Buscar

Apost_Nivelamento_Matem_JoiceStellaRocha

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 6 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 6, do total de 6 páginas

Prévia do material em texto

NIVELAMENTO EM MATEMÁTICA 
BÁSICA 
 
JOICE STELLA ROCHA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FATORAÇÃO 
Fatorar um número qualquer significa escrever este número na forma de um produto 
(numa multiplicação) de dois ou mais fatores. 
FATORAÇÃO COM FATOR COMUM EM EVIDÊNCIA. 
Nesse caso, o primeiro passo é identificar o fator comum (repetido) em todos os termos do 
polinômio e colocá-lo em evidência. Colocar o fator em evidência significa colocá-lo na 
frente (antes) do polinômio. 
Depois, dividimos cada termo do polinômio pelo fator comum. 
Por último, escrevemos o polinômio na forma fatorada. 
Exemplo: 
8x3+6x2= 
 
FATORAÇÃO DA DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS 
A fatoração da diferença dos quadrados de dois termos é bastante simples. Basta 
multiplicar a soma desses termos pela diferença desses termos. 
Exemplo: 
X2 – y2 = 
 
FATORAÇÃO DO TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO 
 Para fatorar um trinômio quadrado perfeito, devemos elevar ao quadrado a soma ou a 
diferença de dois termos. 
Devemos observar que um trinômio só é quadrado perfeito quando tiver dois termos 
elevados ao quadrado e o outro termo for o dobro do produto de dois termos. 
Exemplo: 
x2 + 2xy + y2 = 
 
EXERCÍCIOS 
1) Fatore os polinômios abaixo: 
a) 9y + 7y2 
b) 5x + 15y -10z 
c) x2y + 5x + xy 
d) 7ab – 21a3c + 14a2y 
e) 9xy + 12ax 
f) 3a2b + 9ab2 – 6a2b2 
g) 18x2y + 36x4y – 27x3y 
h) x5 + x4 + x3 + x2 + x 
i) x2-4 
j) x2-25m2 
k) 81-a6 
l) 25 – 9x4 
m) y2 – 36 
n) 9a2 -16 
o) x2 - 
25
9
 
p) 121x2 – 100y2 
q) x2 + 4x + 4 
r) 25 + 10x + x2 
s) 49x2 – 14x + 1 
t) 4x2 + 8xy + 4y2 
u) 9x2 + 24xy + 16y2 
2) Simplifique as expressões abaixo: 
a) 
x
xx
3
93 2 +
 
 
b) 
96
9
2
2
+−
−
xx
x
 
 
c) 
3
3324
)2).(3(
)2()3(6)2.()3(4
−+
−+−−+
xx
xxxx
 
 
d) 
)(
)( 2
ba
ba
+
+
 
 
e) 
2
2
.
3
3
++ a
a
a
a
 
 
f) 
4
63
.
1
1
2
2
−
+
+
+
x
x
x
x
 
g) 
x
xa
xy
xa
−
− 22
 
 
 
EXPRESSÕES NUMÉRICAS 
Exemplo: 
4
2
4
3
.7
8
4
3
.6
4
3
.3
1
12
+
+




 −
−





+




 −
−
−−
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
1) Determinar o valor das expressões numéricas: 
a) 
3
3
2
2
−





 +− 
b) 
16
25
64
1
4
1
5,0
2
+−




 + 
c) 
3
5
.
4
1
1
2
3
1
+
−
 
d) 
2
3
2
1
6
1
3
1
6
1
1
2
+




 +





 −−
 
e) 
12
1
21
1
+
−
−
 
 
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS 
Propriedades da Potência: 
a. a0 = 1 ( )0≠a 
b. a-m = ( )01 ≠a
am
 
c. 
mm
a
b
b
a





=





−
 
d. m
n
m n aa = 
e. am.an = am+n 
f. nm
n
m
a
a
a −= 
g. ( ) nmnm aa .= 
Equações exponenciais são equações que apresentam uma ou mais incógnitas no 
expoente. 
 
Exemplos: 
a. 3x+2 = 27 
 
 
 
b. 22x-5.2x+4 = 0 
 
 
 
c. 3x-2 + 3x+1 = 28 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 1) Determinar o conjunto solução das equações: 
a) 162 3 =+x 
b) 324 93 −+ = xx 
c) 
81
1
3 3 =−x 
d) 15 4
2
=− xx 
e) 3 168 =x 
f) 042.422 =+− xx 
g) 06332 =−− xx 
h) 633.9 1 =−− yy 
i) 052.622 =+− xx 
j) xx 2.544 =+ 
k) 0622 31 =−− −+ xx 
l) 36
3
81
3 1 =++
x
x 
m) 322 1 =+ −xx 
n) 
3
4
3
2
2
4 12
=−
−x
x
 
o) 877 1 =+ −xx 
p) 7222.4 1 =+ −xx 
 
LOGARITMOS 
Definição: 
Dados dois números reais positivos a e b, com 1≠a , denominamos logaritmo de b, na 
base a, ao número real x que se deve elevar a base a, para se obter o número b. 
baxb xa =⇔=log 



≠>
>
10
0
eaa
b
 
Nomenclatura: 





→
→
→
aritmox
basea
aritmandob
log
log
 
Conseqüências da Definição: 
I. 01log =a 
II. 1log =aa 
III. na na =log 
IV. nmnm aa =↔= loglog 
V. ba
ba =log 
Exemplos: 
a. 16log2 
b. 01,0log10 
EXERCÍCIO 
1) Calcule os logaritmos aplicando a definição: 
a) 1log2 
b) 81log3 
c) 2log 2 
d) 1log
4
3 
e) 343log7 
f) 
9
4
log
3
2 
g) 6log6 
h) 
16
625
log
25
4 
i) 25,0log 5,0 
j) 0001,0log10 
k) 10log 001,0 
l) 5 3
4
1 16log 
m) 
5
2
log
2
5 
n) 86 216
1
log 
o) 
1000
27
log 3,0 
p) 
81
1
log
3
 
q) 25,0log
2
 
 
 
2) Determine o valor de x em cada um dos casos: 
a) 0log5 =x 
b) 
5
1
log243 =x 
c) 
6
1
64log =x 
d) 2log
2
1 −=x 
e) x=
8
125
log
5
2 
f) x=25,0log16 
g) 
5
1
log4 =x 
h) x=510log 
i) 
2
1
log625
−
=x 
j) 1
3
7
log −=x 
PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS 
Para quaisquer valores reais de a, b e c positivos e a diferente de 1, temos: 
Logaritmo de um produto: ( ) cbcb caa loglog.log += 
Logaritmo de um quociente: cb
c
b
aaa logloglog −=





 
Logaritmo de uma potência: bnb a
n
a log.log = 
 
MUDANÇA DE BASE 
a
b
b
m
m
a log
log
log = , sendo 





≠>
≠>
>
10
1
0
emm
oeaa
b
 
EXERCÍCIOS 
1) Aplicando as propriedades operacionais, desenvolva as expressões: 
a) 323 .log ba 
b) 
32
log
b
a
 
c) 
2
3
5
.
.
log
dc
ba
 
d) 
c
ba .
log
3
 
e) 
c
ba.
log3 
f) 5 225 ..3log ba 
g) 5
32
log
ab
a
 
2) Dados log 2 = 0,3010, log 3 = 0,4771, log 5 = 0,6990 e log 7 = 0,8451, 
determine: 
a) 72log 
b) 36log 
c) 125log 
d) 5log 
e) 15.4log 
f) 
3
2
log 
g) 
3
49
log 
h) 4,0log 
i) 25,1log 
j) 3log2 
k) 9log5 
l) 6log3 
OBSERVAÇÃO 
Se x é um número positivo qualquer, há exatamente um número real y, tal que yex = . 
Este único número y é o valor da função logarítmica natural em x, que é denotada por 
xln . Logo xy ln= se e somente se x = ye ( xxe lnlog = ). 
 
 
 
 
 
 
 
TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elementos: 
 = 90º 
α = ângulo interno do vértice B 
BC = a = hipotenusa 
AB = c = cateto adjacente ao ângulo α 
AC = b = cateto oposto ao ângulo α 
 
TEOREMA DE PITÁGORAS 
222 cba += 
 
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
a
b
sen ==
hipotenusa
a oposto cateto α
α 
 
 
a
c
hipotenusa
==
α
α
 a adjacente cateto
cos 
 
c
b
tg ==
α
α
α
 a adjacente cateto
 a oposto cateto
 
Exemplo: 
1) No triângulo retângulo abaixo, determine os valores de sen α , cos α e tgα : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Uma rampa plana de 36 m de comprimento faz um ângulo de 30º com o plano 
horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira está a quantos metros do solo? 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
1) Nos triângulos retângulos abaixo, determine o valor de x: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C 
b 
a 
c 
A B 
α 
 
C 
6 
10 
8 
A B 
α 
 
C 
x 
10 
 
A B 
30º 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Um arame de 18 metros de comprimento é esticado do nível do solo (suposto 
horizontal) ao topo de um poste vertical. Sabendo que o ângulo formado pelo 
arame como solo é de 30º, calcule a altura do poste. 
 
3) Uma pessoa na margem de um rio vê, sob um ângulo de 60º, uma torrena 
margem oposta. Quando ele se afasta 40m, esse ângulo é de 30º. Calcule a 
largura do rio. 
 
4) Uma escada apoiada em uma parede, num ponto distante 4m do solo, forma com 
essa parede um ângulo de 60º. Qual é o comprimento da escada em m? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. Volume único. 3 ed. 
São Paulo: Editora Ática, 2008. 
 
SILVA, Sebastião Medeiros da. Matemática básica para cursos superiores. São 
Paulo: Atlas, 2007 
 
 
 
C 
6 
x 
A B 
60

Outros materiais