Distribuição de forças: centroides de centros de gravidade - Resumo
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Distribuição de forças: centroides de centros de gravidade - Resumo


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O que é o centro de gravidade?
O centro de gravidade é o local onde o peso de todas as partículas que formam o corpo
são bem representadas. Neste ponto então aplicamos a massa de todas as partículas
multiplicadas pela aceleração da gravidade. A coordenada x e y do centro de gravidade
comumente recebem a simbologia de x e y.
O que é o centroide?
É o que conhecemos nos conceitos de geometria como centro geométrico. Este centro
geométrico é importante no estudo em duas dimensões, pois este local coincide com o
centro de gravidade, assim, diversas geometrias simples não requerem o cálculo apro-
priado do centroide, pois conhecemos em duas dimensões o centro geométrico, como
por exemplo o círculo, cujo centro geométrico é exatamente o seu centro, ou em um
retângulo, onde o centro geométrico é o ponto de interseção das duas diagonais.
A força peso e os centros de gravidade
Existem diversas formas de se calcular a força peso. Podemos em corpos mais simples
e que conhecemos a geometria e o centro de gravidade simplesmente utilizando a mas-
sa total do corpo e multiplicarmos pela gravidade. Para corpos com formas incomuns,
podemos escrever a seguinte integral:
W = dW
Onde W representa a força peso.
Fazendo o cálculo teórico que cada partícula com seu respectivo peso faz de momen-
to em relação a um determinado eixo, pode-se deduzir fórmulas contendo os centros
de gravidade:
x W = xdW
y W = ydW
Você pode encontrar esta dedução com detalhes no livro Beer et al, 2009.
Centroides e centros de gravidade
Distribuição de forças
Mecânica Vetorial I
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Momentos de primeira ordem
Momentos de primeira ordem são relações de momento aplicadas a áreas das partícu-
las. Eles são úteis nos cálculos do centroide de superfícies, sendo necessário calcular a
área em questão. As equações dos momentos de primeira ordem são:
Qx = ydA
Qy = xdA
Onde:
Qx representa o momento de primeira ordem em relação ao eixo x.
Qy representa o momento de primeira ordem em relação ao eixo y.
E, para maioria dos casos, a área é constante. Então podemos reduzir estes primeiros
momentos para:
Qx = yA
Qy = x A
Dicas para encontrar eixos de simetria
Fique atento aos eixos de simetria: se a geometria possuir um, então o primeiro mo-
mento garante que o centro de gravidade estará sobre este eixo.
Se ocorrer dois ou mais eixos de simetria, o centro de gravidade se encontrará na
interseção destes dois eixos.
Podemos “subdividir” uma forma mais complexa em várias guras simples, e aplicar
a seguinte relação (Advinda do primeiro momento):
X ΣA = Σ x
A
Y ΣA = Σ yA
Onde:
X, Y representa as coordenadas do corpo como um todo, e Σ xA e Σ yA representa
somatório dos primeiros momentos em relação a x e y de cada região separadamente.
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Superfície de revolução
Superfície que pode ser gerada pela rotação de uma curva no plano (chamada de curva
geratriz) em torno de um eixo xo. Exemplo:
Teorema de Pappus-Guldinus para superfícies de revolução
O teorema de Pappus-Guldinus estabelece: “A área de uma superfície de revolução é
igual ao produto do comprimento da curva geratriz L pela distância percorrida pelo
centroide da curva A = 2πy durante a geração da superfície” A = πr2.
Podemos então dizer que: A = 2πyL.
Como este depende da revolução em torno de um eixo, caso esta curva venha a cruzar
o eixo de revolução, será necessário separar esta curva em duas partes e analisar sepa-
radamente caso a caso. O teorema não se aplica diretamente neste caso.
Cargas distribuídas sobre vigas
As cargas distribuídas sobre vigas são forças distribuídas de maneira não-homogênea.
Entretanto elas são forças e, se montarmos um gráco de carga por distância, podemos
tratar esta distribuição de forças da mesma maneira que tratamos a força peso: encon-
tramos o centroide desta distribuição de cargas e aplicamos a carga total (equivalente
à área da distribuição) sobre o ponto equivalente ao centroide de distribuição de carga:
Teorema de Pappus-Guldinus e cargas sobre vigas distribuição de forças em corpos sólidos
y
y = 2x – 3 2.5 < x < 3
3
345
2
2
1
1
x
Fonte: próprio autor
Fonte: próprio autor
W
X
W
W área
centroide
X