Exame de Mestrado em Análise -1º/2011 - UnB

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Exame de Mestrado em Ana´lise - 1o/2011
Nome: Mat.: /
Resolva as oito questo˜es abaixo. Nos enunciados, 〈·, ·〉 denota o produto interno Euclidiano
e |x| =
√
〈x, x〉, para x ∈ Rm.
1. Se F ⊂ Rm e´ fechado na˜o vazio e a ∈ Rm, enta˜o existe x0 ∈ F tal que
|x0 − a| = dist(a, F ) = inf
x∈F
|x− a|.
Deˆ um exemplo mostrando que o resultado pode ser falso se F na˜o for fechado.
2. Sejam K ⊂ Rm compacto, U ⊂ Rn aberto e f : K → U cont´ınua. Mostre que existe
δ > 0 tal que, se T ⊂ K e
diamT = inf{|x− y| : x, y ∈ T} < δ,
enta˜o a imagem f(T ) esta´ contida em alguma bola B ⊂ U .
3. Sejam f, g : Bδ(0) ⊂ R
m → R e suponha que f(0) = g(0) e f ′(0) = g′(0). Se h e´ tal
que f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) para todo x ∈ Bδ(0), enta˜o h e´ diferencia´vel em x = 0.
4. Determine os pontos cr´ıticos da func¸a˜o f : Rm × Rm → R dada por f(x, y) = 〈x, y〉,
restrita a` esfera |x|2 + |y|2 = 1. Conclua da´ı a desigualdade de Cauchy-Schwarz.
5. Sejam 0 < θ1 < θ2 < ∞ e f : U → R
n, onde U ⊂ Rm e´ um aberto conexo. Se existe
K > 0 tal que
|f(x)− f(y)|θ1 ≤ K|x− y|θ2,
para quaisquer x, y ∈ U , enta˜o f e´ constante em U .
6. Seja f : [0, 1] → R uma func¸a˜o cont´ınua e positiva, tal que
∫ 1
0
f(t)dt = 3. Mostre que
existe δ > 0 tal que, para cada x ∈ [0, δ], existe um u´nico ξ(x) ∈ [0, 1] satisfazendo∫ ξ(x)
x
f(t)dt = 2 e que a func¸a˜o ξ : [0, δ] → [0, 1] assim definida e´ de classe C1.
7. Considere a func¸a˜o f : [0, 1]× [0, 1]→ R definida por
f(x, y) =
{
1 se x ∈ Q,
2y se x 6∈ Q.
Mostre que a integral iterada
∫ 1
0
∫ 1
0
f(x, y)dydx
existe mas f na˜o e´ integra´vel no retaˆngulo [0, 1]× [0, 1].
8. Sejam X, Y ⊂ Rm+1 conjuntos J-mensura´veis tais que, para cada t ∈ R, as secc¸o˜es
Xt = {x ∈ R
m : (x, t) ∈ X} e Yt = {y ∈ R
m : (y, t) ∈ Y } sa˜o ainda J-mensura´veis e
teˆm o mesmo volume em Rm. Mostre que os volumes de X e Y sa˜o iguais.