aula 1 Grav (1)

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Universidade Federal do Maranhão - Campus Imperatriz 
Centro de Ciências Sociais, Saúde e Tecnologia
Licenciatura em Ciências Naturais - LCN
Física II
Aula-1 - Gravitação
O que há lá fora?O que há lá fora?O que há lá fora?O que há lá fora?
Entendendo o universoEntendendo o universoEntendendo o universoEntendendo o universo
O céu noturno: Fascinação!
Antiguidade: Entendimento dos fenômenos da terra e do céu. 
Dentre estes, podemos dividir estes fenômenos em: 
� Mecânica Terrestre:
Interessada no movimento de queda dos corpos sobre a 
terra 
� Mecânica Celeste: 
Interessada no movimento dos Planetas, Sol, Lua....
Planetas, estrelas e outras coisinhasPlanetas, estrelas e outras coisinhasPlanetas, estrelas e outras coisinhasPlanetas, estrelas e outras coisinhas
PlanetasPlanetasPlanetasPlanetas
EstrelasEstrelasEstrelasEstrelas
Outras coisinhasOutras coisinhasOutras coisinhasOutras coisinhas
Um planeta (do grego, significa "errante") é um corpo celestial que
orbita uma estrela ou um remanescente de estrela, com massa
suficiente para se tornar esférico pela sua própria gravidade.
Uma estrela é uma grande e luminosa esfera de plasma, mantida
íntegra pela gravidade. Ao fim de sua vida, uma estrela pode conter
também uma proporção de matéria degenerada. A estrela mais
próxima da Terra é o Sol, que é a fonte da maior parte da energia do
planeta.
Satélites, cometas, asteroides, meteoros e meteoritos...
Errante: o estranho movimento retrógradoErrante: o estranho movimento retrógradoErrante: o estranho movimento retrógradoErrante: o estranho movimento retrógrado
Existem 5 planetas visíveis a olho nu: 
Mercúrio, cuja observação é muito difícil
Vênus, conhecido como estrela-d’alva
Marte, Jupiter e Saturno, que podem ser vistos facilmente o ano 
todo.
Durante determinada época do ano, a órbita destes planetas 
descreve um movimento parecido com um laço, devido as posições 
relativas da Terra e do planeta.
Este movimento é conhecido como movimento retrógrado. 
Mecânica CelesteMecânica CelesteMecânica CelesteMecânica Celeste
• Modelos existentes para a Mecânica Celeste:
� Sistema Geocêntrico
� Sistema Heliocêntrico
• Terra no centro do Universo
• Defendido pela Igreja Católica
• Homem no centro do Universo
• Sol no centro do Sistema Solar
• Abominado pela Igreja Católica
• Homem deixa de ser o centro do Universo
O estranho movimento retrógradoO estranho movimento retrógradoO estranho movimento retrógradoO estranho movimento retrógrado
Movimento retrógrado de Marte
Sistema GeocêntricoSistema GeocêntricoSistema GeocêntricoSistema Geocêntrico
• Claudius Ptolemaeus (sec. II A.C.)
• Sistema geocêntrico: 
→ Terra imóvel no centro do universo 
→ Sol, Lua e planetas giram em torno da Terra
→ Início da era cristã
• Órbitas complexas com círculos centrados em outros 
círculos: epiciclos 
• Teoria complicada
• Não explicava novas observações
E como explicar este movimento?E como explicar este movimento?E como explicar este movimento?E como explicar este movimento?
GeocêntricoGeocêntricoGeocêntricoGeocêntrico
• Nikolaus Kopernik (1473-1543 ) 
• Renascimento: 
questionamento de idéias antigas
• Sistema heliocêntrico:
→ Sol imóvel no centro do universo
→ Terra e planetas giram em torno do Sol
→ A Terra não seria mais o centro do Universo?!
• “De Revolutionibus Orbium Celestium” (Sobre as 
revoluções das Esferas Celestes) Copérnico, 1543
Sistema HeliocêntricoSistema HeliocêntricoSistema HeliocêntricoSistema Heliocêntrico
E como explicar este movimento?E como explicar este movimento?E como explicar este movimento?E como explicar este movimento?
HeliocêntricoHeliocêntricoHeliocêntricoHeliocêntrico
GeocêntricoGeocêntricoGeocêntricoGeocêntrico X X X X HeliocêntricoHeliocêntricoHeliocêntricoHeliocêntrico
• Grande simplificação do modelo das órbitas
Terra
Vênus
Geocêntrico Geocêntrico Geocêntrico Geocêntrico e e e e HeliocêntricoHeliocêntricoHeliocêntricoHeliocêntrico
Uma explicação divina...
Créditos: Um sábado qualquer.
Modelo de CopérnicoModelo de CopérnicoModelo de CopérnicoModelo de Copérnico
• Rotação e translação
• O eixo da Terra não é 
perpendicular ao plano de 
sua órbita: 23,50 com a 
normal
• → estações.
• Órbitas uniformes, eternas e circulares ou uma 
composição de vários círculos (epiciclos).
• O centro do universo é perto do Sol. 
• Modelo mais “elegante”, mas ainda só geométrico
Mas então, no fim do século XVIMas então, no fim do século XVIMas então, no fim do século XVIMas então, no fim do século XVI
... um sujeito chamado Tycho Brahe estudou o
movimento dos planetas e fez observações
mais precisas do que as existentes até então.
Sobre Tycho Brahe
• 1546-1601
• Grande observatório:
Projeto científico colossal com apoio do rei 
Frederico II. 
• Grande número de dados obtidos a olho nu, mas 
com instrumentos de grandes precisão.
Galileu GalileiGalileu GalileiGalileu GalileiGalileu Galilei
• 1564 – 1642
• Primeiras observações com telescópio: 
Ampliação de 100x
• Evidências experimentais do modelo heliocêntrico:
Fases de Vênus, 4 Luas de Júpiter (órbita centrado em outro 
astro).
• “Diálogo sobre os Dois Principais Sistemas do Mundo, o 
Ptolomaico e o Copernicano”, 1632
• Defesa do modelo heliocêntrico contra a Igreja: 
Condenado a abjurar suas ideias, 1633
Reza a lenda que ao sair do tribunal disse...
“Eppur si Muove!” ... “Contudo, (a Terra) se move!”
Johanes KeplerJohanes KeplerJohanes KeplerJohanes Kepler
• 1571-1630
• Assistente e sucessor de Tycho Brahe
• Análise detalhada (20 anos) dos dados acumulados 
por Tycho Brahe
• Órbita da Terra: círculo com centro um pouco 
deslocado do Sol.
• Marte: um problema.....
KeplerKeplerKeplerKepler
• ... a órbita de Marte não era um círculo: 
Erro de 8 min. de arco vs precisão de 4 min. de arco nas 
medidas de Brahe. 
• “Construirei uma teoria do universo baseada na 
discrepância de 8 minutos de arco...”
• Órbita de Marte: elipse com o Sol em um dos seus focos
• Generalização... Leis de Kepler
1111oooo Lei de KeplerLei de KeplerLei de KeplerLei de Kepler
• Lei das Órbitas
“As órbitas descritas pelos
planetas em redor do Sol 
são elipses com o Sol num 
dos seus focos”.
• Excentricidade: e = c/a 
• Caso particular: e = 0 : órbita circular
2222oooo Lei de KeplerLei de KeplerLei de KeplerLei de Kepler
• Lei das Áreas
“O vetor que liga um 
planeta ao Sol 
descreve áreas iguais 
em tempos iguais”.
• Sobre as velocidades dos planetas:
Velocidade maior no periélio : perto do Sol
Velocidade menor no afélio: longe do Sol
3333oooo Lei de KeplerLei de KeplerLei de KeplerLei de Kepler
• Lei dos Períodos
“A razão entre os quadrados do período de revolução de 
dois planetas é igual a razão entre os cubos de suas 
distâncias ao Sol”.
3
2
1
2
2
1






=





R
R
T
T
Vamos animar um pouco...
E então era isso?
Bem... Não é bem assim.
Um dia, um tal de Isaac Newton...
Isaac NewtonIsaac NewtonIsaac NewtonIsaac Newton
• 1642-1727
• Formado em Cambridge que 
foi fechada em 1665 devido 
uma epidemia de peste em 
Londres (70.000 mortes). 
Newton, com 23 anos, voltou 
para a fazenda da família em 
Woolthorpe onde fez 
inestimáveis contribuições a 
ciência. 
nas palavras de Newton... nas palavras de Newton... nas palavras de Newton... nas palavras de Newton... 
“ No princípio de 1665 achei o método para aproximar séries e a regra 
para reduzir qualquer potência de um binômio a tal série ... 
(Teorema Binomial)
...No mesmo ano, em maio, achei o método das tangentes de Gregory e 
Slusius (Fórmula de interpolaçãode Newton)
...e em novembro o método direto das fluxões... (Cálculo diferencial)
...no ano seguinte, em janeiro, a teoria das cores... 
(Decomposição da Luz)
.. e em maio os princípios do método inverso das fluxões... 
(Cálculo integral)
No mesmo ano comecei a pensar na gravidade como se estendendo até 
a órbita da lua, e na lei de Kepler sobre os planetas ... deduzi que as 
forças que mantêm os planetas em suas órbitas devem variar com o 
inverso do quadrado de suas distâncias, tendo então comparado a força 
necessária para manter a Lua em sua órbita com a força da gravidade 
na superfície da Terra e encontrado que concordavam bastante bem. 
(Lei da Gravitação Universal)
Tudo isto foi feito nos dois anos da peste, 1665 e 1666, pois naqueles 
dias eu estava na flor da idade para invenções e me ocupava mais de 
matemática e filosofia que em qualquer outra época posterior.
A Lua e a maçãA Lua e a maçãA Lua e a maçãA Lua e a maçã
Experimente!
Lei da GravitaçãoLei da GravitaçãoLei da GravitaçãoLei da Gravitação
r
T
R
mamF ˆ4 2
2pi−==
rr
Vamos analisar o caso mais simples de órbita circular, que é apropriado 
para vários planetas.
Órbita circular
+ 2a lei de Kepler: Movimento Circular e Uniforme Aceleração centrípeta
E pela 2a lei de Newton teremos: 
FORÇA ATRATIVA !
m : massa do planeta 
R : raio da órbita circular
ω: velocidade angular
T : período da órbita
2
ˆa Rrω= −r
2
2 ˆ4
R
a r
T
pi= −
r
, lembrando que /d dtω θ=
podemos escrever a aceleração como
Lei da GravitaçãoLei da GravitaçãoLei da GravitaçãoLei da Gravitação
r
R
mCF ˆ4 2
2pi−=
r
cteC
T
R
==2
3
2R
mMF ∝
Das Leis de Kepler concluimos então que...
A FORÇA GRAVITACIONAL do Sol sobre um planeta...
varia com o inverso do quadrado da distância entre o sol
e o planeta R e é proporcional à massa do planeta m.
Pela 3º. Lei de Newton...
o planeta exerce força igual e contrária sobre o Sol e
esta força deve ser proporcional a massa do Sol M.
r
T
R
mamF ˆ4 2
2pi−==
rr
+ 3a lei de Kepler
r
r
GMmF )
r
2−−−−====
213111067,6 −−−−−−−−−−−−××××==== skgmG
G : Constante gravitacional 
FORÇA GRAVITACIONAL
Direção: linha ligando as massas
Sentido: atrativa
Lei da GravitaçãoLei da GravitaçãoLei da GravitaçãoLei da Gravitação
A Lua e a maçãA Lua e a maçãA Lua e a maçãA Lua e a maçã
Conta-se que em 1666, Newton em sua fazenda, vendo uma maça cair 
de uma árvore começou a meditar sobre a causa que atrai todos os 
corpos em direção ao centro da Terra e concluiu:
“...a Lua assim como a maçã está caindo 
em direção a Terra.”
Naquele ano Newton realmente comparou a força
necessária para manter a Lua em sua órbita com a
gravidade na superfície da Terra.
A maçã x A LuaA maçã x A LuaA maçã x A LuaA maçã x A Lua
2
T
Tm
TC R
MmGF =
r
2
TL
TL
TL R
MmGF =
r
2
T
T
C R
GMga ==
Módulos das forças
Acelerações:
2
TL
T
L R
GM
a =
Relação das acelerações
2






=
TL
TL
R
R
g
a
2






=
TL
TL
R
R
g
a
ou ainda 
Nas palavras de Newton 
“Assim eu comparei a força necessária para manter a Lua em sua órbita 
com a força da gravidade na superfície da terra, e vi que elas se 
comportam da mesma maneira”
O resultado obtido por Newton apresenta uma boa concordância com estimativa da razão 
entre a aceleração da Lua (calculada pelo período e raio de sua órbita) e a aceleração da 
gravidade próxima da superfície da Terra (conhecida).
1
3600
La
g
≈
A maçã x A LuaA maçã x A LuaA maçã x A LuaA maçã x A Lua
3600
L
g
a
≈
Usando os valores de RT e RTL conhecidos 
na época Newton obteve:
Resultados da GravitaçãoResultados da GravitaçãoResultados da GravitaçãoResultados da Gravitação
• Cometas: Órbitas elípticas bastante alongadas. 
O mais célebre é o cometa Halley identificado 
por Halley em 1682 com período de aparição de 
~ 75 anos. Sua aparição mais recente foi em 
1986.
• Forma da Terra: Só considerando o efeito da 
gravidade, a Terra seria esférica. Mas, a força 
centrífuga devida à rotação leva ao achatamento 
dos pólos tornando a terra um esferóide oblato. 
Newton estimou a razão dos diâmetros polar / 
equatorial em ~229/230.
• Precessão dos equinócios: O eixo de rotação 
da Terra mantém um ângulo constante de 23,50
com a normal ao plano de movimento. O período 
de precessão deste eixo é de 26.000 anos. ω
r
A constante universal da gravitaçãoA constante universal da gravitaçãoA constante universal da gravitaçãoA constante universal da gravitação
213111067,6 −−−−−−−−−−−−××××==== skgmG
• BALANÇA DE TORÇÃO
Henry Cavendish (1798)
r
r
GMmF )
r
2−−−−====
Experimento: 
1798
Teoria: 1666
O experimento de CavendishO experimento de CavendishO experimento de CavendishO experimento de Cavendish
Par de esferas de massa m
nas extremidades de barra 
suspensa por fibra leve.
Par de esferas de massa M
colocadas próximas das 
massas m produzem torque 
sobre a barra suspensa.
Equilíbrio: torque gravitacional 
compensado por torque da 
torsão da fibra.
G calculado a partir do ângulo 
de torção medido pela deflexão 
de feixe de luz.
“Pesagem da Terra”
Massa da TerraMassa da TerraMassa da TerraMassa da Terra
Valores já conhecidos
Raio da Terra - medidas de Erastótenes (276 aC - 197 aC): 
rT=6,364x106 m
Aceleração da gravidade: 
g=9,8 ms-2
Constante gravitacional medida por Cavendish:
G= 6,67x10-11m3kg-1s-2
mg
r
mMG
Terra
Terra
====2
kgMTerra 241097,5 ××××====
Os limites da Lei de NewtonOs limites da Lei de NewtonOs limites da Lei de NewtonOs limites da Lei de Newton
A Lei Gravitacional de Newton vale para
planetas, satélites, cometas, queda da maçã, todos corpos com massa,...
... supercordas.
Experimentos sofisticados ainda validam Lei Gravitacional de Newton.
“Upper limits to submillimiter-range 
forces from extra space-time dimensions”, 
Long et al., Nature 421, 922 (2003).
3333oooo Lei de KeplerLei de KeplerLei de KeplerLei de Kepler
GM
rT
2
3
2pi
=
Lei das Períodos
Conhecendo os estudos de Kepler, Newton conseguiu 
obter uma expressão para o período de uma órbita 
circular (em torno do sol ou de um planeta) usando a 
força gravitacional:
Reescrevendo… !4
2
3
2
cte
GMr
T
==
pi
2222aaaa Lei de KeplerLei de KeplerLei de KeplerLei de Kepler
Lei das Áreas
Como a Força Gravitacional é central, o
momento angular (l) da Terra se conserva.
Considerando o caso simples do Sol estático :
centro de atração gravitacional da Terra:
r
r
GMm
rF ˆ)( 2−=
rr
Para um sistema tipo
Sol – Terra:
.0 const=⇒= l
rr
τ
Sol Terrar
r
rdr rr +
rdr
pr
Área do triângulo: 
rdrAd rr
r
×=
2
1
mdt
rd
mr
mdt
Ad
22
1 l
rr
r
r
=×= cte
mdt
Ad
dt
Ad
===
2
l
rr
O raio vetor que liga um planeta ao Sol r descreve áreas dA
iguais em tempos iguais dt.
2222aaaa Lei de KeplerLei de KeplerLei de KeplerLei de Kepler
Lei das Áreas
Sol Terrar
r
rdr rr +
rdr
pr
• Hooke, Wren e Halley se perguntaram qual seria a órbita 
dos planetas sob a força 1/ R2. 
Newton respondeu: “Uma elipse!”
• Halley financiou a obra que Newton escreveu em 18 meses: 
“Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” (1687)
considerada a obra científica mais importante já escrita.
1111aaaa Lei de KeplerLei de KeplerLei de KeplerLei de Kepler
Lei das Órbitas
A grande façanha de Newton, com seu trabalho sobre a 
Gravitação Universal, foi demonstrar que a teoria que 
explica a queda de uma maçã sobre a Terra é a mesma 
que explica o movimento dos astros no céu.
Simples, mas genial.