APOSTILA DE MATEMATICA BASICA

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Faculdade Pitágoras - Campus Linhares 
TEORIA DOS CONJUNTOS
Na Matemática, o conceito de conjunto é primitivo; não necessita, portanto, de definição. 
Exemplo: Conjunto dos números pares positivos: P = {2, 4, 6 ,8 ,10 ,12, ... }.
Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração dos seus elementos, chama-se forma de listagem ou extensão. O mesmo conjunto também poderia ser representado por uma propriedade dos seus elementos, ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P acima, poderíamos escrever:
P = { x | x é par e positivo } = { 2,4,6, ... }.
Um conjunto é indicado por letras maiúsculas A, B, C,..., colocando-se seus elementos entre chaves.
Exemplos:
A = {a,e,i,o,u}
B = {0,1,2,3,4,...}
P = { x/x é número par}
Através do Diagrama de Venn.
 
 A	▪ a ▪ e
 ▪ i ▪ o
 ▪ u	
Relação de pertinência
Sendo x um elemento do conjunto A , escrevemos ,
onde o símbolo significa "pertence a". 
Sendo y um elemento que não pertence ao conjunto A , indicamos esse fato com a notação .
O conjunto que não possui elementos , é denominado conjunto vazio e representado por .
Com o mesmo raciocínio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se o conjunto ao qual pertencem todos os elementos, denominado conjunto universo, representado pelo símbolo U. 
Assim é que, pode-se escrever como exemplos:
 = { x; x  x} e U = {x; x = x}. 
Subconjunto
Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B, então dizemos que A é subconjunto de B e indicamos isto por .
Notas
a) todo conjunto é subconjunto de si próprio. ( A A )
b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. ( A) 
c) se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2m subconjuntos.
d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado conjunto das partes de A e é indicado por P(A). Assim, se A = {c, d}, o conjunto das partes de A é dado por   P(A) = { , {c}, {d}, {c,d}}
e) um subconjunto de A é também denominado parte de A.
OBS. Um conjunto A é subconjunto de B, se e somente se, todo elemento que pertence a A, pertence também a B.
Igualdade de Conjuntos 
Dois conjuntos são iguais A = B, se e somente se, A ( B e B ( A.
Operações com conjuntos
Intersecção
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.
A B = { x: x A e x B }
Exemplo: Se A= {a,e,i,o,u} e B= {a,e,b,c} então A B = {a,e}.
OBS. Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.
Propriedades:
( ( A = (
A ( A = A
A ( B = B ( A 
(A ( B) ( C = A ( (B ( C)
União 
A união dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.
A B = { x: x A ou x B }
Exemplo: Se A= {a,e,i,o} e B= {3,4} então A B = {a,e,i,o,3,4}.
Propriedades:
( ( A = A
A ( A = A
A ( B = B ( A 
(A ( B) ( C = A ( (B ( C)
Diferença
Dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A - B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja: 
A - B = {x: x A e x B}
 Obs: Se B ( A, define-se complementar de B em relação a A:
 = A - B = {x/ x A e x B} 
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementos são números. Existem infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, veremos cinco deles, os chamados conjuntos numéricos fundamentais. Os conjuntos numéricos podem ser representados de diversas formas. A forma mais simples é dar um nome ao conjunto e expor todos os seus elementos, um ao lado do outro, entre os sinais de chaves. Veja o exemplo abaixo:
Esse conjunto se chama "A" e possui três termos, que estão listados entre chaves.
Os nomes dos conjuntos são sempre letras maiúsculas. Quando criamos um conjunto, podemos utilizar qualquer letra. 
Vamos começar nos primórdios da matemática.
- Se eu pedisse para você contar até 10, o que você me diria?
- Um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove e dez. 
Pois é, estes números que saem naturalmente de sua boca quando solicitado, são chamados de números NATURAIS, o qual é representado pela letra . Foi o primeiro conjunto inventado pelos homens, e tinha como intenção mostrar quantidades.
Obs.: Originalmente, o zero não estava incluído neste conjunto, mas pela necessidade de representar uma quantia nula, definiu-se este número como sendo pertencente ao conjunto dos Naturais. Portanto:
Como o zero originou-se depois dos outros números e possui algumas propriedades próprias, algumas vezes teremos a necessidade de representar o conjunto dos números naturais sem incluir o zero. Para isso foi definido que o símbolo * (asterisco) empregado ao lado do símbolo do conjunto iria representar a ausência do zero. Veja o exemplo abaixo:
Estes números foram suficientes para a sociedade durante algum tempo. Com o passar dos anos, e o aumento das "trocas" de mercadorias entre os homens, foi necessário criar uma representação numérica para as dívidas. Com isso inventou-se os chamados "números negativos", e junto com estes números, um novo conjunto: o conjunto dos números inteiros, representado pela letra Z.
O conjunto dos números inteiros é formado por todos os números NATURAIS mais todos os seus representantes negativos. Note que este conjunto não possui início nem fim (ao contrário dos naturais, que possui um início e não possui fim). Assim como no conjunto dos naturais, podemos representar todos os inteiros sem o ZERO com a mesma notação usada para os NATURAIS.
Em algumas situações, teremos a necessidade de representar o conjunto dos números inteiros que NÃO SÃO NEGATIVOS.
Para isso emprega-se o sinal "+" ao lado do símbolo do conjunto (vale a pena lembrar que esta simbologia representa os números NÃO NEGATIVOS, e não os números POSITIVOS, como muita gente diz). Veja o exemplo abaixo:
Obs.: Note que agora sim este conjunto possui um início. E você pode estar pensando "mas o zero não é positivo". O zero não é positivo nem negativo, zero é NULO. Ele está contido neste conjunto, pois a simbologia do sinalzinho positivo representa todos os números NÃO NEGATIVOS, e o zero se enquadra nisto. Se quisermos representar somente os positivos (ou seja, os não negativos sem o zero), escrevemos:
Pois assim teremos apenas os positivos, já que o zero não é positivo.
Ou também podemos representar somente os inteiros NÃO POSITIVOS com: 
Obs.: Este conjunto possui final, mas não possui início.
E também os inteiros negativos (ou seja, os não positivos sem o zero):
Uma propriedade interessante dos números inteiros, que já foi mencionada neste texto (e que podemos representar em um diagrama) é a de ter em seu interior todos os números naturais. Veja o diagrama abaixo:
Olhando ainda pela linha do tempo, em um determinado momento começou a ficar crucial a necessidade de se representar "partes" de alguma coisa. Ex.: fatia de um bolo, pedaço de um terreno,... e por essa necessidade foi inventado as frações. Para incluir os número ditos fracionários junto com os já existentes, criou-se o conjunto dos números RACIONAIS (), que indica uma razão (divisão) entre dois números inteiros. Ou seja, números racionais são todos aqueles que podem ser representados por uma fração de números inteiros.
Portanto, o conjunto dos inteiros está "dentro" do conjunto dos Racionais. Representamos assim:
Note que até agora o conjunto dos números racionais é o maior de todos. E assim durou por muito tempo!
Obs.1: As notações para os "não positivos" e os "não negativos", utilizados para os inteiros, também podem ser usadas para os racionais. 
Obs.2: O zeroÉ um número racional, pois podemos representá-lo pela fração:
= {Todos os racionais sem o zero}
= {Todos os racionais NÃO NEGATIVOS}
= {Todos os racionais NÃO NEGATIVOS sem o zero, ou seja, os positivos}
= {Todos os racionais NÃO POSITIVOS}
= {Todos os racionais NÃO POSITIVOS sem o zero, ou seja, os negativos}
Se formos um pouco mais além na história, vamos chegar ao famoso teorema de Pitágoras.
Se temos um triângulo retângulo com catetos medindo 1 unidade de comprimento.
Pelo teorema de Pitágoras, calculamos que o terceiro lado (a hipotenusa), vale .
E quanto é? 
Isto não podemos dizer exatamente. 
O que se sabe é que não dá para representar como uma fração de números inteiros, pois tem infinitas casas depois da vírgula (e não é uma dízima periódica). Então não podemos chamá-lo de número racional. Por este motivo houve a necessidade de criar-se mais um conjunto. Que, por oposição aos números racionais, chama-se "CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS". Formado por todos os números que, ao contrário dos racionais, NÃO podem ser representados por uma fração de números inteiros. Este conjunto é representado por I.
As raízes quadradas não exatas são os principais representantes deste conjunto.
Portanto, se um número for racional, não pode ser irracional, e vice-versa. 
Estes números foram utilizados por séculos e até hoje são considerados os mais importantes. Por este motivo, foi dado um nome para o conjunto formado por todos estes conjuntos. O nome escolhido foi "CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS"
Ou seja, o conjunto dos números Reais é formado por todos os números Racionais junto com os números Irracionais, portanto:
Se um número é Real, ou ele será Racional ou ele será Irracional, e se encontrará no seu respectivo conjunto. Não existindo nenhum número que seja REAL e não seja ou RACIONAL ou IRRACIONAL.
Cálculo Numérico
Operações com frações
Adição e Subtração: usamos o menor múltiplo comum.
Exemplo:
Multiplicação: O produto de duas frações é uma fração que tem por numerador o produto dos numeradores e que tem por denominador o produto dos denominadores.
Exemplo:
Divisão: O quociente de duas frações é uma fração resultante do produto da primeira fração pelo inverso da segunda fração.
Exemplo:
Símbolos
	: pertence
	: existe
	: não pertence
	: não existe
	: está contido
	: para todo (ou qualquer que seja)
	: não está contido
	: conjunto vazio
	: contém
	N: conjunto dos números naturais
	: não contém
	Z : conjunto dos números inteiros
	/ : tal que
	Q: conjunto dos números racionais
	: implica que
	I: conjunto dos números irracionais
	: se, e somente se
	R: conjunto dos números reais
Cálculo do valor de expressões numéricas: deve-se obedecer à prioridade dos sinais indicativos e das operações matemáticas.
	Prioridade dos Sinais
	Prioridade das Operações
	1
	( )
	1
	Exponenciação e Logaritmação
	2
	[ ]
	2
	Potenciação e Radiciação
	3
	{ }
	3
	Multiplicação e Divisão
	
	4
	Adição e Subtração
Exercícios de Aplicação
1 – Qual é o conjunto dos números pares maiores que 50 e menores que 200?
2 – Qual é o conjunto das consoantes da palavra coco?
3 – Quantos elementos possui o conjunto {3, 33, 333, 3333}?
4 – Qual é o conjunto formado pelo números pares do número 31657?
5 – Faça um diagrama que satisfaça as seguintes condições: 2
A, 4
A, 3
A
B, A
B = {2, 3, 4}.
6 – Como é representado um conjunto vazio?
7 – Seja o conjunto A = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, determine 3 subconjuntos de A, ou seja, 3 conjuntos que estejam contidos em A.
8 – Sabendo que A = {0, 1, 2, ..., 98, 99}, B = {1, 2, 10, 12} e C = {10, 11, 12, ..., 98, 99}, podemos afirmar que:
a) A
B		b) B
C		c) C
A		d) A
C
9 – Sendo A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 5, 6, 7} e C = {5, 6, 7, 8, 9}, determine:
a) A
B		b) A
C		c) B
C		d) A
B
C
e) A
B		f) A
C		g) B
C		h) A
B
C
10 – Quando temos A
B = 
, dizemos que A e B são disjuntos. Escreva dois conjuntos, A e B, de modo que sejam disjuntos.
11 – Faça um diagrama que represente os conjuntos A, B e C da questão 9.
12 – Se o conjunto A tem 7 elementos, o conjunto B, 4 elementos e A 
B tem 1 elemento, quantos elementos terá A
B?
13 – Numa pesquisa em que foram ouvidas crianças, constatou-se que:
15 crianças gostavam de refrigerante.
25 crianças gostavam de sorvete
5 crianças gostavam de refrigerante e de sorvete
Quantas crianças foram pesquisadas?
14 – Foram instaladas 66 lâmpadas para iluminar as ruas A e B, que se cruzam. Na rua A foram colocadas 40 lâmpadas e na rua B 30 lâmpadas. Quantas lâmpadas foram instaladas no cruzamento?
15 – Numa concentração de atletas há 42 que jogam basquetebol, 28 voleibol e 18 voleibol e basquetebol, simultaneamente. Qual é o número de atletas na concentração?
16 – Uma atividade com duas questões foi aplicada em uma classe de 40 alunos. Os resultados apontaram que 20 alunos haviam acertado as duas questões, 35 acertaram a primeira questão e 25, a segunda. Faça o diagrama e calcule o percentual de alunos que acertou apenas uma questão?
17 – Uma pesquisa de mercado foi realizada para verificar a audiência de três programas de televisão, 1200 famílias foram entrevistadas e os resultados obtidos foram os seguintes: 370 famílias assistem ao programa A, 300 ao programa B e 360 ao programa C. Desse total, 100 famílias assistem aos programas A e B, 60 aos programas B e C, 30 aos programas A e C e 20 famílias aos 3 programas.Com base nesses dados, determine:
a) quantas famílias não assistem a nenhum dos 3 programas?
b) quantas famílias assistem ao programa A e não assistem ao programa C?
c) qual o programa de maior fidelidade, ou seja, cujos espectadores assistem somente a esse programa?
- Considerando o diagrama a seguir determine:
n (A) = 
n (B) =
n (C) =
n (A ( B) =
n (A ( C) =
n (A – B) =
n [(A ( B) – C] =
�
- Em um bairro existem 1800 pessoas associadas ao clube A ou ao clube B sendo 1200 são sócios de A e 800 são sócios de B. Quantos são sócios de A que não são sócios de B?
- Feita uma pesquisa sobre as revistas que os estudantes lêem mais, tivemos o seguinte resultado:
	A
	B
	A e B
	44%
	40%
	24%
Responda:
Quantos por cento leem apenas a revista A?
Quantos por cento leem apenas a revista B?
Quantos por cento não leem nenhuma das duas revistas?
- Uma população consome 3 marcas de sabão em pó: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado, colheram-se os resultados tabelados abaixo:
	Marca
	Número de consumidores
	A
	105
	B
	200
	C
	160
	A e B
	25
	B e C
	40
	A e C
	25
	A, B e C
	5
	Nenhuma das três
	120
Determine o número de pessoas consultadas.
- Em um levantamento com 100 vestibulandos da Faculdade Pitágoras, verificou-se que o número de alunos que estudou para as provas de Matemática, Física e Português foi o seguinte: Matemática, 47; Física, 32; Português, 21; Matemática e Física, 7; Matemática e Português, 5; Física e Português, 6; as três matérias, 2. Quantos dos 100 alunos incluídos no levantamento não estudaram nenhuma das três matérias?
- O professor de Literatura do Cursinho Mil sugeriu a leitura dos livros Helena, Senhora e A Moreninha. Foi constatado que nos 1000 alunos consultados:
	Alunos
	Leitura
	600
	A Moreninha
	400
	Helena
	300
	Senhora
	200
	A Moreninha e Helena
	150
	A Moreninha e Senhora
	100
	Senhora e Helena
	20
	A Moreninha, Senhora e Helena
 
Calcule:
O número de alunos que leu apenas uma das obras
O número de alunos que não leu nenhuma das três obras
O número de alunos que leu duas ou mais obras.
- Numa sociedade existem: 35 homens; 18 pessoasque usam óculos; 15 mulheres que não usam óculos; 7 homens que usam óculos.
Qual o número de pessoas que compõem a sociedade?
Quantas pessoas são homens ou quantas usam óculos?
– Resolva as seguintes expressões numéricas:
Gabarito
1. 
2. 
3. 4 
4. 
5. 
6. 
7. Neste caso podemos ter 128 conjuntos que estão contidos no conjunto A, pois, . Ex: 
8. C
9. a) b) c) 
 d) e) f) g) h) 
10. Resposta pessoal. Ex:
11. 
12. 10
13. 35 
14. 4
15. 52
16. 50%
17. a) 340 b) 500 c) Programa C
18. a) 400 b) 300 c) 300 d) 170 e) 200 f) 230 g) 280
19. 1000
20. a) 20% b) 16% c) 40%
21. 500
22. 16
23. a) 460 b) 130 c) 410
24. a) 61 b) 46
25. 
�
65
-9
18
24
8
7
-19
3
7
-14
2,5
-2,25
-10
1
�
Unidades de Medidas: Comprimento, área e volume. 
Unidades de comprimento
A unidade de comprimento metro (m) é o comprimento da trajetória percorrida no vácuo pela luz durante um tempo de 1/299.792.458 de segundo. A palavra metro vem do grego métron que significa "o que mede". Foi estabelecido inicialmente que a medida do metro seria a décima milionésima parte da distância do Pólo Norte ao Equador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil o metro foi adotado oficialmente em 1928.
quilômetro ® Km = 103 m		
hectômetro ® hm = 102 m
decâmetro ® dam = 10m		
metro ® m = 1m
decímetro ® dm = 10-1 m		
centímetro ® cm = 10-2 m
milímetro ® mm = 10-3 m	 
micrômetro ® mm = 10-6 m
milimicro ® mm = 10-9 m		
milha marítima ® 1852 m 
Para distâncias astronômicas utilizamos o ano-luz que é a distância percorrida pela luz em um ano = 9,5x1012km.
 
Múltiplos e Submúltiplos do Metro
   	 Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Observe o quadro:
	Múltiplos
	Unidade
Fundamental
	Submúltiplos
	quilômetro
	hectômetro
	decâmetro
	metro
	decímetro
	centímetro 
	milímetro
	km
	hm
	dam
	m
	dm
	cm
	mm
	1.000m
	100m
	10m
	1m
	0,1m
	0,01m
	0,001m
    
O pé, a polegada, a milha e a jarda são unidades não pertencentes ao sistemas métrico decimal, são utilizadas em países de língua inglesa. Observe as igualdades abaixo:
	Pé
	=
	 30,48 cm
	Polegada
	=
	 2,54 cm
	Jarda
	=
	 91,44 cm
	Milha terrestre
	=
	 1.609 m
	Milha marítima
	=
	 1.852 m
Observe que:
1 pé = 12 polegadas
1 jarda = 3 pés
Transformação de Unidades
Para transformarmos uma medida de comprimento em uma unidade que se seja múltipla da medida dada, dividimos o valor por 10 cada unidade a esquerda e para transformar em uma medida submúltipla, multiplicamos por 10. 
   Ex.: Transforme 16,584hm em m. 
Para transformar hm em m (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10 x 10).
                16,584 x 100 = 1.658,4
                16,584hm = 1.658,4m
Observação: Para resolver uma expressão formada por termos com diferentes unidades, devemos inicialmente transformar todos eles numa mesma unidade, para a seguir efetuar as operações.
Unidades de área
As medidas de superfície são feitas pelo metro quadrado (m2) que é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado.   
quilômetros quadrado ®  km2 =106m2 
hectômetro quadrado ® hm2 =104 m 
decâmetro quadrado ® dam² = 102m2
metro quadrado ® 1m2 
 decímetro quadrado ® dm2 =10-2m2 
centímetro quadrado ® cm2 =10-4m2 
 milímetro quadrado ® mm2 =10-6m2  
Unidades agrária
hectare (ha) ® 100a=10.000m2 
are (a) ® a = 100m2 
centiare (ca) ® 0,01a=1m2
A unidade fundamental de superfície chama-se metro quadrado. 
O metro quadrado (m2) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado.  
	Múltiplos 
	Unidade Fundamental 
	Submúltiplos 
	quilômetros quadrado   
	hectômetro quadrado 
	decâmetro quadrado 
	metro quadrado 
	decímetro quadrado 
	centímetro quadrado 
	milímetro quadrado 
	km2 
	hm2
	dam2
	m2 
	dm2 
	cm2
	mm2
	1.000.000m2
	10.000m2
	100m2
	1m2
	0,01m2
	0,0001m2
	0,000001m2   
O dam2, o hm2 e km2 sào utilizados para medir grandes superfícies, enquanto o dm2, o cm2 e o mm2 são utilizados para pequenas superfícies. 
Medidas Agrárias
As medidas agrárias são utilizadas párea medir superfícies de campo, plantações, pastos, fazendas, etc. A principal unidade destas medidas é o are (a). Possui um múltiplo, o hectare (ha), e um submúltiplo, o centiare (ca). 
	Unidade
agrária
	hectare (há)
	are (a)
	centiare (ca)
	    Equivalência
de valor
	100ª
	1a
	0,01a
Lembrem-se:
1 ha = 1hm2
1a = 1 dam2
1ca = 1m2
Transformação de Unidades
No sistema métrico decimal, devemos lembrar que, na transformação de unidades de superfície, cada unidade de superfície é 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior:
Observe as seguintes transformações:
Transformar 2,36 m2 em mm2. 
Para transformar m2 em mm2 (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000.000 (100x100x100).
2,36 x 1.000.000  =  2.360.000 mm2
Transformar 580,2 dam2 em km2. 
Para transformar dam2 em km2 (duas posições à esquerda) devemos dividir por 10.000 (100x100).
 580,2 : 10.000  =  0,05802 km2
Unidades de volume
A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico (m3) que é a medida correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1m de aresta. 
quilolitro ® Kl = 103 l 
hectolitro ® hl = 102 l 
decalitro ® dal = 10l 
 litro ® l = 1000cm3 
decilitro ® dl = 10-1l 
 centilitro ® cl = 10-2 l 
mililitro ® ml = 10-3 l
A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico. O metro cúbico (m3) é medida correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1 m de aresta. 
	Múltiplos 
	Unidade Fundamental 
	Submúltiplos 
	quilômetro cúbico 
	hectômetro cúbico 
	decâmetro cúbico 
	metro cúbico 
	decímetro cúbico 
	centímetro cúbico 
	milímetro cúbico 
	km3 
	hm3 
	dam3 
	m3 
	dm3 
	cm3 
	mm3 
	1.000.000.000m3 
	1.000.000 m3 
	1.000m3 
	1m3 
	0,001m3 
	0,000001m3 
	0,000000001 m3 
Transformação de unidades
Na transformação de unidades de volume, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de volume é 1.000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
Observe a seguinte transformação:
Transformar 2,45 m3 para dm3. 
Para transformar m3 em dm3 (uma posição à direita) devemos multiplicar por 1.000.
2,45 x 1.000  =  2.450 dm3
Medidas de massa
Observe a distinção entre os conceitos de corpo e massa:
Massa é a quantidade de matéria que um corpo possui, sendo, portanto, constante em qualquer lugar da terra ou fora dela.
Peso de um corpo é a força com que esse corpo é atraído (gravidade) para o centro da terra. Varia de acordo com o local em que o corpo se encontra. Por exemplo:
A massa do homem na Terra ou na Lua tem o mesmo valor. O peso, no entanto, é seis vezes maior na terra do que na lua.
Explica-se esse fenômeno pelo fato da gravidade terrestre ser 6 vezes superior à gravidade lunar.
A unidade fundamental de massa chama-se quilograma.    
Apesar de o quilograma ser a unidade fundamental de massa, utilizamos na prática o grama como unidade principal de massa.
	Múltiplos
	Unidade principal
	Submúltiplos
	quilograma
	hectogramadecagrama
	grama
	decigrama
	centigrama
	miligrama
	kg
	hg
	dag
	g
	dg
	cg
	mg
	1.000g
	100g
	10g
	1g
	0,1g
	0,01g
	0,001g
Observe que cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Exemplos:
1 dag = 10 g
1 g = 10 dg
Podemos relacionar as medidas de massa com as medidas de volume e capacidade. Assim, para a água pura (destilada) a uma temperatura de 4ºC é válida a seguinte equivalência:
1 kg <=> 1dm3 <=> 1L
1m3 <=> 1 Kl <=> 1t
1cm3 <=> 1ml <=> 1g
Na medida de grandes massas, podemos utilizar ainda as seguintes unidades especiais: 
        1 arroba = 15 kg
        1 tonelada (t) = 1.000 kg
        1 megaton = 1.000 t ou 1.000.000 kg
Transformação de Unidades
Cada unidade de massa é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
Observe as seguintes transformação:
Transforme 4,627 kg em dag. 
Para transformar kg em dag (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100        (10 x 10).
 4,627 x 100 = 462,7
Ou seja: 4,627 kg = 462,7 dag
 
Notação científica 
 A notação científica é uma forma concisa de representar números, em especial muito grandes (100000000000) ou muito pequenos (0,00000000001). É baseado no uso de potências de 10 (os casos acima, em notação científica, ficariam: 1 · 1011 e 1 · 10-11, respectivamente).
Observe os números abaixo:
30 000 000 
500 000 000 000 000 
7 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 
0,0004 
0,00000001 
0,0000000000000006 
0,0000000000000000000000000000000000000000000000008 
Desse modo, os exemplos acima ficarão:
3 · 107 
5 · 1014 
7 · 1033 
4 · 10-4 
1 · 10-8 
6 · 10-16 
8 · 10-49 
A representação desses números na forma convencional torna-se difícil, em especial no quarto e oitavo exemplos. O principal fator de dificuldade é a quantidade de zeros extremamente alta para a velocidade normal de leitura dos números.
Pode-se pensar que esses valores são pouco relevantes e de uso quase inexistente na vida cotidiana. Mas este pensamento é incorreto. Em áreas como a Física e a Química esses valores são frequentes. Por exemplo, a maior distância observável do universo mede cerca de 740 000 000 000 000 000 000 000 000 metros, e a massa de um próton é aproximadamente 0,00000000000000000000000000167 gramas.
Para valores como esses, a notação científica é mais compacta. Outra vantagem da notação científica é que ela sempre pode representar adequadamente a quantidade de algarismos significativos. Por exemplo, a distância observável do universo, do modo que está escrito, sugere a precisão de 30 algarismos significativos. Mas isso não é verdade (seria coincidência demais 25 zeros seguidos numa aferição).
Um número escrito em notação científica segue o seguinte modelo: 
O número é denominado mantissa e a ordem de grandeza.
Para transformar um número qualquer para a notação científica padronizada devemos deslocar a vírgula obedecendo o príncípio de equlíbrio.
Vejamos o exemplo abaixo:
253756,42
A notação científica padronizada exige que a mantissa esteja entre 1 e 10. Nessa situação, o valor adequado seria 2,5375642 (observe que a sequência de algarismos é a mesma, somente foi alterada a posição da vírgula). Para o exponente, vale o princípio de equilíbrio: "Cada casa decimal que diminui o valor da mantissa aumenta o expoente em uma unidade, e vice-versa".
Nesse caso, o expoente é 5.
Observe a transformação passo a passo:
253 756,42 = 25 375,642 · 101 = 2 537,5642 · 102 = 253,75642 · 103 = 25,375642 · 104 = 2,5375642 · 105
Um outro exemplo, com valor menor que 1:
0,0000000475 = 0,000000475 · 10-1 = 0,00000475 · 10-2 = 0,0000475 · 10-3 = 0,000475 · 10-4 = 0,00475 · 10-5 = 0,0475 · 10-6 = 0,475 · 10-7 = 4,75 · 10-8
Operações
Adição e subtração
Para somar dois números em notação científica, é necessário que o expoente seja o mesmo. Ou seja, um dos valores deve ser transformado para que seu expoente seja igual ao do outro. A transformação segue o mesmo princípio de equilíbrio. O resultado possivelmente não estará na forma padronizada, sendo convertido posteriormente.
Exemplos:
4,2 · 107 + 3,5 · 105 = 4,2 · 107 + 0,035 · 107 = 4,235 · 107
6,32 · 109 - 6,25 · 109 = 0,07 · 109 (não padronizado) = 7 · 107 (padronizado)
Multiplicação
Multiplicamos as mantissas e somamos os expoentes de cada valor. O resultado possivelmente não será padronizado, mas pode ser convertido:
Exemplos:
(6,5 · 108) . (3,2 · 105) = (6,5 · 3,2) · 108+5 = 20,8 · 1013 (não padronizado) = 2,08 · 1014 (convertido para a notação padronizada)
(4 · 106) · (1,6 · 10-15) = (4 · 1,6) · 106+(-15) = 6,4 · 10-9 (já padronizado sem necessidade de conversão)
Divisão
Dividimos as mantissas e subtraímos os expoentes de cada valor. O resultado possivelmente não será padronizado, mas pode ser convertido:
Exemplos:
(8 · 1017) / (2 · 109) = (8 /2) . 1017-9 = 4 · 108 (padronizado)
(2,4 · 10-7) / (6,2 · 10-11) = (2,4 /6,2) · 10-7-(-11) ≈ 0,3871 · 104 (não padronizado) = 3,871 · 103 (padronizado)
Exponenciação
A mantissa é elevada ao expoente externo e o expoente da base dez é multiplicado pelo expoente externo.
(2 · 106)4 = (24) · 106 · 4 = 16 · 1024 = 1,6 · 1025 (padronizado)
Radiciação
Antes de fazer a radiciação é preciso transformar um expoente para um valor múltiplo do índice. Após feito isso, o resultado é a radiciação da mantissa multiplicada por dez elevado à razão entre o expoente e o índice do radical.
Ordem de grandeza
Suponha que você e mais três amigos vão pescar e, não tendo certeza se encontrarão água limpa para beber, querem levar uma quantidade suficiente para toda a viagem. Quanto deverão levar? Para fazermos cálculos aproximados, precisamos de algum conhecimento mínimo, para dar o “pontapé inicial” no problema. No nosso exemplo, podemos partir do fato de que os médicos recomendam que cada pessoa beba pelo menos 2 litros de água por dia. Como são quatro pessoas, serão necessários pelo menos oito 8 litros de água por dia. Para uma semana, a quantidade total será 8x7=56 litros. Para dar certa margem de segurança, arredondamos para 60 litros. Este é um exemplo típico do caso em que não existe um valor exato; o que se pode fazer é um cálculo aproximado. Ao fazermos um cálculo aproximado, damos como resposta a potência de dez mais próxima do resultado calculado e a resposta dada dessa maneira é chamada de ordem de grandeza. 
No exemplo anterior, em que a quantidade de água foi estimada em 60 litros, podemos observar que as potências de 10 mais próximas de 60 são: 101 e 102, ou seja, 101 ( 60 ( 102. 
Porem 60 está mais próximo de 100 do que de 10, portanto sua ordem de grandeza será 102. Para determinar a ordem de grandeza do número 637.106 m. siga os passos. 
1º) Passe o número para a notação científica do tipo x = N.10n , com 1 ( N ( 10. No caso N= 6,37106 m e n = 5. 
2º) Olhando para o valor de N, se N ( 3,16, faça n + 1, se N ( 3,16, n fica com o mesmo valor. Como 6,37 é maior do que 3,16, e n igual a 5, devemos então fazer n + 1 (5 + 1) = 6 e a ordem de grandeza será 106 m. 
A essa altura, você deve estar perguntando, por que raios esse estranho valor de 3,16 foi adotado como referência para sabermos para onde devemos arredondar? O fato é que o ponto médio entre o intervalo de duas potências consecutivas, do tipo 100 e 101 é 100,5, assim calculando 
m. Em muitos casos, a ordem de grandeza de uma quantidade física pode ser estimada mediante hipóteses razoáveis e cálculos simples, como no primeiro exemplo, dos quatro amigos que foram acampar. O físico ítalo-americano Enrico Fermi era um especialista em cálculos aproximados para questões que pareciam impossíveis de serem resolvidas, em virtude da informação limitada em torno do problema. Estas questões são conhecidas como problemas de Fermi. Em muitos casos a ordem de grandeza pode ser estimada com hipóteses razoáveis e cálculos simples. 
Por exemplo, quantos afinadoresde piano devem existir na cidade de São Paulo? È claro que não há solução padrão para esta pergunta, mas qualquer um pode fazer hipóteses que levem rapidamente a uma resposta aproximada. Se a população da região metropolitana for de 12 milhões de pessoas consideremos que 10% dessa população pertencem à classe social A ou B e, considerando que 2,5% das famílias têm um piano, então existem 30.000 pianos na cidade. Se cada piano for afinado a cada dois anos e supondo que o afinador consegue afinar entre 200 a 500 pianos por ano, chegamos a um resultado que São Paulo deve existir 43 afinadores de piano. A resposta não é exata pode ser 10 ou 80, mas uma consulta a lista telefônica mostrará que nossa resposta é razoável. Os bons profissionais sejam engenheiros, arquitetos, químicos ou físicos têm essa capacidade de fazer boas estimativas de ordens de grandeza do seu cotidiano.
Exercícios de Aplicação
1) Um fazendeiro repartiu em partes iguais sua fazenda de 120 alqueires mineiros, ficando uma parte para cada um de seus três filhos. Se um alqueire mineiro equivale a 48.400 m2, então, quantos hectares cada filho recebeu?
2) De acordo com uma publicação num jornal, de 1999 a 2003 existiam 1,8 bilhão de moedas de um centavo em circulação no país. Quanto corresponde essa quantidade, em reais? 
3) É verdadeira a afirmação: 
a) 12,5ha = 12.500m2 
b) 65,32m2 = 653,2dm2 
c) 12,3g = 1.230cg 
d) 67,8cm3 = 6,78dm3 
4) Uma área retangular de 12hm² vai ser loteada de acordo com um projeto de urbanização, que destina a quarta parte dessa área para suas internas no loteamento. A parte restante está dividida em 200 lotes iguais, retangulares, com comprimento igual ao dobro de largura. Qual o perímetro em metros, de cada lote? 
5) Uma industria importou vinho estrangeiro em 20 barris de 160 litros cada. Calcule o número necessário de garrafas com capacidade de 800cm³ para colocar todo vinho importado. 
6) Transforme 8,37dm2 em mm2.		
7) Transforme 3,1416m2 em cm2.     
8) Transforme 2,14m2 em dam2.    
9) Escreva os seguintes números em notação científica: 
a) 
=
b) 
=
c) 
=
d) 
=
e) 
=
f) 
=
10) A nossa galáxia, a Via Láctea, contém cerca de 400 bilhões de estrelas. Suponha que 0,05% dessas estrelas possuam um sistema planetário onde exista um planeta semelhante à Terra. O número de planetas semelhantes à Terra, na Via Láctea, é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
				
e) 
11) Efetue as seguintes operações, colocando as respostas em notação científica:
 
12. Supondo que no Brasil cada família tenha em média um televisor, qual é a ordem de grandeza do número de televisores nas residências brasileiras?
13. O censo populacional realizado em 1970 constatou que a população do Brasil era de 90 milhões de habitantes. Hoje, o censo estima uma população de 150 milhões de habitantes. A ordem de grandeza que melhor expressa o aumento populacional é: 
a) 106 b) 107 c) 108 d) 109 e) 1010 
14. Um automóvel percorre 95km em 3,0h. A expressão correta da velocidade média no percurso é:
a)31km/h b) 31,01km/h c)31,66 km/h d)31,67 km/h e)32 km/h		
15. Uma caixa d’água com volume de 150 litros coleta água de chuva á razão de 10 litros por hora. a) Por quanto tempo deverá chover para encher complemente essa caixa d’água? b) Admitindo-se que a área da base da caixa é 0,5m2, com que velocidade subirá o nível da água na caixa enquanto durar a chuva? 
Gabarito
�
193,6
18 milhões
C
90
4.000
83.700 mm2
31.416 cm2
0,0214 dam2
9. a) 
 b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
10. (c)
11. a) 
 b) 
 c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
12. 3,6x107
13. (c)
14. (e)
15. 15h; 20cm/h.
�
Razão
Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, com b ≠ 0, ao quociente entre eles. Indica-se a razão de a para b por a/b  ou a : b.  
Exemplo:  
Na sala da Engenharia Civil há 20 homens e 25 mulheres. Encontre a razão entre o número de homens e o número de mulheres. (lembrando que razão é divisão)  
20/25 = 4 / 5 (4 está para 5)
Essa razão indica que para cada 4 homens existe 5 mulheres na sala.
 
Proporção 
O concreto é uma mistura de vários componentes. Observe as medidas utilizadas por um engenheiro no quadro abaixo:
	TRAÇOS DE CONCRETO
	Aplicações
	Traço
	Rendimento por saco de cimento
	Para base de  fundações e para contrapisos (concreto magro)       
	1 saco de cimento 8 latas e meia de areia 11 latas e meia de pedra 2 latas de água
	14 latas ou 0,25m3 
	Concreto para fundações 
	1 saco de cimento    5 latas de areia 6 latas e meia de pedra 1 lata e meia de água
	9 latas ou 0,16 m3 
	Concreto para pisos          
	1 saco de cimento           4 latas de areia      6 latas  de pedra 1 lata e meia de água
	8 latas ou 0,14 m3  
	Concreto para pilares, vigas, vergas, lajes e produção de pré-moldados em geral              
	1 saco de cimento 4 latas de areia 5 latas e meia de pedra 1 lata e um quarto de água 
	8 latas ou 0,14 m3 
O engenheiro da obra vizinha questionou o outro engenheiro dizendo que ele usava uma forma diferente para preparar o concreto para piso conforme mostra o quadro abaixo: 
	TRAÇOS DE CONCRETO
	Aplicações
	Traço
	Rendimento por saco de cimento
	Concreto para pisos         
	2 sacos de cimento         8 latas de areia      6 latas  de pedra 3 latas de água
	16 latas ou 0,28 m3  
Observe o rendimento nas duas misturas. Se fizermos a razão entre a quantidade de cimento nas duas obras e as razões entre o rendimento encontraremos o mesmo resultado. Então dizemos que temos uma proporção. 
1/2 = 0,5 e 8/16 = 0,5
Proporção é uma igualdade entre duas razões
Elementos de uma proporção
Dados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim:
	   ou  a:b=c:d
(lê-se "a está para b assim como c está para d")
        Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo:
b e c os meios da proporção. 
a e d os extremos da proporção. 
                    
Exemplo:
Dada a proporção , temos:
Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36.
Meios: 4 e 27         Extremos: 3 e 36
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Observe as seguintes proporções:
	
	Produto dos meios = 4.30 = 120
Produto dos extremos = 3.40 = 120
	   
	   
	
	Produto dos meios = 9.20 = 180
Produto dos extremos = 4.45 = 180
	   
	   
	
	Produto dos meios = 8.45 = 360
Produto dos extremos = 5.72 = 360
De modo geral, temos que:
	
Grandezas Direta e Inversamente Proporcionais
A variação de uma grandeza pode variar outra grandeza, por exemplo: se observarmos os quilômetros percorridos por um carro (1º grandeza) e o combustível gasto (2º grandeza) por esse carro durante os quilômetros percorridos. A 2ª grandeza irá aumentar ou diminuir dependendo se a 1ª grandeza irá aumentar ou diminuir também.
Podemos dizer que grandezas proporcionais são grandezas que a sua variação interfere na variação de outra.
As grandezas proporcionais podem ser:
Grandezas inversamente proporcionais.
Grandezas diretamente proporcionais.
Um engenheiro tem uma equipe que constrói paredes em m2 de acordo com a tabela abaixo: 
	Tempo (minutos)
	Produção (m2)
	10
	100
	15
	150
	20
	200
	25
	250
	30
	300
Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezassão variáveis dependentes. Observe que:
Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica.
10 min  ---->  100m2
20 min ---->  200m2
Quando triplicamos o tempo, a produção também triplica.
10 min  ---->  100m2
30 min ---->  300m2
Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual a razão entre os valores correspondentes da 2ª.
Grandezas diretamente proporcionais, explicando de uma forma mais informal, são grandezas que crescem juntas e diminuem juntas. 
Podemos dizer também que duas grandezas são inversamente proporcionais quando, variando uma delas, a outra varia na razão inversa da outra. Isto é, duas grandezas são inversamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra se reduz pela metade; triplicando uma delas, a outra se reduz para a terça parte... E assim por diante.
Explicando de maneira informal, são grandezas que quando uma aumenta a outra diminui e vice-versa.
Um engenheiro tem uma equipe que constrói paredes em determinado tempo de acordo com a tabela abaixo: 
	Homens (Qtd)
	Tempo (H)
	10
	8
	20
	4
	40
	2
	80
	1
Quando duplicamos quantidade de homens, o tempo fica reduzido à metade.
10 homens  ----> 8H
20 homens ---->  4H
Quando quadriplicamos a quantidade de homens, o tempo fica reduzido à quarta parte.
10 homens  ----> 8H
40 homens  ----> 2H
Exemplos:
1) Paguei R$15,00 por 1kg de carne. Se eu tivesse pago R$25,00 teria comprado 2kg. A igualdade da razão do preço de compra pela quantidade, dos dois casos, resulta em uma proporção?
Os termos da nossa suposta proporção são: 15, 1, 25 e 2.
Podemos utilizar a propriedade fundamental das proporções para verificamos se tais termos nesta ordem formam ou não uma proporção.
Temos então:
15 . 2 ≠ 1 . 25 → 30 ≠ 25
Como 30 difere de 25, não temos uma igualdade, consequentemente não temos uma proporção.
Poderíamos também ter analisado as duas razões:
Como as duas razões possuem valores diferentes, obviamente não se trata de uma proporção.
2) Quatro números, todos diferentes de zero, 10, 8, 25 e x formam nesta ordem uma proporção. Qual o valor de x?
10/8 = 25/x
Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos temos:
8 . 25 = 10. x 
200 = 10 . x
X = 20
Excercícios Razões
1)  Qual é a razão:
a)  de 18 para 6
b)   de 3 para 9
c)  de 2 para 
2)  Calcule a razão do 1º número para o segundo número, em cada item:
a)    1,25 e 0,25
b)    4 e 2,5
c)     0,333 e 3
d)    1,4 e -2,1
3)  A razão entre dois números é  o menor deles é 6. Qual é o maior?
4)  a e b são números positivos e a razão  é igual a 7. Qual deles é o maior: a ou b?
5)  Qual é a razão entre a altura de beatriz (altura: 150 cm) e a altura de Clóvis (altura: 120 cm)?
6)  Certo refrigerante é vendido por R$0,90 em latas de 350 ml, e por R$1,90 em garrafas de 2l. Qual das duas embalagens é mais econômica para o consumidor?
7)  Qual é a razão entre as áreas de um quadrado A com 4 cm de lado e de um quadrado B com 8mm de lado?
Respostas
1)    a) 3                            b)1/3                            c)6
2)    a) 5                            b)1,6                            c)0,111                            d)-0,6666...
3)    10
4)    a é sete vezes maior do que b.
 5/4
5)    Garrafa
6)    25
PROPORÇÕES
1)  Verifique se as igualdades são verdadeiras
a)    
b)    
c)     
2)  Dadas as sucessões 3, 7, 11 e 15, 35, 55, calcule as razões de cada termo da primeira para o termo respectivo da segunda sucessão. Os números da primeira sucessão são diretamente proporcionais aos da segunda?
3)  Os números da sucessão 1, 4, 9, 32 e -1, -4, -9, -32 são diretamente proporcionais?
4)  Quais das sucessões abaixo são formadas por números proporcionais aos da sucessão 3, 4, 5 ,6 ,7?
a)    6, 8, 10, 12, 14
b)    9, 12, 15, 18, 21
c)     7, 6, 5, 4, 3
d)    13, 14, 15, 16, 17
5)  Determine o valor de x e y em cada item:
a)    
b)    
6)               Faça a multiplicação cruzada para verificar quais das proporções abaixo são verdadeiras:
a)    
b)    
c)     
Respostas:
1)    a)sim                            b) sim                            c) não
2)    Sim , são proporcionais, a razão é 1/5
3)    Não
4)    a e b
5)    a) x=2 e y=3                            b) x=10 e y=6
6)    Todas são verdadeiras
Regra de três simples
Consta na história da matemática que os gregos e os romanos conhecessem as proporções, porem não chegaram a aplicá-las na resolução de problemas. 
Na idade média, os árabes revelaram ao mundo a regra de três. Nos século XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios dessa regra em seu livro Líber Abaci, com o nome de Regra de Três Números Conhecidos. 
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.
Passos utilizados numa regra de três simples:
        1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
        2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
        3º) Montar a proporção e resolver a equação.
        Exemplos:
        1) Com uma área  de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?
        Solução: montando a tabela:
	Área (m2)
	Energia (Wh)
	1,2
	400
	1,5
	x
        Identificação do tipo de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
	
	
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.
        2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?
        Solução: montando a tabela:
	Velocidade (Km/h)
	Tempo (h)
	400
	3
	480
	x
        Identificação do tipo de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.
Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
	
	
Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.
        3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?
        Solução: montando a tabela:
	Camisetas
	Preço (R$)
	3
	120
	5
	x
Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.
4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?
        Solução: montando a tabela:
	Horas por dia
	Prazo para término (dias)
	8
	20
	5
	x
Observe que: Diminuindo o número dehoras trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta.
Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Exercícios:
1) Levo duas horas e meia para percorrer 15km. Se eu tiver quer percorrer 54km, quanto tempo eu levarei? 
Temos a grandeza tempo (T) e a grandeza distância (D). Quando a distância aumenta, o tempo também aumenta, por isto as duas grandezas são diretamente proporcionais e na representação, as duas terão a seta com a mesma orientação e, portanto não será necessário que se faça a inversão de termos para torná-las diretamente proporcionais, já que elas já o são:
Podemos então resolver a questão:
Portanto levarei 9 horas para percorrer os 54km.
 2) Um produtor rural tem uma produção anual de frangos de cerca de 18 toneladas. Em um bimestre este produtor irá produzir quantas toneladas de frango? 
Temos a grandeza tempo (T) e a grandeza produção (P). Quando o tempo diminui, a produção também diminui, logo as duas grandezas são diretamente proporcionais e na representação, a orientação da seta será a mesma para as duas grandezas.
Para padronizar a unidade de tempo, ao invés de trabalharmos com anos, iremos trabalhar com bimestres. Portanto utilizaremos 6 bimestres no lugar de utilizarmos 1 ano:
Resolvendo então o problema:
Em um bimestre o produtor produzirá 3 toneladas de frango.
 
3) Para encher um tanque de 10 mil litros, leva-se 4 horas. Para abastecer tal tanque com apenas 2500 litros, qual o tempo necessário? 
Temos a grandeza capacidade (C) e a grandeza tempo (T). Quando a capacidade diminui, o tempo também diminui, tratam-se então de duas grandezas diretamente proporcionais, as quais representaremos com a mesma orientação da seta:
Resolvendo o exercício:
O tempo necessário para o abastecimento de apenas 2500 litros será de 1 hora.
 
4) Em 15 minutos eu consigo descascar 2kg de batatas. Em uma hora conseguirei descascar quantos quilogramas? 
Temos a grandeza tempo (T) e a grandeza quantidade (Q). Quando aumenta a quantidade a descascar, o tempo também aumenta, por isto as duas grandezas são diretamente proporcionais e na representação, as duas terão a seta com a mesma orientação.
Observe que não podemos trabalhar com horas e minutos ao mesmo tempo, por isto arbitramos trabalhar em minutos. Ao invés de uma hora, utilizaremos 60 minutos:
Podemos então resolver a questão:
Portanto conseguirei descascar 8kg de batatas em uma hora.
 5) Uma pessoa bebe três copos de água a cada duas horas. Se ela passar acordada 16 horas por dia, quantos copos d'água ela beberá neste período? 
Temos a grandeza quantidade(Q) e a grandeza tempo (T). Quando o tempo aumenta, a quantidade também aumenta, logo as duas grandezas são diretamente proporcionais e na representação, a orientação da seta será a mesma para as duas grandezas.
Resolvendo então o problema:
Em 16 horas a pessoa irá beber 24 copos d'água.
 6) Um trem com 4 vagões transporta 720 pessoas. Para transportar 1260 pessoas, quantos vagões seriam necessários? 
7) A 60km/h faço o percurso entre duas cidades em duas horas. Trafegando a 80km qual o tempo estimado para percorrer este trajeto? 
Temos a grandeza velocidade (V) e a grandeza tempo (T). Quando a velocidade aumenta, o tempo diminui já que estamos trafegando mais rapidamente, por isto as duas grandezas são inversamente proporcionais e na representação, as duas terão a seta com orientação invertida e, portanto será necessário que se faça a inversão de termos para torná-las diretamente proporcionais, já que elas não o são:
Fazendo a inversão temos:
Podemos então resolver a questão:
A 80km/h estima-se que o trajeto seja feito em uma hora e meia.
 
8) Uma torneira enche um tanque em 6 horas. Se forem utilizadas 3 torneiras, qual o tempo necessário para enche-lo? 
Temos a grandeza quantidade de torneiras (Q) e a grandeza tempo (T). Quando a quantidade de torneiras aumenta, o tempo diminui já que aumentamos o volume da vazão, por isto as duas grandezas são inversamente proporcionais e as representaremos com as setas em orientação invertida e sendo assim será necessário que façamos a inversão de termos para deixá-las diretamente proporcionais:
Invertendo os termos:
Vamos então resolver o problema:
Se utilizarmos 3 torneiras, tal tanque poderia ser abastecido em 2 horas.
 
9) Um tecelão levou 12 horas para produzir um tapete, à razão de 6 metros por hora. Se ele trabalhasse à razão de 9m/h, quanto tempo teria levado para tecer o mesmo tapete? 
Temos a grandeza tempo (T) e a grandeza velocidade de produção (V). Quando a velocidade aumenta, o tempo diminui visto que estamos produzindo uma metragem maior, notamos então que as duas grandezas são inversamente proporcionais e na representação, as duas terão a seta com orientação invertida e será necessário que se faça a inversão de termos para torná-las diretamente proporcionais:
Procedendo com a inversão temos:
Basta resolvermos então a questão:
À razão de 9m/h o tecelão teria levado 8 horas para tecer o tapete.
 
10) Um certo volume de medicação demora 6 horas para ser ministrado em um gotejamento de 12 gotas por minuto. Se o número de gotas por minuto fosse de 18 gotas, quanto tempo teria demorado a aplicação desta mesma medicação? 
Temos a grandeza tempo (T) e a grandeza velocidade de gotejamento (V). Quando a velocidade aumenta, o tempo diminui desde que estamos ministrando um volume maior por minuto, percebemos então que as duas grandezas são inversamente proporcionais e na representação, as duas terão a seta com orientação invertida e será preciso que se faça a inversão de termos para torná-las diretamente proporcionais:
Realizando a inversão temos:
Resolvamos então o exercício:
Ministrando 18 gotas de medicamento por minuto, o tempo da aplicação teria sido de 4 horas.
 
11) Utilizando copos descartáveis de 175ml, eu consigo servir 12 pessoas. Se eu utilizar copos de 150 ml, quantas pessoas eu conseguirei servir com este mesmo volume de bebida? 
Temos a grandeza volume (V) e a grandeza pessoas (P). Quando o volume servido diminui, o número de pessoas que eu posso servir aumenta, por isto as duas grandezas são inversamente proporcionais e as representaremos com as setas em orientação invertida e sendo assim será necessário que façamos a inversão de termos para deixá-las diretamente proporcionais:
Invertendo os termos:
Vamos resolver o problema:
Em copos de 150 ml eu poderei servir 14 pessoas.
 
12) Com o dinheiro que possuo, eu posso comprar 21 passagens de lotação ao custo unitário de R$ 1,80. Eu soube, porém que o valor da passagem está para aumentar para R$ 2,10. No novo valor, quantas passagens eu poderei comprar com a mesma quantia que eu tenho? 
Temos a grandeza preço da passagem (P) e a grandeza número de passagens (N). Quando o preço aumenta, obviamente o meu poder aquisitivo diminui e eu posso comprar um número menor de passagens, notamos então que as duas grandezas são inversamente proporcionais e na representação, as duas terão a seta com orientação invertida e será necessário que se faça a inversão de termos para torná-las diretamente proporcionais:
Ao realizar a inversão temos:
Basta resolvermos então a questão:
Quando a passagem passar a custar R$ 2,10, com o dinheiro que possuo poderei comprar apenas 18 passagens.
 
Temos a grandeza vagão (V) e a grandeza pessoa (P). Quando o número de pessoas aumenta, o número de vagões também aumenta, logo as duas grandezas são diretamente proporcionais e na representação, a orientação da seta será a mesma para as duas grandezas.
Solucionando então o problema:
Para transporte de 1260 pessoas seriam necessários 7 vagões.
Respostas:
9
3
1
8
24
7
1,5
2
8
 4
 14
 18
Regra de três composta
A regrade três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
        Exemplos:
        1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?
        Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
	Horas
	Caminhões
	Volume
	8
	20
	160
	5
	x
	125
Identificação dos tipos de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
        A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
        Observe que:
        Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
        Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
	
	
Logo, serão necessários 25 caminhões.
        2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?
        Solução: montando a tabela:
	Homens
	Carrinhos
	Dias
	8
	20
	5
	4
	x
	16
Observe que:
Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).
Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, serão montados 32 carrinhos.
        3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo:
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.
EXERCÍCIOS
    1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas?  
    2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão?   
    3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m?  
    4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? 
    5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos?  
RESPOSTAS
6 horas.
35 dias.
15 dias.
10 horas por dia.
2025 metros.
PORCENTAGENS
É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:
A gasolina teve um aumento de 15%
Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00
O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00
Dos jogadores que jogam no Corínthians, 90% são craques.
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.
    
Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos:
Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:
As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.
  Considere o seguinte problema:
 João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?
  Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.
Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.
Portanto, chegamos a seguinte definição:
Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.
    Exemplos:
Calcular 10% de 300.
        
Calcular 25% de 200kg.
        
Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.
EXERCÍCIOS
Quanto é 15% de 80?
Quanto é 70% de 30?
Quanto é 150% de 45?
Quanto é 100% de 40?
30% da população de uma cidade litorânea mora na área insular e os demais 337.799 habitantes moram na área continental. Quantas pessoas moram na ilha?
Por um descuido meu, perdi R$ 336,00 dos R$ 1.200,00 que eu tinha em meu bolso. Quantos por cento eu perdi desta quantia?
Ao comprar um produto que custava R$ 1.500,00 obtive um desconto de 12%. Por quanto acabei pagando o produto? Qual o valor do desconto obtido?
Um produto custa R$ 100,00. Aumentei 25% o preço do produto. Como não consegui vender o produto resolvir reduzir o preço em 25%. Qual o preço atual deste produto?
Dos 28 bombons que estavam na minha gaveta, já comi 75%. Quantos bombons ainda me restam?
 Quanto é 45% de 90% de 180?
RESPOSTAS:
12
21
67,5
40
144771
28%
R$ 1320,00
R$ 93,75
7
72,9
A
C
B
130
100
100
70
50
80
50
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