(298125458) Trabalho de Cálculo III-corrigido 25-11

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Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais Campus Contagem – Curso de Engenharia Mecânica – 
Disciplina: Cálculo III – 
TRABALHO DE CÁLCULO III
Gráficos de Superfícies Tridimensionais
Professor: João Ricardo Siqueira de Oliveira
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ................................................................................................... 3
OBJETIVO ......................................................................................................... 4
GRÁFICOS DE SUPERFÍCIES TRIDIMENSIONAIS......................................... 5
Função contínua cujo limite existe ........................................................................ 5
Função descontínua cujo limite existe .................................................................. 6
Função cujo limite não existe................................................................................. 8
Plano tangente da função ..................................................................................... 10
Função que possui ponto de máximo local ........................................................ 12
Função que possui ponto de mínimo local ......................................................... 14
Função que possui ponto de sela ........................................................................ 16
CONCLUSÃO .................................................................................................. 19
TUTORIAL ....................................................................................................... 20
BIBLIOGRAFIA ............................................................................................... 26
Gráficos de Superfícies Tridimensionais
13
INTRODUÇÃO
Este trabalho foi realizado para explorar os conceitos ensinados durante as aulas de Cálculo III, referentes à funções de várias variáveis, buscando uma interpretação mais profunda com relação aos seus domínios, curvas e superfícies de nível, de derivadas parciais e também referentes à planos tangentes e aproximações lineares.
OBJETIVO
Temos por objetivo principal, mostrar, através do uso de um software de construção de gráficos, que as técnicas aplicadas em sala de aula, a fim de encontrar elementos relacionados à funções de várias variáveis, são condizentes com o real.
Faremos isto desenvolvendo as técnicas aprendidas aplicando-as em 7 funções diferentes e ilustraremos através de gráfico, exemplos de:
- Função contínua cujo limite existe;
- Função descontínua cujo limite existe;
- Função cujo limite não existe;
- Plano tangente da função;
- Função que possui ponto de máximo local;
- Função que possui ponto de mínimo local;
- Função que possui ponto de sela;
Em todos os exemplos mostraremos suas respectivas curvas de nível, ilustrando, assim, este conceito que também foi abordado em sala de aula.
Utilizaremos para realizar os gráficos, o software gratuito Winplot, cujos procedimentos utilizados para construção dos gráficos, se encontram no tutorial no final deste trabalho.
GRÁFICOS DE SUPERFÍCIES TRIDIMENSIONAIS
Função contínua cujo limite existe
· Função: 
· Curvas de nível da função:
· Cálculos:
Função descontínua cujo limite existe
· Função:
Curvas de nível da função:
· Cálculos:
Função cujo limite não existe
· Função:
· Curvas de nível da função:
· Cálculos:
Plano tangente da função
· Função: 
· Curvas de nível da função:
· Cálculos:
Função que possui ponto de máximo local
· Função: 
· Curvas de nível da função:
· Cálculos:
Função que possui ponto de mínimo local
· Função: 
· Ponto mínimo da função:
· Curvas de nível da função:
· Cálculos:
Função que possui ponto de sela
· Função:
Ponto de sela da função:
· Curvas de nível da função:
· Cálculos:
CONCLUSÃO
Através deste trabalho, conseguimos mostrar, através da construção de gráficos, que as técnicas utilizadas na teoria para encontrar elementos relacionados à funções de várias variáveis, são condizentes com o real.
TUTORIAL
Apresentamos abaixo apenas os recursos e informações de que necessitamos para realizar este trabalho. O tutorial completo está disponível na internet, na referência bibliográfica citada.
WINPLOT
O winplot é um programa para plotagem de gráficos de funções de uma e duas variáveis, extremamente simples de ser utilizado pois dispensa o conhecimento de qualquer linguagem de programação e é distribuído gratuitamente.
Para iniciar basta dar um clique duplo no ícone de atalho do programa já instalado:
Será apresentada a janela inicial do winplot:
Janela
Mostra as opções:
· 2-dim F2 = Abrir uma nova janela para gráficos em 2D
· 3-dim F3 = Abrir uma nova janela para gráficos em 3D
Operações do Winplot
O interpretador de funções deste programa foi projetado para reconhecer a maioria das operações, constantes e funções elementares.
· As operações:
o a+b = adição entre os valores de a e b
o a-b = subtração entre os valores de a e b
o a*b = ab = multiplicação entre os valores de a e b
o a/b = divisão entre os valores de a e b
o a^b = a elevado a potência b
Qualquer letra pode ser usada como uma variável numérica e receber um valor específico a qualquer hora. Por exemplo, axx + bx + c representa uma função quadrática padrão, cujos coeficientes podem ser modificados.
Gráficos em 3D
Para traçar gráficos em 3D (tridimensionais) com o Winplot, devemos escolher a opção 3-dim na janela principal, obtendo a seguinte janela:
Existem vários sub ítens, dos quais, os mais importantes serão colocados nas subseções seguintes.
Explicitas
As funções explicitas, são as mais comuns para os alunos, são funções do tipo:
f(x,y)= xx + cos(3y).
Para inserir uma função, basta clicar em Equação/Explicita, surgindo a seguinte janela:
Nesta janela, deve-se digitar as expressões padrões para definir uma função de z=f(x,y).
Para definir um domínio retangular, do gráfico, digite os valores mínimos e máximos de x e y nas respectivas áreas. Em divisões o padrão é 24 e o número de pontos plotados por padrão é 150, mas pode-se mudar esses valores para fazer gráficos mais rápidos (com menos qualidade).
Para obter uma visualização rápida da superfície, clique em desenho rápido e para uma visualização mais suave, com o preenchimento das grades com tons da cor escolhida, que variam de acordo com a altura, vindo dos pontos mais inferiores (escuros) para os mais superiores (claros). Veja no exemplo abaixo, sem e com espectro.
No modo desenho rápido é possível desativar o espectro e tingir cada lado da superfície com uma cor diferente. Para isto, marque a opção sombrear.
Para ampliar ou reduzir o gráfico, basta teclar Page Up ou Page Down, respectivamente e para girar o gráfico em torno dos eixos, basta usar as setas do teclado.
Plano
Este ítem é para mostrar o gráfico do plano dado pela equação a(x-k) + b(y-m)
+ c(z-n) = 0, onde P=(k,m,n) é um ponto e v=(a,b,c) é um vetor normal do plano. O plano terá o aspecto de um paralelogramo com centro no ponto P, que deve ser colocado no campo, separando os valores por vírgula. O comprimento de um lado é definido na caixa Tamanho, onde o tamanho e a forma também podem ser controlados pelos intervalos de variação dos parâmetros t e u.
No exemplo abaixo, definimos o plano que passa pela origem P=(0,0,0) e tem como vetor normal v=(1,-2,1)
BIBLIOGRAFIA
STEWART, James. Cálculo. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, c2010. 2v. ISBN 8522106614
SWOKOWSKI, Earl William. Cálculo com geometria analítica. 2. Ed. São
Paulo: Makrom Books, c1995. 2v. ISBN 8534603103
SOUZA, Sérgio Albuquerque. Usando o Winplot: Versão 27/10/2004. Disponível em: <http://www.mat.ufpb.br/sergio/winplot/winplot.html#toc20>. Acesso em: 12 nov. 2013.