 
24; 23; 20; 21; 22; 25; 23; 20; 18; 18; 22; 23; 24; 21; 22 
21; 22; 24; 21; 22; 20; 18; 22; 21; 26; 18; 25; 20; 18; 18 
19; 22; 18; 21; 20; 25; 23; 22; 21; 18; 18; 20; 26; 21; 29 
21; 19; 24; 23; 19; 23; 27; 19; 21; 26; 27; 19; 26; 21; 22 
30; 22; 18; 21; 18; 20; 18; 22; 29; 20; 18; 25; 18; 19; 20 
21; 22; 19; 23; 22; 25; 18; 22; 28; 25; 18; 20; 23; 21; 22 
19; 18; 20; 30; 22; 20; 18; 28; 21; 26; 27; 25; 26; 18; 22 
21; 22; 24; 21; 18; 25; 18; 28; 21; 19; 19; 25; 18; 21; 19 
7777 
PPooppuullaaççããoo 
MMaassccuulliinnoo 
FFeemmiinniinnoo 5588 
2200%% 
1155,,44 
1111,,66 
113355 2277 
AAmmoossttrraa 
1155 
1122 
2277 
POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
 
 
 Então, a média de idade dos alunos dessa escola é de 22,89 anos, baseado na amostra 
proporcional estratificada de 27 alunos. 
 
 
 AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA 
 
 Quando os elementos da população já se encontram ordenados, não há necessidade de 
se construir um sistema de referência. São exemplos os prédios de uma rua ou os produtos que 
passam em uma linha de produção. 
 
 Nesse caso, a seleção dos elementos que constituirão a amostra, pode ser feita por um 
sistema imposto pelo observador, o qual chamamos de Amostragem Sistemática. 
 
 Aproveitando o nosso exemplo, será necessário colocar todas as idades em ordem 
crescente ou descrente e poderemos, por exemplo, retirar um aluno á cada 6 alunos para 
compor a amostra. 
 
 Outro exemplo seria uma rua com 900 casas e desejamos obter uma amostra de 50 
casas para entrevistarmos as pessoas que moram nela. A cada 18 casas, paramos em uma 
delas para compor a amostra. 
XX == 
2277 
661188 
 2222,,8899 
 
XX == 
POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
 
 Vamos ao nosso exemplo dos alunos. Antes de tudo é necessário colocar os números 
ordenadamente de forma crescente ou decrescente. Agora, iremos retirar á cada 6 alunos, um 
para compor a nossa amostra. 
 
 
IDADE DOS ALUNOS DE UMA ESCOLA 
 
18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18 
18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18 
18; 18; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 20 
20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 21; 21; 21; 21 
21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21 
21; 21; 21; 21; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22 
22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 23; 23; 23; 23 
23; 23; 23; 23; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 25; 25; 25; 25; 25 
25; 25; 25; 25; 25; 27; 27; 27; 27; 28; 28; 29; 29; 30; 30 
 
 
 Então, a média de idade dos alunos dessa escola é de 20,70 anos, baseado na amostra 
sistemática de 27 alunos. 
XX == 
2277555599 
 2200,,7700 
 
XX == 
POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
EXERCÍCIOS 
 
1) Responda as perguntas abaixo. 
 
1) O que é Estatística e para quê ela serve. 
2) O que é Estatística Descritiva. 
3) O que é Estatística Analítica 
4) O que é Probabilidade 
 
 
2) Classifique as variáveis em Qualitativas, Quantitativa Contínua e Quantitativa 
discreta. 
 
1) Cor dos cabelos. 
2) Número de filhos. 
3) Número de peças produzidas por uma fábrica 
4) Média de idade 
5) Sexo 
6) Diâmetro de uma bola 
7) dinheiro 
 
 
3) Descreva as cinco fases para a elaboração de uma pesquisa estatística e explique 
cada uma delas. 
 
 
4) Arredonde os números abaixo, deixando-os com apenas uma casa decimal. 
 
1) 22,38. 
2) 24,65. 
POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
3) 3,7423 
4) 1,442 
5) 1,08 
6) 9,483 
 
 
5) Um fisioterapeuta, resolveu fazer uma pesquisa para saber a altura de seus clientes 
e identificou as seguintes alturas: 
 
1,75 1,68 1,65 1,73 1,67 1,82 1,84 1,70 1,76 
1,91 1,77 1,69 1,80 1,78 1,68 1,81 1,72 1,70 
1,71 1,77 1,65 1,83 1,87 1,78 1,68 1,75 1,71 
1,68 1,70 1,66 1,78 1,82 1,69 1,75 1,72 1,70 
1,81 1,72 1,73 1,79 1,78 1,85 1,81 1,69 1,75 
 
OBS: As alturas que estejam em negrito e com um traço representam clientes do sexo feminino. 
 
Descubra a média de altura dos clientes desse fisioterapeuta e depois descubra a média 
de altura, usando as seguintes técnicas de amostragem: (As amostras serão de 30% 
sobre a população) 
 
a) Amostragem Casual (Retirar para compor a amostra, os 30% primeiros) 
 
b) Amostragem Proporcional Estratificada (Retirar para compor a amostra, os 
30% primeiros homens e 30% primeiras mulheres) 
 
cc)) Amostragem Sistemática (Retirar para compor a amostra 30% da população, á 
cada 4 pessoas.) 
 
 
 
 
POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
GRÁFICOS ESTATÍSTICOS 
 
 É uma forma de apresentarmos os dados estatísticos, cujo o objetivo é o de produzir, 
para o público que apresentaremos os resultados, um entendimento mais rápido e fácil do 
fenômeno estudado. 
 
 
 Existem várias formas de apresentarmos os resultados em gráfico. As mais utilizadas 
são: 
 
 Gráfico em linha ou em curva; 
 Gráfico em colunas; 
 Gráfico em barras; 
 Gráfico em setores; 
 Cartograma; 
 Pictograma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GRÁFICOS ESTATÍSTICOS 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
GRÁFICO EM LINHA OU CURVA 
 
 Uma fazenda, produziu em 2001, 20.000 litros de leite, em 2002, 25.000 litros, em 
2003, 32.000 mil litros e em 2004, 45 mil litros. 
 
 
 
 
PPRROODDUUÇÇÃÃOO DDEE LLEEIITTEE 
AANNOOSS QQTTDDEE ((11..000000 LL)) 
22000011 
22000022 
22000033 
22000044 
2200 
2255 
3322 
4499 
QQttddee 
((11..000000)) LL 
aannooss 22..000011 22..000022 22..000033 22..000044 
1100 
2200 
3300 
4400 
5500 
GRÁFICOS ESTATÍSTICOS 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com �	�
GRÁFICO EM COLUNA 
 
 Uma fazenda, produziu em 2000, 18.000 toneladas de soja, em 2001, 11.000 
toneladas, em 2002, 10.000 toneladas e em 2004, 15 mil toneladas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QQttddee 
((11..000000)) TT 
aannooss 22..000000 22..000011 22..000022 22..000033 
55 
1100 
1155 
2200 
00 
PPRROODDUUÇÇÃÃOO DDEE SSOOJJAA 
AANNOOSS QQTTDDEE ((11..000000 TT)) 
22000000 
22000011 
22000022 
22000033 
1188 
1111 
1100 
1155 
GRÁFICOS ESTATÍSTICOS 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com �
�
GRÁFICO EM BARRA 
 
 Segundo o IBGE, em 2002, a produção de soja em Rondônia foi de 100 mil toneladas, 
no Mato Grosso do sul 214 mil toneladas, no Mato Grosso 1,200 Milhão de toneladas, em 
Goiás 212 mil toneladas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QQttddee ((11..000000)) TT 220000 440000 660000 880000 
MMTT 
MMSS 
GGOO 
RROO 
00 
11..000000 11..220000 
PPRROODDUUÇÇÃÃOO DDEE SSOOJJAA -- 22000022 
AANNOOSS QQTTDDEE ((11..000000 TT)) 
RRoonnddôônniiaa 
GGooiiááss 
MMaattoo GGrroossssoo ddoo SSuull 
MMaattoo GGrroossssoo 
110000 
221122 
221144 
11..220000 
EEssttaaddooss 
GRÁFICOS ESTATÍSTICOS 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
GRÁFICO DE SETORES 
 
 Segundo o IBGE, em 2006, a população de bovinos em Mato Grosso era de 20 
Milhões, no Mato Grosso do Sul era de 17 Milhões, em Goiás 16 Milhões e em Rondônia 8 
milhões de cabeças de gado. 
 
 
 
 O gráfico de Setores, também conhecido como “pizza” é apresentado sobre uma figura 
circular. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PPOOPPUULLAAÇÇÃÃOO DDEE BBOOVVIINNOOSS -- 22000066 
EESSTTAADDOOSS QQTTDDEE ((MMiillhhõõeess)) 
RRoonnddôônniiaa 
GGooiiááss 
MMaattoo GGrroossssoo ddoo SSuull 
MMaattoo GGrroossssoo 
TTOOTTAALL 
88 
1166 
1177 
2200 
6611 
25% 
25% 
25% 
25% 
GRÁFICOS ESTATÍSTICOS 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
 
 
 
6611 
1177 
XX == 2288%% 
MS 
 
110000%% 
XX 
6611 XX == 1177 xx 110000 
6611 
11770000 
XX == 
6611 
1166 
XX == 2266%% 
GO 
 
110000%% 
XX 
6611 XX == 1166 xx 110000 
6611 
11660000 
XX == 
GRÁFICOS ESTATÍSTICOS 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
 
 
 
6611 
2200 
XX == 3333%% 
MT 
 
110000%% 
XX 
6611 XX == 2200 xx 110000 
6611 
22..000000 
XX == 
6611 
88 
XX == 1133%% 
RO 
 
110000%% 
XX 
6611 XX == 88 xx 110000 
6611 
880000 
XX == 
GRÁFICOS ESTATÍSTICOS 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
POPULAÇÃO DE BOVINOS - 2006
26%
28%13%
33%
GO
MS
RO
MT
 
 
 
 
 
CARTOGRAMA 
 
 É a representação sobre uma carta geográfica ( um mapa). 
 
 Esse tipo de gráfico é utilizado quando o objetivo é o de mostrar dados relacionadasas 
áreas geográficas ou políticas. 
 
GRÁFICOS ESTATÍSTICOS 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GRÁFICOS ESTATÍSTICOS 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
PICTOGRAMA 
 
 É uma das formas gráficas mais utilizadas pela mídia. Consiste em informar o gráfico 
para o público utilizando-se de figuras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GRÁFICOS ESTATÍSTICOS 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
EXERCÍCIOS 
 
1) A loja de Xerox da faculdade, deseja saber como anda distribuído sua receita com as 
cópias. Apurou-se que durante o primeiro semestre de 2008, a loja obteve uma receita 
com as cópias de R$ 800,00; R$ 3.500; R$ 6.000; R$ 4.500,00; R$ 5.500 e R$ 
1.200,00 respectivamente. Represente essa distribuição graficamente. 
 
 
2) A LACBOM solicitou uma pesquisa, para saber quais os seus três segmentos de 
produtos são mais comercializados. Foi feita uma pesquisa em um supermercado e 
foram retirado a opinião de 200 pessoas como amostra e o resultado foi o seguinte: 
 
Leite Longa Vida - 98 pessoas 
Queijo - 62 pessoas 
Lacbinho - 40 pessoas 
 
 Construa um gráfico para representar a participação dos segmentos no mercado. 
 
 
 
3) Em 2006, o IBGE divulgou como anda distribuída a utilização da terra no Mato Grosso por 
hactare. Para a lavoura são utilizados 7 milhões de Hac, para a pecuária são utilizados 23 
milhões de Hac e 18 milhões são matas e florestas. Construa um gráfico mostrando a 
utilização das terras do Mato Grosso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
GRÁFICOS ESTATÍSTICOS 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com �	�
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
 
 Serve para analisarmos a freqüência que acontece os fatos individualmente ou por classes. 
 
 EXEMPLO 
 Vamos supor que coletamos a estatura de 40 alunos de uma sala de aula e temos a seguinte 
tabela. 
 
ESTATURA DOS ALUNOS (cm) 
 
 
 
 Os dados descritos aleatoriamente, chamamos de tabela primitiva, dessa forma, fica quase 
impossível analisarmos qual é o aluno mais alto, qual é o mais baixo ou quais estaturas 
mais se repetem. 
 
 A maneira apropriada para analisarmos os dados é através de uma ordenação (crescente ou 
decrescente) dos dados. A tabela, depois de ordenada, passa a se chamar TABELA 
PRIMITVA ROL. 
 
 
 
 
116666;; 116600;; 116611;; 115500;; 116622;; 116600;; 116655;; 116677;; 116644;; 116600 
 
116622;; 116611;; 116688;; 116633;; 115566;; 117733;; 116600;; 115555;; 116644;; 116688 
 
115555;; 115522;; 116633;; 116600;; 115555;; 115555;; 116699;; 115511;; 117700;; 116644 
 
115544;; 116611;; 115566;; 117722;; 115533;; 115577;; 115566;; 115588;; 115588;; 116611 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com �
�
ESTATURA DOS ALUNOS (cm) 
 
 
 Agora podemos saber com certa facilidade, a menor estatura (150 cm), a maior estatura 
(173 cm) e a estatura que mais se repete (160 cm e 165 cm). 
 
 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA COM INTERVALOS DE 
CLASSE 
 
 Para observarmos a frequência em que se repete as estaturas podemos construir uma 
tabela distribuindo as idades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
115500;; 115511;; 115522;; 115533;; 115544;; 115555;; 115555;; 115555;; 115555;; 115566 
 
115566;; 115566;; 115577;; 115588;; 115588;; 116600;; 116600;; 116600;; 116600;; 116600 
 
116611;; 116611;; 116611;; 116611;; 116622;; 116622;; 116633;; 116633;; 116644;; 116644 
 
116644;; 116655;; 116666;; 116677;; 116688;; 116688;; 116699;; 117700;; 117722;; 117733 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
ESTATURA DOS ALUNOS (cm) 
 
 
 
 
 
 Mas esse formato de distribuição é inconveniente, devido a quantidade de estaturas. Para 
resolver esse problema, o mais aconselhável é agruparmos as estaturas em intervalos de 
classes, conforme a tabela abaixo. 
115500 
115511 
115522 
115533 
115544 
115555 
115566 
115577 
115588 
116600 
116611 
EEssttaattuurraa FFrreeqquuêênncciiaa 
11 
11 
11 
11 
11 
44 
33 
11 
22 
55 
44 
116622 
116633 
116644 
116655 
116666 
116677 
116688 
116699 
117700 
117722 
117733 
 
EEssttaattuurraa FFrreeqquuêênncciiaa 
22 
22 
33 
11 
11 
11 
22 
11 
11 
11 
11 
 
4400 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
 
 
 
 O sinal ├ simboliza um intervalo fechado á esquerda e um intervalo aberto á direita, ou 
seja, no intervalo 150 ├ 154, entende-se que estamos analisando somente os valores 
maiores e iguais á 150 cm e menores que 154. 
 
 
ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA 
 
 CLASSE 
 
 São os intervalos de variação. 
 Representamos as classes por i, sendo: 
 i = 1, 2, 3, 4, ... k 
 
EESSTTAATTUURRAASS ((ccmm)) QQTTDDEE 
115500 ├ 115544 
115544 ├ 115588 
115588 ├ 116622 
116622 ├ 116666 
116666 ├ 117700 
117700 ├ 117744 
44 
99 
1111 
88 
55 
33 
TTOOTTAALL 4400 
EESSTTAATTUURRAASS DDOOSS AALLUUNNOOSS 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
 
 
 LIMITES DE CLASSE 
 
 São os valores extremos de uma distribuição. 
 O menor valor é o limite inferior da classe ( li ) e o maior valor é limite 
superior da classe ( Li ). 
 Os limites da nossa distribuição são ( li ) = 150 e ( Li ) = 173 
 Os limites do SEGUNDO intervalo de classe, representamos como ( l2 ) = 154 
e (L2 ) = 158 
 
 
 AMPLITUDE 
 
 É a diferença entre o limite superior e o limite inferior. 
 A amplitude da distribuição é de 23 cm. 
 Amplitude total = Li (173) - li (150) = 23. 
EESSTTAATTUURRAASS ((ccmm)) QQTTDDEE 
115500 ├ 115544 
115544 ├ 115588 
115588 ├ 116622 
116622├ 116666 
116666 ├ 117700 
117700 ├ 117744 
44 
99 
1111 
88 
55 
33 
TTOOTTAALL 4400 
EESSTTAATTUURRAASS DDOOSS AALLUUNNOOSS 
ii 
11 
22 
33 
44 
55 
66 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
 A amplitude do TERCEIRO intervalo de classe é de 4 cm. 
 Amplitude da classe = L3 (162) - l3 (158) = 4 
 
 
 PONTO MÉDIO 
 
 É o ponto que divide os dados em duas partes iguais ou que encontra o ponto 
central dos dados. 
 
 O ponto médio da distribuição é 161,5 cm. 
 
P.M. = Li + li 
 2 
 
P.M. = 173
 
 + 150 161,5 
 2 
 
 O ponto médio do QUARTO intervalo de classe é de 164 cm. 
 
P.M. = 166
 
 + 162 164 
 2 
 
 
 
 
 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
EXERCÍCIOS 
 
1) O A. C. Milan interessado em saber como está o desempenho do time durante os 90 
minutos de um jogo, separou em minutos, todos os 70 gols que saíram durante os jogos no 
campeonato italiano de 2008/2009 e obteve o seguinte resultado. 
 
5; 5; 10; 15; 15; 15; 18; 18; 19; 20; 20; 20; 21; 22 
23; 23; 24; 25; 26; 26; 28; 29; 30; 30; 30; 30; 30; 31 
31; 31; 31; 32; 34; 35; 35; 35; 35; 35; 36; 36; 36; 36 
36; 37; 37; 38; 38; 38; 39; 40; 42; 42; 42; 43; 56; 60 
63; 66; 68; 68; 68; 68; 70; 70; 70; 73; 77; 81; 82; 83 
 
 
a) Monte uma distribuição de frequência com intervalo de classe. A amplitude entre os 
intervalos será de 15 minutos. 
 
 b) Identifique o limite Superior e o limite inferior da distribuição e do terceiro intervalo de 
classe. 
 
 c) Descubra o ponto médio da distribuição e do segundo intervalo de classe. 
 
 d) Se você fosse o treinador do A.C Milan, qual seria sua interpretação já com os resultados 
acima 
 
O Intervalo entre as classes será um |-- 
 
OBS: Na Europa e nos outros países, o reinício dos jogos tem os cronômetros apenas paralisados, 
retomando o segundo tempo com os minutos corridos e não zerando o cronômetro como no Brasil. 
 
 
 
 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
TIPOS DE FREQUÊNCIA 
 
 Existem quatro tipos de frequência em uma distribuição. 
 
 Frequência simples ou absoluta ( fi ) 
 Frequência relativa ( fri ) 
 Frequência acumulada ( Fi ) 
 Frequência acumulada relativa ( Fri ). 
 
 
 
FREQUÊNCIA SIMPLES OU ABSOLUTA 
 
 É a frequência com que se repete os dados da distribuição. Simbolizamos por ( fi ). 
 
 
 
FREQUÊNCIA RELATIVA 
 
 É a representatividade da frequência sobre o total de entrevistados em uma distribuição 
(fri). 
 
 
 
ffrrii == ΣΣΣΣΣΣΣΣ ffii 
ffii 
TIPOS DE FREQUÊNCIA 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
FREQUÊNCIA ACUMULADA 
 
 É total da frequência dos dados acumulando-se as classes ( Fi ). 
 
 
 
FREQÜÊNCIA ACUMULADA RELATIVA 
 
 É a frequência acumulada de uma classe, divida pelo somatório da frequência simples de 
uma distribuição ( Fri ). 
 
 
 
 
 
 
EESSTTAATTUURRAASS ((ccmm)) fi 
115500 ├ 115544 
115544 ├ 115588 
115588 ├ 116622 
116622 ├ 116666 
116666 ├ 117700 
117700 ├ 117744 
44 
99 
1111 
88 
55 
33 
TTOOTTAALL 4400 
EESSTTAATTUURRAASS DDOOSS AALLUUNNOOSS 
fri 
00,,110000 
00,,222255 
00,,227755 
00,,220000 
00,,112255 
00,,007755 
11 
Fi 
44 
1133 
2244 
3322 
3377 
4400 
Fri 
00,,110000 
00,,332255 
00,,660000 
00,,880000 
00,,992255 
11 
FFkk == ff11 ++ ff22 ++ ff33 ...... ++ ffkk 
FFii 
ΣΣΣΣΣΣΣΣ ffii 
== FFrrii 
TIPOS DE FREQUÊNCIA 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com �	�
EXERCÍCIOS 
 
1) Aproveitando o exemplo do exercício anterior, encontre a freqüência simples, a 
freqüência relativa, a freqüência acumulada e a freqüência relativa acumulada 
dos gols do time do A. C. Milan. 
 
 
2) Baseado na tabela dos tipos de freqüência, interprete os resultados que você 
encontrou. O que os números dos gols do time do A. C. Milan demonstram? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TIPOS DE FREQUÊNCIA 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com �
�
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE 
FREQUÊNCIA 
 
 Uma distribuição de frequência pode ser representada graficamente por: 
 
 HISTOGRAMA; 
 POLÍGONO DE FREQUÊNCIA; 
 POLÍGONO DE FREQUÊNCIA ACUMULADA 
 
 
HISTOGRAMA 
 
 Conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal, de 
tal modo que seus pontos médios coincidam com os pontos médios dos intervalos de 
classe. 
 
 
EESSTTAATTUURRAASS ((ccmm)) QQTTDDEE 
115500 ├ 115544 
115544 ├ 115588 
115588 ├ 116622 
116622 ├ 116666 
116666 ├ 117700 
117700 ├ 117744 
44 
99 
1111 
88 
55 
33 
TTOOTTAALL 4400 
EESSTTAATTUURRAASS DDOOSS AALLUUNNOOSS 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA 
DISTRIBUIÇÀO DE FREQUÊNCIA 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
 
 
 
 
POLÍGONO DE FREQUÊNCIA 
 
 É um gráfico em linha, sendo as frequências marcadas perpendiculares ao eixo horizontal, 
levantadas pelos pontos médios dos intervalos de classe. 
 
QQttddee 
EEssttaattuurraa 
33 
66 
99 
1122 
115500 115544 115588 116622 116666 117700 117744 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA 
DISTRIBUIÇÀO DE FREQUÊNCIA 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
 
 
 
EESSTTAATTUURRAASS ((ccmm)) QQTTDDEE 
115500 ├ 115544 
115544 ├ 115588 
115588├ 116622 
116622 ├ 116666 
116666 ├ 117700 
117700 ├ 117744 
44 
99 
1111 
88 
55 
33 
TTOOTTAALL 4400 
EESSTTAATTUURRAASS DDOOSS AALLUUNNOOSS 
115522 
115566 
116600 
116644 
116688 
117722 
PPMM 
QQttddee 
114488 
33 
66 
99 
1122 
115522 115566 116600 00 116644 116688 117722 117766 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA 
DISTRIBUIÇÀO DE FREQUÊNCIA 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
POLÍGONO DE FREQUÊNCIA ACUMULADA 
 
 É traçado marcando-se as frequências acumuladas sobre perpendiculares ao eixo 
horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos de 
classe. 
 
 
 
 
EESSTTAATTUURRAASS ((ccmm)) ffii 
115500 ├ 115544 
115544 ├ 115588 
115588 ├ 116622 
116622 ├ 116666 
116666 ├ 117700 
117700 ├ 117744 
44 
99 
1111 
88 
55 
33 
TTOOTTAALL 4400 
EESSTTAATTUURRAASS DDOOSS AALLUUNNOOSS 
44 
1133 
2244 
3322 
3377 
4400 
FFii 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA 
DISTRIBUIÇÀO DE FREQUÊNCIA 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QQttddee 
 
1100 
2200 
3300 
4400 
115500 115544 115588 116622 116666 117700 117744 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA 
DISTRIBUIÇÀO DE FREQUÊNCIA 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
EXERCÍCIOS 
 
1) Monte um Histograma, um polígono de frequência e um polígono de 
frequência acumulada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EESSTTAATTUURRAASS ((ccmm)) QQttddee 
4400 ├ 444 
4444 ├ 4488 
4488 ├ 5522 
5522 ├ 5566 
5566 ├ 6600 
22 
55 
99 
66 
44 
TTOOTTAALL 2266 
IIDDAADDEE DDOOSS AALLUUNNOOSS 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA 
DISTRIBUIÇÀO DE FREQUÊNCIA 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
MEDIDAS DE TENDÊNCIA 
 
 O estudo que fizemos sobre distribuições de freqüência, nos permite descrever, de modo 
geral, os grupos de valores que uma pesquisa pode assumir. Dessa forma, podemos 
localizar a maior concentração de valores de uma distribuição, ou seja, se a maioria se 
encontra no início, no meio ou no final. 
 
 Porém, para ressaltar as tendências características de cada distribuição, necessitamos de 
algumas informações (expressas em números) que nos permitem traduzir essas tendências. 
 
 Essas informações denominadas elementos típicos da distribuição são: 
 
 Medidas de Posição; 
 Medidas de Dispersão ou Variabilidade; 
 Medidas de Assimetria; 
 Medidas de Curtose. 
 
 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 
 Serve para nos mostrar, a tendência central da concentração dos números. As medidas 
mais utilizadas são: 
 
 Média aritmética, 
 Mediana; 
 Moda. 
 
 
 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com �	�
MÉDIA ARTIMÉTICA 
 
 FORMULA: 
 
 
 
 EXEMPLO 1: 
 A produção diária de leite de uma vaca durante uma semana foi de 10, 14, 13, 
15, 16, 18 e 12 litros respectivamente. Qual a média de produção dessa vaca na semana? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
XX == ΣΣΣΣΣΣΣΣ xxii 
nn 
XX == xx11 xx22 xx33 xxnn 
nn 
++ ++ ........ ++ 
7 
X 
= 
10 + 14 + 13+ 15 + 16 + 18 + 12 
7 
X = 
98 
X = 14 Litros 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com �
�
 EXEMPLO 2: 
 Durante essa produção,a cotação diária do litro de leite foi de R$ 1,00; R$ 
1,30; R$ 1,50; R$ 1,80; R$ 1,50; R$ 1,20 e R$ 1,40 respectivamente. Qual foi o preço médio 
do litro de leite durante essa semana? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Podemos dizer que essa vaca, em média, nos rendeu um lucro de R$ 19,46. 
 
 14 Litros x R$ 1,39 = R$ 19,46 
 
 Mas essa média não leva em consideração a quantidade produzida por dia pela vaca e o 
preço por dia do leite. 
 
 Para solucionarmos esse problema, fazemos a média ponderada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
7 
X = 9,70 
X = R$ 1,39 
1,00 + 1,30 + 1,50 + 1,80 + 1,50 + 1,20 + 1,40 
= X 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
MÉDIA PONDERADA 
 FORMULA: 
 
 X = são os números. 
 
 P = são os números que dão peso ou freqüência em uma distribuição. 
 
 
 EXEMPLO 3: 
 
Aproveitando o Exemplo 1 e 2, iremos encontrar então a média ponderada do 
lucro de leite durante a semana. 
 
 ATENÇÃO!! O ponto crucial Para realizarmos o cálculo de média ponderada é definir 
qual distribuição será a letra x e qual distribuição definiremos para a letra p. 
 
 Como acabamos de estudar, a letra p simboliza a distribuição que dá peso ou que 
representa a freqüência observada. 
 
16/31 
XX == ΣΣΣΣΣΣΣΣ ((((((((xxii .. ppii)) 
XX == xx11 .. pp11 xx22 .. pp22 xxnn .. ppnn 
pp11 ++ pp22 ++ pp33 ++ ...... ++ ppnn 
++ ++ ........ ++ 
ΣΣΣΣΣΣΣΣ ppii 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
 No nosso exemplo, temos uma vaca que produziu diferentes litros de leite durante a 
semana e temos o preço da cotação diária do litro de leite durante á mesma semana. Pois 
bem. Você irá observar que no sexto dia da semana, foi o dia em que a nossa vaca 
produziu mais leite. Se multiplicarmos esses 18 litros de leite pelo preço de venda do dia, 
chegaremos á uma receita de R$ 21,60. 
 
 Analisando o quarto dia da semana, a nossa vaca produziu um pouco menos, produziu 15 
litros de leite, o que nos gerou uma receita de R$ 27,00. Perceba que o que está 
influenciando na nossa receita não é a quantidade produzida de leite e sim o preço do 
produto. No quarto dia, a cotação do litro de leite era de R$ 1,80, enquanto no sexto dia, 
quando a vaca produziu mais, era de R$ 1,20. ( R$ 0,80 á mais em relação ao sexto dia). 
 
 Portanto, definiremos a cotação diária do litro de leite como sendo a letra p, devido ela 
possuir mais peso sobre a nossa análise. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 10 14 13 15 16 18 121,00 1,30 1,50 1,80 1,50 1,20 1,40 
 
10,00 18,20 19,50 27,00 24,00 21,60 16,80 
 
xi 
pi 
9,70 
= X 
137,10 
137,10 
 
9,70 
 
TOTAL 
 
ΣΣΣΣΣΣΣΣ ppii 
ΣΣΣΣΣΣΣΣ ((((((((xxii .. ppii)) XX = 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
xi . pi 
R$ 14,13 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
 
MÉDIA PARA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
 
 Para descobrimos a média de uma distribuição com intervalo de classe é preciso encontrar 
o ponto médio de cada intervalo de classe, como no exemplo abaixo. 
 
Produção de Leite por vaca 
Litros Qtde 
10 – 14 5 
14 – 18 2 
18 – 22 8 
22 – 26 5 
TOTAL 20 
 
 
 PM = Li + li 
 2 
 
 PM = 14 + 10 12 
 2 
 Portanto, 12 é o ponto médio do primeiro intervalo de classe. 
 
 Definidos todos os pontos médios de cada intervalo de classe, definiremos então, os 
pontos médio como sendo a letra x da fórmula de média ponderada, enquanto a 
quantidade de vacas, que se refere á freqüência, definiremos como sendo a letra p da 
fórmula. 
 
 
 
 
 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
Produção de Leite por vaca 
Litros Qtde ( pi ) PM ( xi ) (xi . pi ) 
10 – 14 5 12 60 
14 – 18 2 16 32 
18 – 22 8 20 160 
22 – 26 5 24 120 
TOTAL 20 372 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MEDIANA 
 
 É outra medida de posição definida como o número que se encontra no centro de uma 
série de números, estando dispostos seguindo uma ordem. 
 
 EXEMPLO 1: 
 Foi realizada uma pesquisa com 11 alunos de uma sala, para saber a média de 
idade dos mesmos. 
00 nn 
5500%% 
20 
X = 18,60 Litros 
= X 
372 
ΣΣΣΣΣΣΣΣ ppii 
ΣΣΣΣΣΣΣΣ ((((((((xxii .. ppii)) XX == 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
 
 
 
 Para facilitar a análise, devemos colocar os números em uma ordem crescente ou 
decrescente. 
 
 
 
 
 Portanto, 22 é a Mediana, por ser o número que se encontra na posição central dessa 
distribuição. 
 
 
 
 
 EXEMPLO 2: 
 Foi realizada uma pesquisa com 10 alunos de uma sala, para saber a média de 
idade dos mesmos. 
 
 
 
 
 
 
 Quando a série de números nos mostra uma série par, a mediana se encontra em dois 
pontos centrais da série. Nesse caso, a mediana será o ponto médio entre as duas. 
 
 PM = 22 + 21 21,5 
 2 
 
 
2200;; 2222;; 1188;; 2255;; 2222;; 2211;; 2244;; 2222;; 2211;; 2233;; 2255 
1188;; 2200;; 2211;; 2211;; 2222;; 2222;; 2222;; 2233;; 2244;; 2255;; 2255 
2200;; 2222;; 1188;; 2255;; 2200;; 2211;; 2244;; 2211;; 2233;; 2277 
1188;; 2200;; 2200;; 2211;; 2211;; 2222;; 2233;; 2244;; 2255;; 2277 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
 
MODA 
 
 É o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de números. Para facilitar o 
encontro da moda, devemos colocar a série em uma ordem. 
 
 
 
 
 
 
MO = 25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2200;; 2255;; 1188;; 2255;; 2222;; 2211;; 2244;; 2222;; 2211;; 2233;; 2255 
 
1188;; 2200;; 2211;; 2211;; 2222;; 2222;; 2233;; 2244;; 2255;; 2255;; 2255 
 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
EXERCÍCIOS 
 
1) Sabendo que um aluno obteve as notas 7, 6, 5 e 8 e que essas notas têm, 
respectivamente, os pesos 2, 2, 3 e 3, calcule a sua média. 
 
2) Encontre a média de altura da seguinte distribuição de alunos: 
 
Altura dos alunos 
Altura (cm) Qtde 
150 – 154 4 
154 – 158 9 
158 – 162 11 
162 – 166 8 
166 – 170 5 
170 – 174 3 
TOTAL 
 
3) Baseado em uma amostra, descobriu-se que a idade dos alunos de uma 
sala era: 20; 22; 20; 18; 21; 20; 25; 32; 21; 25; 20; 22; 23; 27. 
Descubra a média de idade dessa sala, a mediana e a moda. 
 
4) Uma pesquisa realizada sobre a concentração de álcool no sangue de 
motoristas envolvidos em acidente fatais é dada abaixo. Descubra se a 
média, a mediana e a moda dos níveis apresentados estão acima do nível 
permitido. (permissão até 0,20) 
 
0,27 0,17 0,27 0,46 0,13 0,24 0,39 0,24 0,52 
0,84 0,16 0,92 0,46 0,21 0,46 1,18 0,80 0,15 
 
 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com �	�
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE 
 
 As medidas de posição, como podemos observar, nos mostra qual a tendência entre os 
números de uma distribuição. 
 
 A média aritmética mostra uma observação média e central entre todos os números, a 
mediana os valores centrais de uma distribuição e a moda os números que ocorrem com 
maior freqüência. 
 
 As medidas de posição ( ou tendência central), não observam a variação (ou a dispersão) 
entre os números de uma distribuição. 
 
 EXEMPLO: 
 Foi realizada uma pesquisa, onde se registrou a temperatura de 3 cidades durante uma 
semana. E o resultado foi o seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Podemos observar, que mesmo que a média de temperatura entre as três cidades sejam 
iguais, a temperatura registrada em uma semana na cidade A foi a mais homogênea, 
enquanto a cidade B registrou uma variação maior. 
 
 
 
 
2233;; 2244;; 2222;; 2222;; 2233;; 2233;; 2244 
 
2266;; 3311;; 1166;; 2233;; 2200;; 2233;; 2222 
 
2200;; 2266;; 2233;; 2211;; 2255;; 2211;; 2255 
 
AA 
BB 
CC 
CCIIDDAADDEE TTEEMMPPEERRAATTUURRAA XX 
2233 
2233 
2233 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com �
�
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para resolvermos esse problema, podemos recorrer as medidas de dispersão ou 
variabilidade. Dessas medidas, estudaremos: 
 
 Amplitude Total, 
 Variância; 
 Desvio Padrão. 
 
 
AMPLITUDE TOTAL 
 
 “É A DIFERENÇA ENTRE O MAIOR E O MENOR VALOR DE UMA 
DISTRIBUIÇÃO.” 
 
 
 
 
 
AATT == LLii -- llii 
TEMPERATURAS
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado Domingo
A B C
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
 EXEMPLO: 
 
 
 
 AT = 30 - 18 12 
 
 
 Mas podemos observar que a Amplitude é falha, por ser influenciada apenas pelos valores 
extremos, desprezando os demais números que compõem a distribuição. 
 
 Para analisarmos melhor a variabilidade ou a dispersão entre os números, usamos a 
Variância e o Desvio Padrão. 
 
 
VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO 
 
 A Variância e o Desvio Padrão são medidas que fogem a essa falha da amplitude, pois 
levam em consideração a totalidade dos números de uma série, o que faz delas índices de 
variabilidade bastante estáveis. 
 
 
VARIÂNCIA 
 FORMULA: 
 
ss22 == ΣΣΣΣΣΣΣΣ (((((((( xxii -- xx )) 
ΣΣΣΣΣΣΣΣ ffii 
1188;; 2200;; 2211;; 2211;; 2222;; 2222;; 2233;; 2244;; 2255;; 3300;; 
 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
DESVIO PADRÃO 
 
 FORMULA: 
 
ou 
 
 
ss == ΣΣΣΣΣΣΣΣ (((((((( xxii -- xx )) 
ΣΣΣΣΣΣΣΣ ffii 
ss == ss 22 
22 
ss == 
ΣΣΣΣΣΣΣΣ ffii 
ΣΣΣΣΣΣΣΣ xxii22 ΣΣΣΣΣΣΣΣ xxii 
- 
ΣΣΣΣΣΣΣΣ ffii 
22 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
 
 EXEMPLO: 
 Qual a variação da nota de um aluno que tirou 6 em matemática, 8 em 
geografia; 9 em português e 2 em inglês, utilizando a Amplitude Total e o Desvio Padrão? 
 
 AT = Li - li 
 
 AT = 9 - 2 7 
 
 
 Para facilitar o cálculo do Desvio Padrão é aconselhável montar uma tabela para acharmos 
o valor de cada xi elevado ao quadrado. 
 
xi xi
2
 
6 36 
9 81 
8 64 
2 4 
25 185 
 
 
 ΣΣΣΣ xi2 ΣΣΣΣ xi 
 ΣΣΣΣ fi ΣΣΣΣ fi 
 
 
 Perceba a diferença entre substituir a soma do xi
2
 e de substituir a soma do xi. A segunda 
fração está substituindo a soma do xi e depois de resolvido a divisão, elevando-o ao 
2 
S = 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
quadrado. 
 
 
 185 25 
 4 4 
 
 
 46,25 - 39,06 
 
 
 7,19 2,68 
 
 
 
DESVIO PADRÃO COM INTERVALO DE CLASSE 
 
 FORMULA: 
 
ss == 
ΣΣΣΣΣΣΣΣ ffii 
ΣΣΣΣΣΣΣΣ (((((((( ffii..xxii22)) ΣΣΣΣΣΣΣΣ (((((((( ffii........xxii )))))))) 
- 
ΣΣΣΣΣΣΣΣ ffii 
22 
2 
S = 
S = 
S = 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
 
 EXEMPLO: 
Produção de Leite por vaca 
Litros Qtde 
10 – 14 5 
14 – 18 8 
18 – 22 2 
22 – 26 5 
TOTAL 20 
 
 Para descobrimos quem representará a letra xi e fi é preciso encontrar o ponto médio de 
cada intervalo de classe, como no exemplo abaixo. 
 
 PM = L1 + l1 
 2 
 
 
 PM = 14 + 10 12 
 2 
 
 Definidos todos os pontos médios de cada intervalo de classe, definiremos então, os 
pontos médio como sendo a letra x da fórmula de média ponderada, enquanto a 
quantidade de vacas, que se refere á freqüência, definiremos como sendo a letra p da 
fórmula. 
 
 Precisamos também da soma de (fi . xi2), dessa forma, resolve-se primeiro o xi2, para 
depois multiplicar pelo valor de fi e substituir o resultado na fórmula. 
 
 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
(f1 . x12) ( 5 . 122) ( 5 . 144 ) 720 
 
 
Produção de Leite por vaca 
Litros Qtde ( fi ) PM ( xi ) (fi . xi ) (fi . xi2 ) 
10 – 14 5 12 60 720 
14 – 18 8 16 128 2.048 
18 – 22 2 20 40 800 
22 – 26 5 24 120 2.880 
TOTAL 20 348 6.448 
 
 
 
 
 6448 348 
 20 20 
 
 
 322,40 - 302,76 
 
 
 19,64 4,43 
ss == 
ΣΣΣΣΣΣΣΣ ffii 
ΣΣΣΣΣΣΣΣ (((((((( ffii..xxii22)) ΣΣΣΣΣΣΣΣ (((((((( ffii........xxii )))))))) 
- 
ΣΣΣΣΣΣΣΣ ffii 
22 
2 
S = 
S = 
S = 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
EXERCÍCIOS 
 
1) Sabendo que um aluno obteve as notas 7, 6, 5, 8, 3, 6 e 4 calcule a amplitude de 
suas notas e o desvio padrão e descubra se a variação entre essas notas é elevada. 
 
2) Encontre a variação da altura da seguinte distribuição de alunos, usando o desvio 
padrão. 
Altura dos alunos 
Altura (cm) Qtde 
150 – 154 4 
154 – 158 9 
158 – 162 11 
162 – 166 8 
166 – 170 5 
170 – 174 3 
TOTAL 
 
 
3) Nos seis últimos treinamentos de Usain Bolt, velocista medalha de ouro nos 100 
m rasos nas olimpíadas de Pequim com 9s69, registra a marca de 9s73, 9s76, 
9s74, 9s72, 9s72 e 9s70. Descubra a variabilidade das marcas dos últimos 
treinamentos de Bolt antes das olimpíadas, usando o desvio padrão. 
 
4) Em um restaurante, observou-se que foram consumidos durante os primeiros 
cinco dias da semana, 21 Kg, 23 kg, 20 kg, 22 kg e 24 kg de arroz. Descubra qual 
a média de consumo de arroz por dia e a variabilidade do consumo de arroz. 
 
 
 
 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ���
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com �	�
MEDIDAS DE ASSIMETRIA 
 
 Uma distribuição pode possuir três características. 
 
 Ser SIMETRICA, quando a média e a moda são as mesmas. 
 
 EXEMPLO: 
MÉDIA = 50; MODA = 50 
 
DISTRIBUIÇÃO SIMÉTRICA
0
10
20
30
40
50
60
 
 MÉDIA = MODA 
 
 
 
 
 
 
 
 
MEDIDAS DE ASSIMETRIA 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com �
�
 Ser ASSIMÉTRICA Á ESQUERDA OU NEGATIVA, quando a média é menor do que 
a moda. 
 
 EXEMPLO: 
MÉDIA = 25; MODA = 60 
 
DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA Á ESQUERDA0
10
20
30
40
50
60
70
 
 MÉDIA < MODA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MEDIDAS DE ASSIMETRIA 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com 	��
 Ser ASSIMÉTRICA Á DIREITA OU POSITIVA, quando a média é maior do que a 
moda. 
 
 EXEMPLO: 
MÉDIA = 60; MODA = 25 
 
DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA Á DIREITA
0
10
20
30
40
50
60
70
 
 MÉDIA > MODA 
 
 
 
 
 Para que serve a análise de assimetria de uma distribuição? 
 
 Serve para descobrirmos a tendência em medidas da nossa distribuição e assim, analisar 
quais os impactos podemos sofrer, caso ocorra alguma variação na distribuição. 
 
 EXEMPLO: 
Dois investidores possuem a seguinte carteira de ações. 
 
MEDIDAS DE ASSIMETRIA 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com 	��
 PETRÓLEO MINERAÇÃO BANCOS AVIAÇÃO TOTAL 
A R$ 15.000 R$ 12.000 R$ 14.000 R$ 9.000 R$ 50.000 
B R$ 35.000 R$ 1.000 R$ 12.000 R$ 2.000 R$ 50.000 
 
 
 A média de recursos aplicados por segmento pelo investidor A é de R$ 12.500,00 e a 
moda seria aquele segmento que obteve mais recursos, que no caso é R$ 15.000,00. 
 
 Já o aplicador B, a média de recursos aplicados por segmento é de R$ 12.500,00 e a moda 
seria aquele segmento que obteve mais recursos, que no caso é R$ 35.000,00. 
 
 Podemos observar que os investimentos do aplicador A está melhor distribuído do que do 
aplicador B. Caso ocorra alguma desvalorização onde está a maior parte dos investimentos 
de um dos investidores, o investidor B será o mais afetado. No mercado financeiro, 
chamamos isso de pulverizar o risco. Qualquer variação brusca nas aplicações, o 
investidor B sofrerá um impacto maior do que o investidor A. 
 
DISTRIBUIÇÃO DE ASSIMETRIA
-
5.000
10.000
15.000
20.000
25.000
30.000
35.000
Investidor A Investidor B
 MÉDIA – A e B MODA – A MODA – B 
 
 
MEDIDAS DE ASSIMETRIA 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com 	��
EXERCÍCIOS 
 
1) Analisando os resultados abaixo relativos a três distribuições de 
freqüência, analise o seu nível de assimetria. Esboce o gráfico de cada 
um. 
 
PRODUÇÃO DE CANA DE AÇUCAR 
FAZENDA 2005 2006 2007 2008 2009 
Α 5 10 30 10 5 
B 5 20 10 5 5 
C 5 10 20 30 5 
 
 
2) Um fazendeiro, possui 20 porcos, 45 galinhas, 12 patos, 6 Cavalos, 15 
gados e 22 carneiros. Descubra a assimetria dessa distribuição e esboce o 
gráfico. 
 
3) Um agricultor planejou cultivar 55 t de semente de milho, 120 t de 
semente de soja e 65 t de semente de feijão. Já um segundo agricultor, 
resolveu cultivar 70 t de semente de milho, 90 t de semente de soja e 80 t 
de semente de feijão. Esboce um gráfico de assimetria referente ao 
planejamento de cultivo de cada agricultor e aponte qual está mais 
exposto ao risco. 
 
 
 
 
 
 
MEDIDAS DE ASSIMETRIA 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com 	��
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com 	��
CORRELAÇÃO 
 
 Nos estudos anteriores, nos preocupamos apenas com uma variável. Quando fazemos a 
análise sobre duas variáveis, temos o problema da relação entre elas. 
 
 Quando analisamos, por exemplo, a ALTURA e o PESO de uma população, procuramos 
identificar se existe alguma relação em que um pode influenciar o outro. 
 
 O instrumento para medir essa relação chamamos de CORRELAÇÃO. 
 
 É claro que a altura de uma pessoa pode não influenciar o seu peso, mas, uma observação 
sobre uma população, em média, quanto maior a altura, maior o peso de uma pessoa. 
 
 
COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR 
 
 Serve para medir a intensidade da correlação entre duas variáveis e se o sentido dessa 
correlação é positiva ou negativa. 
 
 
rr == ΣΣΣΣΣΣΣΣ xxii..yyii ΣΣΣΣΣΣΣΣ xxii
 
22 
nn . - . ΣΣΣΣΣΣΣΣ yyii 
nn .. ΣΣΣΣΣΣΣΣ xxii22 -- ΣΣΣΣΣΣΣΣ xxii . 
22 
nn .. ΣΣΣΣΣΣΣΣ yyii22 -- ΣΣΣΣΣΣΣΣ yyii 
CORRELAÇÃO e REGRESSÃO 
 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com 	��
 
 
 Se r = 1 a correlação é perfeita e positiva. 
 Se r = -1 a correlação é perfeita e negativa. 
 Se r = 0 não á correlação. 
 
 EXEMPLO: 
 Foi retirado como amostra, as notas de matemática e estatística de 4 alunos em 
uma sala de aula. As notas desses alunos em matemática foi de 5, 8, 2 e 10 e em estatística foi 
de 6, 9, 6 e 10 respectivamente. Descubra se existe alguma relação entre as notas desses 
alunos. 
 
 Para facilitar o cálculo de correlação é aconselhável montar uma tabela com as 
informações obtidas. 
 
Notas de Matemática e Estatística 
MATEMÁTICA ESTATÍSTICA 
5 6 
8 9 
2 6 
10 10 
25 31 
 
 
 
--11 11 
00 
CORRELAÇÃO e REGRESSÃO 
 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com 	��
 Depois, definiremos qualquer uma das variáveis com xi ou yi. 
 
MATEMÁTICA 
( xi ) 
ESTATÍSTICA 
( yi ) (xi . yi ) ( xi
2
 ) ( yi2 ) 
5 6 30 25 36 
8 9 72 64 81 
2 6 12 4 36 
10 10 100 100 100 
25 31 214 193 253 
 
 
 Depois de montada a tabela, basta substituir na fórmula. 
 
 CUIDADO!! Ah uma diferença entre a soma do xi
2
 e a soma do ( xi )2. No primeiro, 
você irá somar todos os xi que você elevou ao quadrado, no segundo, você irá somar todo 
os xi e jogar na fórmula. Na fórmula é que se eleva o resultado do xi. A mesma coisa se 
aplica ao yi. 
 
 
 
 
 
 
 
 
CORRELAÇÃO e REGRESSÃO 
 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com 	��
 
 
 4 . 214 - 25 . 31 
 { 4 . 193 - (25)2 } . { 4 . 253 - (31)2 } 
 
 856 - 775 
 { 772 - 625 } . { 1012 - 961 } 
 
 81 
 { 147 } . { 51 } 
 
 
rr == 
ΣΣΣΣΣΣΣΣ xxii .. yyii ΣΣΣΣΣΣΣΣ xxii 
22 
nn . - . ΣΣΣΣΣΣΣΣ yyii 
nn .. ΣΣΣΣΣΣΣΣ xxii22 -- ΣΣΣΣΣΣΣΣ xxii 
. 
22 
nn .. ΣΣΣΣΣΣΣΣ yyii22 -- ΣΣΣΣΣΣΣΣ yyii 
== 
== rr 
 
== rr 
== rr 
CORRELAÇÃO e REGRESSÃO 
 
ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
PROF. IGOR FRANÇA GARCIA 
 
Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com 		�
 81 
 7497 
 
 81 
 86,59 
 
 
 0,94 
 
RESPOTA TÉCNICA 
 Há uma correlação altamente significativa entre as notas de matemática e estatística