5 Projetil

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MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL
 Movimento de um projétil
 Componentes da velocidade inicial
 Movimento horizontal
 Movimento vertical
 Alcance
 Altura máxima
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MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL
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MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL
A bola faz uma trajetória curva
Para analisar este movimento consideraremos que 
 a aceleração g é constante durante o intervalo do movimento e direcionada para baixo 
 o efeito da resistência do ar é desprezável
Com estas suposições a trajetória do projétil é sempre uma parábola
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Fotografia estroboscópica de bolas de ping-pong
A Figura mostra que a trajetória da bola é uma parábola
A fotografia estroboscópica regista a trajetória de objetos em movimento
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Componentes da velocidade inicial
As componentes iniciais x e y da velocidade são
Analisamos o movimento em cada uma das dimensões separadamente
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ANÁLISE DO MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL
MOVIMENTO HORIZONTAL
Na horizontal não há aceleração, portanto 
mas
 MRU
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Na ausência da resistência do ar, a partícula fica sujeita apenas à aceleração de queda livre, verticalmente, para baixo.
A componente y da velocidade da partícula varia com o tempo devido a aceleração, logo:
MOVIMENTO VERTICAL
como
A coordenada y da partícula será 
ou
 MRUV
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EQUAÇÕES DE MOVIMENTO DO PROJÉTIL
Componente horizontal da velocidade
Componente vertical da velocidade
Componente vertical da posição
Componente horizontal da posição
Movimento retilíneo uniforme na horizontal (MRU)
Movimento retilíneo uniformemente variado na vertical (MRUV)
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O diagrama mostra movimento de um projétil perto da superfície da Terra
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Exemplo1: Movimento de um projétil
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Exemplo 2:
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Duas esferas saem simultaneamente da mesma altura
A bola move-se horizontalmente enquanto está caindo, mas isso não interfere no seu movimento vertical 
 porque os movimentos horizontal e vertical são independentes entre si.
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Fotografia estroboscópica das esferas 
que saem simultaneamente da mesma altura 
As duas esferas chegam ao mesmo tempo ao solo
As duas esferas saem sob a ação da gravidade
A cada instante as esferas têm a mesma altura
A esfera rosa é solta  v0y = 0
(queda livre)
A esfera amarela tem velocidade inicial horizontal v0x
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Exemplo 3:
Quando um avião em deslocamento horizontal com velocidade constante deixa cair um pacote com medicamentos para refugiados em terra, a trajetória do pacote vista pelo piloto é igual à trajetória vista pelos refugiados? 
Não. O piloto verá o pacote descrever uma trajetória retilínea vertical: 
Os refugiados verão o pacote descrever um movimento horizontal uniforme e um vertical uniformemente acelerado, a visão será de uma trajetória parabólica: 
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Visão do piloto e visão dos refugiados
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O tempo para atingir a altura máxima y=h (quando ) :
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Alcance e altura máxima dum projétil
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ALTURA MÁXIMA
Substituindo th na outra expressão
(y=h e y0=0) 
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ALCANCE
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ALCANCE
0
R é o alcance - distância horizontal percorrida pela partícula até chegar à altura inicial
O movimento é simétrico  a partícula leva um tempo th para subir e o mesmo tempo th para cair ao mesmo nível
Portanto o tempo para percorrer R é 
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Um projétil lançado da origem com uma velocidade escalar inicial de 
para vários ângulos 
Os ângulos complementares (somam 90 graus) dão origem ao mesmo valor de R
Alcance máximo Rmáx
O que acontece quando 
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Exemplo 4: ALCANCE PARA OS ÂNGULOS DE 30, 45 , 60  
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Examplo 5. Um cão está correndo na rua, e de repente dá um salto com uma velocidade inicial de 11 m/s fazendo um ângulo de 300 com a horizontal. Em que ponto o cão entra em contato com o solo depois do salto?
vo = 11 m/s
q =300
vox = 11 cos 300
voy = 11 sin 300
4.9 t = 5.50

Com a ajuda do esquema ao lado, determinamos as componentes da velocidade inicial:
vox = 9.53 m/s
voy = 5.50 m/s
a = g=-9.8 m/s2
4.9 t2 = 5.50 t 
É preciso determinar o tempo que o cão leva para dar o salto 
t = 1.12 s

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Examplo 5 (Cont.)
v = 10 m/s
q =310
x = vxt; t = 1.12 s
vox = 10 cos 310
voy = 10 sin 310
x = (9.53 m/s)(1.12 s) = 10.7 m
Alcance do cão:
vx =vox = 9.53 m/s
A velocidade horizontal é constante 
Assim:
O alcance é x = 10.7 m
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Exemplo 6. Um canhão atira esferas com velocidade v0 = 100 m/s. a) Determine o alcance máximo da esfera. b) Mostre que existem dois ângulos possíveis para atingir um alvo à uma distância d = 800 m, menor que a distância máxima. 
a) Determine o alcance máximo da esfera
O alcance é máximo quando 
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Cálculo de t
Substituindo em x: 
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b) Mostre que existem dois ângulos possíveis para atingir um alvo à uma distância d = 800 m, menor que a distância máxima.
e o ângulo complementar
Substituo t na outra equação :
 2
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Exemplo 7. Uma pedra cai dum penhasco com velocidade v = 10 m/s na horizontal. a) Descreva o movimento, ou seja, determine vx(t), vy(t), x(t) e y(t). b) Obtenha os ângulos 
 e de e com a horizontal em t =1.0 s.
a) Descreva o movimento, ou seja, determine vx(t), vy(t), x(t) e y(t) e os vetores e . 
As componentes da velocidade são:
Velocidade:
As componentes do vetor posição são:
Posição:
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b) Obtenha os ângulos e que e fazem com a horizontal em t =1.0 s. 
Obtemos a partir do vetor posição que
Obtemos a partir da velocidade que
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