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Universidade Federal do Maranhão - Campus Imperatriz Centro de Ciências Sociais, Saúde e Tecnologia Licenciatura em Ciências Naturais - LCN Física II Aula-1 - Gravitação O que há lá fora?O que há lá fora?O que há lá fora?O que há lá fora? Entendendo o universoEntendendo o universoEntendendo o universoEntendendo o universo O céu noturno: Fascinação! Antiguidade: Entendimento dos fenômenos da terra e do céu. Dentre estes, podemos dividir estes fenômenos em: � Mecânica Terrestre: Interessada no movimento de queda dos corpos sobre a terra � Mecânica Celeste: Interessada no movimento dos Planetas, Sol, Lua.... Planetas, estrelas e outras coisinhasPlanetas, estrelas e outras coisinhasPlanetas, estrelas e outras coisinhasPlanetas, estrelas e outras coisinhas PlanetasPlanetasPlanetasPlanetas EstrelasEstrelasEstrelasEstrelas Outras coisinhasOutras coisinhasOutras coisinhasOutras coisinhas Um planeta (do grego, significa "errante") é um corpo celestial que orbita uma estrela ou um remanescente de estrela, com massa suficiente para se tornar esférico pela sua própria gravidade. Uma estrela é uma grande e luminosa esfera de plasma, mantida íntegra pela gravidade. Ao fim de sua vida, uma estrela pode conter também uma proporção de matéria degenerada. A estrela mais próxima da Terra é o Sol, que é a fonte da maior parte da energia do planeta. Satélites, cometas, asteroides, meteoros e meteoritos... Errante: o estranho movimento retrógradoErrante: o estranho movimento retrógradoErrante: o estranho movimento retrógradoErrante: o estranho movimento retrógrado Existem 5 planetas visíveis a olho nu: Mercúrio, cuja observação é muito difícil Vênus, conhecido como estrela-d’alva Marte, Jupiter e Saturno, que podem ser vistos facilmente o ano todo. Durante determinada época do ano, a órbita destes planetas descreve um movimento parecido com um laço, devido as posições relativas da Terra e do planeta. Este movimento é conhecido como movimento retrógrado. Mecânica CelesteMecânica CelesteMecânica CelesteMecânica Celeste • Modelos existentes para a Mecânica Celeste: � Sistema Geocêntrico � Sistema Heliocêntrico • Terra no centro do Universo • Defendido pela Igreja Católica • Homem no centro do Universo • Sol no centro do Sistema Solar • Abominado pela Igreja Católica • Homem deixa de ser o centro do Universo O estranho movimento retrógradoO estranho movimento retrógradoO estranho movimento retrógradoO estranho movimento retrógrado Movimento retrógrado de Marte Sistema GeocêntricoSistema GeocêntricoSistema GeocêntricoSistema Geocêntrico • Claudius Ptolemaeus (sec. II A.C.) • Sistema geocêntrico: → Terra imóvel no centro do universo → Sol, Lua e planetas giram em torno da Terra → Início da era cristã • Órbitas complexas com círculos centrados em outros círculos: epiciclos • Teoria complicada • Não explicava novas observações E como explicar este movimento?E como explicar este movimento?E como explicar este movimento?E como explicar este movimento? GeocêntricoGeocêntricoGeocêntricoGeocêntrico • Nikolaus Kopernik (1473-1543 ) • Renascimento: questionamento de idéias antigas • Sistema heliocêntrico: → Sol imóvel no centro do universo → Terra e planetas giram em torno do Sol → A Terra não seria mais o centro do Universo?! • “De Revolutionibus Orbium Celestium” (Sobre as revoluções das Esferas Celestes) Copérnico, 1543 Sistema HeliocêntricoSistema HeliocêntricoSistema HeliocêntricoSistema Heliocêntrico E como explicar este movimento?E como explicar este movimento?E como explicar este movimento?E como explicar este movimento? HeliocêntricoHeliocêntricoHeliocêntricoHeliocêntrico GeocêntricoGeocêntricoGeocêntricoGeocêntrico X X X X HeliocêntricoHeliocêntricoHeliocêntricoHeliocêntrico • Grande simplificação do modelo das órbitas Terra Vênus Geocêntrico Geocêntrico Geocêntrico Geocêntrico e e e e HeliocêntricoHeliocêntricoHeliocêntricoHeliocêntrico Uma explicação divina... Créditos: Um sábado qualquer. Modelo de CopérnicoModelo de CopérnicoModelo de CopérnicoModelo de Copérnico • Rotação e translação • O eixo da Terra não é perpendicular ao plano de sua órbita: 23,50 com a normal • → estações. • Órbitas uniformes, eternas e circulares ou uma composição de vários círculos (epiciclos). • O centro do universo é perto do Sol. • Modelo mais “elegante”, mas ainda só geométrico Mas então, no fim do século XVIMas então, no fim do século XVIMas então, no fim do século XVIMas então, no fim do século XVI ... um sujeito chamado Tycho Brahe estudou o movimento dos planetas e fez observações mais precisas do que as existentes até então. Sobre Tycho Brahe • 1546-1601 • Grande observatório: Projeto científico colossal com apoio do rei Frederico II. • Grande número de dados obtidos a olho nu, mas com instrumentos de grandes precisão. Galileu GalileiGalileu GalileiGalileu GalileiGalileu Galilei • 1564 – 1642 • Primeiras observações com telescópio: Ampliação de 100x • Evidências experimentais do modelo heliocêntrico: Fases de Vênus, 4 Luas de Júpiter (órbita centrado em outro astro). • “Diálogo sobre os Dois Principais Sistemas do Mundo, o Ptolomaico e o Copernicano”, 1632 • Defesa do modelo heliocêntrico contra a Igreja: Condenado a abjurar suas ideias, 1633 Reza a lenda que ao sair do tribunal disse... “Eppur si Muove!” ... “Contudo, (a Terra) se move!” Johanes KeplerJohanes KeplerJohanes KeplerJohanes Kepler • 1571-1630 • Assistente e sucessor de Tycho Brahe • Análise detalhada (20 anos) dos dados acumulados por Tycho Brahe • Órbita da Terra: círculo com centro um pouco deslocado do Sol. • Marte: um problema..... KeplerKeplerKeplerKepler • ... a órbita de Marte não era um círculo: Erro de 8 min. de arco vs precisão de 4 min. de arco nas medidas de Brahe. • “Construirei uma teoria do universo baseada na discrepância de 8 minutos de arco...” • Órbita de Marte: elipse com o Sol em um dos seus focos • Generalização... Leis de Kepler 1111oooo Lei de KeplerLei de KeplerLei de KeplerLei de Kepler • Lei das Órbitas “As órbitas descritas pelos planetas em redor do Sol são elipses com o Sol num dos seus focos”. • Excentricidade: e = c/a • Caso particular: e = 0 : órbita circular 2222oooo Lei de KeplerLei de KeplerLei de KeplerLei de Kepler • Lei das Áreas “O vetor que liga um planeta ao Sol descreve áreas iguais em tempos iguais”. • Sobre as velocidades dos planetas: Velocidade maior no periélio : perto do Sol Velocidade menor no afélio: longe do Sol 3333oooo Lei de KeplerLei de KeplerLei de KeplerLei de Kepler • Lei dos Períodos “A razão entre os quadrados do período de revolução de dois planetas é igual a razão entre os cubos de suas distâncias ao Sol”. 3 2 1 2 2 1 = R R T T Vamos animar um pouco... E então era isso? Bem... Não é bem assim. Um dia, um tal de Isaac Newton... Isaac NewtonIsaac NewtonIsaac NewtonIsaac Newton • 1642-1727 • Formado em Cambridge que foi fechada em 1665 devido uma epidemia de peste em Londres (70.000 mortes). Newton, com 23 anos, voltou para a fazenda da família em Woolthorpe onde fez inestimáveis contribuições a ciência. nas palavras de Newton... nas palavras de Newton... nas palavras de Newton... nas palavras de Newton... “ No princípio de 1665 achei o método para aproximar séries e a regra para reduzir qualquer potência de um binômio a tal série ... (Teorema Binomial) ...No mesmo ano, em maio, achei o método das tangentes de Gregory e Slusius (Fórmula de interpolaçãode Newton) ...e em novembro o método direto das fluxões... (Cálculo diferencial) ...no ano seguinte, em janeiro, a teoria das cores... (Decomposição da Luz) .. e em maio os princípios do método inverso das fluxões... (Cálculo integral) No mesmo ano comecei a pensar na gravidade como se estendendo até a órbita da lua, e na lei de Kepler sobre os planetas ... deduzi que as forças que mantêm os planetas em suas órbitas devem variar com o inverso do quadrado de suas distâncias, tendo então comparado a força necessária para manter a Lua em sua órbita com a força da gravidade na superfície da Terra e encontrado que concordavam bastante bem. (Lei da Gravitação Universal) Tudo isto foi feito nos dois anos da peste, 1665 e 1666, pois naqueles dias eu estava na flor da idade para invenções e me ocupava mais de matemática e filosofia que em qualquer outra época posterior. A Lua e a maçãA Lua e a maçãA Lua e a maçãA Lua e a maçã Experimente! Lei da GravitaçãoLei da GravitaçãoLei da GravitaçãoLei da Gravitação r T R mamF ˆ4 2 2pi−== rr Vamos analisar o caso mais simples de órbita circular, que é apropriado para vários planetas. Órbita circular + 2a lei de Kepler: Movimento Circular e Uniforme Aceleração centrípeta E pela 2a lei de Newton teremos: FORÇA ATRATIVA ! m : massa do planeta R : raio da órbita circular ω: velocidade angular T : período da órbita 2 ˆa Rrω= −r 2 2 ˆ4 R a r T pi= − r , lembrando que /d dtω θ= podemos escrever a aceleração como Lei da GravitaçãoLei da GravitaçãoLei da GravitaçãoLei da Gravitação r R mCF ˆ4 2 2pi−= r cteC T R ==2 3 2R mMF ∝ Das Leis de Kepler concluimos então que... A FORÇA GRAVITACIONAL do Sol sobre um planeta... varia com o inverso do quadrado da distância entre o sol e o planeta R e é proporcional à massa do planeta m. Pela 3º. Lei de Newton... o planeta exerce força igual e contrária sobre o Sol e esta força deve ser proporcional a massa do Sol M. r T R mamF ˆ4 2 2pi−== rr + 3a lei de Kepler r r GMmF ) r 2−−−−==== 213111067,6 −−−−−−−−−−−−××××==== skgmG G : Constante gravitacional FORÇA GRAVITACIONAL Direção: linha ligando as massas Sentido: atrativa Lei da GravitaçãoLei da GravitaçãoLei da GravitaçãoLei da Gravitação A Lua e a maçãA Lua e a maçãA Lua e a maçãA Lua e a maçã Conta-se que em 1666, Newton em sua fazenda, vendo uma maça cair de uma árvore começou a meditar sobre a causa que atrai todos os corpos em direção ao centro da Terra e concluiu: “...a Lua assim como a maçã está caindo em direção a Terra.” Naquele ano Newton realmente comparou a força necessária para manter a Lua em sua órbita com a gravidade na superfície da Terra. A maçã x A LuaA maçã x A LuaA maçã x A LuaA maçã x A Lua 2 T Tm TC R MmGF = r 2 TL TL TL R MmGF = r 2 T T C R GMga == Módulos das forças Acelerações: 2 TL T L R GM a = Relação das acelerações 2 = TL TL R R g a 2 = TL TL R R g a ou ainda Nas palavras de Newton “Assim eu comparei a força necessária para manter a Lua em sua órbita com a força da gravidade na superfície da terra, e vi que elas se comportam da mesma maneira” O resultado obtido por Newton apresenta uma boa concordância com estimativa da razão entre a aceleração da Lua (calculada pelo período e raio de sua órbita) e a aceleração da gravidade próxima da superfície da Terra (conhecida). 1 3600 La g ≈ A maçã x A LuaA maçã x A LuaA maçã x A LuaA maçã x A Lua 3600 L g a ≈ Usando os valores de RT e RTL conhecidos na época Newton obteve: Resultados da GravitaçãoResultados da GravitaçãoResultados da GravitaçãoResultados da Gravitação • Cometas: Órbitas elípticas bastante alongadas. O mais célebre é o cometa Halley identificado por Halley em 1682 com período de aparição de ~ 75 anos. Sua aparição mais recente foi em 1986. • Forma da Terra: Só considerando o efeito da gravidade, a Terra seria esférica. Mas, a força centrífuga devida à rotação leva ao achatamento dos pólos tornando a terra um esferóide oblato. Newton estimou a razão dos diâmetros polar / equatorial em ~229/230. • Precessão dos equinócios: O eixo de rotação da Terra mantém um ângulo constante de 23,50 com a normal ao plano de movimento. O período de precessão deste eixo é de 26.000 anos. ω r A constante universal da gravitaçãoA constante universal da gravitaçãoA constante universal da gravitaçãoA constante universal da gravitação 213111067,6 −−−−−−−−−−−−××××==== skgmG • BALANÇA DE TORÇÃO Henry Cavendish (1798) r r GMmF ) r 2−−−−==== Experimento: 1798 Teoria: 1666 O experimento de CavendishO experimento de CavendishO experimento de CavendishO experimento de Cavendish Par de esferas de massa m nas extremidades de barra suspensa por fibra leve. Par de esferas de massa M colocadas próximas das massas m produzem torque sobre a barra suspensa. Equilíbrio: torque gravitacional compensado por torque da torsão da fibra. G calculado a partir do ângulo de torção medido pela deflexão de feixe de luz. “Pesagem da Terra” Massa da TerraMassa da TerraMassa da TerraMassa da Terra Valores já conhecidos Raio da Terra - medidas de Erastótenes (276 aC - 197 aC): rT=6,364x106 m Aceleração da gravidade: g=9,8 ms-2 Constante gravitacional medida por Cavendish: G= 6,67x10-11m3kg-1s-2 mg r mMG Terra Terra ====2 kgMTerra 241097,5 ××××==== Os limites da Lei de NewtonOs limites da Lei de NewtonOs limites da Lei de NewtonOs limites da Lei de Newton A Lei Gravitacional de Newton vale para planetas, satélites, cometas, queda da maçã, todos corpos com massa,... ... supercordas. Experimentos sofisticados ainda validam Lei Gravitacional de Newton. “Upper limits to submillimiter-range forces from extra space-time dimensions”, Long et al., Nature 421, 922 (2003). 3333oooo Lei de KeplerLei de KeplerLei de KeplerLei de Kepler GM rT 2 3 2pi = Lei das Períodos Conhecendo os estudos de Kepler, Newton conseguiu obter uma expressão para o período de uma órbita circular (em torno do sol ou de um planeta) usando a força gravitacional: Reescrevendo… !4 2 3 2 cte GMr T == pi 2222aaaa Lei de KeplerLei de KeplerLei de KeplerLei de Kepler Lei das Áreas Como a Força Gravitacional é central, o momento angular (l) da Terra se conserva. Considerando o caso simples do Sol estático : centro de atração gravitacional da Terra: r r GMm rF ˆ)( 2−= rr Para um sistema tipo Sol – Terra: .0 const=⇒= l rr τ Sol Terrar r rdr rr + rdr pr Área do triângulo: rdrAd rr r ×= 2 1 mdt rd mr mdt Ad 22 1 l rr r r =×= cte mdt Ad dt Ad === 2 l rr O raio vetor que liga um planeta ao Sol r descreve áreas dA iguais em tempos iguais dt. 2222aaaa Lei de KeplerLei de KeplerLei de KeplerLei de Kepler Lei das Áreas Sol Terrar r rdr rr + rdr pr • Hooke, Wren e Halley se perguntaram qual seria a órbita dos planetas sob a força 1/ R2. Newton respondeu: “Uma elipse!” • Halley financiou a obra que Newton escreveu em 18 meses: “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” (1687) considerada a obra científica mais importante já escrita. 1111aaaa Lei de KeplerLei de KeplerLei de KeplerLei de Kepler Lei das Órbitas A grande façanha de Newton, com seu trabalho sobre a Gravitação Universal, foi demonstrar que a teoria que explica a queda de uma maçã sobre a Terra é a mesma que explica o movimento dos astros no céu. Simples, mas genial.
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