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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL COLÉGIO DE APLICAÇÃO - INSTITUTO DE MATEMÁTICA OFICINAS DE ENSINO-APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA LABORATÓRIO DE PRÁTICA DE ENSINO EM MATEMÁTICA Responsáveis: Professores: Luiz Davi Mazzei, Simone Cruz, Fabiana Serres e Marcus Basso. Acadêmicos: Andressa Pizzinato, Guilherme Guedes, Jordana Donelli, Marcelo Anjos, Paola Rossato e Walter Haselein. Lista 2 – Ana lise Combinato ria 1) Em época de eleição para o grêmio estudantil do colégio, tiveram 12 candidatos aos cargos de presidente, vice-presidente e secretário. De quantos modos diferentes estes candidatos poderão ocupar as vagas deste grêmio? Como há 3 vagas diferentes, a ordem importa, então teremos: 12 possibilidades de candidatos para primeira vaga, 11 possibilidades de candidatos para a segunda vaga e 10 possibilidades de candidatos para a terceira vaga. Portanto há 12x11x10= 1320 modos diferentes desses candidatos ocuparem as vagas deste grêmio. 2) Juquinha tem 8 calças e 5 camisetas diferentes. Responda: a) De quantas maneiras Juquinha pode escolher 2 peças de roupa? Teremos 3 “tipos” de escolha: 2 calças, ou 2 camisas ou 1 calça e uma camisa. Se Juquinha escolher 2 calças, então há (8x7)/2 = 28 maneiras de escolher duas peças de roupa. Se Juquinha escolher duas camisas, então há (5x4)/2= 10 maneiras de escolher duas peças de roupa. Se Juquinha escolher uma calça e uma camisa então há 8x5 = 40 maneiras de escolher duas peças de roupa. Como temos várias alternativas de escolha, então utilizamos o principio aditivo e somamos todas essas possibilidades: 28 + 10 + 40 = 78 possibilidades de escolha. 3) Júlia deseja viajar e levar 5 pares de sapatos. Sabendo que ela possui em seu guarda-roupa 12 pares, de quantas maneiras diferentes Júlia poderá escolher 5 pares de sapatos para a sua viagem? Entre 12 pares de sapatos, Julia terá que escolher apenas 5 deles. Como Julia não poderá repetir os pares, então ela terá 12x11x10x9x8 = 95.040 maneiras diferentes de escolher 5 pares de sapatos para a sua viagem. 4) De quantas maneiras diferentes podemos organizar 5 pessoas em um carro brasileiro (com 5 lugares)? Temos 5 pessoas para 5 possibilidades de lugar. Portanto temos: 5x4x3x2x1 = 120 maneiras diferentes de organizar 5 pessoas em um carro. 5) De quantas maneiras diferentes podemos distribuir 6 objetos diferentes entre duas pessoas? Cada objeto pode ser entregue para uma das duas pessoas. Desse modo, para cada objeto há duas possibilidades e como são 6 objetos diferentes, há um total de 2x2x2x2x2x2 = 2 6 = 64 maneiras diferentes de distribuir os objetos. Observe que é possível que todos os objetos sejam dados para a mesma pessoa, já que não existe uma restrição quanto ao número mínimo de objetos para uma mesma pessoa. 6) Quantos números com 3 algarismos distintos podemos formar com 8, 5, 4, 3 e 0? Como os números são formados por algarismos distintos, temos 5 possibilidades para o primeiro algarismo, quatro possibilidades para o segundo algarismo e três possibilidades para o terceiro algarismo. Desse modo há 5x4x3 = 60 possibilidades de números com três algarismos distintos que podemos formar com os números 8, 5, 4, 3 e 0. 7) Dispondo dos números: 1,2,3,4 e 5, responda as seguintes questões: UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL COLÉGIO DE APLICAÇÃO - INSTITUTO DE MATEMÁTICA OFICINAS DE ENSINO-APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA LABORATÓRIO DE PRÁTICA DE ENSINO EM MATEMÁTICA Responsáveis: Professores: Luiz Davi Mazzei, Simone Cruz, Fabiana Serres e Marcus Basso. Acadêmicos: Andressa Pizzinato, Guilherme Guedes, Jordana Donelli, Marcelo Anjos, Paola Rossato e Walter Haselein. a) Quantos conjuntos podemos formar com 3 elementos utilizando esses números? Para escolher o primeiro elemento temos 5 possibilidades de escolha, para o segundo elemento temos quatro possibilidades de escolha, para o terceiro elemento temos três possibilidades de escolha. Como na formação desses conjuntos não importará a ordem de escolha desses elementos, dividimos o total de possibilidades pela permutação desses elementos. Portanto há (5x4x3)/(3x2x1) = 10 conjuntos que podemos formar com três elementos. b) Quantos conjuntos de 2 elementos podemos formar com esses números? (5x4)/(2x1) = 10 conjuntos. O raciocínio é o mesmo da letra “a”. c) Quantos conjuntos de 4 elementos podemos formar com esses números? (5x4x3x2)/(4x3x2x1) = 5 conjuntos. O raciocínio é o mesmo da letra “a”. 8) Escreva o número de anagramas que podemos formar com as letras das seguintes palavras: a) PAI 3x2x1 = 6 anagramas. b) CASA (4x3x2x1)/(2x1) = 12 anagramas. c) PADRINHO 8x7x6x5x4x3x2x1 = 403210 anagramas. d) BRINCO6x5x4x3x2x1 = 720 anagramas. 9) Em uma escola está sendo realizado um torneio de futebol de salão, no qual dez times estão participando. Quantos jogos podem ser realizados entre os times participantes em turno e returno? Há 10 possibilidades para a escola do primeiro time e 9 possibilidades para a escolha do segundo time. Portanto há 10x9 = 90 jogos. 10) Otávio, João, Mário, Luís, Pedro, Roberto e Fábio estão apostando uma corrida. Quantos são os agrupamentos possíveis para os três primeiros colocados? Como estamos contando as possibilidades de escolha dos três primeiros lugares, a ordem, nesse caso, importa. Portanto há 7x6x5 = 210 possibilidades para os três primeiros lugares. 11) (EU-RJ) Para montar um sanduíche, os clientes de uma lanchonete podem escolher: um entre os tipos de pão: calabresa, orégano e queijo; um entre os tamanhos: pequeno e grande; de um até cincoentre os tipos de recheio: sardinha, atum, queijo, presunto e salame; sem possibilidade de repetição de recheio num mesmo sanduíche. a)Quantos sanduíches distintos podem ser montados? Como há possibilidade de contar de um até cinco tipos de recheio, teremos cinco casos. Caso 1 – Somente 1 recheio: Temos 3 possibilidades de pão, 2 possibilidades de tamanho e 5 possibilidades de recheio, então 3x2x5: 30 sanduiches distintos. Caso 2 – 2 recheios: Temos 3 possibilidades de pão, 2 possibilidades de tamanho e 5 possibilidades de recheio para a primeira escolha do recheio e 4 possibilidades de recheio para a segunda escolha do recheio, já que não pode repeti-lo. Lembrando que a ordem dos recheios não importará, teremos: 3x2x(5x4/2) = 60 sanduiches distintos. Caso 3 – 3 recheios: Temos 3 possibilidades de pão, 2 possibilidades de tamanho e 5 possibilidades de recheio para a primeira escolha do recheio, 4 possibilidades de recheio para a segunda escolha do recheio e 3 possibilidades de recheio para a terceira escolha do recheio. Usando o mesmo raciocínio do caso 2, teremos: 3x2x[(5x4x3)/(3x2x1)] = 60 sanduiches distintos. UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL COLÉGIO DE APLICAÇÃO - INSTITUTO DE MATEMÁTICA OFICINAS DE ENSINO-APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA LABORATÓRIO DE PRÁTICA DE ENSINO EM MATEMÁTICA Responsáveis: Professores: Luiz Davi Mazzei, Simone Cruz, Fabiana Serres e Marcus Basso. Acadêmicos: Andressa Pizzinato, Guilherme Guedes, Jordana Donelli, Marcelo Anjos, Paola Rossato e Walter Haselein. Caso 4 – 4 recheios: Utilizando o mesmo raciocínio do caso 2 e 3, teremos: 3x2x[(5x4x3x2)/(4x3x2x1)]= 30 sanduiches distintos. Caso 5 – 5 recheios: Utilizando o mesmo raciocínio dos casos anteriores, teremos: 3x2x[(5x4x3x2x1)/(5x4x3x2x1)]= 6 sanduiches distintos. Desse modo, utilizamos o principio aditivo para saber o total de Sanduiches que podem ser feitos, já que temos vários casos distintos, portanto: Caso 1 + Caso 2+ Caso 3 + Caso 4 + Caso5 = 186 sanduiches distintos. b) O número de sanduíches distintos que um cliente pode montar, se ele não gosta de orégano, só come sanduíches pequenos e deseja dois recheios em cada sanduíche. 2x1x(5x4/2x1) = 20 sanduiches distintos.
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