Apost_de_Matem_2oGrau

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Análise Combinatória
Fatorial de um número:
Definições especiais:
Arranjo simples: 
n!=n.(n-1).(n-2)...3.2.1
0!=1
1!=1
ades.possibilid 242.3.4 lugar 3º o para adespossibilid
2 elugar 2º o para adespossibilid 3 sobrando lugar, 1º o para adespossibilid 4 Existem :R
lugares? primeiros trêsos para adespossibilid as são Quantas mundo. do campeões
dos torneioo disputam Flamengo) e Paulo São Santos, (Grêmio, futebol de timesQuatro 3)
negativo. número um de fatorial existe não pois ,7 :Resposta
-8x
7x
 
2
151 
2
2251 056 
 56 x 56))(1( 56
)!1(
)!1)()(1( 56
)!1(
)!1(
.56
)!1(
)!1( equação a Resolva 2)
1020010100100100.101100
!99
!99.100.101!99.100
!99
!101!100
.
!99
!101!100 expressão da valor o Calcule 1)
2
2
=→
=


=
=
⇒
±−
=⇒
±−
=⇒=−+⇒
⇒=+⇒=+⇒=
−
−+
⇒=
−
+
=
−
+
=+=+=
+
=
+
+
x
xxxx
xxx
x
xxx
x
x
x
x
)!(
!
, pn
nA pn
−
=
40
17
80
34
872
202430
)!18(
!8
)!29(
!9
)!25(
!5
)!34(
!4
)!26(
!6
. Calcule )4
1,82,9
2,53,42,6
1,82,9
2,53,42,6
==
+
−+
=
−
+
−
−
−
−
+
−
=
+
−+
+
−+
AA
AAA
AA
AAA
números. 3366.7.8
!5
!5.6.7.8
!5
!8
)!38(
!81. 
:então s,disponívei
números 8 existem ainda trêsoutros os para e (2), adepossibilid uma apenas existe algarismo
primeiro o Para 3000). e 2000 entre está (pois algarismos quatro ter deve número O :R 
9? e 6,7,81,2,3,4,5, entre escolhidos distintos
algarismospor formados 3000 e 2000 entre doscompreendi números os são Quantos 6)
números. 1366472 é 5por divisíveis de número O :Resposta
números. 648.8
!7
!7.8.
!7
!7.8
!7
!8.
!7
!8
)!18(
!8.
)!18(
!8.1. 
0).ser pode algarismo segundo (o adespossibilid 8 existem tambémalgarismo segundo
o para E ).algarismos 2 de número um seria (senão 0 comcomeçar pode não número o pois
ades,possibilid 8 ainda existem algarismo primeiro o Para (5). adepossibilid uma apenas existe
algarismo terceiroo para :5 com terminam5por divisíveis quantos calculamos Agora 
números. 728.9
!7
!7.8.9
!7
!9
)!29(
!91. 
:é 0 com terminamque 5por divisíveis de número o Portanto s.disponívei números 9 existem
ainda primeiros dois os para e (0), adepossibilid 1 apenas existe algarismo terceiroo Para 
:0 com terminamque 5por divisíveis de número ocalcular vamos
ntePrimeirame 5. comou 0 com terminar deve ele 5, divisívelser número um Para :R 
5. POR DIVISÍVEIS SEJAM c)
números. 8
!7
!7.8
!7
!8
)!18(
!81.1. 
:adespossibilid 8 existem ainda segundo o Para (5). adepossibilid 1 apenas existe
 também terceiroo para e (2), adepossibilid 1 apenas existe algarismo primeiro o Para :R 
5. COM TERMINEM E 2 COM COMECEM b)
números. 728.9
!7
!7.8.9
!7
!9
)!29(
!91. 
:sdisponívei números 9 existem ainda dois outros os para e (1) adepossibilid
1 apenas existe primeiro o para que sendo ,algarismos êspossuir tr pode número O :R 
1. COM COMECEM a)
:que modo de repetir, os sem ),5,6,7,8,9(0,1,2,3,4 decimal sistema
do algarismos o comformar podemos distintos algarismos 3 de números Quantos 5)
3,8
1,81,8
2,9
1,8
2,9
====
−
=
=+
====
−−
=
→
====
−
=
→
===
−
=
====
−
=
A
AA
A
A
A
Permutação Simples: É um caso particular de arranjo simples. É o tipo de 
agrupamento ordenado onde entram todos os elementos.
Combinação Simples: é o tipo de agrupamento em que um grupo difere do 
outro apenas pela natureza dos elementos componentes.
!nPn =
maneiras. 1152576576 é totalo Portanto
maneiras. 57624.24!4!.4.
: também temosposição primeira na dama uma Colocando
maneiras. 57624.24!4!.4.
:maneiras de totalnúmero como temosposição primeira na cavalheiro um Colocando
C-D-C-D-C-D-C-Dou D-C-D-C-D-C-D-C 
:issofazer de maneiras duas Existem:R 
damas. duas e scavalheiro dois juntos fiquem não que forma
de fila, numa s,cavalheiro 4 e damas 4 dipostasser podem maneiras quantas de Calcule 8)
anagramas. 1201.2.3.4.5!5.1.1.1.1
:é totalo Então ades.possibilid 5 existem letras 5 outras as para e
(E), 1 existe só tambémúltima para e (A), adepossibilid 1 existe letra primeira a Para 
E. com terminameA POR COMEÇAM b)
anagramas. 7201.2.3.4.5.6!6.1.1
:é totalo Então ades.possibilid 6 existem
letras 6 outras as para e (A), adepossibilid uma apenas existe letra primeira a Para 
A. POR COMEÇAM a)
:EDITORA palavra da anagramas Quantos 8)
números. 1201.2.3.4.5!5
8? e 1,2,3,5por formadosser podem distintos algarismos 5 de números Quantos )7
44
44
5
6
5
=+
===
===
===
===
===
PP
PP
P
P
P
)!(!
!
, pnp
nC pn
−
=
Binômio de Newton
comissões. 52515.35
2
30.
!3
210
!2!.4
!4.5.6.
!4!.3
!4.5.6.7
)!46(!4
!6.
)!37(!3
!7
.. produto o é resultado O
 - MOÇAS
 - RAPAZES
moças? 4 e rapazes
3 comformar podemos comissões quantas moças, 6 e rapazes 7 com reunião Numa 11)
saladas. de tipos210
24
5040
!4
5040
!4!.6
!6.7.8.9.10
)!610!.(6
!10
feitas?ser podem
diferentes espécies 6 contendo salada, de tiposquantos frutas, de espécies 10 Com 10)
.Chaver pode não porque resposta a é não 1 :obs
.5 :Resposta
1''
5'
 
2
166 056
056 0
6
3323
0
26
22
0
!2
)1.(
!3
)2).(1.(
0
)!2(!2
)!2).(1.(
)!3(!3
)!3).(2).(1.(
0
)!2(!2
!
)!3(!3
!
.0 equação aResolver 9)
4,63,7
4,6
3,7
6,10
1,3
2
23
223
2223
2,3,
====
−−
====
−
=
=
=


=
=
⇒
±
=⇒=+−
=+−⇒=
+−+−
=
−
−
+−−
=
−
−
−−
=
−
−−
−
−
−−−
=
−
−
−
=−
CC
C
C
C
m
m
m
m
mmm
mmmmmmmm
mmmmmm
mmmmm
m
mmm
m
mmmm
m
m
m
m
CC mm
Introdução
 Pelos produtos notáveis, sabemos que (a+b)² = a² + 2ab + b².
 Se quisermos calcular (a + b)³, podemos escrever:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
 Se quisermos calcular , podemos adotar o mesmo procedimento:
(a + b)4 = (a + b)3 (a+b) = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) (a+b)
= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
 
 De modo análogo, podemos calcular as quintas e sextas potências e, de 
modo geral, obter o desenvolvimento da potência a partir da 
anterior, ou seja, de .
 Porém quando o valor de n é grande, este processo gradativo de cálculo 
é muito trabalhoso.
 Existe um método para desenvolver a enésima potência de um binômio, 
conhecido como binômio de Newton (Isaac Newton, matemático e físico 
inglês, 1642 - 1727). Para esse método é necessário saber o que são 
coeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e o triângulo de 
Pascal.
 
Coeficientes Binomiais
 Sendo n e p dois números naturais , chamamos de coeficiente 
binomial de classe p, do número n, o número , que indicamos por 
(lê-se: n sobre p). Podemos escrever:
 O coeficiente binomial também é chamado de número binomial. Por 
analogia com as frações, dizemos que n é o seu numerador e p, o 
denominador. Podemos escrever:
 É também imediato que, para qualquer n natural, temos:
 Exemplos:
Propriedades dos coeficientes binomiais
1ª)
Se n, p, k e p + k = n 
então 
 Coeficientes binomiais como esses, que tem o mesmo numerador e a 
soma dos denominadores igual ao numerador, são chamados 
complementares.
 Exemplos:
 
2ª)
Se n, p, k e p p-1 0 
então 
 Essa igualdade é conhecida como relação de Stifel (Michael Stifel, 
matemático alemão, 1487 - 1567).
 Exemplos:
 
Triângulo dePascal
 A disposição 
ordenada dos números 
binomiais, como na 
tabela ao lado, recebe 
o nome de Triângulo 
de Pascal
 Nesta tabela triangular, os números binomiais com o mesmo numerador 
são escritos na mesma linha e os de mesmo denominador, na mesma 
coluna.
 Por exemplo, os números binomiais , , e estão na linha 3 e os 
números binomiais , , , , ..., , ... estão na coluna 1.
 Substituindo cada número binomial pelo seu respectivo valor, temos:
Construção do triângulo de Pascal
 Para construir o triângulo do Pascal, basta lembrar as seguintes 
propriedades dos números binomiais, não sendo necessário calculá-los:
1ª) Como = 1, todos os elementos da coluna 0 são iguais a 1.
2ª) Como = 1, o último elemento de cada linha é igual a 1.
3ª) Cada elemento do triângulo que não seja da coluna 0 nem o último de 
cada linha é igual à soma daquele
 que está na mesma coluna e linha anterior com o elemento que se situa 
à esquerda deste último (relação
 de Stifel).
 Observe os passos e aplicação da relação de Stifel para a construção 
do triângulo:
 
Propriedade do triângulo de Pascal
P1 Em Qualquer linha, dois números binomiais eqüidistantes dos 
extremos são iguais.
 
 De fato, esses binomiais são complementares.
 
P2 Teorema das linhas: A soma dos elementos da enésima linha é .
 
 De modo geral temos:
 
P3 Teorema das colunas: A soma dos elementos de qualquer coluna, do 
1º elemento até um qualquer, é igual ao elemento situado na coluna à 
direita da considerada e na linha imediatamente abaixo.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 
1 + 4 + 10 + 20 = 35
 
P4 Teorema das diagonais: A soma dos elementos situados na mesma 
diagonal desde o elemento da 1ª coluna até o de uma qualquer é igual ao 
elemento imediatamente abaixo deste.
1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35
 Fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton
 Como vimos, a potência da forma , em que a, , é 
chamada binômio de Newton. Além disso:
• quando n = 0 temos 
• quando n = 1 temos 
• quando n = 2 temos 
• quando n = 3 temos 
• quando n = 4 temos 
 
 Observe que os coeficientes dos desenvolvimentos foram o triângulo de 
Pascal. Então, podemos escrever também:
 De modo geral, quando o expoente é n, podemos escrever a fórmula do 
desenvolvimento do binômio de Newton:
 Note que os expoentes de a vão diminuindo de unidade em unidade, 
variando de n até 0, e os expoentes de b vão aumentando de unidade em 
unidade, variando de 0 até n. O desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1 
termos.
 
Fórmula do termo geral do binômio
 Observando os termos do desenvolvimento de (a + b)n, notamos 
que cada um deles é da forma .
• Quando p = 0 temos o 1º termo: 
• Quando p = 1 temos o 2º termo: 
• Quando p = 2 temos o 3º termo: 
• Quando p = 3 temos o 4º termo: 
• Quando p = 4 temos o 5º termo: 
.............................................................................. 
 Percebemos, então, que um termo qualquer T de ordem p + 1pode ser 
expresso por: 
 
Cilindro
 Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos, , um 
círculo R contido em e uma reta r que intercepta , mas não R:
 Para cada ponto C da região R, vamos considerar o segmento , 
paralelo à reta r :
 Assim, temos:
 Chamamos de cilindro, ou cilindro circular, o conjunto de todos os 
segmentos congruentes e paralelos a r.
 
Elementos do cilindro
 Dado o cilindro a seguir, consideramos os seguintes elementos:
• bases: os círculos de centro O e O'e raios r 
• altura: a distância h entre os planos 
• geratriz: qualquer segmento de extremidades nos pontos das 
circunferências das bases ( por exemplo, ) e paralelo à reta r 
 Áreas
 Num cilindro, consideramos as seguintes áreas:
a) área lateral (AL)
 Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua 
planificação:
 Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura é h e cujos raios dos 
círculos das bases são r é um retângulo de dimensões :
 
b) área da base ( AB):área do círculo de raio r
c) área total ( AT): soma da área lateral com as áreas das bases
 
 Volume
 Para obter o volume do cilindro, vamos usar novamente o princípio de 
Cavalieri.
 Dados dois sólidos com mesma altura e um plano , se todo plano , 
paralelo ao plano , intercepta os sólidos e determina secções de mesma 
área, os sólidos têm volumes iguais:
 Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V2 = ABh.
 Assim, o volume de todo paralelepípedo retângulo e de todo cilindro é 
o produto da área da base pela medida de sua altura:
Vcilindro = ABh
 No caso do cilindro circular reto, a área da base é a área do círculo de 
raio r ;
portanto seu volume é:
Esfera
 Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do 
espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R.
 Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um 
eixo e, a esfera é o sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada por 
uma superfície esférica e formada por todos os pontos pertencentes a essa 
superfície e ao seu interior.
 
Volume
 O volume da esfera de raio R é dado por:
 
Partes da esfera
Superfície esférica
 A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto de pontos do 
es[aço cuja distância ao ponto O é igual ao raio R.
 Se considerarmos a rotação completa de uma semicircunferência em 
torno de seu diâmetro, a superfície esférica é o resultado dessa rotação.
 A área da superfície esférica é dada por:
Cone circular
 Dado um círculo C, contido num plano , e um ponto V ( vértice) fora 
de , chamamos de cone circular o conjunto de todos os segmentos 
.
 
Elementos do cone circular
 Dado o cone a seguir, consideramos os seguintes elementos:
• altura: distância h do vértice V ao plano 
• geratriz (g):segmento com uma extremidade no ponto V e outra num 
ponto da circunferência 
• raio da base: raio R do círculo 
• eixo de rotação:reta determinada pelo centro do círculo e pelo vértice 
do cone 
 
Cone reto
 Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é chamado cone 
reto, também denominado cone de revolução. Ele pode ser gerado pela 
rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de seus 
catetos.
 Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação:
G2 = h2 + R2
Secção meridiana
 A secção determinada, num cone de revolução, por um plano que 
contém o eixo de rotação é chamada secção meridiana.
 Se o triângulo AVB for eqüilátero, o cone também será eqüilátero:
Áreas
 Desenvolvendo a superfície lateral de um cone circular reto, obtemos um 
setor circular de raio g e comprimento :
 Assim, temos de considerar as seguintes áreas:
a) área lateral (AL): área do setor circular
b) área da base (AB):área do circulo do raio R
c) área total (AT):soma da área lateral com a área da base
Volume
 Para determinar o volume do cone, vamos ver como calcular volumes 
de sólidos de revolução. Observe a figura:
d = distância do 
centro de gravidade 
(CG) da sua 
superfície ao eixo e
S=área da superfície
 Sabemos, pelo Teorema de Pappus - Guldin, que, quando uma 
superfície gira em torno de um eixo e, gera um volume tal que:
 Vamos, então, determinar o volume do cone de revolução gerado pela 
rotação de um triângulo retângulo em torno do cateto h:
 O CG do triângulo está a uma distânciado eixo de rotação. 
Logo:
 
CONJUNTOS NUMÉRICOS
• Conjunto dos números naturais (IN)
Um subconjunto importante de IN é o conjunto IN*:
IN*={1, 2, 3, 4, 5,...}  o zero foi excluído do conjunto IN.
Podemos considerar o conjunto dos números naturais ordenados sobre 
uma reta, como mostra o gráfico abaixo:
• Conjunto dos números inteiros (Z)
O conjunto IN é subconjunto de Z.
Temos também outros subconjuntos de Z:
Z* = Z-{0}
Z+ = conjunto dos inteiros não negativos = {0,1,2,3,4,5,...}
Z_ = conjunto dos inteiros não positivos = {0,-1,-2,-3,-4,-5,...}
Observe que Z+=IN.
Podemos considerar os números inteiros ordenados sobre uma reta, 
conforme mostra o gráfico abaixo:
IN={0, 1, 2, 3, 4, 5,...}
Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
b
a
• Conjunto dos números racionais (Q)
Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na 
forma de fração (com o numerador e denominador ∈ Z). Ou seja, o 
conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números 
inteiros com as frações positivas e negativas.
Exemplos:
Assim, podemos escrever:
É interessante considerar a representação decimal de um número 
racional , que se obtém dividindo a por b.
Exemplos referentes às decimais exatas ou finitas:
Exemplos referentes às decimais periódicas ou infinitas:
Toda decimal exata ou periódica pode ser representada na forma de 
número racional.
• Conjunto dos números irracionais
racionais. números são exemplo,por ,
2
3 ,1 ,
5
3 ,1 ,
4
52 :Então −−, -
}0 e , com , |{ ≠∈∈== bZbZa
b
axxQ
3
3
2
2
1
11 )
3
9
2
6
1
33)
===
−
=
−
=
−
=−
b
a
75,3
20
75 25,1
4
5 5,0
2
1
=−=−=
...1666,1
6
7 ...428571428571,0
7
6 ...333,0
3
1
===
Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, 
os números que não podem ser escrito na forma de fração (divisão de dois 
inteiros). Como exemplo de números irracionais, temos a raiz quadrada de 
2 e a raiz quadrada de 3:
Um número irracional bastante conhecido é o número pi
=3,1415926535...
• Conjunto dos números reais (IR)
Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais, 
definimos o conjunto dos números reais como:
O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos:
Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são 
todos números reais. Como subconjuntos importantes de IR temos:
IR* = IR-{0}
IR+ = conjunto dos números reais não negativos
IR_ = conjunto dos números reais não positivos
Obs: entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Por 
exemplo:
• Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais:
1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 ...
• Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reais:
5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 ...
...7320508,13
...4142135,12
=
=
IR=Q ∪ {irracionais} = {x|x é racional ou x é irracional}
Determinantes
 Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas 
e de colunas (ou seja, é do tipo nxn).
 A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome 
de determinante.
 Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos:
• resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares; 
• cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são 
conhecidas as coordenadas dos seus vértices; 
 
Determinante de 1ª ordem
 Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a11], o seu determinante é o 
número real a11:
det M =Ia11I = a11
Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas 
barras verticais, que não têm o significado de módulo.
 Por exemplo:
• M= [5] det M = 5 ou I 5 I = 5 • M = [-3] det M = -3 ou I -3 I = -3 
 
Determinante de 2ª ordem
 Dada a matriz , de ordem 2, por definição o determinante 
associado a M, determinante de 2ª ordem, é dado por:
 Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença 
entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos 
elementos da diagonal secundária. Veja o exemplo a seguir.
 
 
Menor complementar
 Chamamos de menor complementar relativo a um elemento aij de uma 
matriz M, quadrada e de ordem n>1, o determinante MCij , de ordem n - 1, 
associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que 
passam por aij .
 Vejamos como determiná-lo pelos exemplos a seguir:
a) Dada a matriz , de ordem 2, para determinar o menor 
complementar relativo ao elemento a11(MC11), retiramos a linha 1 e a 
coluna 1:
Da mesma forma, o menor complementar relativo ao elemento a12 é:
b) Sendo , de ordem 3, temos:
• •
Cofator
 Chamamos de cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento 
aij de uma matriz quadrada de ordem n o número Aij tal que Aij = (-1)i+j . 
MCij .
 Veja:
a) Dada , os cofatores relativos aos elementos a11 e a12 da 
matriz M são:
b) Sendo , vamos calcular os cofatores A22, A23 e A31:
Teorema de Laplace
 O determinante de uma matriz quadrada M = [aij]mxn pode ser 
obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer ( linha 
ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores.
 Assim, fixando , temos:
em que é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até 
m, .
Regra de Sarrus
 O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um 
dispositivo prático, denominado regra de Sarrus.
 Acompanhe como aplicamos essa regra para . 
 
1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:
2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal 
principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos 
das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo):
3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal 
secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos 
das paralelas a essa diagonal ( a soma deve ser precedida do sinal 
negativo):
Assim:
Observação: Se desenvolvermos esse determinante de 3ª ordem aplicando o 
Teorema de Laplace, encontraremos o mesmo número real.
 
Determinante de ordem n > 3
 Vimos que a regra de Sarrus é válida para o cálculo do determinante de 
uma matriz de ordem 3. Quando a matriz é de ordem superior a 3, devemos 
empregar o Teorema de Laplace para chegar a determinantes de ordem 3 e 
depois aplicar a regra de Sarrus.
Propriedades dos determinantes
 Os demais associados a matrizes quadradas de ordem n apresentam as 
seguintes propriedades:
P1 ) Quando todos os elementos de uma fila ( linha ou coluna) são nulos, o 
determinante dessa matriz é nulo.
Exemplo:
P2) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.
Exemplo:
P3) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu 
determinante é nulo.
Exemplo:
P4) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares 
dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é 
nulo.
Exemplos:
 
P5 ) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera 
quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos 
elementos correspondentes de filas paralelas.
Exemplo:
Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, 
temos:
P6) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.
Exemplo:
P7) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em 
uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicadopor esse número.
Exemplos:
P8) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de 
uma matriz muda de sinal.
Exemplo:
P9) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal 
principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos 
dessa diagonal.
Exemplos:
P10) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal 
secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos 
elementos dessa diagonal multiplicado por .
Exemplos:
P11) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, 
. Como: 
Exemplo:
P12) 
Exemplo:
Equações algébricas
(com uma variável)
 Introdução
 Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de 
igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer 
"igual". Exemplos:
2x + 8 = 0
5x - 4 = 6x + 8 
3a - b - c = 0
Não são equações:
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta)
x - 5 < 3 (Não é igualdade)
 (não é sentença aberta, nem igualdade) 
A equação geral do primeiro grau:
ax+b = 0
onde a e b são números conhecidos e a > 0, se resolve de maneira simples: 
subtraindo b dos dois lados, obtemos:
ax = -b
dividindo agora por a (dos dois lados), temos:
 
 
 
Considera a equação 2x - 8 = 3x -10
 
A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa " 
desconhecida".
 Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade 
denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2º membro.
 
 
 Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação.
 
Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser 
escrita na forma ax=b, sendo a e b números racionais, com a 
diferente de zero. 
 Conjunto Verdade e Conjunto Universo de uma Equação
 Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a equação x + 2 = 5.
 Observe que o número 3 do conjunto A é denominado conjunto 
universo da equação e o conjunto {3} é o conjunto verdade dessa mesma 
equação.
 
 Observe este outro exemplo:
• Determine os números inteiros que satisfazem a equação x² = 25 
 O conjunto dos números inteiro é o conjunto universo da equação.
 Os números -5 e 5, que satisfazem a equação, formam o conjunto 
verdade, podendo ser indicado por: V = {-5, 5}.
 Daí concluímos que:
Conjunto Universo é o conjunto de todos os valores que 
variável pode assumir. Indica-se por U.
 
Conjunto verdade é o conjunto dos valores de U, que 
tornam verdadeira a equação . Indica-se por V.
 
Observações:
• O conjunto verdade é subconjunto do conjunto universo. 
 
• Não sendo citado o conjunto universo, devemos considerar como 
conjunto universo o conjunto dos números racionais. 
 
• O conjunto verdade é também conhecido por conjunto solução e pode 
ser indicado por S.
Raízes de uma equação
 Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados raízes 
da equação.
 Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer à 
seguinte seqüência:
• Substituir a incógnita por esse número. 
• Determinar o valor de cada membro da equação. 
• Verificar a igualdade, sendo uma sentença verdadeira, o número 
considerado é raiz da equação. 
 Exemplos:
 Verifique quais dos elementos do conjunto universo são raízes 
das equações abaixo, determinando em cada caso o conjunto verdade.
 
• Resolva a equação x - 2 = 0, sendo U = {0, 1, 2, 3}. 
 Para x = 0 na equação x - 2 = 0 temos: 0 - 2 = 0 
=> -2 = 0. (F)
 Para x = 1 na equação x - 2 = 0 temos: 1 - 2 = 0 
=> -1 = 0. (F)
 Para x = 2 na equação x - 2 = 0 temos: 2 - 2 = 0 
=> 0 = 0. (V)
 Para x = 3 na equação x - 2 = 0 temos: 3 - 2 = 0 
=> 1 = 0. (F)
 Verificamos que 2 é raiz da equação x - 2 = 0, logo V = {2}.
 
• Resolva a equação 2x - 5 = 1, sendo U = {-1, 0, 1, 2}. 
 
 Para x = -1 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . (-1) - 
5 = 1 => -7 = 1. (F)
 Para x = 0 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 0 - 5 = 
1 => -5 = 1. (F)
 Para x = 1 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 1 - 5 = 
1 => -3 = 1. (F)
 Para x = 2 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 2 - 5 = 
1 => -1 = 1. (F)
 
 A equação 2x - 5 = 1 não possui raiz em U, logo V = Ø.
Função de 1º grau - Afim
 Definição
 Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer 
função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b 
são números reais dados e a 0.
 Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o 
número b é chamado termo constante.
 Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:
 f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0 
 
Gráfico
 O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a 0, é 
uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.
 Exemplo:
 Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:
 Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los 
com o auxílio de uma régua:
 a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).
 b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto é 
.
 Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os 
dois com uma reta.
x y
0 -1
0
 Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta.
 O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como 
veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.
 O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, 
temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto 
em que a reta corta o eixo Oy.
Zero e Equação do 1º Grau
 Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a
0, o número real x tal que f(x) = 0.
 Temos:
 f(x) = 0 ax + b = 0 
 Vejamos alguns exemplos:
1. Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5:
 f(x) = 0 2x - 5 = 0 
2. Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6:
 g(x) = 0 3x + 6 = 0 x = -2
 
3. Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 
corta o eixo das abicissas:
O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) = 
0; então:
 h(x) = 0 -2x + 10 = 0 x = 5 
 
Crescimento e decrescimento
 Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada 
vez maiores a x e observar o que ocorre com y:
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y -10 -7 -4 -1 2 5 8
 Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes
 valores de y também aumentam. Dizemos, então que a 
 função y = 3x - 1 é crescente.
 Observamos novamente seu gráfico: 
Regra geral:
a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é 
positivo (a > 0);
a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é 
negativo (a < 0);
Justificativa:
• para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde 
vem f(x1) < f(x2). 
• para a < 0: se x1 < x2, entãoax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde 
vem f(x1) > f(x2).
Sinal
 Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) é determinar os valor de x para 
os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de 
x para os quais y é negativo.
 Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu 
sinal. Já vimos que essa função se anula pra raiz . Há dois casos 
possíveis:
 1º) a > 0 (a função é crescente)
 y > 0 ax + b > 0 x > 
 y > 0 ax + b < 0 x < 
 Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é 
negativo para valores de x menores que a raiz
2º) a < 0 (a função é decrescente)
 y > 0 ax + b > 0 x < 
 y > 0 ax + b < 0 x < 
 
Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo 
para valores de x maiores que a raiz.
 
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Chamamos de equações exponenciais toda equação na qual a 
incógnita aparece em expoente.
Exemplos de equações exponenciais:
1) 3x =81 (a solução é x=4)
2) 2x-5=16 (a solução é x=9)
3) 16x-42x-1-10=22x-1 (a solução é x=1)
4) 32x-1-3x-3x-1+1=0 (as soluções são x’=0 e x’’=1)
Para resolver equações exponenciais, devemos realizar dois passos 
importantes:
1º) redução dos dois membros da equação a potências de mesma 
base;
2º) aplicação da propriedade: 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
1) 3x=81
Resolução: Como 81=34, podemos escrever 3x = 34
E daí, x=4.
2) 9x = 1
Resolução: 9x = 1 ⇒ 9x = 90 ; logo x=0.
5) 23x-1 = 322x
)0 e 1( >≠=⇒= aanmaa nm
4
3 logo ; 33 33 273 :Resolução
273 )4
.4 então ; 
4
3
4
3 
4
3
4
3 
256
81
4
3 :Resolução
256
81
4
3 )3
4
3
4 34
4
4
4
4
==⇒=⇒=
=
=


=


⇒=


⇒=


=


x
x
xxx
x
xxx
x
Resolução: 23x-1 = 322x ⇒ 23x-1 = (25)2x ⇒ 23x-1 = 210x ; daí 3x-1=10,
de onde x=-1/7.
6) Resolva a equação 32x–6.3x–27=0.
Resolução: vamos resolver esta equação através de uma transformação:
32x–6.3x–27=0 ⇒ (3x)2-6.3x–27=0
Fazendo 3x=y, obtemos:
y2-6y–27=0 ; aplicando Bhaskara encontramos ⇒ y’=-3 e y’’=9
Para achar o x, devemos voltar os valores para a equação auxiliar 3x=y:
y’=-3 ⇒ 3x’ = -3 ⇒ não existe x’, pois potência de base positiva é 
positiva
y’’=9 ⇒ 3x’’ = 9 ⇒ 3x’’ = 32 ⇒ x’’=2
Portanto a solução é x=2
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a 
variável aparecendo em expoente.
A função f:IRIR+ definida por f(x)=ax, com a ∈ IR+ e a≠1, é 
chamada função exponencial de base a. O domínio dessa função é o 
conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR+ (reais positivos, maiores que 
zero).
GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
Temos 2 casos a considerar:
 quando a>1;
 quando 0<a<1.
Acompanhe os exemplos seguintes:
1) y=2x (nesse caso, a=2, logo a>1)
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores 
de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:
X -2 -1 0 1 2
y 1/4 1/2 1 2 4
2) y=(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores 
de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:
X -2 -1 0 1 2
Y 4 2 1 1/2 1/4
Nos dois exemplos, podemos observar que
a) o gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem 
raízes;
b) o gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1);
c) os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é 
positiva), portanto o conjunto imagem é Im=IR+.
Além disso, podemos estabelecer o seguinte:
a>1 0<a<1
f(x) é crescente e Im=IR+
Para quaisquer x1 e x2 do domínio:
x2>x1 ⇒ y2>y1 (as desigualdades têm 
mesmo sentido)
f(x) é decrescente e Im=IR+
Para quaisquer x1 e x2 do domínio:
x2>x1 ⇒ y2<y1 (as desigualdades têm 
sentidos diferentes)
INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Chamamos de inequações exponenciais toda inequação na qual a 
incógnita aparece em expoente.
Exemplos de inequações exponenciais:
Para resolver inequações exponenciais, devemos realizar dois passos 
importantes:
1º) redução dos dois membros da inequação a potências de mesma 
base;
2º) aplicação da propriedade: 
a>1 0<a<1
am > an ⇒ m>n
(as desigualdades têm mesmo sentido)
am > an ⇒ m<n
(as desigualdades têm sentidos 
diferentes)
EXERCÍCIO RESOLVIDO:
 )32 para satisfeita é (que 03125150.5-25 4)
-3) xpara satisfeita é (que 
5
4
5
4 3)
real) x todopara satisfeita é (que 22 2)
)4 é solução (a 813 1)
x
3
12-2x 2
<<<+
≤

≥


≤
>>
−
−
x
x
x
x
x
x
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
negativos) (reais IRS Portanto
0 44
:obtemos 1, quemaior é (4) base a Como
.44 14 Porém,
14 daí, e 114.11 114).1641(
:sejaou , 114.164.44
: temos4por lados os ambos ndoMultiplica
.
4
114.44
4
4 escritaser pode inequaçãoA 
:Resolução
4
11444 )1
-
0
0
11
=
<⇒<
<⇒<
<−>⇒−>−+
−>−+
−
>−+
−
>−+ +−
x
-
x
xx
xxx
xxx
xx
x
xxx
A função f:IR+IR definida por f(x)=logax, com a≠1 e a>0, é 
chamada função logarítmica de base a. O domínio dessa função é o 
conjunto IR+ (reais positivos, maiores que zero) e o contradomínio é IR 
(reais).
GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Temos 2 casos a considerar:
 quando a>1;
 quando 0<a<1.
Acompanhe nos exemplos seguintes, a construção do gráfico em 
cada caso:
3) y=log2x (nesse caso, a=2, logo a>1)
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores 
de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:
x 1/4 1/2 1 2 4
y -2 -1 0 1 2
4) y=log(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)
Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores 
de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:
x 1/4 1/2 1 2 4
y 2 1 0 -1 -2
Nos dois exemplos, podemos observar que
d) o gráfico nunca intercepta o eixo vertical;
e) o gráfico corta o eixo horizontal no ponto (1,0). A raiz da função é 
x=1;
f) y assume todos os valores reais, portanto o conjunto imagem é 
Im=IR.
Além disso, podemos estabelecer o seguinte:
a>1 0<a<1
f(x) é crescente e Im=IR
Para quaisquer x1 e x2 do domínio:
x2>x1 ⇒ y2>y1 (as desigualdades têm 
mesmo sentido)
f(x) é decrescente e Im=IR
Para quaisquer x1 e x2 do domínio:
x2>x1 ⇒ y2<y1 (as desigualdades têm 
sentidos diferentes)
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
Chamamos de equações logarítmicas toda equação que envolve 
logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em 
ambos.
Exemplos de equações logarítmicas:
7) log3x =5 (a solução é x=243)
8) log(x2-1) = log 3 (as soluções são x’=-2 e x’’=2)
9) log2(x+3) + log2(x-3) = log27 (a solução é x=4)
10) logx+1(x2-x)=2 (a solução é x=-1/3)
Alguns exemplos resolvidos:
1) log3(x+5) = 2
Resolução: condição de existência: x+5>0 => x>-5
log3(x+5) = 2 => x+5 = 32 => x=9-5 => x=4
Como x=4 satisfaz a condição de existência, então o conjunto 
solução é S={4}.
2) log2(log4 x) = 1
Resolução: condição de existência: x>0 e log4x>0
log2(log4 x) = 1 ; sabemos que 1 = log2(2), então
log2(log4x) = log2(2) => log4x = 2 => 42 = x => x=16
Como x=16 satisfaz as condições de existência, então o 
conjunto solução é S={16}.
3) Resolva o sistema:
Resolução: condições de existência: x>0 e y>0
Da primeira equação temos:
log x+log y=7 => log y = 7-log x
Substituindo log y na segunda equação temos:
3.log x – 2.(7-log x)=1 => 3.log x-14+2.log x = 1 => 5.log x = 15 =>
=> log x =3 => x=103
Substituindo x= 103 em log y = 7-log x temos:


=−
=+
1log.2log.3
7loglogyx
yx
log y = 7- log 103 => log y = 7-3 => log y =4 => y=104.
Como essas raízes satisfazem as condições de existência, então o conjunto 
solução é S={(103;104)}.
INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
Chamamos de inequações logarítmicas toda inequação que envolve 
logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em 
ambos.
Exemplos de inequações logarítmicas:
1) log2x > 0 (a solução é x>1)
2) log4(x+3) ≤ 1 (a solução é –3<x≤1) 
Para resolver inequações logarítmicas, devemos realizar dois passos 
importantes:
1º) redução dos dois membros da inequação a logaritmos de mesma 
base;
2º) aplicação da propriedade: 
a>1 0<a<1
logam > logan ⇒ m>n>0
(as desigualdades têm mesmo sentido)
logam > logan ⇒ 0<m<n 
(as desigualdades têm sentidos 
diferentes)
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
1) log2(x+2) > log28
Resolução:
Condições de existência: x+2>0, ou seja, x>-2 (S1)
Como a base (2) é maior que 1, temos:
x+2>8 e, daí, x>6 (S2)
O conjunto solução é S= S1 ∩ S2 = {x ∈ IR| x>6}.
Portanto a solução final é a intersecção de S1 e S2, como está 
representado logo abaixo no desenho:
2) log2(log3x) ≥ 0
Resolução:
Condições de existência: x>0 e log3x>0
Como log21=0, a inequação pode ser escrita assim:
log2(log3x) ≥ log21
Sendo a base (2) maior que 1, temos: log3x ≥ 1.
Como log33 = 1, então, log3x ≥ log33 e, daí, x ≥ 3, porque a base (3) é 
maior que 1.
As condições de existência estão satisfeitas, portanto S={x ∈ IR| x ≥ 3}.
Função Quadrática
 Definição
 Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer 
função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, 
b e c são números reais e a 0.
 Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:
1. f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1 
2. f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1 
3. f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5 
4. f(x) = - x2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0 
5. f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0 
 
Gráfico
 O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 
0, é uma curva chamada parábola.
Exemplo:
 Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:
 Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor 
correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.
x y
-3 6
-2 2
-1 0
0 0
1 2
2 6
 Observação:
 Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, 
notaremos sempre que:
• se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima; 
• se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo; 
 
Zero e Equação do 2º Grau
 Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + 
bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.
 Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação 
do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de 
Bhaskara:
 Temos:
 
Observação
 A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor 
obtido para o radicando , chamado discriminante, a saber:
• quando é positivo, há duas raízes reais e distintas; 
• quando é zero, há só uma raiz real; 
• quando é negativo, não há raiz real.
Coordenadas do vértice da parábola
 Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto 
de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo 
e um ponto de máximo V. 
Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos:
 
Imagem
 O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c, a 0, é o conjunto 
dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades:
1ª - quando a > 0, 
a > 0
 
2ª quando a < 0,
a < 0
Construção da Parábola
 É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a 
tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas o roteiro de observação 
seguinte:
1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola; 
2. Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos 
x; 
3. O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou 
máximo (se a< 0); 
4. A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria 
da parábola; 
5. Para x = 0 , temos y = a · 02 + b · 0 + c = c; então (0, c) é o ponto em 
que a parábola corta o eixo dos y. 
Sinal
 Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c e 
determinemos os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x 
para os quais y é positivos.
 Conforme o sinal do discriminante = b2 - 4ac, podemos ocorrer os 
seguintes casos:
1º- >0
 Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1 
x2). a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o 
indicado nos gráficos abaixo:
quando a > 0
y > 0 (x < x1 ou x > x2)
y < 0 x1 < x < x2 
 
quando a < 0
y > 0 x1 < x < x2
y < 0 (x < x1 ou x > x2) 
 
 2º - = 0 
quando a > 0
 
quando a < 0
 
 
 3º - < 0 
 
quando a > 0
 
quando a < 0
GEOMETRIA ANALÍTICA
Retas
Introdução
 Entre os pontos de uma reta e os números reais existe uma 
correspondência biunívoca, isto é, a cada ponto de reta corresponde um 
único número real e vice-versa.
 Considerando uma reta horizontal x, orientada da esquerda para direita 
(eixo), e determinando um ponto O dessa reta ( origem) e um segmento u, 
unitário e não-nulo, temos que dois números inteiros e consecutivos 
determinam sempre nesse eixo um segmento de reta de comprimento u:
 
Medida algébrica de um segmento 
 Fazendo corresponder a dois pontos, A e B, do eixo x os números reais xA 
e xB , temos:
 A medida algébrica de um segmento orientado é o número real que 
corresponde à diferença entre as abscissas da extremidade e da origem 
desse segmento.
 
Plano cartesiano
 A geometria analítica teve como principal idealizador o filósofo francês 
René Descartes ( 1596-1650). Com o auxílio de um sistema de eixos 
associados a um plano, ele faz corresponder a cada ponto do plano um par 
ordenado e vice-versa.
 Quando os eixos desse sistemas são perpendiculares na origem, essa 
correspondência determina um sistema cartesiano ortogonal ( ou plano 
cartesiano). Assim, há uma reciprocidade entre o estudo da geometria 
( ponto, reta, circunferência) e da Álgebra ( relações, equações etc.), 
podendo-se representar graficamente relações algébricas e expressar 
algebricamente representações gráficas.
 Observe o plano cartesiano nos quadros quadrantes:
 Exemplos:
• A(2, 4) pertence ao 1º quadrante (xA > 0 e yA > 0) 
• B(-3, -5) pertence ao 3º quadrante ( xB < 0 e yB < 0) 
Observação: Por convenção, os pontos localizados sobre os eixos não estão 
em nenhum quadrante.
 
Distância entre dois pontos
 Dados os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e sendo dAB a distância entre eles, 
temos:
 Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC, vem:
Como exemplo, vamos determinar a distância entre os pontos A(1, -1) e 
B(4, -5):
 
Equações de uma reta
Equação geral
 Podemos estabelecer a equação geral de uma reta a partir da condição de 
alinhamento de três pontos.
 Dada uma reta r, sendo A(xA, yA) e B(xB, yB) pontos conhecidos e 
distintos de r e P(x,y) um ponto genérico, também de r, estando A, B e P 
alinhados, podemos escrever:
 Fazendo yA - yB = a, xB - xA = b e xAyB - xByA=c, como a e b não são 
simultaneamente nulos , temos:
ax + by + c = 0
(equação geral da reta r)
 Essa equação relaciona x e y para qualquer ponto P genérico da reta.Assim, dado o ponto P(m, n):
• se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta; 
• se am + bn + c 0, P não é ponto da reta. 
 Acompanhe os exemplos:
• Vamos considerar a equação geral da reta r que passa por A(1, 3) e B(2, 
4). 
 Considerando um ponto P(x, y) da reta, temos:
• Vamos verificar se os pontos P(-3, -1) e Q(1, 2) pertencem à reta r do 
exemplo anterior. Substituindo as coordenadas de P em x - y + 2 = 0, 
temos: 
-3 - (-1) + 2 = 0 -3 + 1 + 2 = 0
 Como a igualdade é verdadeira, então P r.
 Substituindo as coordenadas de Q em x - y + 2 = 0, obtemos:
1 - 2 + 2 0
 Como a igualdade não é verdadeira, então Q r.
 Geometria Analítica: Circunferência
 
Equações da circunferência
Equação reduzida
 Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano 
eqüidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da 
circunferência:
 Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da 
circunferência, a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência. 
Então:
 Portanto, (x - a)2 + (y - b)2 =r2 é a equação reduzida da circunferência e 
permite determinar os elementos essenciais para a construção da 
circunferência: as coordenadas do centro e o raio.
Observação: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem 
( C(0,0)), a equação da circunferência será x2 + y2 = r2 .
 
Equação geral
 Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da 
circunferência:
 Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de 
centro C(2, -3) e raio r = 4.
 A equação reduzida da circunferência é:
( x - 2 )2 +( y + 3 )2 = 16
 Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:
Geometria Analítica - Cônicas
Elipse
 Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a 
um número real maior que a distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o 
conjunto dos pontos do plano tais que a soma das distâncias desses 
pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.
 Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 
< 2a, temos:
 A figura obtida é uma elipse.
Observações:
1ª) A Terra descreve uma trajetória elíptica em torno do sol, que é um dos 
focos dessa trajetória.
 A lua em torno da terra e os demais satélites em relação a seus 
respectivos planetas também apresentam esse comportamento.
2ª) O cometa de Halley segue uma órbita elíptica, tendo o Sol como um dos 
focos.
3ª) As elipses são chamadas cônicas porque ficam configuradas pelo corte 
feito em um cone circular reto por um plano oblíquo em relação à sua base.
 
Elementos
 Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos:
• focos : os pontos F1 e F2 
• centro: o ponto O, que é o ponto médio de 
• semi-eixo maior: a 
• semi-eixo menor: b 
• semidistância focal: c 
• vértices: os pontos A1, A2, B1, B2 
• eixo maior: 
• eixo menor: 
• distância focal: 
Relação fundamental
 Na figura acima, aplicando o Teorema de Pitágoras ao tri6angulo OF2B2 , 
retângulo em O, podemos escrever a seguinte relação fundamental:
 a2 =b2 + c2
Excentricidade
 Chamamos de excentricidade o número real e tal que:
 Pela definição de elipse, 2c < 2a, então c < a e, conseqüentemente, 0 < e 
< 1.
Observação:Quando os focos são muito próximos, ou seja, c é muito 
pequeno, a elipse se aproxima de uma circunferência.
Equações
 Vamos considerar os seguintes casos:
a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal
 Sendo c a semidistância focal, os focos da elipse são F1(-c, 0) e F2(c, 0):
 Aplicando a definição de elipse , obtemos a equação da 
elipse:
b) elipse com centro na origem e eixo maior vertical
 Nessas condições, a equação da elipse é:
Hipérbole
 Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a 
um número real menor que a distância entre F1 e F2 , chamamos de 
hipérbole o conjunto dos pontos do plano tais que o módulo da diferença 
das dist6ancias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.
 Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e 
F1F2 = 2c, temos:
 
A figura obtida é uma hipérbole. 
Observação:Os dois ramos da 
hipérbole são determinados por um 
plano paralelo ao eixo de simetria de 
dois cones circulares retos e opostos 
pelo vértice:
Parábola
 Dados uma reta d e um ponto F , de um plano , chamamos de 
parábola o conjunto de pontos do plano eqüidistantes de F e d.
 Assim, sendo, por exemplo, F, P, Q e R pontos de um plano e d uma 
reta desse mesmo plano, de modo que nenhum ponto pertença a d, temos:
Observações:
1ª) A parábola é obtida seccionando-se obliquamente um cone circular reto:
2ª) Os telescópios refletores mais simples têm espelhos com secções planas 
parabólicas.
3ª) As trajetórias de alguns cometas são parábolas, sendo que o Sol ocupa o 
foco.
4ª) A superfície de um líquido contido em um cilindro que gira em torno de 
seu eixo com velocidade constante é parabólica.
Matrizes
Introdução
 O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das 
matrizes seja cada vez mais aplicada em áreas como Economia, 
Engenharia, Matemática, Física, dentre outras. Vejamos um exemplo.
 A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa:
 Química Inglês Literatura Espanhol
A 8 7 9 8
B 6 6 7 6
C 4 8 5 9
 Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar o 
número que fica na segunda linha e na terceira coluna da tabela.
 Vamos agora considerar uma tabela de números dispostos em linhas e 
colunas, como no exemplo acima, mas colocados entre parênteses ou 
colchetes:
 Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são 
enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita:
 Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n números naturais diferentes de 
0) são denominadas matrizes m x n. Na tabela anterior temos, portanto, 
uma matriz 3 x 3.
 Veja mais alguns exemplos:
• é uma matriz do tipo 2 x 3 
• é uma matriz do tipo 2 x 2 
 
Notação geral
 Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus 
elementos por letras minúsculas, acompanhadas por dois índices que 
indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa.
 Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por:
ou, abreviadamente, A = [aij]m x n, em que i e j representam, respectivamente, 
a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, 
a23 é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna.
 Na matriz , temos:
 Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ], temos: a11 = -1, a12 = 0, a13 = 2 e a14 = 5.
Denominações especiais
 Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações 
especiais.
• Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por 
exemplo, a matriz A =[4 7 -3 1], do tipo 1 x 4.
 
• Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. 
Por exemplo, , do tipo 3 x 1
 
• Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número 
de linhas e colunas; dizemos que a matriz é de ordem n. Por exemplo, a 
matriz é do tipo 2 x 2, isto é, quadrada de ordem 2. 
 Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal 
secundária. A principal é formada pelos elementos aij tais que i = j. Na 
secundária, temos i + j = n + 1.
 Veja:
Observe a matriz a seguir:
a11 = -1 é elemento da diagonal principal, pis i = j = 1
a31= 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 ( 3 + 1= 3 + 1)
• Matriz nula: matriz em que todos os elementos são nulos; é 
representada por 0m x n. 
Por exemplo, .
 
• Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que não 
estão na diagonal principal são nulos. Por exemplo: 
• Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da 
diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos; é representada 
por In, sendo n a ordem da matriz. Por exemplo: 
Assim, para uma matriz identidade .
 
• Matriz transposta: matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se 
ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por 
exemplo: 
 Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, At é do tipo n x m.
 Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de At e a 2ª linha de A 
corresponde à 2ª coluna de At.
• Matriz simétrica: matriz quadrada de ordem n tal que A = At . Por 
exemplo, 
é simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 = 6, a23 = a32 = 4, 
ou seja, temos sempre a ij = a ij.
 
• Matriz oposta: matriz -A obtida a partir de A trocando-se o sinal de 
todos os elementos de A. Por exemplo, . 
 
Igualdade de matrizes
 Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente se, 
todos os elementos que ocupam a mesma posição são iguais:
.
 
Operações envolvendo matrizes
Adição
 Dadas as matrizes , chamamos de soma dessas 
matrizes a matriz , tal que Cij = aij + bij , para todo 
:
A + B = C
Exemplos:
•
 
•
Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo.
Propriedades
 Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo ( m x n), temos as seguintes 
propriedades para a adição:
a) comutativa: A + B = B + A
b) associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C)
c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m x n
d) elemento oposto: A + ( - A) = (-A) + A = 0
Subtração
 Dadas as matrizes , chamamos de diferença entre 
essas matrizes a soma de A com a matriz oposta de B:
 A - B = A + ( - B )
Observe:
 
 
Multiplicação de um número real por uma matriz
 Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x 
por A é uma matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicação de cada 
elemento de A por x, ou seja, bij = xaij:
 B = x.A
 Observe o seguinte exemplo:
 
Propriedades
 Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n) e x e y números reais 
quaisquer, valem as seguintes propriedades:
a) associativa: x . (yA) = (xy) . A
b) distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: x . (A + 
B) = xA + xB
c) distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais: (x 
+ y) . A = xA + yA
d) elemento neutro : xA = A, para x=1, ou seja, A=A
Multiplicação de matrizes
 O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do 
produto dos sus respectivos elementos.
 Assim, o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n é a matriz C = 
(cij) m x n em que cada elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos 
dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-
ésima coluna B.
 Vamos multiplicar a matriz para entender como se 
obtém cada Cij:
• 1ª linha e 1ª coluna 
 
• 1ª linha e 2ª coluna 
 
• 2ª linha e 1ª coluna 
 
• 2ª linha e 2ª coluna 
 
 Assim, .
 Observe que:
 Portanto, .A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a 
propriedade comutativa.
 Vejamos outro exemplo com as matrizes :
 
 Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de 
colunas de A for igual ao número de linhas de B:
 A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de 
colunas de B(n):
• Se A3 x 2 e B 2 x 5 , então ( A . B ) 3 x 5 
• Se A 4 x 1 e B 2 x 3, então não existe o produto 
• Se A 4 x 2 e B 2 x 1, então ( A . B ) 4 x 1
 
Propriedades
 Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes, 
valem as seguintes propriedades:
a) associativa: ( A . B) . C = A . ( B . C )
b) distributiva em relação à adição: A . ( B + C ) = A . B + A . C ou ( 
A + B ) . C = A . C + B . C
c) elemento neutro: A . In = In . A = A, sendo In a matriz identidade de 
ordem n
 Vimos que a propriedade comutativa, geralmente, não vale para a 
multiplicação de matrizes. Não vale também o anulamento do produto, ou 
seja: sendo 0 m x n uma matriz nula, A .B =0 m x n não implica, 
necessariamente, que A = 0 m x n ou B = 0 m x n.
 
Matriz inversa
 Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A', de 
mesma ordem, tal que A . A' = A' . A = In , então A' é matriz inversa de A . 
Representamos a matriz inversa por A-1 .
Grandezas - Introdução
 Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. 
As grandezas podem ter suas medidas aumentadas ou diminuídas.
 Alguns exemplos de grandeza: o volume, a massa, a superfície, o 
comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a produção.
 É comum ao nosso dia-a-dia situações em que relacionamos duas ou 
mais grandezas. Por exemplo:
 Em uma corrida de "quilômetros contra o relógio", quanto maior for a 
velocidade, menor será o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas são a 
velocidade e o tempo.
 Num forno utilizado para a produção de ferro fundido comum, quanto 
maior for o tempo de uso, maior será a produção de ferro. Nesse caso, as 
grandezas são o tempo e a produção.
Grandezas diretamente proporcionais
 Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabela 
abaixo:
Tempo (minutos) Produção (Kg)
5 100
10 200
15 300
20 400
Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas 
são variáveis dependentes. Observe que:
Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica.
5min ----> 100Kg
10 min ----> 200Kg
Quando triplicamos o tempo, a produção também triplica.
5min ----> 100Kg
15 min ----> 300Kg
Assim:
Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente 
proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é 
igual a razão entre os valores correspondentes da 2ª
Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual a 
razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.
Grandezas inversamente proporcionais
 Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra o 
relógio", mantendo em cada volta uma velocidade constante e obtendo, 
assim, um tempo correspondente, conforme a tabela abaixo
Velocidade (m/s) Tempo (s)
5 200
8 125
10 100
16 62,5
20 50
Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas 
são variáveis dependentes. Observe que:
Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade.
5m/s ----> 200s
10 m/s ----> 100s
Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta 
parte.
5m/s ----> 200s
20 m/s ----> 50s
Assim:
Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando a 
razão entre os valores da 1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre os
valores correspondentes da 2ª.
Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual 
ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra 
grandeza.
POLINÔMIOS
• Definição
Uma função polinomial ou simplesmente polinômio, é toda função 
definida pela relação P(x)=anxn + an-1.xn-1 + an-2.xn-2 + ... + a2x2 + a1x + a0.
Onde:
an, an-1, an-2, ..., a2, a1, a0 são números reais chamados coeficientes.
n ∈ IN
x ∈ C (nos complexos) é a variável.
GRAU DE UM POLINÔMIO:Grau de um polinômio é o expoente máximo que ele possui. Se o 
coeficiente an≠0, então o expoente máximo n é dito grau do polinômio e 
indicamos gr(P)=n. Exemplos:
a) P(x)=5 ou P(x)=5.x0 é um polinômio constante, ou seja, gr(P)=0.
b) P(x)=3x+5 é um polinômio do 1º grau, isto é, gr(P)=1.
c) P(x)=4x5+7x4 é um polinômio do 5º grau, ou seja, gr(P)=5.
Obs: Se P(x)=0, não se define o grau do polinômio.
• Valor numérico
O valor numérico de um polinômio P(x) para x=a, é o número que se 
obtém substituindo x por a e efetuando todas as operações indicadas pela 
relação que define o polinômio. Exemplo:
Se P(x)=x3+2x2+x-4, o valor numérico de P(x), para x=2, é:
P(x)= x3+2x2+x-4
P(2)= 23+2.22+2-4
P(2)= 14
Observação: Se P(a)=0, o número a chamado raiz ou zero de P(x).
Por exemplo, no polinômio P(x)=x2-3x+2 temos P(1)=0; logo, 1 é raiz 
ou zero desse polinômio.
Alguns exercícios resolvidos:
1º) Sabendo-se que –3 é raiz de P(x)=x3+4x2-ax+1, calcular o valor de a.
Resolução: Se –3 é raiz de P(x), então P(-3)=0.
P(-3)=0 => (-3)3+4(-3)2-a.(-3)+1 = 0
3a = -10 => a=-10/3
Resposta: a=-10/3
2º) Calcular m ∈ IR para que o polinômio
P(x)=(m2-1)x3+(m+1)x2-x+4 seja:
a) do 3ºgrau b) do 2º grau c) do 1º grau
Resposta:
a) para o polinômio ser do 3º grau, os coeficientes de x2 e x3 devem ser 
diferentes de zero. Então:
m2-1≠0 => m2≠1 => m≠1
m+1≠0 => m≠-1
Portanto, o polinômio é do 3º grau se m≠1 e m≠-1.
b) para o polinômio ser do 2º grau, o coeficiente de x3 deve ser igual a 
zero e o coeficiente de x2 diferente de zero. Então:
m2-1=0 => m2=1 => m=±1
m+1≠0 => m≠-1
Portanto, o polinômio é do 2º grau se m=1.
c) para o polinômio ser do 1º grau, os coeficientes de x2 e x3 devem ser 
iguais a zero. Então:
m2-1=0 => m2=1 => m=±1
m+1=0 => m=-1
Portanto, o polinômio é do 1º grau se m=-1.
3º) Num polinômio P(x), do 3º grau, o coeficiente de x3 é 1. Se 
P(1)=P(2)=0 e P(3)=30, calcule o valor de P(-1).
Resolução:
Temos o polinômio: P(x)=x3+ax2+bx+c.
Precisamos encontrar os valores de a,b e c (coeficientes).
Vamos utilizar os dados fornecidos pelo enunciado do problema:
P(1)=0 => (1)3+a.(1)2+b(1)+c = 0 => 1+a+b+c=0 => a+b+c=-1
P(2)=0 => (2)3+a.(2)2+b(2)+c = 0 => 8+4a+2b+c=0 => 4a+2b+c=-8
P(3)=30 => (3)3+a.(3)2+b(3)+c = 30 => 27+9a+3b+c=30 => 9a+3b+c=3
Temos um sistema de três variáveis:
Resolvendo esse sistema encontramos as soluções:
a=9, b=-34, c=24
Portanto o polinômio em questão é P(x)= x3+9x2-34x+24.
O problema pede P(-1):
P(-1)= (-1)3+9(-1)2-34(-1)+24 => P(-1)=-1+9+34+24
P(-1)= 66
Resposta: P(-1)= 66
• Polinômios iguais
Dizemos que dois polinômios A(x) e B(x) são iguais ou idênticos (e 
indicamos A(x)≡B(x)) quando assumem valores numéricos iguais para 
qualquer valor comum atribuído à variável x. A condição para que dois 
polinômios sejam iguais ou idênticos é que os coeficientes dos termos 
correspondentes sejam iguais.
Exemplo: 
Calcular a,b e c, sabendo-se que x2-2x+1 ≡ a(x2+x+1)+(bx+c)(x+1).
Resolução: Eliminando os parênteses e somando os termos semelhantes 
do segundo membro temos:
x2-2x+1 ≡ ax2+ax+a+bx2+bx+cx+c
1x2-2x+1 ≡ (a+b)x2+(a+b+c)x+(a+c)
Agora igualamos os coeficientes correspondentes:



=++
=++
=++
3c3b9a
-8c2b4a
-1cba



=+
−=++
=+
1
2
1
ca
cba
ba
Substituindo a 1ª equação na 2ª:
1+c = -2 => c=-3.
Colocando esse valor de c na 3ª equação, temos:
a-3=1 => a=4.
Colocando esse valor de a na 1ª equação, temos:
4+b=1 => b=-3.
Resposta: a=4, b=-3 e c=-3.
Obs: um polinômio é dito identicamente nulo se tem todos os seus 
coeficientes nulos.
• Divisão de polinômios
Sejam dois polinômios P(x) e D(x), com D(x) não nulo.
Efetuar a divisão de P por D é determinar dois polinômios Q(x) e R(x), 
que satisfaçam as duas condições abaixo:
1ª) Q(x).D(x) + R(x) = P(x)
2ª) gr(R) < gr(D) ou R(x)=0
Nessa divisão:
P(x) é o dividendo.
D(x) é o divisor.
Q(x) é o quociente.
R(x) é o resto da divisão.
Obs: Quando temos R(x)=0 dizemos que a divisão é exata, ou seja, P(x) 
é divisível por D(x) ou D(x) é divisor de P(x).
Exemplo:
Determinar o quociente de P(x)=x4+x3-7x2+9x-1 por D(x)=x2+3x-2.
Resolução: Aplicando o método da chave, temos:
)( )(
)(D )(
xQxR
xxP
Se D(x) é divisor de P(x) ⇔ R(x)=0
Verificamos que:
 
• Divisão de um polinômio por um binômio da forma ax+b
Vamos calcular o resto da divisão de P(x)=4x2-2x+3 por D(x)=2x-1.
Utilizando o método da chave temos:
Logo: R(x)=3
A raiz do divisor é 2x-1=0 => x=1/2.
Agora calculamos P(x) para x=1/2.
P(1/2) = 4(1/4) – 2(1/2) + 3
P(1/2) = 3
Observe que R(x) = 3 = P(1/2)
Portanto, mostramos que o resto da divisão de P(x) por D(x) é igual ao 
valor numérico de P(x) para x=1/2, isto é, a raiz do divisor.
• Teorema do resto
        
R(x)Q(x)
2
D(x)
2
P(x)
234 1)(2x 1)2x-(x 2)-3x(x 1-9x7x-xx ++++≡++
3 
2 24
 12 324 
2
2
xxx
xxx
+−
−+−
O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio ax+b é igual a P(-b/a).
)( 12 
 23 
15 
 462 
1952 
)( 12 23
 23 197 
2
2
23
23
2234
2234
xRx
xx
xx
xxx
xxx
xQxxxxx
xxxxxx
→+
+−−
−+
−++
−+−−
→+−+−−
−+−+−+
Note que –b/a é a raiz do divisor.
Exemplo: Calcule o resto da divisão de x2+5x-1 por x+1.
Resolução: Achamos a raiz do divisor:
x+1=0 => x=-1
Pelo teorema do resto sabemos que o resto é igual a P(-1):
P(-1)=(-1)2+5.(-1)-1 => P(-1) = -5 = R(x)
Resposta: R(x) = -5.
• Teorema de D’Alembert
Exemplo: Determinar o valor de p, para que o polinômio P(x)=2x3+5x2-
px+2 seja divisível por x-2.
Resolução: Se P(x) é divisível por x-2, então P(2)=0.
P(2)=0 => 2.8+5.4-2p+2=0 => 16+20-2p+2=0 => p=19
Resposta: p=19.
• Divisão de um polinômio pelo produto (x-a)(x-b)
Vamos resolver o seguinte problema: calcular o resto da divisão do 
polinômio P(x) pelo produto (x-a)(x-b), sabendo-se que os restos da divisão 
de P(x) por (x-a) e por (x-b) são, respectivamente, r1 e r2. 
Temos:
a é a raiz do divisor x-a, portanto P(a)=r1 (eq. 1)
b é a raiz do divisor x-b, portanto P(b)=r2 (eq. 2)
E para o divisor (x-a)(x-b) temos P(x)=(x-a)(x-b) Q(x) + R(x) (eq. 
3)
O resto da divisão de P(x) por (x-a)(x-b) é no máximo do 1º grau, pois o 
divisor é do 2º grau; logo:
R(x)=cx+d
Da eq.3 vem:
P(x)=(x-a)(x-b) Q(x) + cx + d
Fazendo:
x=a => P(a) = c(a)+d (eq. 4)
Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio ax+b se P(-b/a)=0
x=b => P(b) = c(b)+d (eq. 5)
Das equações 1, 2, 4 e 5 temos:
Resolvendo o sistema obtemos:
Observações:
1ª) Se P(x) for divisível por (x-a) e por (x-b), temos:
P(a)= r1 =0
P(b)= r2 =0
Portanto, P(x) é divisível pelo produto (x-a)(x-b), pois:
2ª) Generalizando, temos:
Se P(x) é divisível por n fatores distintos (x-a1), (x-a2),..., (x-an) então 
P(x) é divisível pelo produto (x-a1)(x-a2)...(x-an).
Exemplo:
Um polinômio P(x) dividido por x dá resto 6 e dividido por (x-1) dá 
resto 8. Qual o resto da divisão de P(x) por x(x-1)?
Resolução:
0 é a raiz do divisor x, portanto P(0)=6 (eq. 1)
1 é a raiz do divisor x-1, portanto P(1)=8 (eq. 2)
E para o divisor x(x-1) temos P(x)=x(x-1) Q(x) + R(x) (eq. 3)
O resto da divisão de P(x) por x(x-1) é no máximo do 1º grau, pois o 
divisor é do 2º grau; logo:
R(x)=ax+b
0 00 )( 1221 =+=
−
−
+
−
−
=
ba
arar
x
ba
rr
xR


=+
=+
2
1
rdcb
rdca
ba
ba
arar
x
ba
rr
xR
ba
ba
arar
d
ba
rr
c
≠
−
−
+
−
−
=
≠
−−
=
−
−
=
 com , )( :Logo
 com , e 
1221
1221
Da eq.3 vem:
P(x)=x(x-1) Q(x) + ax + b
Fazendo:
x=0 => P(0) = a(0)+b => P(0) = b (eq. 4)
x=1 => P(1) = a(1)+b => P(1) = a+b (eq. 5)
Das equações 1, 2, 4 e 5 temos:
Logo, b=6 e a=2.
Agora achamos o resto: R(x) = ax+b = 2x+6
Resposta: R(x) = 2x+6.
• O dispositivo de Briot-Ruffini
Serve para efetuar a divisão de um polinômio P(x) por um binômio da 
forma (ax+b).
Exemplo: Determinar o quociente e o resto da divisão do polinômio 
P(x)=3x3-5x2+x-2 por (x-2).
Resolução:
Observe que o grau de Q(x) é uma unidade inferior ao de P(x), pois o 
divisor é de grau 1.
Resposta: Q(x)=3x2+x+3 e R(x)=4.
Para a resolução desse problema seguimos os seguintes passos:
1º) Colocamos a raiz do divisor e os coeficientes do dividendo 
ordenadamente na parte de cima da “cerquinha”.
2º) O primeiro coeficiente do dividendo é repetido abaixo.


=+
=
8
6
ba
b
    
    
RESTOQ(x) QUOCIENTE DO ESCOEFICIENT
P(x) DE ESCOEFICIENTDIVISOR DO RAIZ
 4 3 1 3 
2)2.(3 1)2.(1 5)2.(3 
 2 1 5 3 2 
−+−↓
−−
3º) Multiplicamos a raiz do divisor por esse coeficiente repetido abaixo 
e somamos o produto com o 2º coeficiente do dividendo, colocando o 
resultado abaixo deste.
4º) Multiplicamos a raiz do divisor pelo número colocado abaixo do 2º 
coeficiente e somamos o produto com o 3º coeficiente, colocando o 
resultado abaixo deste, e assim sucessivamente.
5º) Separamos o último número formado, que é igual ao resto da 
divisão, e os números que ficam à esquerda deste serão os coeficientes do 
quociente.
• Decomposição de um polinômio em fatores
Vamos analisar dois casos:
1º caso: O polinômio é do 2º grau.
De uma forma geral, o polinômio de 2º grau P(x)=ax2+bx+c que 
admite as raízes r1 e r2 pode ser decomposto em fatores do 1º grau, da 
seguinte forma:
Exemplos:
1) Fatorar o polinômio P(x)=x2-4.
Resolução: Fazendo x2-4=0, obtemos as raízes r1=2 e r2=-2.
Logo: x2-4 = (x-2)(x+2).
2) Fatorar o polinômio P(x)=x2-7x+10.
Resolução: Fazendo x2-7x+10=0, obtemos as raízes r1=5 e r2=2.
Logo: x2-7x+10 = (x-5)(x-2).
2º caso: O polinômio é de grau maior ou igual a 3.
Conhecendo uma das raízes de um polinômio de 3º grau, podemos 
decompô-lo num produto de um polinômio do 1º grau por um polinômio do 
2º grau e, se este tiver raízes, podemos em seguida decompô-lo também.
Exemplo: Decompor em fatores do 1º grau o polinômio 2x3-x2-x.
Resolução:
2x3-x2-x = x.(2x2-x-1)  colocando x em evidência
Fazendo x.(2x2-x-1) = 0 obtemos: x=0 ou 2x2-x-1=0.
ax2+bx+c = a(x-r1)(x-r2)
Uma das raízes já encontramos (x=0).
As outras duas saem da equação: 2x2-x-1=0 => r1=1 e r2=-1/2.
Portanto, o polinômio 2x3-x2-x, na forma fatorada é:
2.x.(x-1).(x+(1/2)).
Generalizando, se o polinômio P(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 admite n raízes 
r1, r2,..., rn, podemos decompô-lo em fatores da seguinte forma:
Observações:
1) Se duas, três ou mais raiz forem iguais, dizemos que são raízes 
duplas, triplas, etc.
2) Uma raiz r1 do polinômio P(x) é dita raiz dupla ou de 
multiplicidade 2 se P(x) é divisível por (x-r1)2 e não por (x-r1)3.
anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 = an(x-r1)(x-r2)...(x-rn)
PROBABILIDADE
 A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de 
cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos 
de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade 
permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um 
experimento aleatório.
 Experimento Aleatório
 É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem 
fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. 
Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem 
envolve cálculo de experimento aleatório.
 Espaço Amostral
 É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento 
aleatório. A letra que representa o espaço amostral, é S.
 Exemplo:
 Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço 
amostral, constituído pelos 12 elementos:
 S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6}
1. Escreva explicitamente os seguintes eventos: A={caras e m número 
par aparece}, B={um número primo aparece}, C={coroas e um 
número ímpar aparecem}. 
2. Idem, o evento em que: 
a) A ou B ocorrem;
b) B e C ocorrem;
c) Somente B ocorre.
3. Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos 
 
Resolução:
1. Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de um K e 
um número par: A={K2, K4, K6}; 
Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de números 
primos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5}
Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R e um 
número ímpar: C={R1,R3,R5}.
2. (a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5} 
(b) B e C = B ∩ C = {R3,R5}
(c) Escolhemos os elementos de B que não estão em A ou C;
B ∩ Ac ∩ Cc = {K3,K5,R2}
3. A e C são mutuamente exclusivos, porque A ∩ C = ∅
 
Conceito de probabilidade
Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente 
prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é:
Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer 
de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P = 
3/6= 1/2 = 50%
Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus 
eventos elementares têm probabilidades iguais de ocorrência.
Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de 
ocorrência de um evento A é sempre:
Propriedades Importantes:
1. Se A e A’ são eventos complementares, então:
P( A ) + P( A' ) = 1 
2. A probabilidade de um evento é sempre um número entre ∅ 
(probabilidade de evento impossível) e 1 (probabilidade do evento 
certo).
 
Probabilidade Condicional
 Antes da realização de um experimento, é necessário que já tenha 
alguma informação sobre o evento que se deseja observar. Nesse caso, o 
espaço amostral se modifica e o evento tem a sua probabilidade de 
ocorrência alterada.
 Fórmula de Probabilidade Condicional
 P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) é igual a P(E1).P(E2/E1).P(E3/E1 e 
E2)...P(En/E1 e E2 e ...En-1).
 Onde P(E2/E1) é a probabilidade de ocorrer E2, condicionada pelo fato 
de já ter ocorrido E1;
P(E3/E1 e E2) é a probabilidade ocorrer E3, condicionada pelo fato de já 
terem ocorrido E1 e E2;
P(Pn/E1 e E2 e ...En-1) é a probabilidade de ocorrer En, condicionada ao fato 
de já ter ocorrido E1 e E2...En-1.
 
 Exemplo:
 Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um 
sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem reposição, qual será a 
probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?
 Resolução:
 Seja o espaço amostral S=30 bolas, bolinhas e considerarmos os 
seguintes eventos:
 A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30
 B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29
 Assim:
 P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87
 
 Eventos independentes
 Dizemos que E1 e E2 e ...En-1, En são eventos independentes quando a 
probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de os outros terem 
ou não terem ocorrido.
 Fórmula da probabilidade dos eventos independentes:
 P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En)