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NIVELAMENTO EM MATEMÁTICA BÁSICA JOICE STELLA ROCHA FATORAÇÃO Fatorar um número qualquer significa escrever este número na forma de um produto (numa multiplicação) de dois ou mais fatores. FATORAÇÃO COM FATOR COMUM EM EVIDÊNCIA. Nesse caso, o primeiro passo é identificar o fator comum (repetido) em todos os termos do polinômio e colocá-lo em evidência. Colocar o fator em evidência significa colocá-lo na frente (antes) do polinômio. Depois, dividimos cada termo do polinômio pelo fator comum. Por último, escrevemos o polinômio na forma fatorada. Exemplo: 8x3+6x2= FATORAÇÃO DA DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS A fatoração da diferença dos quadrados de dois termos é bastante simples. Basta multiplicar a soma desses termos pela diferença desses termos. Exemplo: X2 – y2 = FATORAÇÃO DO TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO Para fatorar um trinômio quadrado perfeito, devemos elevar ao quadrado a soma ou a diferença de dois termos. Devemos observar que um trinômio só é quadrado perfeito quando tiver dois termos elevados ao quadrado e o outro termo for o dobro do produto de dois termos. Exemplo: x2 + 2xy + y2 = EXERCÍCIOS 1) Fatore os polinômios abaixo: a) 9y + 7y2 b) 5x + 15y -10z c) x2y + 5x + xy d) 7ab – 21a3c + 14a2y e) 9xy + 12ax f) 3a2b + 9ab2 – 6a2b2 g) 18x2y + 36x4y – 27x3y h) x5 + x4 + x3 + x2 + x i) x2-4 j) x2-25m2 k) 81-a6 l) 25 – 9x4 m) y2 – 36 n) 9a2 -16 o) x2 - 25 9 p) 121x2 – 100y2 q) x2 + 4x + 4 r) 25 + 10x + x2 s) 49x2 – 14x + 1 t) 4x2 + 8xy + 4y2 u) 9x2 + 24xy + 16y2 2) Simplifique as expressões abaixo: a) x xx 3 93 2 + b) 96 9 2 2 +− − xx x c) 3 3324 )2).(3( )2()3(6)2.()3(4 −+ −+−−+ xx xxxx d) )( )( 2 ba ba + + e) 2 2 . 3 3 ++ a a a a f) 4 63 . 1 1 2 2 − + + + x x x x g) x xa xy xa − − 22 EXPRESSÕES NUMÉRICAS Exemplo: 4 2 4 3 .7 8 4 3 .6 4 3 .3 1 12 + + − − + − − −− = EXERCÍCIOS 1) Determinar o valor das expressões numéricas: a) 3 3 2 2 − +− b) 16 25 64 1 4 1 5,0 2 +− + c) 3 5 . 4 1 1 2 3 1 + − d) 2 3 2 1 6 1 3 1 6 1 1 2 + + −− e) 12 1 21 1 + − − EQUAÇÕES EXPONENCIAIS Propriedades da Potência: a. a0 = 1 ( )0≠a b. a-m = ( )01 ≠a am c. mm a b b a = − d. m n m n aa = e. am.an = am+n f. nm n m a a a −= g. ( ) nmnm aa .= Equações exponenciais são equações que apresentam uma ou mais incógnitas no expoente. Exemplos: a. 3x+2 = 27 b. 22x-5.2x+4 = 0 c. 3x-2 + 3x+1 = 28 EXERCÍCIOS 1) Determinar o conjunto solução das equações: a) 162 3 =+x b) 324 93 −+ = xx c) 81 1 3 3 =−x d) 15 4 2 =− xx e) 3 168 =x f) 042.422 =+− xx g) 06332 =−− xx h) 633.9 1 =−− yy i) 052.622 =+− xx j) xx 2.544 =+ k) 0622 31 =−− −+ xx l) 36 3 81 3 1 =++ x x m) 322 1 =+ −xx n) 3 4 3 2 2 4 12 =− −x x o) 877 1 =+ −xx p) 7222.4 1 =+ −xx LOGARITMOS Definição: Dados dois números reais positivos a e b, com 1≠a , denominamos logaritmo de b, na base a, ao número real x que se deve elevar a base a, para se obter o número b. baxb xa =⇔=log ≠> > 10 0 eaa b Nomenclatura: → → → aritmox basea aritmandob log log Conseqüências da Definição: I. 01log =a II. 1log =aa III. na na =log IV. nmnm aa =↔= loglog V. ba ba =log Exemplos: a. 16log2 b. 01,0log10 EXERCÍCIO 1) Calcule os logaritmos aplicando a definição: a) 1log2 b) 81log3 c) 2log 2 d) 1log 4 3 e) 343log7 f) 9 4 log 3 2 g) 6log6 h) 16 625 log 25 4 i) 25,0log 5,0 j) 0001,0log10 k) 10log 001,0 l) 5 3 4 1 16log m) 5 2 log 2 5 n) 86 216 1 log o) 1000 27 log 3,0 p) 81 1 log 3 q) 25,0log 2 2) Determine o valor de x em cada um dos casos: a) 0log5 =x b) 5 1 log243 =x c) 6 1 64log =x d) 2log 2 1 −=x e) x= 8 125 log 5 2 f) x=25,0log16 g) 5 1 log4 =x h) x=510log i) 2 1 log625 − =x j) 1 3 7 log −=x PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS Para quaisquer valores reais de a, b e c positivos e a diferente de 1, temos: Logaritmo de um produto: ( ) cbcb caa loglog.log += Logaritmo de um quociente: cb c b aaa logloglog −= Logaritmo de uma potência: bnb a n a log.log = MUDANÇA DE BASE a b b m m a log log log = , sendo ≠> ≠> > 10 1 0 emm oeaa b EXERCÍCIOS 1) Aplicando as propriedades operacionais, desenvolva as expressões: a) 323 .log ba b) 32 log b a c) 2 3 5 . . log dc ba d) c ba . log 3 e) c ba. log3 f) 5 225 ..3log ba g) 5 32 log ab a 2) Dados log 2 = 0,3010, log 3 = 0,4771, log 5 = 0,6990 e log 7 = 0,8451, determine: a) 72log b) 36log c) 125log d) 5log e) 15.4log f) 3 2 log g) 3 49 log h) 4,0log i) 25,1log j) 3log2 k) 9log5 l) 6log3 OBSERVAÇÃO Se x é um número positivo qualquer, há exatamente um número real y, tal que yex = . Este único número y é o valor da função logarítmica natural em x, que é denotada por xln . Logo xy ln= se e somente se x = ye ( xxe lnlog = ). TRIÂNGULO RETÂNGULO Elementos: Â = 90º α = ângulo interno do vértice B BC = a = hipotenusa AB = c = cateto adjacente ao ângulo α AC = b = cateto oposto ao ângulo α TEOREMA DE PITÁGORAS 222 cba += RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO a b sen == hipotenusa a oposto cateto α α a c hipotenusa == α α a adjacente cateto cos c b tg == α α α a adjacente cateto a oposto cateto Exemplo: 1) No triângulo retângulo abaixo, determine os valores de sen α , cos α e tgα : 2) Uma rampa plana de 36 m de comprimento faz um ângulo de 30º com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira está a quantos metros do solo? EXERCÍCIOS 1) Nos triângulos retângulos abaixo, determine o valor de x: a) C b a c A B α C 6 10 8 A B α C x 10 A B 30º b) 2) Um arame de 18 metros de comprimento é esticado do nível do solo (suposto horizontal) ao topo de um poste vertical. Sabendo que o ângulo formado pelo arame como solo é de 30º, calcule a altura do poste. 3) Uma pessoa na margem de um rio vê, sob um ângulo de 60º, uma torrena margem oposta. Quando ele se afasta 40m, esse ângulo é de 30º. Calcule a largura do rio. 4) Uma escada apoiada em uma parede, num ponto distante 4m do solo, forma com essa parede um ângulo de 60º. Qual é o comprimento da escada em m? BIBLIOGRAFIA DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. Volume único. 3 ed. São Paulo: Editora Ática, 2008. SILVA, Sebastião Medeiros da. Matemática básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 2007 C 6 x A B 60
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