ALGEBRA

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ALGEBRA
A palavra álgebra deriva da expressão árabe al-jabr (reunir), usada no título do livro al-jabr w'al-muqabalah, ou A arte de reunir desconhecidos para igualar uma quantidade conhecida, escrito no século IX por al-Kwarizmi, o mesmo matemático árabe que introduz o sistema decimal e os algarismos indianos no Ocidente. Começa a ser usada na Europa para designar os sistemas de equações com uma ou mais incógnitas a partir do século XI, quando a obra de al-Kwarizmi é traduzida para o latim.
Na antiguidade, os gregos Aristótoles e Euclides (século III a.C.) foram os primeiros matemáricos a usar letras e simbolos, embora de forma tímida. Mas foi o matemático francês Viète o introdutor do uso sistemático das letras em operações matemáticas usadas hoje.
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
Expressão algébrica é uma expressão matemática que apresenta números e letras, ou somente letras.
Ex.: x + 3 = 5 
O valor numérico de uma expressão algébrica é o número que se obtém quando substituímos as variáveis da expressão por números determinados e efetuamos as operações indicadas.
EX.: Fazendo x = 2 temos, 2 + 3 = 5. Então 2 é o valor numérico da expressão algébrica.
MONÔMIO
Da mesma forma que efetuamos as operações contidas numa expressão numérica, também podemos resolvê-las numa expressão algébrica.
Chamamos de monômio a expressão algébrica definida apenas pela multiplicação entre o coeficiente e a parte literal. Exemplos:
2x, 4ab, 10x², 20xyz, 30abc, 2z, y, b³, 100ax³
Temos que no monômio 2x , o número 2 é a parte numérica e o x é a parte literal.
O grau de um monômio pode ser definido pelo expoente de uma de suas variáveis, ou pela soma dos expoentes de sua parte literal.
Ex.: y2 = monômio de grau 2; 
4.a³.b².x Os expoentes são 3; 2 e 1. logo seu grau é “6” pois 3+2+1 = 6.
Adição e subtração de monômio
A adição e a subtração de monômio devem ser efetuadas quando as partes literais são semelhantes. Para somar ou subtrais monômios semelhantes, adicionamos ou subtraímos os coeficientes e mantemos a parte literal.
Exemplos: 
2a + 7a = 9a
5x – 2x = 3x 
10ab – 9ab = ab 
6y – 9y = – 3y 
7bc + 3cb = 10bc ou 10cb 
– 12xy – 10xy = – 22xy 
Multiplicação entre monômios
 
Ao multiplicar monômios em que as partes literais são semelhantes devemos seguir os seguintes passos:
1º passo: multiplicar os coeficientes 
2º passo: conservar a parte literal e somar os expoentes. 
Exemplos: 
2x . 2x = 4x² 
4xy . 6xy² = 24x²y³ 
10a²b . 9a²b³ = 90a4b4 
5xyz . 6x²y³z = 30x³y4z² 
Ao multiplicar monômios com parte literal diferente devemos:
 1º passo: multiplicar os coeficientes 
2º passo: se as letras são diferentes, agrupe-as 
Exemplo: 
2x . 3y = 6xy 
4ab . 5z = 20abz 
20c . 2ab = 40abc 
x . 6a = 6xa 
Divisão entre monômios
Parte literal semelhantes 
1º passo: dividir os coeficientes. 
2º passo: conservar a parte literal e subtrair os expoentes. 
Exemplo: 
5x³ : 5x² = x 
10x²y² : 2x = 5xy² 
30z : 5z = 6 
20b³ : 10b = 2b² 
POLINÔMIOS
Polinômios á uma expressão algébrica composta por dois ou mais monômios com a existência de operações entre eles.
Exemplos: 
2x² + 7x – 6 
10x³ + x² – 9x 
6x + 5 
120x² – 10x + 9 
14x4 + 7x³ – 20x² – 60x – 100
O grau de um polinômio é dfinido como seu termo de maior grau.
14x4 + 7x³ – 20x²ab – 60x – 100. O grau deste polomômio de é 4.	
Adição e Subtração
 Considere os polinômios –2x² + 5x – 2 e –3x³ + 2x – 1. Vamos efetuar a adição e a subtração entre eles.
(–2x² + 5x – 2) + (–3x³ + 2x – 1) → eliminar os parênteses observando os sinais
–2x² + 5x – 2 – 3x³ + 2x – 1 → reduzir os termos semelhantes
–2x² + 7x – 3x³ – 3 → ordenar de forma decrescente de acordo com a potência
–3x³ – 2x² + 7x – 3
Multiplicação de polinômio por monômio
Para entendermos melhor, observe o exemplo:
 (3x2) . (5x3 + 8x2 – x) → aplicar a propriedade distributiva da multiplicação
15x5 + 24x4 – 3x3
Multiplicação de polinômio por polinômio
Para efetuarmos a multiplicação de polinômio por polinômio também devemos utilizar a propriedade distributiva. Veja o exemplo:
(x – 1) . (x2 + 2x - 6)
x2 . (x – 1) + 2x . (x – 1) – 6 . (x – 1)
(x³ – x²) + (2x² – 2x) – (6x – 6)
x³ – x² + 2x² – 2x – 6x + 6 → reduzindo os termos semelhantes.
x³ + x² – 8x + 6
 Portanto, nas multiplicações entre monômios e polinômios aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação.
Divisão de polinômios
Na divisão de polinômios, utilizamos duas regras matemáticas fundamentais: realizar a divisão entre os coeficientes numéricos e divisão de potências de mesma base (conservar a base e subtrair os expoentes).
Quando trabalhamos com divisão, utilizamos também a multiplicação no processo
Exemplos: 
Verificamos que:
 
PRODUTOS NOTÁVEIS
É muito comum nas expressões algébrica o aparecimento de certos produtos. Para simplificar o trabalho nos cálculos será muito útil a aplicação dos produtos notáveis. Veja a tabela abaixo:
	Produtos notáveis
	Exemplos
	(a+b)2 = a2+2ab+b2
	(x+3)2 = x2+6x+9
	(a-b)2 = a2-2ab+b2
	(x-3)2 = x2-6x+9
	(a+b)(a-b) = a2-b2
	(x+3)(x-3) = x2-9
	(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab
	(x+2)(x+3) = x2+5x+6
	(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
	(x+2)3 = x3+6x2+12x+8
	(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3
	(x-2)3 = x3-6x2+12x-8
	(a+b)(a2-ab+b2) = a3+b3
	(x+2)(x2-2x+4) = x3+8
	(a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3
	(x-2)(x2+2x+4) = x3-8
Fatoração
Existe uma forma para fatorar números, por exemplo:
 Os números 32 ; 120 ; 360 podem ser fatorados em fatores primos, sendo assim temos: 
32 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 25 
120 = 2 . 2 . 2 . 3 . 5 = 23.3.5 
360 = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 5 = 23.32.5. 
 Da mesma forma é possível fatorar expressões algébricas. A fatoração, tanto de números como de expressões algébricas, são formas diferentes de representar um número ou uma expressão algébrica. Por exemplo: 
* x2 – 1 é uma expressão algébrica que também pode ser representada de outra forma, basta fazer sua fatoração, ficando assim: (x + 1) (x – 1). 
* 2x2 – 2x + 2 é uma expressão algébrica, fatorada fica assim: 2(x2 – x + 1). 
A forma de fatorar expressões algébricas é diferente da fatoração de números inteiros, pois para cada tipo de expressão algébrica é utilizado um caso de fatoração diferente.
Fator comum em evidência
Nesse modelo de fatoração temos que determinar o elemento comum aos termos que formam o polinômio. Observe:
No polinômio x² + 2x, temos que a variável x é comum aos dois termos. Ela será o termo em evidência, a qual dividirá todos os termos do polinômio original.
x² + 2x → x . (x + 2)
4x³ – 2x² → 2x².(2x – 1)
16x² + 8 → 8 * (2x² + 1)
Fatoração por Agrupamento
 Na fatoração por agrupamento, utilizamos inicialmente a fatoração por evidência e logo em seguida agrupamos os termos sob certas condições também de evidenciação. Observe:
* 2yx – x – 6y + 3, aplicar evidência entre 2yx e –x e entre –6y e 3.
2yx – x → x . (2y – 1)
–6y + 3 → –3 . (2y – 1)
2yx – x – 6y + 3 → x. (2y – 1) – 3. (2y – 1) → (x – 3). (2y – 1)
* bx – 2b + x – 2 → bx + x – 2b – 2 → x * (b + 1) – 2 * (b + 1) → (x – 2) * (b + 1)
* 10x² + 15xy + 4x + 6y → 10x² + 4x + 15xy + 6y → 2x.(5x + 2) + 3y.(5x + 2) → (2x + 3y) . ( 5x + 2)
Diferença entre dois quadrados
 Nessa fatoração aplicaremos a raiz quadrada entre os elementos. O valor resultante das raízes formará uma multiplicação entre binômios no mesmo modelo do notável produto da soma pela diferença. Veja:
4x² – 16 → (2x + 4) . (2x – 4)
25x² – 100 → (5x + 10) . (5x – 10) 
81x4 – 144 → (9x² + 12) . (9x² – 12) 
400x² – 49 → (20x + 7) . (20x – 7) 
Trinômio quadrado perfeito
 Determinaremos o produto notável responsável pela formação do trinômio x² + 2xy + y² ou x² – 2xy + y². Observe:
x² + 18x + 81 → (x + 9)²
√x² = x
√81 = 9
(x + 9)² = (x + 9) * (x + 9) = x² + 9x + 9x + 81 = x² + 18x + 81
4x²– 48x + 144 → (2x – 12)²
√4x² = 2x
√144 = 12
(2x + 12)² = (2x + 12) * (2x + 12) = 4x² + 24x + 24x + 144 = 4x² + 48x + 144
Exercícios:
Efetue
Efetue os produtos:
3 – Efetue as seguintes divisões:
 
Calcule as potências:
 	
 5) Efetue as seguintes adições de polinômios:
a) (2x²-9x+2)+(3x²+7x-1) _______ (R:5x² -2x + 1)
b) (5x²+5x-8)+(-2x²+3x-2) ______ (R:3x² + 8x - 10)
c) (3x-6y+4)+(4x+2y-2) ________ (R:7x -4y +2)
d) (5x²-7x+2)+(2x²+7x-1) _______ (R:7x²+ 1)
e) (4x+3y+1)+(6x-2y-9) _________ (R:10x +1y-8)
f) (2x³+5x²+4x)+(2x³-3x²+x) _____ (R:4x³ +2x²+ 5x)
g) (5x²-2ax+a²)+(-3x²+2ax-a²) ____ (R: 2x²)
h) (y²+3y-5)+(-3y+7-5y²) ________ (R: -4y² + 2)
i) (x²-5x+3)+(-4x²-2x) __________ (R:-3x² - 7x + 3)
j) (9x²-4x-3)+(3x²-10) __________ (R:12x² -4x- 13)
 6) Efetue as seguintes subtrações:
a) (5x²-4x+7)-(3x²+7x-1) _____ (R: 2x² - 11x + 8)
b) (6x²-6x+9)-(3x²+8x-2) _____ (R: 3x² - 14x + 11)
c) (7x-4y+2)-(2x-2y+5) _______ (R: 5x - 2y – 3)
d) (4x-y-1)-(9x+y+3) _________ (R: -5x – 2y – 4)
e) (-2a²-3ª+6)-(-4a²-5ª+6) _____ ( R: -2a² +2a)
f) (4x³-6x²+3x)-(7x³-6x²+8x) ___ (R: -3x³ - 5x)
g) (x²-5x+3)-(4x²+6) _________ (R: -3x² -5x -3)
h) (x²+2xy+y²)-(y²+x²+2xy) ____ (R: 0)
i) (7ab+4c-3a)-(5c+4a-10) ______ (R: 7ab -c-7a + 10)
 7) Calcule os produtos
a) 3(x+y) ____ (R: 3x +3y)
b) 7(x-2y) ___ (R: 7x - 14y)
c) 2x(x+y) ___ (R: 2x² + 2xy)
d) 4x (a+b) ___ (R: 4xa + 4xb)
e) 2x(x²-2x+5) _ (R:2x³ - 4x² + 10x)
f) (x+5).(x+2) __ (R: x² +7x +10)
g) (3x+2).(2x+1) __ (R: 6x² +7x + 2)
h) (x+7).(x-4) ____ (R: x² +3x -28)
i) (3x+4).(2x-1) ___ (R: 6x² +5x -4)
j) (x-4y).(x-y) ____ (R: x² -5xy + 4y²)
k) (5x-2).(2x-1) ___ (R: 10x² -9x + 2)
l) (3x+1).(3x-1) ___ (R: 9x² - 1)
m) (2x+5).(2x-5) __ (R: 4x² - 25)
 8) Efetue as divisões:
a) ( 12x² - 8x) : (+2x) =
b) (3y³ + 6y²) : (3y) =
c) ( 10x² + 6x) : (-2x) =
d) (4x³ - 9x) : (+3x) =
e) ( 15x³ - 10x²) : (5x²)=
f) (30x² - 20xy) : (-10x)=
g) (-18x² + 8x) : (+2x)=
h) (6x²y – 4xy²) : (-2x)=
Calcule os quocientes:
a) ( x² + 5x + 6) : (x + 2)=
b) (x² - 7x + 10 ) : ( x - 2)=
c) (2x² + 6x + 4 ) : ( x + 1)=
d) ( x³ - 6x² + 11x – 6) : ( x – 3)=
e) ( 7x³ + 27x² - 3x + 4 ) : ( x + 4)=
f) (2x³ + 3x² - x – 2) : ( 2x – 3)=
g) ( x³ - 6x² + 7x + 4) : (x² - 2x – 1)=
h) (3x³ - 13x + 37x – 50 ) : ( x² -2x + 5)=
i) ( 10x³ - 31x² + 26x – 3) : ( 5x² - 8x + 1)=
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