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ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com �� ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com �� ÍNDICE PÁG 1. ESTATÍSTICA, CONCEITO e HISTÓRIA 06 1.1. O QUE É ESTATÍSTICA 07 1.2. SURGIMENTO DA ESTATÍSTICA 07 2. FASES PARA UMA PESQUISA ESTATÍSTICA 11 2.1. COLETA DOS DADOS 12 2.2. CRÍTICA SOBRE OS DADOS 13 2.3. APURAÇÃO DOS DADOS 13 2.4.EXPOSIÇÃO OU APRESENTAÇÃO DOS DADOS 13 2.5.ANÁLISE DOS RESULTADOS 13 3. POPULAÇÃO E TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM 14 3.1. POPULAÇÃO e AMOSTRA 15 3.2. TÉCNICAS de AMOSTRAGEM 16 3.2.1 Amostragem Casual 17 3.2.2 Amostragem Proporcional Estratificada 19 3.2.3 Amostragem Sistemática 21 3.3. EXERCÍCIOS 23 4. GRÁFICOS ESTATÍSTICOS 25 4.1. GRÁFICO EM LINHA OU CURVA 26 4.2. GRÁFICO EM COLUNA 28 4.3.GRÁFICO EM BARRA 29 4.4.GRÁFICO DE SETORES 30 4.5. CARTOGRAMA 33 4.6. PICTOGRAMA 35 4.7.EXERCÍCIOS 36 ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com �� 5. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 37 5.1. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 38 5.2. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA COM INTERVALO DE CLASSE 39 5.3. ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 41 5.3.1. Classe 41 5.3.2. Limite de Classe 42 5.3.3. Amplitude 42 5.3.4. Ponto Médio 43 5.4. EXERCÍCIOS 44 6. TIPOS DE FREQUÊNCIA 45 6.1.TIPOS DE FREQUÊNCIA 46 6.1.1. Freqüência simples ou absoluta 46 6.1.2. Freqüência relativa 46 6.1.3. Freqüência acumulada 47 6.1.4. Freqüência acumulada relativa 47 6.2. EXERCÍCIOS 48 7. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 49 7.1.REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 50 7.1.1. Histograma 50 7.1.2. Polígono de Freqüência 51 7.1.3. Polígono de Freqüência acumulada 53 7.2. EXERCÍCIOS 55 8. MEDIDAS DE POSIÇÃO 56 8.1. MEDIDAS DE TENDÊNCIA 57 8.2. MEDIDAS DE POSIÇÃO 57 8.2.1. Média Aritmética 58 8.2.2. Média Ponderada 60 8.2.3. Média para distribuição de frequência 62 ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com �� 8.2.4. Mediana 63 8.2.5. Moda 65 8.3.EXERCÍCIOS 66 9. MEDIDAS DE DISPERSÃO (VARIABILIDADE) 67 9.1. MEDIDAS DE DISPERSÃO 68 9.1.1. Amplitude 69 9.1.2. Variância e Desvio Padrão 70 9.1.3. Desvio Padrão com intervalo de classe 73 9.2.EXERCÍCIOS 76 10. MEDIDAS DE ASSIMETRIA 77 10.1. MEDIDAS DE ASSIMETRIA 78 10.1.1. Distribuição Simétrica 78 10.1.2. Distribuição Assimétrica á esquerda 79 10.1.3. Distribuição Assimétrica á direita 80 10.2.EXERCÍCIOS 82 11. CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 83 11.1. COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO 84 11.2.EXERCÍCIOS 89 11.3.REGRESSÃO LINEAR SIMPLES 84 11.4.EXERCÍCIOS 89 12. NÚMEROS - ÍNDICES 91 12.1 NÚMEROS - ÍNDICES 92 12.1.1 Elos de relativo 95 12.1.2 Relativo em cadeia 96 12.1.3 Índices Agregativos 98 12.2 INDICES ECONÔMICOS E DE INFLAÇÃO 99 12.3EXERCÍCIOS 101 ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com �� 13. PROBABILIDADE 104 13.1 EXPERIMENTO ALEATÓRIO 105 13.2 ESPAÇO AMOSTRAL 105 13.3 EVENTOS 106 13.3.1 Eventos complementares 108 13.3.2 Eventos independentes 109 13.3.3 Eventos mutuamente exclusivos 111 13.4 EXERCÍCIOS 113 13.5 PROBABILIDADE CONDICIONAL 115 13.6EXPERIMENTO ALEATÓRIO 116 13.7 EXERCÍCIOS 121 14. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE 122 14.1 VARIÁVEL ALEATÓRIA 123 14.2 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE 123 14.3 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 125 14.4 EXERCÍCIOS 129 14.5 DISTRIBUIÇÃO NORMAL 130 14.6 EXERCÍCIOS 133 15. TESTE DE HIPÓTESE 134 15.1. Componentes de um teste de hipótese 136 15.2. 3 passos para definir os sinais das hipóteses H0 e H1 136 15.3. Tipos de tetse de hipóteses 138 15.4. Valores para as regiões de rejeição 139 15.5. Fórmulas para os testes de hipóteses 140 15.6. EXERCÍCIOS 149 ANEXOS 150 ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com �� ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com �� O QUE É ESTATÍSTICA? É uma parte da matemática aplicada que fornece métodos para a COLETA, ORGANIZAÇÃO, DESCRIÇÃO, ANÁLISE e INTERPRETAÇÃO DE DADOS, para a utilização dos mesmos na tomada de decisões. SURGIMENTO DA ESTATÍSTICA A necessidade de um conhecimento numérico sobre os recursos disponíveis, começaram a surgir quando as sociedades começaram a se organizar. Os estados, desde a antiguidade, precisavam conhecer determinadas características da população. Efetuar sua contagem, saber sua composição e seus rendimentos. Para que os governantes das grandes civilizações antigas, tivessem conhecimento dos bens que o Estado possuía e como estavam distribuídos pelos habitantes, surgiram o esboço das primeiras “Estatísticas”. Ainda não possuía esse nome e era utilizada para determinar Leis sobre os impostos e número de homens disponíveis para guerras. Estas “estatísticas” eram limitadas á população adulta masculina. O primeiro dado disponível sobre um levantamento estatístico foi referido pelo Imperador Egípcio Heródoto em 3.050 a.c. O levantamento Estatístico teve como finalidade, averiguar as riquezas do Egito e seus recursos humanos para a construção das pirâmides. Existem relatos na Bíblia de recenseamentos realizados por Moisés em 1.490 a.c.. Durante o Império Romano, era comum o Recenseamento da população e seus bens. ESTATÍSTICA – CONCEITO e HISTÓRIA ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com � No início da Idade Média, após a queda do império Romano, fora realizada estatística sobre as terras que eram propriedades da Igreja Católica, para saber a riqueza de seu poderio. No Sec. XI, a Inglaterra realizou seu levantamento estatístico, onde incluía informações sobre a terra, seus proprietários, o uso dessa terra, a quantidade de animais e serviria de base para cálculo de impostos Podemos observar, que atéo início do sec. XVII, a Estatística limitou-se ao estudo dos assuntos de Estado. A Estatística limitava-se a uma simples técnica de contagem, traduzindo numericamente, fatos ou fenômenos observados. Esse tipo de coleta, organização e descrição dos dados, fazem parte da ESTATÍSTICA DESCRITIVA, ou seja, que apenas descreve em números o cenário dos fatos existentes. Então, ESTATÍSTICA DESCRITIVA, é um ramo da estatística que aplica várias técnicas para descrever e sumariar um conjunto de dados existentes. Durante o sec. XVII, inicia-se uma nova fase da Estatística iniciada pelo inglês John Graunt (1.620 – 1674), voltada agora para a análise do resultado dos dados observados, chamada de Estatística Analítica ( ou indutiva ou inferencial). ESTATÍSTICA ANALÍTICA é nada menos do que a análise e a interpretação dos dados existentes auferidos pela Estatística descritiva. Em 1.660, John Graunt publicou um trabalho estatístico sobre a mortalidade dos habitantes de Londres, procurando dar interpretações sociais ao seu estudo. Em 1.692, o inglês e astrônomo Edmund Halley (1.658 – 1.744), famoso pela descoberta do cometa que leva o seu nome, baseando-se em dados sobre nascimento e falecimento, foi o precursor das Tábuas de Mortalidade, bastante utilizada nos ramos de ESTATÍSTICA – CONCEITO e HISTÓRIA ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com � seguros de vida e planos de previdência. Ainda no séc. XVII surge O Cálculo das Probabilidades pelo francês Blaise Pascal (1.623 – 1.662), dando uma nova dimensão para a Estatística. O estudo das probabilidades tem a finalidade em deduzir os fatos que poderão ocorrer, baseado no acontecimento dos fatos existentes. A palavra ESTATÍSTICA surge somente no Séc. XVIII pelo alemão Godofredo Achenwall ( 1.719 – 1772) Na atualidade, a Estatística não se limita apenas ao Estado e ao estudo da Demografia e da Economia. Hoje, ela estende-se para a análise de dados em Biologia, Medicina, Física, Psicologia, Indústria, Comércio, Metereologia, Educação, Tecnologia de Informação e principalmente na administração e nos planejamentos estratégicos das empresas. RESUMO ESTATÍSTICA É uma parte da matemática aplicada que fornece métodos para a COLETA, ORGANIZAÇÃO, DESCRIÇÃO, ANÁLISE e INTERPRETAÇÃO DE DADOS, para a utilização dos mesmos na tomada de decisões. ESTATÍSTICA DESCRITIVA É a parte da Estatística que coleta, organiza e descreve numericamente o cenário dos dados existentes. ESTATÍSTICA – CONCEITO e HISTÓRIA ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� ESTATÍSTICA ANALÍTICA É a parte da Estatística que interpreta e analisa o resultado dos dados descritos pela Estatística Descritiva. PROBABILIDADE É o estudo que tem por finalidade, deduzir os fatos que poderão ocorrer, baseado no acontecimento dos fatos existentes. ESTATÍSTICA – CONCEITO e HISTÓRIA ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� FASES PARA A ELABORAÇÃO DE UMA PESQUISA ESTATÍSTICA Para realizarmos uma pesquisa que envolva um trabalho estatístico é necessário observar 5 fases para esse trabalho. A coleta dos dados; A crítica sobre os dados; A apuração dos dados; A exposição ou apresentação dos dados E a análise dos resultados 1 - COLETA DOS DADOS Depois de definido o objetivo da pesquisa ( qual o motivo para ela ser realizada), damos início a primeira fase da pesquisa que é a Coleta dos dados e que pode ser: Contínua: Feita com freqüência. EX: A chamada em sala de aula Periódica: Em intervalos constantes. EX: O censo ( feito a cada 10 anos) Ocasional: Quando é feito a fim de atender uma emergência. EX: Uma epidemia FASES DE UMA PESQUISA ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� 2 - CRÍTICA SOBRE OS DADOS Após coletados os dados, eles devem ser analisados com cuidado, á procura de falhas que possam influir sensivelmente no resultado da pesquisa. EXEMPLO: Alguma idade informada com 250 anos. 3 - APURAÇÃO DOS DADOS É a Soma e o processamento dos dados obtidos e a disposição mediante critérios de classificação. EXEMPLO: Se vamos tentar descobrir em uma população, a média de idade, o mais velho, o mais novo. 4 - EXPOSIÇÃO OU APRESENTAÇÃO DOS DADOS É a forma de apresentação dos dados de forma mais adequada . EXEMPLO: Uso de Tabelas, Gráficos. 5 - ANÁLISE DOS RESULTADOS É o objetivo da pesquisa. É onde tiramos conclusão sobre os resultados da nossa pesquisa. EXEMPLO: Constatamos que a população de alunos é envelhecida e etc... FASES DE UMA PESQUISA ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� POPULAÇÃO E AMOSTRA VARIÁVEIS É o conjunto das possibilidades que possui um fenômeno. O fenômeno SEXO por exemplo, só possui duas possibilidades: Masculino ou Feminino. TIPOS DE VARIÁVEIS Qualitativa: Sexo, cor de um objeto, nomes ... Quantitativa: Expressa em números. altura, qtde de filhos, idade ... Quantitativa discreta: Nº Naturais Ex: Qtde de filhos, idade... Quantitativa contínua: Nº não Naturais Ex: Altura, nota dos alunos. POPULAÇÃO População estatística (Universo) é o conjunto de fenômenos que possuem pelo menos uma variável em comum. Na maioria das vezes, por impossibilidade ou inviabilidade econômica, limitamos as observações de uma pesquisa á apenas uma parte da população. Essa parte, chamamos de AMOSTRA. POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� AMOSTRA Amostra é um subconjunto retirado de uma população. Mas para que a pesquisa esteja correta é necessário garantir que a amostra seja representativa da população, isto é, precisa possuir as mesmas características básicas da população e para isso, existem técnicas especiais para recolher amostras chamadas de AMOSTRAGEM. TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM Existem vários tipos de amostragem, mas as três mais utilizadas são: Amostragem Casual; Amostragem ProporcionalEstratificada; Amostragem sistemática. Para facilitar o nosso entendimento vamos dar o seguinte exemplo para as três técnicas de Amostragem. Um escola fez uma pesquisa, para saber a média de idade dos seus 135 alunos e obteve as seguintes idades: POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� IDADE DOS ALUNOS DE UMA ESCOLA 21; 19; 24; 21; 22; 25; 27; 22; 21; 26; 27; 25; 26; 21; 22 24; 23; 20; 21; 22; 25; 23; 20; 18; 18; 22; 23; 24; 21; 22 21; 22; 24; 21; 22; 20; 18; 22; 21; 26; 18; 25; 20; 18; 18 19; 22; 18; 21; 20; 25; 23; 22; 21; 18; 18; 20; 26; 21; 29 21; 19; 24; 23; 19; 23; 27; 19; 21; 26; 27; 19; 26; 21; 22 30; 22; 18; 21; 18; 20; 18; 22; 29; 20; 18; 25; 18; 19; 20 21; 22; 19; 23; 22; 25; 18; 22; 28; 25; 18; 20; 23; 21; 22 19; 18; 20; 30; 22; 20; 18; 28; 21; 26; 27; 25; 26; 18; 22 21; 22; 24; 21; 18; 25; 18; 28; 21; 19; 19; 25; 18; 21; 19 OBS: Os alunos que em negrito e com um traço nas idades representam alunos do sexo feminino. AMOSTRAGEM CASUAL Ex: Queremos saber a média de idade entre os 135 alunos (POPULAÇÃO) e decidimos retirar somente 20% como amostra. POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com � � Então, vamos retirar 27 alunos aleatoriamente para compor a nossa amostra. Para que o seu resultado e o resultado dos seus colegas tenham o mesmo resultado, vamos selecionar os 27 primeiros alunos. IDADE DOS ALUNOS DE UMA ESCOLA 21; 19; 24; 21; 22; 25; 27; 22; 21; 26; 27; 25; 26; 21; 22 24; 23; 20; 21; 22; 25; 23; 20; 18; 18; 22; 23; 24; 21; 22 21; 22; 24; 21; 22; 20; 18; 22; 21; 26; 18; 25; 20; 18; 18 19; 22; 18; 21; 20; 25; 23; 22; 21; 18; 18; 20; 26; 21; 29 21; 19; 24; 23; 19; 23; 27; 19; 21; 26; 27; 19; 26; 21; 22 30; 22; 18; 21; 18; 20; 18; 22; 29; 20; 18; 25; 18; 19; 20 21; 22; 19; 23; 22; 25; 18; 22; 28; 25; 18; 20; 23; 21; 22 19; 18; 20; 30; 22; 20; 18; 28; 21; 26; 27; 25; 26; 18; 22 21; 22; 24; 21; 18; 25; 18; 28; 21; 19; 19; 25; 18; 21; 19 113355 XX XX == 2277 = 110000%% 2200%% XX == 113355 xx 2200 110000 22770000 XX == POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com � � Então, a média de idade dos alunos dessa escola é de 22,52 anos, baseado na amostra casual de 27 alunos. AMOSTRAGEM PROPORCIONAL ESTRATIFICADA Seria retirar a amostra, proporcionalmente as características da população. Continuando com o mesmo exemplo dos 135 alunos e tiraremos 20% deles como amostra. Podemos observar, que dos 135 alunos, 77 são do sexo masculino e 58 são do sexo feminino. Nesse tipo de amostragem, iremos tirar 20% dos alunos, proporcionalmente a quantidade de alunos do sexo masculino e do sexo feminino. Iremos retirar 20% dos homens e 20% das mulheres. XX == 2277 660088 2222,,5522 XX == POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� Dessa forma, iremos extrair 15 alunos do sexo masculino e 12 alunos do sexo feminino. IDADE DOS ALUNOS DE UMA ESCOLA 21; 19; 24; 21; 22; 25; 27; 22; 21; 26; 27; 25; 26; 21; 22 24; 23; 20; 21; 22; 25; 23; 20; 18; 18; 22; 23; 24; 21; 22 21; 22; 24; 21; 22; 20; 18; 22; 21; 26; 18; 25; 20; 18; 18 19; 22; 18; 21; 20; 25; 23; 22; 21; 18; 18; 20; 26; 21; 29 21; 19; 24; 23; 19; 23; 27; 19; 21; 26; 27; 19; 26; 21; 22 30; 22; 18; 21; 18; 20; 18; 22; 29; 20; 18; 25; 18; 19; 20 21; 22; 19; 23; 22; 25; 18; 22; 28; 25; 18; 20; 23; 21; 22 19; 18; 20; 30; 22; 20; 18; 28; 21; 26; 27; 25; 26; 18; 22 21; 22; 24; 21; 18; 25; 18; 28; 21; 19; 19; 25; 18; 21; 19 7777 PPooppuullaaççããoo MMaassccuulliinnoo FFeemmiinniinnoo 5588 2200%% 1155,,44 1111,,66 113355 2277 AAmmoossttrraa 1155 1122 2277 POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� Então, a média de idade dos alunos dessa escola é de 22,89 anos, baseado na amostra proporcional estratificada de 27 alunos. AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA Quando os elementos da população já se encontram ordenados, não há necessidade de se construir um sistema de referência. São exemplos os prédios de uma rua ou os produtos que passam em uma linha de produção. Nesse caso, a seleção dos elementos que constituirão a amostra, pode ser feita por um sistema imposto pelo observador, o qual chamamos de Amostragem Sistemática. Aproveitando o nosso exemplo, será necessário colocar todas as idades em ordem crescente ou descrente e poderemos, por exemplo, retirar um aluno á cada 6 alunos para compor a amostra. Outro exemplo seria uma rua com 900 casas e desejamos obter uma amostra de 50 casas para entrevistarmos as pessoas que moram nela. A cada 18 casas, paramos em uma delas para compor a amostra. XX == 2277 661188 2222,,8899 XX == POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� Vamos ao nosso exemplo dos alunos. Antes de tudo é necessário colocar os números ordenadamente de forma crescente ou decrescente. Agora, iremos retirar á cada 6 alunos, um para compor a nossa amostra. IDADE DOS ALUNOS DE UMA ESCOLA 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18; 18 18; 18; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 20 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 21; 21; 21; 21 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21 21; 21; 21; 21; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 22; 23; 23; 23; 23 23; 23; 23; 23; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 25; 25; 25; 25; 25 25; 25; 25; 25; 25; 27; 27; 27; 27; 28; 28; 29; 29; 30; 30 Então, a média de idade dos alunos dessa escola é de 20,70 anos, baseado na amostra sistemática de 27 alunos. XX == 2277555599 2200,,7700 XX == POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� EXERCÍCIOS 1) Responda as perguntas abaixo. 1) O que é Estatística e para quê ela serve. 2) O que é Estatística Descritiva. 3) O que é Estatística Analítica 4) O que é Probabilidade 2) Classifique as variáveis em Qualitativas, Quantitativa Contínua e Quantitativa discreta. 1) Cor dos cabelos. 2) Número de filhos. 3) Número de peças produzidas por uma fábrica 4) Média de idade 5) Sexo 6) Diâmetro de uma bola 7) dinheiro 3) Descreva as cinco fases para a elaboração de uma pesquisa estatística e explique cada uma delas. 4) Arredonde os números abaixo, deixando-os com apenas uma casa decimal. 1) 22,38. 2) 24,65. POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� 3) 3,7423 4) 1,442 5) 1,08 6) 9,483 5) Um fisioterapeuta, resolveu fazer uma pesquisa para saber a altura de seus clientes e identificou as seguintes alturas: 1,75 1,68 1,65 1,73 1,67 1,82 1,84 1,70 1,76 1,91 1,77 1,69 1,80 1,78 1,68 1,81 1,72 1,70 1,71 1,77 1,65 1,83 1,87 1,78 1,68 1,75 1,71 1,68 1,70 1,66 1,78 1,82 1,69 1,75 1,72 1,70 1,81 1,72 1,73 1,79 1,78 1,85 1,81 1,69 1,75 OBS: As alturas que estejam em negrito e com um traço representam clientes do sexo feminino. Descubra a média de altura dos clientes desse fisioterapeuta e depois descubra a média de altura, usando as seguintes técnicas de amostragem: (As amostras serão de 30% sobre a população) a) Amostragem Casual (Retirar para compor a amostra, os 30% primeiros) b) Amostragem Proporcional Estratificada (Retirar para compor a amostra, os 30% primeiros homens e 30% primeiras mulheres) cc)) Amostragem Sistemática (Retirar para compor a amostra 30% da população, á cada 4 pessoas.) POPULAÇÃO e TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� GRÁFICOS ESTATÍSTICOS É uma forma de apresentarmos os dados estatísticos, cujo o objetivo é o de produzir, para o público que apresentaremos os resultados, um entendimento mais rápido e fácil do fenômeno estudado. Existem várias formas de apresentarmos os resultados em gráfico. As mais utilizadas são: Gráfico em linha ou em curva; Gráfico em colunas; Gráfico em barras; Gráfico em setores; Cartograma; Pictograma. GRÁFICOS ESTATÍSTICOS ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� GRÁFICO EM LINHA OU CURVA Uma fazenda, produziu em 2001, 20.000 litros de leite, em 2002, 25.000 litros, em 2003, 32.000 mil litros e em 2004, 45 mil litros. PPRROODDUUÇÇÃÃOO DDEE LLEEIITTEE AANNOOSS QQTTDDEE ((11..000000 LL)) 22000011 22000022 22000033 22000044 2200 2255 3322 4499 QQttddee ((11..000000)) LL aannooss 22..000011 22..000022 22..000033 22..000044 1100 2200 3300 4400 5500 GRÁFICOS ESTATÍSTICOS ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com � � GRÁFICO EM COLUNA Uma fazenda, produziu em 2000, 18.000 toneladas de soja, em 2001, 11.000 toneladas, em 2002, 10.000 toneladas e em 2004, 15 mil toneladas. QQttddee ((11..000000)) TT aannooss 22..000000 22..000011 22..000022 22..000033 55 1100 1155 2200 00 PPRROODDUUÇÇÃÃOO DDEE SSOOJJAA AANNOOSS QQTTDDEE ((11..000000 TT)) 22000000 22000011 22000022 22000033 1188 1111 1100 1155 GRÁFICOS ESTATÍSTICOS ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com � � GRÁFICO EM BARRA Segundo o IBGE, em 2002, a produção de soja em Rondônia foi de 100 mil toneladas, no Mato Grosso do sul 214 mil toneladas, no Mato Grosso 1,200 Milhão de toneladas, em Goiás 212 mil toneladas. QQttddee ((11..000000)) TT 220000 440000 660000 880000 MMTT MMSS GGOO RROO 00 11..000000 11..220000 PPRROODDUUÇÇÃÃOO DDEE SSOOJJAA -- 22000022 AANNOOSS QQTTDDEE ((11..000000 TT)) RRoonnddôônniiaa GGooiiááss MMaattoo GGrroossssoo ddoo SSuull MMaattoo GGrroossssoo 110000 221122 221144 11..220000 EEssttaaddooss GRÁFICOS ESTATÍSTICOS ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� GRÁFICO DE SETORES Segundo o IBGE, em 2006, a população de bovinos em Mato Grosso era de 20 Milhões, no Mato Grosso do Sul era de 17 Milhões, em Goiás 16 Milhões e em Rondônia 8 milhões de cabeças de gado. O gráfico de Setores, também conhecido como “pizza” é apresentado sobre uma figura circular. PPOOPPUULLAAÇÇÃÃOO DDEE BBOOVVIINNOOSS -- 22000066 EESSTTAADDOOSS QQTTDDEE ((MMiillhhõõeess)) RRoonnddôônniiaa GGooiiááss MMaattoo GGrroossssoo ddoo SSuull MMaattoo GGrroossssoo TTOOTTAALL 88 1166 1177 2200 6611 25% 25% 25% 25% GRÁFICOS ESTATÍSTICOS ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� 6611 1177 XX == 2288%% MS 110000%% XX 6611 XX == 1177 xx 110000 6611 11770000 XX == 6611 1166 XX == 2266%% GO 110000%% XX 6611 XX == 1166 xx 110000 6611 11660000 XX == GRÁFICOS ESTATÍSTICOS ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� 6611 2200 XX == 3333%% MT 110000%% XX 6611 XX == 2200 xx 110000 6611 22..000000 XX == 6611 88 XX == 1133%% RO 110000%% XX 6611 XX == 88 xx 110000 6611 880000 XX == GRÁFICOS ESTATÍSTICOS ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� POPULAÇÃO DE BOVINOS - 2006 26% 28%13% 33% GO MS RO MT CARTOGRAMA É a representação sobre uma carta geográfica ( um mapa). Esse tipo de gráfico é utilizado quando o objetivo é o de mostrar dados relacionadasas áreas geográficas ou políticas. GRÁFICOS ESTATÍSTICOS ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� GRÁFICOS ESTATÍSTICOS ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� PICTOGRAMA É uma das formas gráficas mais utilizadas pela mídia. Consiste em informar o gráfico para o público utilizando-se de figuras. GRÁFICOS ESTATÍSTICOS ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� EXERCÍCIOS 1) A loja de Xerox da faculdade, deseja saber como anda distribuído sua receita com as cópias. Apurou-se que durante o primeiro semestre de 2008, a loja obteve uma receita com as cópias de R$ 800,00; R$ 3.500; R$ 6.000; R$ 4.500,00; R$ 5.500 e R$ 1.200,00 respectivamente. Represente essa distribuição graficamente. 2) A LACBOM solicitou uma pesquisa, para saber quais os seus três segmentos de produtos são mais comercializados. Foi feita uma pesquisa em um supermercado e foram retirado a opinião de 200 pessoas como amostra e o resultado foi o seguinte: Leite Longa Vida - 98 pessoas Queijo - 62 pessoas Lacbinho - 40 pessoas Construa um gráfico para representar a participação dos segmentos no mercado. 3) Em 2006, o IBGE divulgou como anda distribuída a utilização da terra no Mato Grosso por hactare. Para a lavoura são utilizados 7 milhões de Hac, para a pecuária são utilizados 23 milhões de Hac e 18 milhões são matas e florestas. Construa um gráfico mostrando a utilização das terras do Mato Grosso. GRÁFICOS ESTATÍSTICOS ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com � � DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA Serve para analisarmos a freqüência que acontece os fatos individualmente ou por classes. EXEMPLO Vamos supor que coletamos a estatura de 40 alunos de uma sala de aula e temos a seguinte tabela. ESTATURA DOS ALUNOS (cm) Os dados descritos aleatoriamente, chamamos de tabela primitiva, dessa forma, fica quase impossível analisarmos qual é o aluno mais alto, qual é o mais baixo ou quais estaturas mais se repetem. A maneira apropriada para analisarmos os dados é através de uma ordenação (crescente ou decrescente) dos dados. A tabela, depois de ordenada, passa a se chamar TABELA PRIMITVA ROL. 116666;; 116600;; 116611;; 115500;; 116622;; 116600;; 116655;; 116677;; 116644;; 116600 116622;; 116611;; 116688;; 116633;; 115566;; 117733;; 116600;; 115555;; 116644;; 116688 115555;; 115522;; 116633;; 116600;; 115555;; 115555;; 116699;; 115511;; 117700;; 116644 115544;; 116611;; 115566;; 117722;; 115533;; 115577;; 115566;; 115588;; 115588;; 116611 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com � � ESTATURA DOS ALUNOS (cm) Agora podemos saber com certa facilidade, a menor estatura (150 cm), a maior estatura (173 cm) e a estatura que mais se repete (160 cm e 165 cm). DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA COM INTERVALOS DE CLASSE Para observarmos a frequência em que se repete as estaturas podemos construir uma tabela distribuindo as idades. 115500;; 115511;; 115522;; 115533;; 115544;; 115555;; 115555;; 115555;; 115555;; 115566 115566;; 115566;; 115577;; 115588;; 115588;; 116600;; 116600;; 116600;; 116600;; 116600 116611;; 116611;; 116611;; 116611;; 116622;; 116622;; 116633;; 116633;; 116644;; 116644 116644;; 116655;; 116666;; 116677;; 116688;; 116688;; 116699;; 117700;; 117722;; 117733 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� ESTATURA DOS ALUNOS (cm) Mas esse formato de distribuição é inconveniente, devido a quantidade de estaturas. Para resolver esse problema, o mais aconselhável é agruparmos as estaturas em intervalos de classes, conforme a tabela abaixo. 115500 115511 115522 115533 115544 115555 115566 115577 115588 116600 116611 EEssttaattuurraa FFrreeqquuêênncciiaa 11 11 11 11 11 44 33 11 22 55 44 116622 116633 116644 116655 116666 116677 116688 116699 117700 117722 117733 EEssttaattuurraa FFrreeqquuêênncciiaa 22 22 33 11 11 11 22 11 11 11 11 4400 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� O sinal ├ simboliza um intervalo fechado á esquerda e um intervalo aberto á direita, ou seja, no intervalo 150 ├ 154, entende-se que estamos analisando somente os valores maiores e iguais á 150 cm e menores que 154. ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA CLASSE São os intervalos de variação. Representamos as classes por i, sendo: i = 1, 2, 3, 4, ... k EESSTTAATTUURRAASS ((ccmm)) QQTTDDEE 115500 ├ 115544 115544 ├ 115588 115588 ├ 116622 116622 ├ 116666 116666 ├ 117700 117700 ├ 117744 44 99 1111 88 55 33 TTOOTTAALL 4400 EESSTTAATTUURRAASS DDOOSS AALLUUNNOOSS DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� LIMITES DE CLASSE São os valores extremos de uma distribuição. O menor valor é o limite inferior da classe ( li ) e o maior valor é limite superior da classe ( Li ). Os limites da nossa distribuição são ( li ) = 150 e ( Li ) = 173 Os limites do SEGUNDO intervalo de classe, representamos como ( l2 ) = 154 e (L2 ) = 158 AMPLITUDE É a diferença entre o limite superior e o limite inferior. A amplitude da distribuição é de 23 cm. Amplitude total = Li (173) - li (150) = 23. EESSTTAATTUURRAASS ((ccmm)) QQTTDDEE 115500 ├ 115544 115544 ├ 115588 115588 ├ 116622 116622├ 116666 116666 ├ 117700 117700 ├ 117744 44 99 1111 88 55 33 TTOOTTAALL 4400 EESSTTAATTUURRAASS DDOOSS AALLUUNNOOSS ii 11 22 33 44 55 66 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� A amplitude do TERCEIRO intervalo de classe é de 4 cm. Amplitude da classe = L3 (162) - l3 (158) = 4 PONTO MÉDIO É o ponto que divide os dados em duas partes iguais ou que encontra o ponto central dos dados. O ponto médio da distribuição é 161,5 cm. P.M. = Li + li 2 P.M. = 173 + 150 161,5 2 O ponto médio do QUARTO intervalo de classe é de 164 cm. P.M. = 166 + 162 164 2 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� EXERCÍCIOS 1) O A. C. Milan interessado em saber como está o desempenho do time durante os 90 minutos de um jogo, separou em minutos, todos os 70 gols que saíram durante os jogos no campeonato italiano de 2008/2009 e obteve o seguinte resultado. 5; 5; 10; 15; 15; 15; 18; 18; 19; 20; 20; 20; 21; 22 23; 23; 24; 25; 26; 26; 28; 29; 30; 30; 30; 30; 30; 31 31; 31; 31; 32; 34; 35; 35; 35; 35; 35; 36; 36; 36; 36 36; 37; 37; 38; 38; 38; 39; 40; 42; 42; 42; 43; 56; 60 63; 66; 68; 68; 68; 68; 70; 70; 70; 73; 77; 81; 82; 83 a) Monte uma distribuição de frequência com intervalo de classe. A amplitude entre os intervalos será de 15 minutos. b) Identifique o limite Superior e o limite inferior da distribuição e do terceiro intervalo de classe. c) Descubra o ponto médio da distribuição e do segundo intervalo de classe. d) Se você fosse o treinador do A.C Milan, qual seria sua interpretação já com os resultados acima O Intervalo entre as classes será um |-- OBS: Na Europa e nos outros países, o reinício dos jogos tem os cronômetros apenas paralisados, retomando o segundo tempo com os minutos corridos e não zerando o cronômetro como no Brasil. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� TIPOS DE FREQUÊNCIA Existem quatro tipos de frequência em uma distribuição. Frequência simples ou absoluta ( fi ) Frequência relativa ( fri ) Frequência acumulada ( Fi ) Frequência acumulada relativa ( Fri ). FREQUÊNCIA SIMPLES OU ABSOLUTA É a frequência com que se repete os dados da distribuição. Simbolizamos por ( fi ). FREQUÊNCIA RELATIVA É a representatividade da frequência sobre o total de entrevistados em uma distribuição (fri). ffrrii == ΣΣΣΣΣΣΣΣ ffii ffii TIPOS DE FREQUÊNCIA ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� FREQUÊNCIA ACUMULADA É total da frequência dos dados acumulando-se as classes ( Fi ). FREQÜÊNCIA ACUMULADA RELATIVA É a frequência acumulada de uma classe, divida pelo somatório da frequência simples de uma distribuição ( Fri ). EESSTTAATTUURRAASS ((ccmm)) fi 115500 ├ 115544 115544 ├ 115588 115588 ├ 116622 116622 ├ 116666 116666 ├ 117700 117700 ├ 117744 44 99 1111 88 55 33 TTOOTTAALL 4400 EESSTTAATTUURRAASS DDOOSS AALLUUNNOOSS fri 00,,110000 00,,222255 00,,227755 00,,220000 00,,112255 00,,007755 11 Fi 44 1133 2244 3322 3377 4400 Fri 00,,110000 00,,332255 00,,660000 00,,880000 00,,992255 11 FFkk == ff11 ++ ff22 ++ ff33 ...... ++ ffkk FFii ΣΣΣΣΣΣΣΣ ffii == FFrrii TIPOS DE FREQUÊNCIA ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com � � EXERCÍCIOS 1) Aproveitando o exemplo do exercício anterior, encontre a freqüência simples, a freqüência relativa, a freqüência acumulada e a freqüência relativa acumulada dos gols do time do A. C. Milan. 2) Baseado na tabela dos tipos de freqüência, interprete os resultados que você encontrou. O que os números dos gols do time do A. C. Milan demonstram? TIPOS DE FREQUÊNCIA ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com � � ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA Uma distribuição de frequência pode ser representada graficamente por: HISTOGRAMA; POLÍGONO DE FREQUÊNCIA; POLÍGONO DE FREQUÊNCIA ACUMULADA HISTOGRAMA Conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal, de tal modo que seus pontos médios coincidam com os pontos médios dos intervalos de classe. EESSTTAATTUURRAASS ((ccmm)) QQTTDDEE 115500 ├ 115544 115544 ├ 115588 115588 ├ 116622 116622 ├ 116666 116666 ├ 117700 117700 ├ 117744 44 99 1111 88 55 33 TTOOTTAALL 4400 EESSTTAATTUURRAASS DDOOSS AALLUUNNOOSS REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÀO DE FREQUÊNCIA ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� POLÍGONO DE FREQUÊNCIA É um gráfico em linha, sendo as frequências marcadas perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios dos intervalos de classe. QQttddee EEssttaattuurraa 33 66 99 1122 115500 115544 115588 116622 116666 117700 117744 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÀO DE FREQUÊNCIA ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� EESSTTAATTUURRAASS ((ccmm)) QQTTDDEE 115500 ├ 115544 115544 ├ 115588 115588├ 116622 116622 ├ 116666 116666 ├ 117700 117700 ├ 117744 44 99 1111 88 55 33 TTOOTTAALL 4400 EESSTTAATTUURRAASS DDOOSS AALLUUNNOOSS 115522 115566 116600 116644 116688 117722 PPMM QQttddee 114488 33 66 99 1122 115522 115566 116600 00 116644 116688 117722 117766 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÀO DE FREQUÊNCIA ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� POLÍGONO DE FREQUÊNCIA ACUMULADA É traçado marcando-se as frequências acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe. EESSTTAATTUURRAASS ((ccmm)) ffii 115500 ├ 115544 115544 ├ 115588 115588 ├ 116622 116622 ├ 116666 116666 ├ 117700 117700 ├ 117744 44 99 1111 88 55 33 TTOOTTAALL 4400 EESSTTAATTUURRAASS DDOOSS AALLUUNNOOSS 44 1133 2244 3322 3377 4400 FFii REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÀO DE FREQUÊNCIA ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� QQttddee 1100 2200 3300 4400 115500 115544 115588 116622 116666 117700 117744 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÀO DE FREQUÊNCIA ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� EXERCÍCIOS 1) Monte um Histograma, um polígono de frequência e um polígono de frequência acumulada. EESSTTAATTUURRAASS ((ccmm)) QQttddee 4400 ├ 444 4444 ├ 4488 4488 ├ 5522 5522 ├ 5566 5566 ├ 6600 22 55 99 66 44 TTOOTTAALL 2266 IIDDAADDEE DDOOSS AALLUUNNOOSS REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÀO DE FREQUÊNCIA ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� MEDIDAS DE TENDÊNCIA O estudo que fizemos sobre distribuições de freqüência, nos permite descrever, de modo geral, os grupos de valores que uma pesquisa pode assumir. Dessa forma, podemos localizar a maior concentração de valores de uma distribuição, ou seja, se a maioria se encontra no início, no meio ou no final. Porém, para ressaltar as tendências características de cada distribuição, necessitamos de algumas informações (expressas em números) que nos permitem traduzir essas tendências. Essas informações denominadas elementos típicos da distribuição são: Medidas de Posição; Medidas de Dispersão ou Variabilidade; Medidas de Assimetria; Medidas de Curtose. MEDIDAS DE POSIÇÃO Serve para nos mostrar, a tendência central da concentração dos números. As medidas mais utilizadas são: Média aritmética, Mediana; Moda. MEDIDAS DE POSIÇÃO ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com � � MÉDIA ARTIMÉTICA FORMULA: EXEMPLO 1: A produção diária de leite de uma vaca durante uma semana foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros respectivamente. Qual a média de produção dessa vaca na semana? XX == ΣΣΣΣΣΣΣΣ xxii nn XX == xx11 xx22 xx33 xxnn nn ++ ++ ........ ++ 7 X = 10 + 14 + 13+ 15 + 16 + 18 + 12 7 X = 98 X = 14 Litros MEDIDAS DE POSIÇÃO ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com � � EXEMPLO 2: Durante essa produção,a cotação diária do litro de leite foi de R$ 1,00; R$ 1,30; R$ 1,50; R$ 1,80; R$ 1,50; R$ 1,20 e R$ 1,40 respectivamente. Qual foi o preço médio do litro de leite durante essa semana? Podemos dizer que essa vaca, em média, nos rendeu um lucro de R$ 19,46. 14 Litros x R$ 1,39 = R$ 19,46 Mas essa média não leva em consideração a quantidade produzida por dia pela vaca e o preço por dia do leite. Para solucionarmos esse problema, fazemos a média ponderada. 7 7 X = 9,70 X = R$ 1,39 1,00 + 1,30 + 1,50 + 1,80 + 1,50 + 1,20 + 1,40 = X MEDIDAS DE POSIÇÃO ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� MÉDIA PONDERADA FORMULA: X = são os números. P = são os números que dão peso ou freqüência em uma distribuição. EXEMPLO 3: Aproveitando o Exemplo 1 e 2, iremos encontrar então a média ponderada do lucro de leite durante a semana. ATENÇÃO!! O ponto crucial Para realizarmos o cálculo de média ponderada é definir qual distribuição será a letra x e qual distribuição definiremos para a letra p. Como acabamos de estudar, a letra p simboliza a distribuição que dá peso ou que representa a freqüência observada. 16/31 XX == ΣΣΣΣΣΣΣΣ ((((((((xxii .. ppii)) XX == xx11 .. pp11 xx22 .. pp22 xxnn .. ppnn pp11 ++ pp22 ++ pp33 ++ ...... ++ ppnn ++ ++ ........ ++ ΣΣΣΣΣΣΣΣ ppii MEDIDAS DE POSIÇÃO ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� No nosso exemplo, temos uma vaca que produziu diferentes litros de leite durante a semana e temos o preço da cotação diária do litro de leite durante á mesma semana. Pois bem. Você irá observar que no sexto dia da semana, foi o dia em que a nossa vaca produziu mais leite. Se multiplicarmos esses 18 litros de leite pelo preço de venda do dia, chegaremos á uma receita de R$ 21,60. Analisando o quarto dia da semana, a nossa vaca produziu um pouco menos, produziu 15 litros de leite, o que nos gerou uma receita de R$ 27,00. Perceba que o que está influenciando na nossa receita não é a quantidade produzida de leite e sim o preço do produto. No quarto dia, a cotação do litro de leite era de R$ 1,80, enquanto no sexto dia, quando a vaca produziu mais, era de R$ 1,20. ( R$ 0,80 á mais em relação ao sexto dia). Portanto, definiremos a cotação diária do litro de leite como sendo a letra p, devido ela possuir mais peso sobre a nossa análise. 10 14 13 15 16 18 121,00 1,30 1,50 1,80 1,50 1,20 1,40 10,00 18,20 19,50 27,00 24,00 21,60 16,80 xi pi 9,70 = X 137,10 137,10 9,70 TOTAL ΣΣΣΣΣΣΣΣ ppii ΣΣΣΣΣΣΣΣ ((((((((xxii .. ppii)) XX = MEDIDAS DE POSIÇÃO xi . pi R$ 14,13 ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� MÉDIA PARA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA Para descobrimos a média de uma distribuição com intervalo de classe é preciso encontrar o ponto médio de cada intervalo de classe, como no exemplo abaixo. Produção de Leite por vaca Litros Qtde 10 – 14 5 14 – 18 2 18 – 22 8 22 – 26 5 TOTAL 20 PM = Li + li 2 PM = 14 + 10 12 2 Portanto, 12 é o ponto médio do primeiro intervalo de classe. Definidos todos os pontos médios de cada intervalo de classe, definiremos então, os pontos médio como sendo a letra x da fórmula de média ponderada, enquanto a quantidade de vacas, que se refere á freqüência, definiremos como sendo a letra p da fórmula. MEDIDAS DE POSIÇÃO ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� Produção de Leite por vaca Litros Qtde ( pi ) PM ( xi ) (xi . pi ) 10 – 14 5 12 60 14 – 18 2 16 32 18 – 22 8 20 160 22 – 26 5 24 120 TOTAL 20 372 MEDIANA É outra medida de posição definida como o número que se encontra no centro de uma série de números, estando dispostos seguindo uma ordem. EXEMPLO 1: Foi realizada uma pesquisa com 11 alunos de uma sala, para saber a média de idade dos mesmos. 00 nn 5500%% 20 X = 18,60 Litros = X 372 ΣΣΣΣΣΣΣΣ ppii ΣΣΣΣΣΣΣΣ ((((((((xxii .. ppii)) XX == MEDIDAS DE POSIÇÃO ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� Para facilitar a análise, devemos colocar os números em uma ordem crescente ou decrescente. Portanto, 22 é a Mediana, por ser o número que se encontra na posição central dessa distribuição. EXEMPLO 2: Foi realizada uma pesquisa com 10 alunos de uma sala, para saber a média de idade dos mesmos. Quando a série de números nos mostra uma série par, a mediana se encontra em dois pontos centrais da série. Nesse caso, a mediana será o ponto médio entre as duas. PM = 22 + 21 21,5 2 2200;; 2222;; 1188;; 2255;; 2222;; 2211;; 2244;; 2222;; 2211;; 2233;; 2255 1188;; 2200;; 2211;; 2211;; 2222;; 2222;; 2222;; 2233;; 2244;; 2255;; 2255 2200;; 2222;; 1188;; 2255;; 2200;; 2211;; 2244;; 2211;; 2233;; 2277 1188;; 2200;; 2200;; 2211;; 2211;; 2222;; 2233;; 2244;; 2255;; 2277 MEDIDAS DE POSIÇÃO ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� MODA É o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de números. Para facilitar o encontro da moda, devemos colocar a série em uma ordem. MO = 25 2200;; 2255;; 1188;; 2255;; 2222;; 2211;; 2244;; 2222;; 2211;; 2233;; 2255 1188;; 2200;; 2211;; 2211;; 2222;; 2222;; 2233;; 2244;; 2255;; 2255;; 2255 MEDIDAS DE POSIÇÃO ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� EXERCÍCIOS 1) Sabendo que um aluno obteve as notas 7, 6, 5 e 8 e que essas notas têm, respectivamente, os pesos 2, 2, 3 e 3, calcule a sua média. 2) Encontre a média de altura da seguinte distribuição de alunos: Altura dos alunos Altura (cm) Qtde 150 – 154 4 154 – 158 9 158 – 162 11 162 – 166 8 166 – 170 5 170 – 174 3 TOTAL 3) Baseado em uma amostra, descobriu-se que a idade dos alunos de uma sala era: 20; 22; 20; 18; 21; 20; 25; 32; 21; 25; 20; 22; 23; 27. Descubra a média de idade dessa sala, a mediana e a moda. 4) Uma pesquisa realizada sobre a concentração de álcool no sangue de motoristas envolvidos em acidente fatais é dada abaixo. Descubra se a média, a mediana e a moda dos níveis apresentados estão acima do nível permitido. (permissão até 0,20) 0,27 0,17 0,27 0,46 0,13 0,24 0,39 0,24 0,52 0,84 0,16 0,92 0,46 0,21 0,46 1,18 0,80 0,15 MEDIDAS DE POSIÇÃO ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com � � MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE As medidas de posição, como podemos observar, nos mostra qual a tendência entre os números de uma distribuição. A média aritmética mostra uma observação média e central entre todos os números, a mediana os valores centrais de uma distribuição e a moda os números que ocorrem com maior freqüência. As medidas de posição ( ou tendência central), não observam a variação (ou a dispersão) entre os números de uma distribuição. EXEMPLO: Foi realizada uma pesquisa, onde se registrou a temperatura de 3 cidades durante uma semana. E o resultado foi o seguinte: Podemos observar, que mesmo que a média de temperatura entre as três cidades sejam iguais, a temperatura registrada em uma semana na cidade A foi a mais homogênea, enquanto a cidade B registrou uma variação maior. 2233;; 2244;; 2222;; 2222;; 2233;; 2233;; 2244 2266;; 3311;; 1166;; 2233;; 2200;; 2233;; 2222 2200;; 2266;; 2233;; 2211;; 2255;; 2211;; 2255 AA BB CC CCIIDDAADDEE TTEEMMPPEERRAATTUURRAA XX 2233 2233 2233 MEDIDAS DE DISPERSÃO ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com � � Para resolvermos esse problema, podemos recorrer as medidas de dispersão ou variabilidade. Dessas medidas, estudaremos: Amplitude Total, Variância; Desvio Padrão. AMPLITUDE TOTAL “É A DIFERENÇA ENTRE O MAIOR E O MENOR VALOR DE UMA DISTRIBUIÇÃO.” AATT == LLii -- llii TEMPERATURAS 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado Domingo A B C MEDIDAS DE DISPERSÃO ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� EXEMPLO: AT = 30 - 18 12 Mas podemos observar que a Amplitude é falha, por ser influenciada apenas pelos valores extremos, desprezando os demais números que compõem a distribuição. Para analisarmos melhor a variabilidade ou a dispersão entre os números, usamos a Variância e o Desvio Padrão. VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO A Variância e o Desvio Padrão são medidas que fogem a essa falha da amplitude, pois levam em consideração a totalidade dos números de uma série, o que faz delas índices de variabilidade bastante estáveis. VARIÂNCIA FORMULA: ss22 == ΣΣΣΣΣΣΣΣ (((((((( xxii -- xx )) ΣΣΣΣΣΣΣΣ ffii 1188;; 2200;; 2211;; 2211;; 2222;; 2222;; 2233;; 2244;; 2255;; 3300;; MEDIDAS DE DISPERSÃO ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� DESVIO PADRÃO FORMULA: ou ss == ΣΣΣΣΣΣΣΣ (((((((( xxii -- xx )) ΣΣΣΣΣΣΣΣ ffii ss == ss 22 22 ss == ΣΣΣΣΣΣΣΣ ffii ΣΣΣΣΣΣΣΣ xxii22 ΣΣΣΣΣΣΣΣ xxii - ΣΣΣΣΣΣΣΣ ffii 22 MEDIDAS DE DISPERSÃO ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� EXEMPLO: Qual a variação da nota de um aluno que tirou 6 em matemática, 8 em geografia; 9 em português e 2 em inglês, utilizando a Amplitude Total e o Desvio Padrão? AT = Li - li AT = 9 - 2 7 Para facilitar o cálculo do Desvio Padrão é aconselhável montar uma tabela para acharmos o valor de cada xi elevado ao quadrado. xi xi 2 6 36 9 81 8 64 2 4 25 185 ΣΣΣΣ xi2 ΣΣΣΣ xi ΣΣΣΣ fi ΣΣΣΣ fi Perceba a diferença entre substituir a soma do xi 2 e de substituir a soma do xi. A segunda fração está substituindo a soma do xi e depois de resolvido a divisão, elevando-o ao 2 S = MEDIDAS DE DISPERSÃO ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� quadrado. 185 25 4 4 46,25 - 39,06 7,19 2,68 DESVIO PADRÃO COM INTERVALO DE CLASSE FORMULA: ss == ΣΣΣΣΣΣΣΣ ffii ΣΣΣΣΣΣΣΣ (((((((( ffii..xxii22)) ΣΣΣΣΣΣΣΣ (((((((( ffii........xxii )))))))) - ΣΣΣΣΣΣΣΣ ffii 22 2 S = S = S = MEDIDAS DE DISPERSÃO ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� EXEMPLO: Produção de Leite por vaca Litros Qtde 10 – 14 5 14 – 18 8 18 – 22 2 22 – 26 5 TOTAL 20 Para descobrimos quem representará a letra xi e fi é preciso encontrar o ponto médio de cada intervalo de classe, como no exemplo abaixo. PM = L1 + l1 2 PM = 14 + 10 12 2 Definidos todos os pontos médios de cada intervalo de classe, definiremos então, os pontos médio como sendo a letra x da fórmula de média ponderada, enquanto a quantidade de vacas, que se refere á freqüência, definiremos como sendo a letra p da fórmula. Precisamos também da soma de (fi . xi2), dessa forma, resolve-se primeiro o xi2, para depois multiplicar pelo valor de fi e substituir o resultado na fórmula. MEDIDAS DE DISPERSÃO ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� (f1 . x12) ( 5 . 122) ( 5 . 144 ) 720 Produção de Leite por vaca Litros Qtde ( fi ) PM ( xi ) (fi . xi ) (fi . xi2 ) 10 – 14 5 12 60 720 14 – 18 8 16 128 2.048 18 – 22 2 20 40 800 22 – 26 5 24 120 2.880 TOTAL 20 348 6.448 6448 348 20 20 322,40 - 302,76 19,64 4,43 ss == ΣΣΣΣΣΣΣΣ ffii ΣΣΣΣΣΣΣΣ (((((((( ffii..xxii22)) ΣΣΣΣΣΣΣΣ (((((((( ffii........xxii )))))))) - ΣΣΣΣΣΣΣΣ ffii 22 2 S = S = S = MEDIDAS DE DISPERSÃO ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� EXERCÍCIOS 1) Sabendo que um aluno obteve as notas 7, 6, 5, 8, 3, 6 e 4 calcule a amplitude de suas notas e o desvio padrão e descubra se a variação entre essas notas é elevada. 2) Encontre a variação da altura da seguinte distribuição de alunos, usando o desvio padrão. Altura dos alunos Altura (cm) Qtde 150 – 154 4 154 – 158 9 158 – 162 11 162 – 166 8 166 – 170 5 170 – 174 3 TOTAL 3) Nos seis últimos treinamentos de Usain Bolt, velocista medalha de ouro nos 100 m rasos nas olimpíadas de Pequim com 9s69, registra a marca de 9s73, 9s76, 9s74, 9s72, 9s72 e 9s70. Descubra a variabilidade das marcas dos últimos treinamentos de Bolt antes das olimpíadas, usando o desvio padrão. 4) Em um restaurante, observou-se que foram consumidos durante os primeiros cinco dias da semana, 21 Kg, 23 kg, 20 kg, 22 kg e 24 kg de arroz. Descubra qual a média de consumo de arroz por dia e a variabilidade do consumo de arroz. MEDIDAS DE DISPERSÃO ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com ��� ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com � � MEDIDAS DE ASSIMETRIA Uma distribuição pode possuir três características. Ser SIMETRICA, quando a média e a moda são as mesmas. EXEMPLO: MÉDIA = 50; MODA = 50 DISTRIBUIÇÃO SIMÉTRICA 0 10 20 30 40 50 60 MÉDIA = MODA MEDIDAS DE ASSIMETRIA ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com � � Ser ASSIMÉTRICA Á ESQUERDA OU NEGATIVA, quando a média é menor do que a moda. EXEMPLO: MÉDIA = 25; MODA = 60 DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA Á ESQUERDA0 10 20 30 40 50 60 70 MÉDIA < MODA MEDIDAS DE ASSIMETRIA ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com �� Ser ASSIMÉTRICA Á DIREITA OU POSITIVA, quando a média é maior do que a moda. EXEMPLO: MÉDIA = 60; MODA = 25 DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA Á DIREITA 0 10 20 30 40 50 60 70 MÉDIA > MODA Para que serve a análise de assimetria de uma distribuição? Serve para descobrirmos a tendência em medidas da nossa distribuição e assim, analisar quais os impactos podemos sofrer, caso ocorra alguma variação na distribuição. EXEMPLO: Dois investidores possuem a seguinte carteira de ações. MEDIDAS DE ASSIMETRIA ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com �� PETRÓLEO MINERAÇÃO BANCOS AVIAÇÃO TOTAL A R$ 15.000 R$ 12.000 R$ 14.000 R$ 9.000 R$ 50.000 B R$ 35.000 R$ 1.000 R$ 12.000 R$ 2.000 R$ 50.000 A média de recursos aplicados por segmento pelo investidor A é de R$ 12.500,00 e a moda seria aquele segmento que obteve mais recursos, que no caso é R$ 15.000,00. Já o aplicador B, a média de recursos aplicados por segmento é de R$ 12.500,00 e a moda seria aquele segmento que obteve mais recursos, que no caso é R$ 35.000,00. Podemos observar que os investimentos do aplicador A está melhor distribuído do que do aplicador B. Caso ocorra alguma desvalorização onde está a maior parte dos investimentos de um dos investidores, o investidor B será o mais afetado. No mercado financeiro, chamamos isso de pulverizar o risco. Qualquer variação brusca nas aplicações, o investidor B sofrerá um impacto maior do que o investidor A. DISTRIBUIÇÃO DE ASSIMETRIA - 5.000 10.000 15.000 20.000 25.000 30.000 35.000 Investidor A Investidor B MÉDIA – A e B MODA – A MODA – B MEDIDAS DE ASSIMETRIA ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com �� EXERCÍCIOS 1) Analisando os resultados abaixo relativos a três distribuições de freqüência, analise o seu nível de assimetria. Esboce o gráfico de cada um. PRODUÇÃO DE CANA DE AÇUCAR FAZENDA 2005 2006 2007 2008 2009 Α 5 10 30 10 5 B 5 20 10 5 5 C 5 10 20 30 5 2) Um fazendeiro, possui 20 porcos, 45 galinhas, 12 patos, 6 Cavalos, 15 gados e 22 carneiros. Descubra a assimetria dessa distribuição e esboce o gráfico. 3) Um agricultor planejou cultivar 55 t de semente de milho, 120 t de semente de soja e 65 t de semente de feijão. Já um segundo agricultor, resolveu cultivar 70 t de semente de milho, 90 t de semente de soja e 80 t de semente de feijão. Esboce um gráfico de assimetria referente ao planejamento de cultivo de cada agricultor e aponte qual está mais exposto ao risco. MEDIDAS DE ASSIMETRIA ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com �� ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com �� CORRELAÇÃO Nos estudos anteriores, nos preocupamos apenas com uma variável. Quando fazemos a análise sobre duas variáveis, temos o problema da relação entre elas. Quando analisamos, por exemplo, a ALTURA e o PESO de uma população, procuramos identificar se existe alguma relação em que um pode influenciar o outro. O instrumento para medir essa relação chamamos de CORRELAÇÃO. É claro que a altura de uma pessoa pode não influenciar o seu peso, mas, uma observação sobre uma população, em média, quanto maior a altura, maior o peso de uma pessoa. COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR Serve para medir a intensidade da correlação entre duas variáveis e se o sentido dessa correlação é positiva ou negativa. rr == ΣΣΣΣΣΣΣΣ xxii..yyii ΣΣΣΣΣΣΣΣ xxii 22 nn . - . ΣΣΣΣΣΣΣΣ yyii nn .. ΣΣΣΣΣΣΣΣ xxii22 -- ΣΣΣΣΣΣΣΣ xxii . 22 nn .. ΣΣΣΣΣΣΣΣ yyii22 -- ΣΣΣΣΣΣΣΣ yyii CORRELAÇÃO e REGRESSÃO ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com �� Se r = 1 a correlação é perfeita e positiva. Se r = -1 a correlação é perfeita e negativa. Se r = 0 não á correlação. EXEMPLO: Foi retirado como amostra, as notas de matemática e estatística de 4 alunos em uma sala de aula. As notas desses alunos em matemática foi de 5, 8, 2 e 10 e em estatística foi de 6, 9, 6 e 10 respectivamente. Descubra se existe alguma relação entre as notas desses alunos. Para facilitar o cálculo de correlação é aconselhável montar uma tabela com as informações obtidas. Notas de Matemática e Estatística MATEMÁTICA ESTATÍSTICA 5 6 8 9 2 6 10 10 25 31 --11 11 00 CORRELAÇÃO e REGRESSÃO ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com �� Depois, definiremos qualquer uma das variáveis com xi ou yi. MATEMÁTICA ( xi ) ESTATÍSTICA ( yi ) (xi . yi ) ( xi 2 ) ( yi2 ) 5 6 30 25 36 8 9 72 64 81 2 6 12 4 36 10 10 100 100 100 25 31 214 193 253 Depois de montada a tabela, basta substituir na fórmula. CUIDADO!! Ah uma diferença entre a soma do xi 2 e a soma do ( xi )2. No primeiro, você irá somar todos os xi que você elevou ao quadrado, no segundo, você irá somar todo os xi e jogar na fórmula. Na fórmula é que se eleva o resultado do xi. A mesma coisa se aplica ao yi. CORRELAÇÃO e REGRESSÃO ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com �� 4 . 214 - 25 . 31 { 4 . 193 - (25)2 } . { 4 . 253 - (31)2 } 856 - 775 { 772 - 625 } . { 1012 - 961 } 81 { 147 } . { 51 } rr == ΣΣΣΣΣΣΣΣ xxii .. yyii ΣΣΣΣΣΣΣΣ xxii 22 nn . - . ΣΣΣΣΣΣΣΣ yyii nn .. ΣΣΣΣΣΣΣΣ xxii22 -- ΣΣΣΣΣΣΣΣ xxii . 22 nn .. ΣΣΣΣΣΣΣΣ yyii22 -- ΣΣΣΣΣΣΣΣ yyii == == rr == rr == rr CORRELAÇÃO e REGRESSÃO ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE PROF. IGOR FRANÇA GARCIA Prof: Igor França Garcia - Atuário MIBA/RJ 1659 igor_atuario@hotmail.com � 81 7497 81 86,59 0,94 RESPOTA TÉCNICA Há uma correlação altamente significativa entre as notas de matemática e estatística
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