Exame de Mestrado em Análise - 1º/2010 - UnB

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Exame de Mestrado em Ana´lise - 1o/2010
Nome: Mat.: /
Resolva as oito questo˜es. Nos enuciados abaixo 〈·, ·〉 e´ o produto interno Euclidiano e ∇f(x)
e´ o gradiente da func¸a˜o f no ponto x ∈ Rn.
1. Seja f : Rn → Rm uma func¸a˜o cont´ınua. Mostre que as duas condic¸o˜es abaixo sa˜o
equivalentes:
(a) lim|x|→∞ |f(x)| =∞.
(b) a imagem inversa f−1(K) de todo compacto K ⊂ Rm e´ compacta.
2. Seja X ⊂ Rn um aberto limitado e f : X → Rm uma func¸a˜o uniformemente cont´ınua.
Mostre que, se (xk) ⊂ X e´ uma sequeˆncia de Cauchy, enta˜o (f(xk)) ⊂ R
m e´ sequeˆncia
de Cauchy. Em seguida, prove que existe uma func¸a˜o uniformemente cont´ınua f : X →
R
m tal que f coincide com f no conjunto X .
3. Seja f : Rn → R e´ uma func¸a˜o diferencia´vel. Se existe p > 1 tal que f(λx) = λpf(x)
para todo x ∈ Rn e todo λ > 0, enta˜o
〈∇f(x), x〉 = pf(x), ∀ x ∈ Rn.
4. Sejam X ⊂ Rn um aberto convexo e f : X → R uma func¸a˜o diferencia´vel. Dados
a, b ∈ X mostre que existe x0 ∈ {(1− t)a+ tb : t ∈ [0, 1]} tal que
f(b)− f(a) = 〈∇f(x0), b− a〉.
Deˆ um exemplo mostrando que o resultado pode ser falso se X na˜o for convexo.
5. Sejam X = (0,∞)× (0,∞) ⊂ R2 e g : X → R2 definida por
g(x, y) = (x2 − y2, xy), (x, y) ∈ X.
Verifique que g e´ injetiva. Em seguida, mostre que g e´ um difeomorfismo de classe C∞
de X sobre um aberto de R2.
6. Para x ∈ R2, sejam g(x) = 〈x, x〉, S1 = g−1({1}) a esfera unita´ria, A uma matriz
sime´trica 2 × 2 e considere a forma quadra´tica f(x) = 〈Ax, x〉. Mostre que x ∈ S1 e´
um ponto cr´ıtico de f restrita a` S1 se, e somente se, x e´ autovetor de A com autovalor
associado λ = f(x).
7. Sejam f : [a, b]→ R e g : [c, d]→ R func¸o˜es integra´veis e h : [a, b]× [c, d]→ R definida
por h(x, y) = f(x)g(y). Mostre que h e´ integra´vel e que∫
[a,b]×[c,d]
h(x, y)dxdy =
(∫
[a,b]
f(x)dx
)(∫
[c,d]
g(y)dy
)
.
8. Seja a ∈ Rn e f : Rn → R uma func¸a˜o de classe C1. Mostre que
lim
r→0
1
volBr(a)
∫
Br(a)
f(x)dx = f(a).
Supondo adicionalmente que f ′(a) : Rn → Rn e´ um isomorfismo, mostre que
lim
r→0
vol f(Br(a))
volBr(a)
= |detf ′(a)|.