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Análise III (Análise no Rn) - Notas de Aula (André Arbex Hallack)

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Ana´lise III (Ana´lise no IRn)
Notas de aulas
Andre´ Arbex Hallack
Agosto/2008
I´ndice
1 Noc¸o˜es Topolo´gicas no IRn 1
1.1 O espac¸o vetorial IRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Sequ¨eˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Topologia usual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Limites e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Compacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7 Conexidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8 Norma de uma transformac¸a˜o linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.9 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Diferenciabilidade 25
2.1 Definic¸a˜o: diferenciabilidade de uma aplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Exemplos de aplicac¸o˜es diferencia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Func¸o˜es reais de m varia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5 A Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.6 Teorema/Desigualdade do valor me´dio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.8 As classes de diferenciabilidade Ck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.9 O vetor Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.10 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
i
3 Derivadas de ordem superior e a Fo´rmula de Taylor 63
3.1 Inversa˜o na ordem de derivac¸a˜o: Teorema de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3 A Fo´rmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4 O Teorema da Aplicac¸a˜o Inversa 71
4.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2 O Teorema da Aplicac¸a˜o Injetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3 O Teorema da Aplicac¸a˜o Sobrejetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.4 O Teorema da Aplicac¸a˜o Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.5 O Teorema da Aplicac¸a˜o Impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5 Integrais Mu´ltiplas 89
5.1 A definic¸a˜o de integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.2 Caracterizac¸a˜o das func¸o˜es (Riemann-) integra´veis . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3 Integrabilidade em domı´nios mais gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.4 Somas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.5 Integrac¸a˜o repetida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.6 Mudanc¸a de varia´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Refereˆncias 115
Cap´ıtulo 1
Noc¸o˜es Topolo´gicas no IRn
1.1 O espac¸o vetorial IRn
Consideremos o conjunto IRn = { (x1, x2, . . . , xn) ; xi ∈ IR , i = 1, 2, . . . , n } das n-uplas de
nu´meros reais.
Dados x = (x1, x2, . . . , xn) , y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ IRn e α ∈ IR, definimos:
x+ y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)
α.x = (αx1, αx2, . . . , αxn)
Estas operac¸o˜es fazem do IRn um espac¸o vetorial de dimensa˜o n sobre o corpo IR dos
nu´meros reais.
Produto interno no espac¸o IRn:
Definimos o PRODUTO INTERNO CANOˆNICO < , > : IRn × IRn → IR pondo:
< x, y > = x1y1 + x2y2 + . . .+ xnyn ∀ x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ IRn
Normas:
A partir do Produto Interno Canoˆnico acima definido, constru´ımos a NORMA
(?)
EUCLI-
DIANA ‖ ‖e : IRn → IR pondo:
‖x‖e =
√
< x, x > ∀ x ∈ IRn
1
2 CAPI´TULO 1
Obs.: Outras duas normas
(?)
se destacam no IRn:
A NORMA DO MA´XIMO ‖ ‖m : IRn → IR dada por
‖x‖m = max { |x1| , |x2| , . . . , |xn| } ∀ x = (x1, . . . , xn) ∈ IRn
A NORMA DA SOMA ‖ ‖s : IRn → IR dada por
‖x‖s = |x1|+ |x2|+ . . .+ |xn| ∀ x = (x1, . . . , xn) ∈ IRn
E´ fa´cil mostrar
(?)
que estas duas normas na˜o proveˆm de produto interno algum no IRn.
Para todo x ∈ IRn temos(?) :
‖x‖m ≤ ‖x‖e ≤ ‖x‖s ≤ n. ‖x‖m
Me´tricas, bolas e conjuntos limitados:
A partir de qualquer norma ‖ ‖ no IRn podemos construir, de modo natural, uma me´trica
d : IRn × IRn → IR (noc¸a˜o de distaˆncia), pondo:
d(x, y) = ‖x− y‖ ∀ x, y ∈ IRn
Seguem definic¸o˜es de certos lugares geome´tricos ba´sicos:
Definic¸a˜o 1.1. Consideremos uma norma ‖ ‖ no IRn. Dados um ponto a ∈ IRn e um
nu´mero real r > 0, definimos:
(i) BOLA ABERTA de centro a e raio r: B(a; r) = {x ∈ IRn ; ‖x− a‖ < r}
(ii) BOLA FECHADA de centro a e raio r: B[a; r] = {x ∈ IRn ; ‖x− a‖ ≤ r}
(iii) ESFERA de centro a e raio r: S[a; r] = {x ∈ IRn ; ‖x− a‖ = r}
Obs.: E´ claro que os lugares geome´tricos acima definidos dependem da norma ‖ ‖
considerada.
A seguir definimos uma relac¸a˜o de equivaleˆncia entre normas:
Definic¸a˜o 1.2. Duas normas ‖ ‖1 e ‖ ‖2 no IRn sa˜o ditas EQUIVALENTES quando,
sempre que for dada uma bola aberta, considerando uma das normas, e´ poss´ıvel obter uma
bola aberta de mesmo centro, considerando a outra norma, contida na primeira.
Noc¸o˜es Topolo´gicas no IRn 3
A “equivaleˆncia”, assim definida, ale´m de SIME´TRICA (por definic¸a˜o), e´ REFLEXIVA E
TRANSITIVA, sendo portanto uma RELAC¸A˜O DE EQUIVALEˆNCIA
(?)
.
Proposic¸a˜o 1.3.
(?)
Duas normas ‖ ‖1 e ‖ ‖2 no IRn sa˜o equivalentes se, e somente se,
existem constantes k, l > 0 tais que:
l. ‖x‖2 ≤ ‖x‖1 ≤ k. ‖x‖2 ∀ x ∈ IRn
Ja´ vimos antes que ‖x‖m ≤ ‖x‖e ≤ ‖x‖s ≤ n. ‖x‖m , para todo x ∈ IRn.
Portanto as normas Euclidiana, do Ma´ximo e da Soma sa˜o EQUIVALENTES!
Definic¸a˜o 1.4. Um conjunto X ⊂ IRn e´ limitado (“em relac¸a˜o a` norma ‖ ‖”) quando existir
uma constante c > 0 tal que ‖x‖ ≤ c para todo x ∈ X.
E´ imediato que se duas normas ‖ ‖1 e ‖ ‖2 no IRn sa˜o equivalentes enta˜o um conjunto
X ⊂ IRn e´ limitado em relac¸a˜o a` norma ‖ ‖1 se, e somente se, X e´ limitado em relac¸a˜o a`
norma ‖ ‖2.
(?)
Proposic¸a˜o 1.5.
(?)
Um conjunto X ⊂ IRn e´ limitado (em relac¸a˜o a qualquer norma equi-
valente a` Norma do Ma´ximo) se, e somente se, todas as suas projec¸o˜es
X1 = pi1(X), X2 = pi2(X), . . . , Xn = pin(X)
sa˜o conjuntos limitados em IR.
1.2 Sequ¨eˆncias
Definic¸a˜o 1.6. Dizemos que uma sequ¨eˆncia (xk) no IR
n converge para o limite a ∈ IRn
(“em relac¸a˜o a` norma ‖ ‖”) quando, para cada � > 0 dado, e´ poss´ıvel obter um ı´ndice
k0 ∈ IN tal que k > k0 ⇒ ‖xk − a‖ < �. Neste caso escrevemos: a = lim xk ou xk → a.
De modo equivalente temos que, para cada � > 0 , os termos xk esta˜o na bola aberta
B(a; �) (em relac¸a˜o a` norma considerada), para todo k suficientemente grande.
Uma consequ¨eˆncia importante da definic¸a˜o acima e´ que, se duas normas no IRn sa˜o
equivalentes, enta˜o a convergeˆncia de uma sequ¨eˆncia independe de qual das nor-
mas equivalentes e´ considerada
(?)
.
4 CAPI´TULO 1
Consequ¨eˆncias imediatas:
(?)
(i) limxk = a ⇔ lim ‖xk − a‖ = 0
(ii) Toda sequ¨eˆncia convergente e´ limitada.
(iii) Se lim xk = a enta˜o toda subsequ¨eˆncia de (xk) convergepara a.
(iv) O limite de uma sequ¨eˆncia convergente e´ u´nico.
Uma sequ¨eˆncia (xk) no IR
n equivale a n sequ¨eˆncias de nu´meros reais, ou seja, para todo
k ∈ IN , xk =
(
x
(k)
1 , x
(k)
2 , . . . , x
(k)
n
)
, onde x
(k)
i = pii(xk) = i-e´sima coordenada de xk. Essas n
sequ¨eˆncias sa˜o ditas as Sequ¨eˆncias DAS COORDENADAS de (xk).
Proposic¸a˜o 1.7.
(?)
Uma sequ¨eˆncia (xk) no IR
n converge (em relac¸a˜o a qualquer norma
equivalente a` Norma do Ma´ximo) para o ponto a = (a1, a2, . . . , an) se, e somente se, para
cada i = 1, 2, . . . , n tem-se limx
(k)
i = ai , ou seja, cada coordenada de xk converge para a
coordenada correspondente de a.
Corola´rio 1. Dadas as sequ¨eˆncias convergentes (xk), (yk) no IR
n e (αk) em IR, sejam
limxk = a, lim yk = b e limαk = α. Enta˜o:
(i) lim(xk + yk) = a+ b
(ii) limαk.xk = α.a
(iii) lim < xk, yk > = < a, b >
A seguir dois importantes resultados, onde usamos o fato de IRn ter dimensa˜o finita:
Teorema 1.8. (Bolzano-Weierstrass)
(?)
Toda sequ¨eˆncia limitada (em relac¸a˜o a qualquer
norma equivalente a` Norma do Ma´ximo) em IRn possui uma subsequ¨eˆncia convergente.
Prova: Exerc´ıcio (Sugesta˜o: use o mesmo resultado em IR para as sequ¨eˆncias das coorde-
nadas, juntamente com a proposic¸a˜o anterior)
Teorema 1.9. Duas normas quaisquer no espac¸o IRn sa˜o equivalentes.
Demonstrac¸a˜o:
Sejam ‖ ‖s : IRn → IR a Norma da Soma, dada por
‖x‖s = |x1|+ |x2|+ . . .+ |xn| ∀ x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ IRn
e ‖ ‖ : IRn → IR uma norma qualquer no IRn.
Noc¸o˜es Topolo´gicas no IRn 5
Temos:
(i) Por transitividade, se mostrarmos que ‖ ‖s e ‖ ‖ sa˜o equivalentes, enta˜o o teorema
estara´ demonstrado.
(ii) Para a Norma da Soma valem os resultados anteriores, pois ela e´ equivalente a` Norma
do Ma´ximo.
Consideremos a Base Canoˆnica β = {e1, e2, . . . , en} do IRn.
Para todo vetor x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ IRn, temos:
‖x‖ = ‖x1e1 + . . .+ xnen‖ ≤ |x1| . ‖e1‖+ . . . |xn| . ‖en‖ ≤ b.(|x1|+ . . .+ |xn|) = b. ‖x‖s
onde b = max { ‖e1‖ , . . . , ‖en‖ } (repare que este b esta´ bem definido, pois tomamos o
ma´ximo em um conjunto finito de nu´meros reais).
Logo ‖x‖ ≤ b. ‖x‖s para todo x ∈ IRn. (1)
Resta mostrarmos que existe a > 0 tal que ‖x‖s ≤ a. ‖x‖ ∀x ∈ IRn.
De fato: se isto na˜o ocorrer temos que para todo k ∈ IN e´ poss´ıvel obter um xk ∈ IRn
tal que ‖xk‖s > k. ‖xk‖ (pois k na˜o serviria como tal a > 0 ).
Tomemos, para cada k ∈ IN, uk = xk‖xk‖s
(note que a sequ¨eˆncia (uk) esta´ bem definida,
pois ‖xk‖s > 0 ∀k )
Como ‖uk‖s = 1 para todo k (verifique), temos que (uk) e´ limitada em relac¸a˜o a` Norma
da Soma.
Pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, (uk) tem uma subsequ¨eˆncia (ukj) convergente (na
Norma da Soma) para um ponto u ∈ IRn.
Temos enta˜o que
∥∥ukj∥∥s → ‖u‖s. Logo ‖u‖s = 1 , o que significa que u 6= 0.
Agora, dado � > 0, e´ poss´ıvel obter kj0 tal que
∥∥ukj0 − u∥∥s < �2b e 1kj0 < �2 .
Logo
‖u‖ ≤ ∥∥ukj0 − u∥∥+ ∥∥ukj0∥∥ ≤ b. ∥∥ukj0 − u∥∥s + 1kj0 < b. �2b + �2 = � .
Assim ‖u‖ = 0 ⇒ u = 0 (contradic¸a˜o!)
Enta˜o, obrigatoriamente, existe a > 0 tal que ‖x‖s ≤ a. ‖x‖ ∀x ∈ IRn. (2)
Por (1) e (2), ‖ ‖s e ‖ ‖ sa˜o equivalentes, qualquer que seja a norma ‖ ‖ no IRn.
6 CAPI´TULO 1
Por transitividade, temos enta˜o que duas normas quaisquer no IRn sa˜o equivalentes.
Obs.: A` luz deste u´ltimo teorema, temos tambe´m que os resultados anteriores sa˜o
va´lidos para qualquer norma considerada no IRn.
Proposic¸a˜o 1.10. (IRn e´ Banach)
(?)
Uma sequ¨eˆncia (xk) no IR
n e´ convergente (em
relac¸a˜o a` qualquer norma ‖ ‖ considerada) se, e somente se, ela e´ uma Sequ¨eˆncia de Cauchy.
Prova: Exerc´ıcio (Sugesta˜o: use a norma do ma´ximo, a proposic¸a˜o 1.7 e o resultado ja´
conhecido para sequ¨eˆncias de nu´meros reais)
Prove tambe´m o resultado acima sem usar o que ja´ foi provado para sequ¨eˆncias de nu´meros
reais
(?)
.
1.3 Topologia usual
Conjuntos abertos:
Definic¸a˜o 1.11. Um ponto a e´ dito um PONTO INTERIOR a um conjunto X ⊂ IRn
quando existe � > 0 tal que B(a; �) ⊂ X. Se denotarmos por intX o conjunto dos pontos
interiores a X (INTERIOR de X), e´ imediato que intX ⊂ X. Se a ∈ intX enta˜o X e´ dito
uma VIZINHANC¸A de a.
Um conjunto A ⊂ IRn e´ dito ser ABERTO (em IRn) quando A = intA.
Um conjunto B ⊂ X e´ dito ser um conjunto ABERTO EM X quando existe um conjunto
aberto (em IRn) A tal que B = X ∩ A .
Consequ¨eˆncias imediatas:
(?)
(i) φ e IRn sa˜o abertos.
(ii) A intersec¸a˜o A = A1 ∩ . . . ∩ Al de uma colec¸a˜o FINITA de abertos e´ um aberto.
(iii) A reunia˜o A =
⋃
λ∈L
Aλ de uma colec¸a˜o arbitra´ria {Aλ}λ∈L de abertos e´ um aberto.
(iv) Toda bola aberta B(a; r) e´ um conjunto aberto.
(v) Para todo X ⊂ IRn tem-se: intX =
⋃
A ⊂ X
A aberto
A
Noc¸o˜es Topolo´gicas no IRn 7
Conjuntos fechados:
Definic¸a˜o 1.12. Um ponto a e´ dito um PONTO ADERENTE a um conjunto X ⊂ IRn
quando existe uma sequ¨eˆncia (xk) em X ( xk ∈ X ∀ k ) tal que xk → a . Se denotarmos por
clX o conjunto dos pontos aderentes a X (FECHO de X), e´ imediato que X ⊂ clX.
Um conjunto F ⊂ IRn e´ dito ser FECHADO (em IRn) quando F = clF .
Um conjunto B ⊂ X e´ dito ser um conjunto FECHADO EM X quando existe um conjunto
fechado (em IRn) F tal que B = X ∩ F .
Dado X ⊂ IRn , definimos frX = clX ∩ cl (IRn\X) (FRONTEIRA de X).
Sejam Y ⊂ X ⊂ IRn . Dizemos que Y e´ DENSO em X quando X ⊂ clY (todo ponto
de X e´ limite de uma sequ¨eˆncia de pontos de Y ).
Consequ¨eˆncias imediatas:
(?)
(i) a ∈ clX ⇔ toda vizinhanc¸a de a possui algum ponto de X.
(ii) F ⊂ IRn e´ fechado ⇔ A = IRn\F e´ aberto.
(iii) φ e IRn sa˜o fechados.
(iv) A reunia˜o F = F1 ∪ . . . ∪ Fl de uma colec¸a˜o FINITA de fechados e´ um fechado.
(v) A intersec¸a˜o F =
⋂
λ∈L
Fλ de uma colec¸a˜o arbitra´ria {Fλ}λ∈L de fechados e´ um fechado.
(vi) Toda bola fechada B[a; r] e´ um conjunto fechado.
(vii) Toda esfera S[a; r] e´ um conjunto fechado.
(viii) Qn e´ denso no IRn.
(ix) Para todo X ⊂ IRn tem-se: clX =
⋂
F ⊃ X
F fechado
F
Pontos de acumulac¸a˜o:
Definic¸a˜o 1.13. Um ponto a e´ dito um PONTO DE ACUMULAC¸A˜O de um conjunto
X ⊂ IRn quando existe uma sequ¨eˆncia (xk) em X\ {a} ( xk ∈ X , xk 6= a ∀ k ) tal que
xk → a . Denotamos por X ′ o conjunto dos pontos de acumulac¸a˜o de X.
Se a ∈ X na˜o e´ ponto de acumulac¸a˜o de X, enta˜o a e´ um PONTO ISOLADO de X.
Se todos os pontos de X sa˜o isolados, X e´ chamado um conjunto DISCRETO.
8 CAPI´TULO 1
Consequ¨eˆncias imediatas:
(?)
(i) a ∈ X ′ ⇔ toda vizinhanc¸a de a possui algum ponto de X\ {a}.
(ii) a ∈ X ′ ⇔ toda bola aberta B(a; r) possui uma infinidade de pontos de X.
(iii) Se X ′ 6= φ enta˜o X e´ infinito.
(iv) O conjunto X ′ dos pontos de acumulac¸a˜o de X e´ fechado.
(v) Se X ⊂ IRn e´ infinito e limitado, enta˜o X ′ 6= φ (Bolzano-Weierstrass)
1.4 Limites e continuidade
Estudaremos agora noc¸o˜es de limites e continuidade para aplicac¸o˜es f : X → IRn ,
com X ⊂ IRm . Podemos sempre identificar aplicac¸o˜es como esta atrave´s de suas func¸o˜es
coordenadas:
A cada aplicac¸a˜o f : X ⊂ IRm → IRn correspondem n func¸o˜es f1, f2, . . . , fn : X → IR
dadas por fi = pii ◦ f ( i = 1, . . . , n ), ditas as FUNC¸O˜ES COORDENADAS da aplicac¸a˜o f .
Para todo x ∈ X temos f(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fn(x)) .
Escrevemos f = (f1, f2, . . . , fn).
Limites:
Definic¸a˜o 1.14. Sejam f : X ⊂ IRm → IRn e a ∈ X ′ (a e´ ponto de acumulac¸a˜o de X).
Dizemos que b ∈ IRn e´ o LIMITE DE f(x) QUANDO x TENDE PARA a e escrevemos
b = lim
x→a
f(x)
quando, para cada � > 0 dado, e´ poss´ıvel obter δ > 0 tal que
x ∈ X, 0 < ‖x− a‖ < δ ⇒ ‖f(x)− b‖ < �
Proposic¸a˜o 1.15.
(?)
Sejam f : X ⊂ IRm → IRn e a ∈ X ′ .
A fim de que lim
x→a
f(x) = b ∈ IRn e´ necessa´rio e suficiente que, para toda sequ¨eˆncia (xk)
em X\ {a} com xk → a se tenha f(xk)→ b .
Proposic¸a˜o1.16.
(?)
Seja a um ponto de acumulac¸a˜o de X ⊂ IRm. Dada a aplicac¸a˜o
f : X → IRn , cujas func¸o˜es coordenadas sa˜o f1, f2, . . . , fn : X → IR , tem-se
lim
x→a
f(x) = b = (b1, b2, . . . , bn) ∈ IRn se, e somente se, lim
x→a
fi(x) = bi ∀ i = 1, 2, . . . , n.
Noc¸o˜es Topolo´gicas no IRn 9
Continuidade:
Definic¸a˜o 1.17. Uma aplicac¸a˜o f : X ⊂ IRm → IRn e´ CONTI´NUA NO PONTO a ∈ X
quando, para cada � > 0 dado, e´ poss´ıvel obter δ > 0 tal que
x ∈ X, ‖x− a‖ < δ ⇒ ‖f(x)− f(a)‖ < �
Se f como acima e´ cont´ınua em todos os pontos do conjunto X, dizemos simplesmente que
f e´ uma aplicac¸a˜o CONTI´NUA.
Proposic¸a˜o 1.18.
(?)
Seja f : X ⊂ IRm → IRn . A fim de que f seja cont´ınua em a ∈ X
e´ necessa´rio e suficiente que, para toda sequ¨eˆncia (xk) em X com xk → a se tenha
f(xk)→ f(a) .
Proposic¸a˜o 1.19.
(?)
Uma aplicac¸a˜o f : X ⊂ IRm → IRn e´ cont´ınua se, e somente se, para
cada A aberto do IRn (ou para cada F fechado do IRn ), sua imagem inversa f−1(A) e´
um conjunto aberto em X (ou f−1(F ) e´ um conjunto fechado em X).
Proposic¸a˜o 1.20.
(?)
A composta de duas aplicac¸o˜es cont´ınuas e´ cont´ınua.
Proposic¸a˜o 1.21.
(?)
Seja a ∈ X ⊂ IRm. Dada a aplicac¸a˜o f : X → IRn , cujas func¸o˜es
coordenadas sa˜o f1, f2, . . . , fn : X → IR , tem-se: f e´ cont´ınua em a se, e somente se, cada
uma das suas func¸o˜es coordenadas fi = pii ◦ f : X → IR e´ cont´ınua no ponto a.
Corola´rio 1. Dadas f : X → IRm e g : X → IRn , seja h = (f, g) : X → IRm × IRn dada
por h(x) = (f(x), g(x)) . Enta˜o h e´ cont´ınua se, e somente se, f e g sa˜o ambas cont´ınuas.
Uma consequ¨eˆncia deste corola´rio: se f, g : X ⊂ IRm → IRn e α : X → IR sa˜o cont´ınuas
enta˜o sa˜o tambe´m cont´ınuas (f + g) : X → IRn dada por (f + g)(x) = f(x) + g(x) ,
(α.f) : X → IRn dada por (α.f)(x) = α(x).f(x) , < f, g > : X → IR dada por
< f, g > (x) = < f(x), g(x) >.
Obs.: Se, para obtermos f(x) (onde temos f : X ⊂ IRm → IRn e f = (f1, f2, . . . , fn) ),
para cada func¸a˜o coordenada aplicada em x ( fi(x) ) submetemos as coordenadas do ponto
x = (x1, . . . , xm) a operac¸o˜es definidas por func¸o˜es cont´ınuas, enta˜o f e´ cont´ınua.
Exemplos: f(x, y) = (( senx).y, x2y3, ex cos y) define uma func¸a˜o cont´ınua f : IR2 → IR3.
A func¸a˜o determinante det :Mn(IR)→ IR e´ cont´ınua.
10 CAPI´TULO 1
Continuidade uniforme:
Ao estudarmos a continuidade de uma aplicac¸a˜o f : X ⊂ IRm → IRn num ponto do
domı´nio X, o δ obtido para cada � (veja a definic¸a˜o) depende, em geral, na˜o apenas do �
dado, mas tambe´m depende do ponto onde estamos analisando a continuidade de f .
Quando, para cada � dado, for poss´ıvel obter um δ que dependa apenas de � e portanto
sirva (como na definic¸a˜o) para TODOS OS PONTOS DE X, temos um fenoˆmeno conhecido
como Continuidade Uniforme:
Definic¸a˜o 1.22. Uma aplicac¸a˜o f : X ⊂ IRm → IRn e´ dita UNIFORMEMENTE CONTI´NUA
quando, para cada � > 0 dado, e´ poss´ıvel obter δ > 0 tal que
x, y ∈ X, ‖x− y‖ < δ ⇒ ‖f(x)− f(y)‖ < �
Resultados relacionados com a continuidade uniforme:
(?)
(i) Uma aplicac¸a˜o f = (f1, . . . , fn) : X ⊂ IRm → IRn e´ uniformemente cont´ınua se, e somente
se, suas func¸o˜es coordenadas f1, . . . , fn : X → IRn o sa˜o.
(ii) Uma aplicac¸a˜o f : X ⊂ IRm → IRn e´ uniformemente cont´ınua se, e somente se, para todo
par de sequ¨eˆncias (xk), (yk) em X, com lim(xk − yk) = 0 tem-se lim[f(xk)− f(yk)] = 0 .
(iii) Se f : X ⊂ IRm → IRn e´ uniformemente cont´ınua enta˜o, para todo a ∈ X ′ , existe o
limite lim
x→a
f(x) .
Uma fonte natural de aplicac¸o˜es uniformemente cont´ınuas:
Definic¸a˜o 1.23. Uma aplicac¸a˜o f : X ⊂ IRm → IRn e´ dita LIPSCHITZIANA quando existe
uma constante k > 0 (chamada CONSTANTE DE LIPSCHITZ DE f) tal que
‖f(x)− f(y)‖ ≤ k. ‖x− y‖ ∀ x, y ∈ X
Alguns resultados:
(i) Toda aplicac¸a˜o lipschitziana e´ uniformemente cont´ınua.
(?)
(ii) Toda transformac¸a˜o linear A : IRm → IRn e´ lipschitziana (mostre), logo uniformemente
cont´ınua e portanto cont´ınua.
(iii) Se ϕ : IRm× IRn → IRp e´ uma aplicac¸a˜o bilinear (linear em cada componente) enta˜o ϕ
e´ lipschitziana em cada parte limitada de IRm × IRn = IRm+n.
Portanto toda aplicac¸a˜o bilinear e´ cont´ınua.
Exemplos: multiplicac¸a˜o de nu´meros reais ( ϕ(x, y) = x.y ); Produto Interno Canoˆnico
( < x, y > = x1y1 + . . .+ xnyn ); multiplicac¸a˜o de matrizes ( ϕ(A,B) = A.B )
Noc¸o˜es Topolo´gicas no IRn 11
(iv) As projec¸o˜es pii : IR
m → IR , dadas por pii(x) = xi ∀ x = (x1, x2, . . . , xm) ∈ IRm
( i = 1, 2, . . . ,m ), sa˜o lineares, logo lipschitzianas e portanto cont´ınuas.
1.5 Homeomorfismos
Definic¸a˜o 1.24. Dados os conjuntos X ⊂ IRm e Y ⊂ IRn , um HOMEOMORFISMO entre
X e Y e´ uma bijec¸a˜o cont´ınua f : X → Y cuja inversa f−1 : Y → X tambe´m e´ cont´ınua.
Diz-se enta˜o que X e Y sa˜o conjuntos homeomorfos.
Resultados imediatos:
(i) O inverso de um homeomorfismo e´ um homeomorfismo.
(ii) A composta de dois homeomorfismos e´ um homeomorfismo.
(iii) Se dois conjuntos X e Y sa˜o homeomorfos, eles possuem a mesma estrutura topolo´gica,
ou seja, um homeomorfismo “leva” abertos de X em abertos de Y e seu inverso “leva”
abertos de Y em abertos de X.
(?)
Exemplos:
1) Qualquer aplicac¸a˜o linear invert´ıvel A : IRn → IRn e´ um homeomorfismo.
2) As translac¸o˜es Ta : IR
m → IRm , onde Ta(x) = x+ a, a ∈ IRm (fixado).
3) As homotetias Hλ : IR
m → IRm , onde Hλ(x) = λ.x, 0 6= λ ∈ IR (fixado).
4) Duas bolas abertas quaisquer no IRm sa˜o homeomorfas, o mesmo ocorrendo com duas
bolas fechadas arbitra´rias no IRm ou duas esferas no mesmo espac¸o.
(?)
5) Toda bola aberta no IRm e´ homeomorfa ao espac¸o IRm.
(?)
6) Seja f : X ⊂ IRm → IRn uma aplicac¸a˜o cont´ınua. Seu GRA´FICO e´ o conjunto G ⊂
IRm × IRn formado pelos pontos (x, f(x)) , com x ∈ X . O domı´nio X e o gra´fico G da
aplicac¸a˜o cont´ınua f sa˜o homeomorfos.
12 CAPI´TULO 1
7) Sejam Sm =
{
x ∈ IRm+1 ; < x, x > = 1} ⊂ IRm+1 a esfera unita´ria m-dimensional e
p = (0, 0, . . . , 0, 1) ∈ Sm seu POLO NORTE.
A PROJEC¸A˜O ESTEREOGRA´FICA ϕ : Sm\ {p} → IRm e´ um homeomorfismo.
1.6 Compacidade
Definic¸a˜o 1.25. Um conjunto K ⊂ IRn sera´ dito um conjunto COMPACTO quando for
limitado e fechado.
Buscaremos agora novas caracterizac¸o˜es para os compactos do IRn:
Teorema 1.26.
(?)
Um subconjunto K ⊂ IRn e´ compacto se, e somente se, toda sequ¨eˆncia
(xk) ⊂ K possui uma subsequ¨eˆncia convergente para um ponto de K.
Teorema 1.27.
(?)
(Propriedade de Cantor) Dada uma sequ¨eˆncia “decrescente” de conjuntos
compactos e na˜o-vazios K1 ⊃ K2 ⊃ . . . ⊃ Ki ⊃ . . . , sua intersec¸a˜o K =
∞⋂
i=1
Ki (limitada e
fechada) na˜o e´ vazia.
Lema 1.28.
(?)
Todo conjunto X ⊂ IRn e´ separa´vel, isto e´, possui um subconjunto enumera´vel
E = {x1, x2, . . . , xl, . . .} ⊂ X, E denso em X.
Noc¸o˜es Topolo´gicas no IRn 13
Lema 1.29. (Lindelo¨f) Considere um conjunto arbitra´rio X ⊂ IRn . Toda cobertura aberta
X ⊂
⋃
Aλ admite uma subcobertura enumera´vel.
Chegamos enta˜o ao resultado que nos interessa:
Teorema 1.30. Um conjunto K ⊂ IRn e´ compacto se, e somente se, toda cobertura aberta de
K admite uma subcobertura finita.
Demonstrac¸a˜o:
(⇐) (Exerc´ıcio) (?)
(⇒) Borel-Lebesgue:
Suponhamos que K seja compacto (limitado e fechado).
Seja K ⊂
⋃
Aλ uma cobertura aberta de K.
Pelo Lema de Lindelo¨f, ela admite uma subcobertura enumera´vel
K ⊂
∞⋃
i=1
Aλi = Aλ1 ∪ Aλ2 ∪ . . .
Para cada i = 1, 2, 3, . . . ∈ IN ponha
Ki = K
⋂
(IRn\ (Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλi))
Ki ⊂ K (limitado) ⇒ Ki e´ limitado.
Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλi e´ aberto ⇒ IRn\ (Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλi) e´ fechado. Como K e´ fechado, temos
enta˜o que Ki e´ fechado.
Assim, para todo i ∈ IN, Ki e´ limitado e fechado.
Observemos agora que K ⊃ K1 ⊃ K2 ⊃ K3 ⊃ . . . ⊃ Ki ⊃ . . .
Dado x ∈ K, existe λi′ tal que x ∈ Aλi′ (pois K ⊂
∞⋃
i=1
Aλi ) ⇒ x 6∈ Ki′Logo
∞⋂
i=1
Ki = φ .
Pela Propriedade de Cantor, podemos concluir que existe i0 tal que Ki0 = φ e teremos
φ = Ki0 = K
⋂ (
X\ (Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλi0 )
) ⇒ K ⊂ (Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλi0 )
Portanto toda cobertura aberta de K admite uma subcobertura finita.
14 CAPI´TULO 1
Destacamos a seguir os principais resultados relativos a` compacidade:
Teorema 1.31. Seja K ⊂ IRm um conjunto compacto. Se f : K → IRn e´ uma aplicac¸a˜o
cont´ınua, enta˜o sua imagem f(K) e´ um conjunto compacto do IRn.
Corola´rio 1.
(?)
(Weierstrass) Toda func¸a˜o real cont´ınua f : K → IR definida num compacto
K ⊂ IRm atinge seu ma´ximo e seu mı´nimo em K, isto e´, existem pontos x1, x2 ∈ K tais que
f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2) para qualquer x ∈ K.
Corola´rio 2.
(?)
Seja K ⊂ IRm compacto. Toda aplicac¸a˜o cont´ınua f : K → IRn e´ fechada,
ou seja, se F ⊂ K e´ fechado, enta˜o f(F ) ⊂ IRn e´ fechado.
Corola´rio 3.
(?)
A inversa de uma bijec¸a˜o cont´ınua definida num compacto e´ uma func¸a˜o
cont´ınua, isto e´, toda bijec¸a˜o cont´ınua definida num conjunto compacto e´ um homeomorfismo
sobre sua imagem.
Teorema 1.32.
(?)
Toda aplicac¸a˜o cont´ınua f : K → IRn definida num conjunto compacto
K ⊂ IRm e´ uniformemente cont´ınua.
1.7 Conexidade
Definic¸a˜o 1.33. Uma CISA˜O de um conjunto X ⊂ IRn e´ uma decomposic¸a˜o X = A ∪ B ,
onde A e B sa˜o disjuntos ( A ∩B = φ ) e abertos em X.
Todo conjunto X ⊂ IRn admite a chamada CISA˜O TRIVIAL X = X ∪ φ .
Um conjunto X ⊂ IRn e´ dito CONEXO quando so´ admite a cisa˜o trivial. Caso contra´rio
ele e´ dito DESCONEXO.
Noc¸o˜es Topolo´gicas no IRn 15
Proposic¸a˜o 1.34.
(?)
Uma decomposic¸a˜o X = A ∪ B e´ uma cisa˜o de X se, e somente
se, nenhum dos conjuntos A, B conte´m um ponto aderente ao outro, ou seja, se tivermos
clA ∩B = φ = A ∩ clB .
Proposic¸a˜o 1.35.
(?)
X ⊂ IR e´ conexo se, e somente se, X e´ um intervalo da reta.
Destacamos a seguir o principal resultado relativo a` conexidade:
Teorema 1.36. Seja X ⊂ IRm um conjunto conexo. Se f : X → IRn e´ uma aplicac¸a˜o
cont´ınua, enta˜o sua imagem f(X) e´ um conjunto conexo do IRn.
Corola´rio 1.
(?)
(Teorema do Valor Intermedia´rio) Seja f : X → IR uma func¸a˜o real
cont´ınua, definida num conjunto conexo X ⊂ IRm . Se existem a, b ∈ X e d ∈ IR tais que
f(a) < d < f(b) , enta˜o existe c ∈ X tal que f(c) = d .
Veremos a seguir uma se´rie de resultados sobre conexidade:
Proposic¸a˜o 1.37.
(?)
(Teorema da Alfaˆndega) Seja X ⊂ IRn . Se um conjunto conexo
C ⊂ IRn conte´m um ponto a ∈ X e um ponto b 6∈ X , enta˜o C conte´m algum ponto da
fronteira de X.
Sugesta˜o: use que IRn = intX ∪ frX ∪ int (IRn\X)
Lema 1.38.
(?)
Seja X = A ∪ B uma cisa˜o do conjunto X ⊂ IRn . Se Y ⊂ X e´ conexo e
na˜o-vazio enta˜o ou Y ⊂ A ou Y ⊂ B .
16 CAPI´TULO 1
Proposic¸a˜o 1.39.
(?)
Se X ⊂ IRn e´ conexo e X ⊂ Y ⊂ clX , enta˜o Y e´ conexo.
Corola´rio 1. Se X ⊂ IRn e´ conexo e Y e´ formado a partir de X adicionando-se alguns ou
todos os pontos de seu fecho, enta˜o Y e´ conexo.
Teorema 1.40. A reunia˜o de uma famı´lia de conjuntos conexos com um ponto em comum e´
um conjunto conexo.
Corola´rio 1.
(?)
A fim de que X ⊂ IRn seja conexo e´ (necessa´rio e) suficiente que, para
quaisquer a, b ∈ X , exista um conjunto conexo Cab com a, b ∈ Cab ⊂ X .
Corola´rio 2.
(?)
Dados X ⊂ IRm e Y ⊂ IRn , o produto cartesiano X × Y ⊂ IRm+n e´
conexo se, e somente se, X e Y sa˜o conexos.
Definic¸a˜o 1.41. (Componentes conexas) Seja X ⊂ IRn . Para cada ponto x ∈ X , definimos
a COMPONENTE CONEXA do ponto x em X como sendo a reunia˜o Cx de todos os
subconjuntos conexos de X que conteˆm o ponto x.
E´ imediato que Cx e´ o maior subconjunto conexo (veja o teorema anterior) de X que
conte´m o ponto x.
Segue tambe´m que, dados dois pontos x, y ∈ X , suas componentes conexas Cx, Cy em
X, ou coincidem ou sa˜o disjuntas
(?)
.
Assim, a relac¸a˜o “x e y pertencem a` mesma componente conexa em X” e´ uma relac¸a˜o
de equivaleˆncia em X
(?)
e as componentes conexas dos pontos de X o dividem em classes de
equivaleˆncia, as quais denominaremos as COMPONENTES CONEXAS de X.
Noc¸o˜es Topolo´gicas no IRn 17
Proposic¸a˜o 1.42.
(?)
Seja h : X → Y um homeomorfismo. Se Cx e´ a componente conexa
do ponto x em X, enta˜o Dy = h(Cx) e´ a componente conexa do ponto y = h(x) em Y .
Portanto, um homeomorfismo h : X → Y estabelece uma bijec¸a˜o entre as componentes
conexas de X e as componentes conexas de Y .
(?)
(Exemplos)
Um CAMINHO num conjunto X ⊂ IRn e´ uma aplicac¸a˜o cont´ınua f : I → X definida
num intervalo I ⊂ IR.
Dizemos que os pontos a, b ∈ X PODEM SER LIGADOS POR UM CAMINHO EM X
quando existe um caminho f : I → X tal que a, b ∈ f(I)
Por exemplo, se X e´ convexo enta˜o cada dois pontos a, b ∈ X podem ser ligados por um
caminho em X, a saber, o caminho retil´ıneo [a, b] = { t.a+ (1− t).b ; t ∈ [0, 1] }.
Se a, b ∈ X podem ser ligados por um caminho f : I → X enta˜o existe um caminho
ϕ : [0, 1]→ X tal que ϕ(0) = a e ϕ(1) = b. (?)
Um conjunto X ⊂ IRn e´ dito CONEXO POR CAMINHOS quando cada dois pontos
a, b ∈ X podem ser ligados por um caminho em X.
Por exemplo: todo conjunto convexo e´ conexo por caminhos.
Teorema 1.43. Todo conjunto conexo por caminhos e´ conexo. (Exerc´ıcio)
Obs.: Nem todo conjunto conexo e´ conexo por caminhos:
Exemplo: X = {(x, sen 1/x) ; x ∈ (0,+∞)} ∪ {(0, 0)} ⊂ IR2 e´ conexo mas na˜o e´ conexo
por caminhos.
Isto na˜o ocorre se o conjunto em questa˜o for aberto:
Teorema 1.44. Se A ⊂ IRn e´ aberto e conexo enta˜o A e´ conexo por caminhos.
Prova: Exerc´ıcio.
18 CAPI´TULO 1
1.8 Norma de uma transformac¸a˜o linear
Seja A : IRm → IRn uma transformac¸a˜o linear.
Fixadas duas normas: ‖ ‖m em IRm e ‖ ‖n em IRn , existe c > 0 tal que
‖Ax‖n ≤ c. ‖x‖m ∀ x ∈ IRm
Temos enta˜o: ‖x‖m = 1 ⇒ ‖Ax‖n ≤ c e podemos definir ...
Definic¸a˜o 1.45. Fixadas duas normas: ‖ ‖m em IRm e ‖ ‖n em IRn , definimos
uma norma
(?)
em L(IRm; IRn) = Mn×m(IR) = IRnm pondo, para cada transformac¸a˜o linear
A : IRm → IRn ∈ L(IRm; IRn) :
‖A‖ = sup { ‖Ax‖n ; ‖x‖m = 1 }
Proposic¸a˜o 1.46. Nas condic¸o˜es da definic¸a˜o acima, temos:
‖A‖ = sup { ‖Ax‖n ; ‖x‖m ≤ 1 }
= inf { c > 0 ; ‖Ax‖n ≤ c. ‖x‖m ∀ x ∈ IRm }
Obs.: Note que para cada par de normas fixadas, em IRm e IRn, temos uma norma
em L(IRm; IRn) = Mn×m(IR) = IRnm . De qualquer jeito, na˜o vamos esquecer que as normas
obtidas neste u´ltimo espac¸o sa˜o todas equivalentes.
Proposic¸a˜o 1.47.
(?)
Nas mesmas condic¸o˜es da definic¸a˜o anterior, temos:
‖Ax‖n ≤ ‖A‖ . ‖x‖m ∀ x ∈ IRm
‖AB‖ ≤ ‖A‖ . ‖B‖ se B ∈ L(IRp; IRm) e A ∈ L(IRm; IRn)
Obs.: Na segunda parte da proposic¸a˜o acima, consideramos a mesma norma em IRm .
Noc¸o˜es Topolo´gicas no IRn 19
1.9 Exerc´ıcios
1. Se c ∈ [a, b] = { t.a+ (1− t).b ; t ∈ [0, 1] } enta˜o ‖b− a‖ = ‖b− c‖+ ‖c− a‖ . Se a norma
prove´m de um produto interno, vale a rec´ıproca. Para uma norma arbitra´ria, pode-se ter a
igualdade acima com c 6∈ [a, b] .
2. Se a norma prove´m de um produto interno e a 6= b em IRn sa˜o tais que ‖a‖ ≤ r e ‖b‖ ≤ r
enta˜o ‖(1− t).a+ t.b‖ < r para todo t ∈ (0, 1) (ou seja, a esfera na˜o conte´m segmentos de
reta).
3. Qualquer que seja a norma adotada no IRn (n > 1), a esfera unita´ria Sn−1 = {x ∈ IRn ; ‖x‖ = 1 }
e´ um conjunto infinito.
4. Um conjunto X ⊂ IRn e´ dito CONVEXO quando, para todos os pares de pontos a, b ∈ X,
o SEGMENTO (RETILI´NEO) [a, b] = { t.a+ (1− t).b ; t ∈ [0, 1] } que os liga cumpre [a, b] ⊂
X . Mostre que a intersec¸a˜o de uma famı´lia arbitra´ria de conjuntos convexos e´ um conjunto
convexo.
5. Dado X ⊂ IRn, a ENVOLTO´RIA CONVEXA DE X e´ a intersec¸a˜o co (X) de todos os
subconjuntos convexos do IRn que conteˆm X. Prove que co (X) e´ o conjunto de todas as
combinac¸o˜es lineares α1x1 + . . . + αkxk tais que x1, . . . , xk ∈ X , α1 ≥ 0, . . . , αk ≥ 0 eα1 + . . .+ αk = 1 .
6. Mostre que o fecho de qualquer conjunto convexo no IRn e´ tambe´m convexo.
7. As seguintes afirmac¸o˜es a respeito de uma sequ¨eˆncia (xk) de pontos do IR
n sa˜o equivalentes:
(a) lim ‖xk‖ = +∞ ;
(b) (xk) na˜o possui subsequ¨eˆncia convergente ;
(c) Para todo conjunto limitado L ⊂ IRn, o conjunto dos ı´ndices k tais que xk ∈ L e´ finito.
8. Prove que limxk = a em IR
n se, e so´ se, lim < xk, y > = < a, y > para todo y ∈ IRn .
9. Toda matriz n× n e´ limite de uma sequ¨eˆncia de matrizes invert´ıveis n× n .
10. Se nenhum ponto do conjunto X ⊂ IRn e´ ponto de acumulac¸a˜o enta˜o se pode escolher,
para cada ponto x ∈ X, uma bola aberta Bx, de centro x, de tal maneira que, para x 6= y
em X se tenha Bx ∩By = φ .
11. Todo conjunto discreto e´ enumera´vel. Em outras palavras: todo conjunto na˜o-enumera´vel
conte´m (pelo menos) um ponto de acumulac¸a˜o.
20 CAPI´TULO 1
12. Se A ⊂ IRn e´ aberto enta˜o sua fronteira frA tem interior vazio. Deˆ exemplo de um
conjunto X ⊂ IRn cuja fronteira frX seja um conjunto aberto.
13. Se F ⊂ IRn e´ fechado enta˜o sua fronteira frF tem interior vazio.
14. Seja E ⊂ IRn um subespac¸o vetorial. Se E 6= IRn enta˜o intE = φ .
15. A ⊂ IRn e´ aberto se, e somente se, A ∩ cl (IRn\A) = φ .
16. Seja B(X; �) a reunia˜o das bolas abertas B(x; �) de raio � e centro em algum ponto
x ∈ X . Prove que clX =
⋂
�>0
B(X; �) .
17. (i) Mostre que para toda sequ¨eˆncia decrescente F1 ⊃ F2 ⊃ . . . ⊃ Fk ⊃ . . . de conjuntos
fechados e na˜o-vazios Fk ⊂ IRn , com lim diamFk = 0 ( diamX = sup { d(x, y) ; x, y ∈ X} ),
existe um ponto a ∈ IRn tal que
∞⋂
k=1
Fk = {a}.
(ii) (Teorema de Baire) Mostre que se F =
∞⋃
k=1
Fk , onde cada Fk e´ fechado em IR
n e tem
interior vazio, enta˜o intF = φ . (Sugesta˜o: olhe o livro sobre Espac¸os Me´tricos do Elon)
(iii) O que podemos concluir se IRn =
∞⋃
k=1
Fk , onde cada Fk e´ fechado no IR
n ?
18. Seja f : X → IRn cont´ınua. Dada uma sequ¨eˆncia xk em X com limxk = a ∈ X e
‖f(xk)‖ ≤ c para todo k ∈ IN enta˜o ‖f(a)‖ ≤ c .
19. Sejam f, g : X → IRn cont´ınuas no ponto a ∈ X . Se f(a) 6= g(a) enta˜o existe uma
bola B de centro a tal que x, y ∈ B ⇒ f(x) 6= g(x) .
20. Seja f : X → IRn cont´ınua no ponto a ∈ X . Se f(a) na˜o pertence a B[b; r] ⊂ IRn
enta˜o existe δ > 0 tal que x ∈ X, ‖x− a‖ < δ ⇒ f(x) 6∈ B[b; r] .
21. Sejam f : X → IRn e a ∈ X . Suponha que, para todo � > 0 , exista g : X → IRn ,
cont´ınua no ponto a, tal que ‖f(x)− g(x)‖ < � para todo x ∈ X . Enta˜o f e´ cont´ınua no
ponto a .
22. Seja f : IRm → IRn cont´ınua. Se X ⊂ IRm e´ limitado enta˜o f(X) ⊂ IRn e´ limitado.
23. Se f : IRm → IRn e´ cont´ınua enta˜o, para cada parte limitada x ⊂ IRm , a restric¸a˜o f |X
e´ uniformemente cont´ınua.
Noc¸o˜es Topolo´gicas no IRn 21
24. Se a aplicac¸a˜o linear A : IRm → IRn e´ injetiva, enta˜o existe c > 0 tal que ‖Ax‖ ≥ c ‖x‖
para todo x ∈ IRm .
25. Se B e´ a bola aberta de centro na origem e raio 1 no IRn, a aplicac¸a˜o cont´ınua f : B → IRn
definida por f(x) =
x
1− ‖x‖ na˜o e´ uniformemente cont´ınua.
26. Considerando as sequ¨eˆncias de pontos zk = (k, 1/k) e wk = (k, 0) no IR
2 , prove que
a aplicac¸a˜o ϕ : IR2 → IR dada por ϕ(x, y) = xy na˜o e´ uniformemente cont´ınua. Use
um argumento ana´logo para provar que uma aplicac¸a˜o bilinear ϕ : IRm × IRn → IRp so´ e´
uniformemente cont´ınua se for identicamente nula.
27. O cone C =
{
(x, y, z) ∈ IR3 ; z ≥ 0 , x2 + y2 − z = 0 } e´ homeomorfo ao IR2 .
28. Estabelec¸a um homeomorfismo entre IRn+1\ {0} e Sn × IR .
29. O quadrante P =
{
(x, y) ∈ IR2 ; x ≥ 0 , y ≥ 0 } e´ homeomorfo ao semi-plano superior
S = { (x, y) ; y ≥ 0 } .
30. Os conjuntos X =
{
(x, y) ∈ IR2 ; y = 0 , 0 < x < 1 } e Y = { (x, y) ∈ IR2 ; y = 0 }
sa˜o homeomorfos, mas na˜o existe um homeomorfismo h : IR2 → IR2 tal que h(X) = Y .
31. Estabelec¸a um homeomorfismo entre os conjuntos X = { x ∈ IRn ; 0 < ‖x‖ ≤ 1 } (bola
unita´ria fechada menos a origem) e Y = { y ∈ IRn ; ‖y‖ ≥ 1 } (complementar da bola unita´ria
aberta).
32. Seja f : IR2 → IR definida por f(x, y) = (x
2 − y)y
x4
se 0 < y < x2 e f(x, y) = 0 nos
demais pontos. Prove que o limite de f(x, y) e´ zero quando (x, y) tende para (0, 0) ao
longo de qualquer reta que passe pela origem, mas na˜o se tem lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0 .
33. Seja f : IR2 → IR definida por f(0, 0) = 0 e f(x, y) = x
2 − y2
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0) .
Mostre que lim
x→0
(
lim
y→0
f(x, y)
)
6= lim
y→0
(
lim
x→0
f(x, y)
)
.
34. O conjunto das matrizes invert´ıveis n× n e´ aberto no IRn2 .
35. O conjunto das aplicac¸o˜es lineares injetivas e´ aberto em L(IRm; IRn) . Idem para as
sobrejetivas.
36. f : X → IRn e´ cont´ınua se, e so´ se, para todo Y ⊂ X , tem-se f(X ∩ clY ) ⊂ cl f(Y ) .
22 CAPI´TULO 1
37. O conjunto das matrizes n × n com determinante 1 e´ um conjunto fechado, ilimitado e
com interior vazio em IRn
2
.
38. O conjunto dos valores de adereˆncia de uma sequ¨eˆncia limitada e´ um conjunto compacto
e na˜o-vazio.
39. As matrizes ortogonais n× n formam um subconjunto compacto do IRn2 .
40. Todo conjunto infinito X ⊂ IRn possui um subconjunto na˜o-compacto.
41. Seja X ⊂ IRn . Se todo conjunto homeomorfo a X for limitado, enta˜o X e´ compacto.
42. Seja f : IRm → IRn cont´ınua. As seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes:
(a) lim
x→∞
f(x) =∞ ;
(b) A imagem inversa f−1(K) de todo compacto K ⊂ IRn e´ compacta.
43. Sejam X ⊂ IRm , K(compacto) ⊂ IRn , f : X ×K → IRp cont´ınua e c ∈ IRp . Suponha
que, para cada x ∈ X , exista um u´nico y ∈ K tal que f(x, y) = c . Prove que esse y
depende continuamente de x .
44. Toda aplicac¸a˜o localmente lipschitziana definida num conjunto compacto e´ lipschitziana.
45. Um subconjunto conexo na˜o-vazio X ⊂ Qn consta de um u´nico ponto.
46. Um conjunto conexo enumera´vel X ⊂ IRn possui no ma´ximo um ponto.
47. O conjunto das matrizes invert´ıveis n× n e´ um aberto desconexo em IRn2 . Tambe´m e´
desconexo (mas na˜o aberto) o conjunto das matrizes ortogonais.
48. Se X ⊂ IRn e´ compacto, enta˜o toda aplicac¸a˜o cont´ınua aberta f : X → Sn e´ sobrejetiva.
49. Seja X ⊂ IRm . Uma aplicac¸a˜o f : X → IRn diz-se localmente constante quando
para cada x ∈ X existe uma bola B de centro x tal que f |(B∩X) e´ constante. X e´ conexo
se, e somente se, toda aplicac¸a˜o localmente constante f : X → IRn e´ constante.
50. Se X ⊂ IRn e´ conexo por caminhos e f : X → IRn e´ cont´ınua, enta˜o f(X) e´ conexo
por caminhos.
51. Se X ⊂ IRm e Y ⊂ IRn sa˜o conexos por caminhos enta˜o X × Y ⊂ IRm+n e´ conexo por
caminhos.
Noc¸o˜es Topolo´gicas no IRn 23
52. A reunia˜o de uma famı´lia de conjuntos conexos por caminhos com um ponto em comum
e´ conexa por caminhos.
53. O fecho de um conjunto conexo por caminhos pode na˜o ser conexo por caminhos.
54. As componentes conexas de um subconjunto aberto em IRn sa˜o conjuntos abertos.
55. Dada uma aplicac¸a˜o linear A : IRm → IRn e fixadas normas em IRm e IRn, a imagem por
A da esfera unita´ria S = { x ∈ IRm ; ‖x‖ = 1 } e´ um conjunto limitado no IRn . Pondo, para
cada A ∈ L(IRm; IRn) , ‖A‖ = sup { ‖Ax‖ ; x ∈ S } , a func¸a˜o A 7→ ‖A‖ e´ uma norma no
espac¸o vetorial L(IRm; IRn) , para a qual vale a desigualdade ‖Ax‖ ≤ ‖A‖ · ‖x‖ para todo
x ∈ IRm . Ale´m disso, se A ∈ L(IRm; IRn) e B ∈ L(IRn; IRp) enta˜o, fixadas normas em
IRm , IRn e IRp , tem-se ‖BA‖ ≤ ‖B‖ · ‖A‖ .
56. Seja G o grupo das matrizes invert´ıveis n×n . Mostre que se A ∈ G e ‖Ax‖ ≥ |c| . ‖x‖
para todo x ∈ IRn enta˜o ‖A−1‖ ≤ 1/c . Conclua que se X ∈ G e ‖X − A‖ < c/2 enta˜o
‖X−1‖ ≤ 2/c . Em seguida, use a identidade X−1 − A−1 = X−1(I − XA−1) para mostrar
que lim
X→A
X−1 = A−1 . Logo, f : G→ G dada por f(X) = X−1 e´ cont´ınua.
57. Dada A ∈ L(IRm; IRn) , supomos fixadas normas em IRm e IRn e definimos, como antes,
‖A‖ = sup { ‖Ax‖ ; x ∈ IRm , ‖x‖ =1 } . Mostre que, com essa definic¸a˜o de ‖A‖ , temos
tambe´m ‖A‖ = inf { c ∈ IR ; ‖Ax‖ ≤ c ‖x‖ para todo x ∈ IRm } .
58. Defina convergeˆncia e convergeˆncia absoluta (ou normal) de uma se´rie
∑
xk , cujos
termos xk = (xk1, xk2, . . . , xkn) pertencem ao IR
n . Prove que a se´rie
∑
xk converge (resp.
converge absolutamente) se, e somente se, para cada i = 1, . . . , n , a se´rie
∑
k xki converge
(resp. converge absolutamente). Conclua que toda se´rie absolutamente convergente no IRn e´
convergente.
59. Dada uma sequ¨eˆncia de aplicac¸o˜es lineares Ak : IR
m → IRn , suponha que para todo
x ∈ IRm exista Ax = lim
k→∞
Akx . Prove que a aplicac¸a˜o linear A : IR
m → IRn assim definida e´
linear, que limAk = A relativamente a qualquer norma em L(IR
m; IRn) e que a convergeˆncia
Akx→ Ax e´ uniforme em qualquer parte limitada de IRm .
60. Mostre que para toda aplicac¸a˜o X ∈ L(IRn) ' IRn2 , a se´rie
∞∑
k=0
Xk
k!
e´ absolutamente
convergente. Indiquemos sua soma por eX . Usando que eX · eY = eX+Y se XY = Y X ,
conclua que para toda X ∈ L(IRn) temos que eX e´ invert´ıvel, com (eX)−1 = e−X .
24 CAPI´TULO 1
Cap´ıtulo 2
Diferenciabilidade
2.1 Definic¸a˜o: diferenciabilidade de uma aplicac¸a˜o
Definic¸a˜o 2.1. Uma aplicac¸a˜o f : U → IRn , definida no aberto U ⊂ IRm diz-se diferencia´vel
no ponto a ∈ U quando existe uma transformac¸a˜o linear T : IRm → IRn tal que, para todo
v ∈ IRm com a+ v ∈ U , temos
f(a+ v) = f(a) + T (v) + r(v) com lim
v→0
r(v)
‖v‖ = 0
A diferenciabilidade de f no ponto a significa que podemos obter uma “boa aproximac¸a˜o
linear”para f numa vizinhanc¸a de a. Essa boa aproximac¸a˜o de f(a+ v) por f(a)+T (v) numa
vizinhanc¸a de a e´ expressa pela condic¸a˜o lim
v→0
r(v)
‖v‖ = 0.
Pondo ρ(v) =
r(v)
‖v‖ se v 6= 0 e ρ(0) = 0 , podemos exprimir a diferenciabilidade de f no
ponto a por:
f(a+ v) = f(a) + T (v) + ρ(v) · ‖v‖ com lim
v→0
ρ(v) = 0
Alguns resultados imediatos:
Seja f : U(aberto) ⊂ IRm → IRn uma aplicac¸a˜o diferencia´vel no ponto a ∈ U .
Enta˜o existe uma transformac¸a˜o linear T : IRm → IRn tal que, para todo v ∈ IRm com
a+ v ∈ U :
f(a+ v) = f(a) + T (v) + ρ(v) · ‖v‖ com lim
v→0
ρ(v) = 0
25
26 CAPI´TULO 2
(A) f e´ cont´ınua em a
Antes do pro´ximo resultado apresentaremos o conceito de derivada direcional.
Seja f : U → IRn definida num aberto U ⊂ IRm.
A derivada direcional de f num ponto a ∈ U , relativamente a um vetor v ∈ IRm e´, por
definic¸a˜o:
∂f
∂v
(a) = lim
t→0
f(a+ tv)− f(a)
t
∈ IRn quando existir tal limite
Se f = (f1, f2, . . . , fn) , onde fi : U → IR (i = 1, . . . , n) sa˜o as func¸o˜es coordenadas de
f , enta˜o
∂f
∂v
(a) =
(
∂f1
∂v
(a) , . . . ,
∂fn
∂v
(a)
)
Quando v = ej e´ o j-e´simo vetor da base canoˆnica do IR
m, escrevemos
∂f
∂xj
(a).
(B) T (v) =
∂f
∂v
(a) ∀ v ∈ IRm
Diferenciabilidade 27
Consequ¨eˆncias de (B):
(i) A derivada direcional de f em a , se f e´ diferencia´vel em a, depende linearmente do
vetor relativamente ao qual e´ considerada.
(ii) A transformac¸a˜o linear T : IRm → IRn que da´ a boa aproximac¸a˜o para f perto de
a e´ u´nica e chamada a derivada de f no ponto a , que indicaremos por f ′(a) ou Df (a).
(iii) Podemos obter a matriz que representa a transformac¸a˜o linear f ′(a) em relac¸a˜o a`s
bases canoˆnicas de IRm e IRn, que sera´ uma n×m matriz chamada a matriz jacobiana de f
no ponto a e indicada por Jf(a). Sua j-e´sima coluna e´ dada por
f ′(a).ej = T (ej) =
∂f
∂xj
(a) =
(
∂f1
∂xj
(a) , . . . ,
∂fn
∂xj
(a)
)
∈ IRn
onde ej e´ o j-e´simo vetor da base canoˆnica do IR
m (j = 1, 2, . . . ,m).
Enta˜o:
Jf(a) = [f ′(a)] =

∂f1
∂x1
(a)
∂f1
∂x2
(a) . . .
∂f1
∂xm
(a)
∂f2
∂x1
(a)
∂f2
∂x2
(a) . . .
∂f2
∂xm
(a)
...
...
...
∂fn
∂x1
(a)
∂fn
∂x2
(a) . . .
∂fn
∂xm
(a)

(C) Temos: f(a+ v) = f(a) + f ′(a)(v) + r(v) com lim
v→0
r(v)
‖v‖ = 0
Se f = (f1, f2, . . . , fn) e r = (r1, r2, . . . , rn) , a condic¸a˜o acima e´ equivalente a
fi(a+ v) = fi(a) +
[
∂fi
∂x1
(a)
∂fi
∂x2
(a) . . .
∂fi
∂xm
(a)
]
· v + ri(v) com lim
v→0
ri(v)
‖v‖ = 0
para todo ∀ i = 1, 2, . . . , n.
Temos enta˜o o ...
28 CAPI´TULO 2
Teorema 2.2. A aplicac¸a˜o f : U → IRn e´ diferencia´vel no ponto a ∈ U se, e somente se,
cada uma das suas func¸o˜es coordenadas f1, f2, . . . , fn : U → IR e´ diferencia´vel em a.
Corola´rio 1. A aplicac¸a˜o f = (g, h) : U → IRn × IRp , dada por f(x) = (g(x), h(x)) e´
diferencia´vel no ponto a ∈ U se, e somente se, cada uma das aplicac¸o˜es g : U → IRn e
h : U → IRp e´ diferencia´vel em a.
Em caso afirmativo, temos: f ′(a) = (g′(a), h′(a)) : IRm → IRn × IRp.
2.2 Exemplos de aplicac¸o˜es diferencia´veis
A) Aplicac¸o˜es constantes: Uma aplicac¸a˜o constante e´ diferencia´vel em todo ponto e sua
derivada em qualquer ponto e´ a transformac¸a˜o linear nula O .
B) Transformac¸o˜es lineares: Qualquer transformac¸a˜o linear T : IRm → IRn e´ diferen-
cia´vel em todos os pontos a ∈ IRm e DT (a) = T ′(a) = T ∀ a ∈ IRm.
C) Aplicac¸o˜es bilineares: Qualquer aplicac¸a˜o bilinear ϕ : IRm×IRn → IRp e´ diferencia´vel
em cada ponto (a, b) ∈ IRm × IRn e ϕ′(a, b) = Dϕ(a, b) : IRm × IRn → IRp e´ a transformac¸a˜o
linear dada por:
ϕ′(a, b) (v, w) = ϕ(v, b) + ϕ(a, w) ∀ (v, w) ∈ IRm × IRn
Diferenciabilidade 29
D) Aplicac¸o˜es k-lineares: Qualquer aplicac¸a˜o k-linear µ : IRm1× IRm2× . . .× IRmk → IRp
e´ diferencia´vel em cada ponto (a1, a2, . . . , ak) e
Dµ(a1, . . . , ak) (v1, . . . , vk) = µ(v1, a2, . . . , ak) + µ(a1, v2, a3, . . . , ak)+. . .+ µ(a1, . . . , ak−1, vk)
Exemplo: det : IRn
2
= IRn × IRn × . . .× IRn → IR e´ n-linear e portanto e´ diferencia´vel em
cada n× n matriz real A. Dada A = (A1, A2, . . . , An) , onde cada Ai = (ai1 ai2 . . . ain) e´
a i-e´sima linha de A, temos que det′(A) : IRn
2 → IR e´ a transformac¸a˜o linear dada por
det′(A)(V ) =
n∑
i=1
det(A1, . . . , Ai−1, Vi, Ai+1, . . . , An) ∀ n× n matriz real V
30 CAPI´TULO 2
E) A derivada da “ana´lise na reta” :
Sejam f : U (aberto) ⊂ IR→ IR e a ∈ U .
Dizemos que existe a derivada de f em a quando existir o limite
lim
t→0
f(a+ t)− f(a)
t
= f ′(a) ∈ IR
Ja´ vimos que f e´ deriva´vel em a se, e somente se, existir uma constante c ∈ IR tal que,
para todo t ∈ IR onde a+ t ∈ U , tenhamos
f(a+ t) = f(a) + c · t + r(t) com lim
t→0
r(t)
t
= 0
Em caso afirmativo, temos ainda que f ′(a) = c.
Se considerarmos a transformac¸a˜o linear T : IR→ IR dada por T (x) = c.x ∀x ∈ IR e
observarmos que lim
t→0
r(t)
t
= 0 ⇔ lim
t→0
r(t)
|t| = 0 podemos enta˜o concluir que
f e´ deriva´vel em a ⇔ f e´ diferencia´vel em a
F) Caminhos diferencia´veis:
Um caminho em IRn e´ uma aplicac¸a˜o f : I → IRn cujo domı´nio e´ um intervalo I ⊂ IR.
O vetor velocidade (vetor tangente) do caminho f : I → IRn em um ponto a ∈ int I e´
definido por:
df
dt
(a) = lim
t→0
f(a+ t)− f(a)
t
∈ IRn desde que esse limite exista
Diferenciabilidade 31
Temos f = (f1, f2, . . . , fn) , fi : I → IR , i = 1, 2, . . . , n.
O caminho f possui vetor velocidade em um ponto a se, e somente se, cada fi for deriva´vel
(ou seja, diferencia´vel) em a. Isto ocorrera´ portanto se, e somente se, f for diferencia´vel em
a. (ver teorema 2.2).
Teremos, em caso afirmativo:
df
dt
(a) =

df1
dt
(a)
...
dfn
dt
(a)
 =

f ′1(a)
...
f ′n(a)

que pode ser “visto” tanto como um vetor em IRn (o vetor velocidade
df
dt
(a) de f em a)
quanto como uma transformac¸a˜o linear de IR em IRn (a derivada de f em a, dada por
f ′(a)(t) =
df
dt
(a) · t ).
Aplicac¸a˜o: Dada uma aplicac¸a˜o f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn diferencia´velem a ∈ U ,
tentaremos obter, via caminhos, uma interpretac¸a˜o para f ′(a)(v) , onde v ∈ IRm.
Dado v ∈ IRm, consideremos um caminho α : (−�, �)→ U ⊂ IRm dado por
α(t) = a+ tv
Temos que ∃ dα
dt
(0) = lim
t→0
α(0 + t)− α(0)
t
= lim
t→0
a+ tv − a
t
= v (v e´ o vetor veloci-
dade de α em t = 0)
Geometricamente, a imagem do caminho α e´ uma curva (neste caso um segmento de reta)
em U , passando pelo ponto a e tendo v como vetor tangente em a.
Vamos agora olhar para o caminho γ = f ◦ α : (−�, �) → f(U) ⊂ IRn , correspondente a`
aplicac¸a˜o de f ao caminho α (composic¸a˜o).
Geometricamente, a imagem do caminho γ e´ uma curva em f(U) , passando por f(a).
Temos:
∃ dγ
dt
(0) = lim
t→0
(f ◦ α)(t)− (f ◦ α)(0)
t
= lim
t→0
f(a+ tv)− f(a)
t
=
∂f
∂v
(a) = f ′(a)(v)
32 CAPI´TULO 2
Portanto, f ′(a)(v) e´ o vetor velocidade de γ em t = 0 (geometricamente, e´ o vetor tangente
a` imagem de γ, em f(a) ):
G) Func¸o˜es de uma varia´vel complexa:
Seja f : U ⊂ C→ C func¸a˜o de uma varia´vel complexa z definida num aberto U ⊂ C.
f e´ deriva´vel em z0 ∈ U quando existe o limite
lim
h→0
f(z0 + h)− f(z0)
h
= f ′(z0)
Temos que f e´ deriva´vel em z0 se, e somente se, existe uma constante complexa
c = a+ ib tal que, se z0 + h ∈ U , temos
f(z0 + h) = f(z0) + c · h+ r(h) com lim
h→0
r(h)
h
= 0
Em caso afirmativo, temos ainda f ′(z0) = c = a+ ib.
Seja f : U (aberto) ⊂ C→ C deriva´vel em z0 ∈ U com f ′(z0) = a+ ib ∈ C.
Pela associac¸a˜o C ↔ IR2 , que faz corresponder a cada complexo x+ iy o par (x, y) e
vice-versa, podemos enxergar f como uma aplicac¸a˜o definida num aberto U ⊂ IR2 e tomando
valores em IR2: f : U ⊂ IR2 → IR2 , z0 = (x0, y0)
f(z) = f(x+ iy) = u(x, y) + iv(x, y) ⇒ f(x, y) = (u(x, y), v(x, y))
Consideremos a transformac¸a˜o linear T : IR2 → IR2 correspondente a` multiplicac¸a˜o pelo
nu´mero complexo c = a+ ib
Diferenciabilidade 33
Dado h ∈ IR2 tal que z0 + h ∈ U temos:
f(z0 + h) = f(z0) + T (h) + r(h) com lim
h→0
r(h)
‖h‖ = 0
Portanto f(x, y) = (u(x, y), v(x, y)) vista como aplicac¸a˜o f : U ⊂ IR2 → IR2 e´ diferen-
cia´vel no ponto z0 = (x0, y0) e temos ainda:
H) Inversa˜o de matrizes:
Seja U = GL(IRn) o conjunto das n× n matrizes invert´ıveis.
Temos que o conjunto U ⊂ IRn2 e´ aberto em IRn2 (espac¸o das n × n matrizes), pois
U = det−1 (IR \ {0}) e det e´ uma func¸a˜o cont´ınua.
Seja f : U → IRn2 dada por f(X) = X−1 (inversa˜o da matriz X) ∀ X ∈ U .
Esta aplicac¸a˜o f e´ diferencia´vel em toda matriz A ∈ U e sua derivada em cada matriz
A ∈ U e´ a transformac¸a˜o linear f ′(A) : IRn2 → IRn2 dada por:
f ′(A)(V ) = −A−1 · V · A−1
34 CAPI´TULO 2
2.3 Func¸o˜es reais de m varia´veis
Seja f : U ⊂ IRm → IR uma func¸a˜o real de m varia´veis definida num aberto U ⊂ IRm.
Temos: f e´ diferencia´vel em a ∈ U se, e somente se, existe uma transformac¸a˜o linear
T : IRm → IR (funcional linear) tal que, sempre que a+ v ∈ U , temos:
f(a+ v) = f(a) + T (v) + r(v) com lim
v→0
r(v)
‖v‖ = 0
Em caso afirmativo, temos T = f ′(a) ∈ (IRm)∗ , derivada de f em a.
Equivalentemente, f e´ diferencia´vel em a ∈ U se, e somente se, existirem constantes
A1, A2, . . . , Am tais que, para todo v = (v1, v2, . . . , vm) ∈ IRm com a+ v ∈ U , tem-se:
f(a+ v) = f(a) + A1v1 + A2v2 + . . .+ Amvm + r(v) com lim
v→0
r(v)
‖v‖ = 0
Como Jf(a) =
[
∂f
∂x1
(a)
∂f
∂x2
(a) . . .
∂f
∂xm
(a)
]
, chegamos a outra definic¸a˜o equivalente:
f e´ diferencia´vel em a ∈ U se, e so´ se, existirem as derivadas parciais ∂f
∂x1
(a), . . . ,
∂f
∂xm
(a)
e, para todo vetor v = (v1, v2, . . . , vm) ∈ IRm com a+ v ∈ U tivermos
f(a+ v) = f(a) +
∂f
∂x1
(a).v1 + . . .+
∂f
∂xm
(a).vm + r(v) com lim
v→0
r(v)
‖v‖ = 0
Diferenciabilidade 35
A diferencial
Seja f : U (aberto) ⊂ IRm → IR uma func¸a˜o diferencia´vel em a ∈ U .
Sua derivada f ′(a) , em a, e´ uma transformac¸a˜o linear f ′(a) : IRm → IR, ou seja, um
funcional linear sobre IRm, que denotaremos por df(a) e chamaremos a diferencial de f
no ponto a:
df(a) = f ′(a) : IRm → IR , df(a) ∈ (IRm)∗
Para todo vetor v = (v1, v2, . . . , vm) ∈ IRm, temos: df(a)(v) = ∂f
∂v
(a) =
m∑
j=1
∂f
∂xj
(a).vj
Nosso interesse agora sera´, uma vez que df(a) ∈ (IRm)∗, exprimir df(a) como combinac¸a˜o
linear de funcionais que formem uma base de (IRm)∗. Para tal, utilizaremos a base dual da
base canoˆnica de IRm:
Sejam B = {e1, e2, . . . , em} a base canoˆnica do IRm e B∗ sua base dual, em (IRm)∗.
Temos B∗ = {pi1, pi2, . . . , pim} , onde pij : IRm → IR e´ dado por pij(x1, . . . , xm) = xj , para
todo j = 1, 2, . . . ,m (pij e´ a projec¸a˜o na j-e´sima coordenada).
E´ comum denotarmos pij por xj . Logo B∗ = {x1, x2, . . . , xm} (aqui cada xj e´ um
funcional linear).
Para todo j = 1, . . . ,m temos que xj = pij : IR
m → IR e´ uma transformac¸a˜o linear, logo
diferencia´vel em todos os pontos de IRm e sua derivada (diferencial) em cada ponto e´ a pro´pria
transformac¸a˜o linear xj .
Portanto: xj = dxj(x) ∀ x ∈ IRm, ∀ j = 1, . . . ,m. Logo escreveremos xj = dxj , para
todo j = 1, . . . ,m.
Assim, B∗ = {dx1, dx2, . . . , dxm} e´ a base dual da base canoˆnica do IRm.
Para todo j = 1, . . . ,m temos: df(a)(ej) =
∂f
∂xj
(a) e pela relac¸a˜o entre B e B∗ , temos:
df(a) =
∂f
∂x1
(a).dx1 +
∂f
∂x2
(a).dx2 + . . . +
∂f
∂xm
(a).dxm
Conseguimos portanto escrever df(a) como combinac¸a˜o linear dos funcionais da base B∗
(que sa˜o tambe´m diferenciais), dual da base canoˆnica B de IRm.
36 CAPI´TULO 2
Uma u´til condic¸a˜o suficiente
Teorema 2.3. Se uma func¸a˜o f : U (aberto) ⊂ IRm → IR possui derivadas parciais em todos
os pontos de uma vizinhanc¸a de a ∈ U e cada uma delas e´ cont´ınua no ponto a ∈ U , enta˜o
f e´ diferencia´vel em a.
Diferenciabilidade 37
Um exemplo interessante
Seja f : U ⊂ IR2 → IR uma func¸a˜o cont´ınua definida num aberto U ⊂ IR2.
Considere o conjunto S = gr f = {(x, y, f(x, y)); (x, y) ∈ U} ⊂ IR3 (gra´fico de f).
Seja g : U → S a aplicac¸a˜o dada por g(x, y) = (x, y, f(x, y)).
Temos g = (g1, g2, g3) , sendo suas func¸o˜es coordenadas dadas por:
g1(x, y) = x , g2(x, y) = y , g3(x, y) = f(x, y)
Ja´ vimos que g e´ um homeomorfismo de U em S, ou seja, S e´ topologicamente ideˆntico a
um “pedac¸o” U do plano (S e´ uma superf´ıcie).
Consideremos agora f diferencia´vel em a ∈ U .
E´ imediato enta˜o que g e´ diferencia´vel em a (olhe para as func¸o˜es coordenadas de g).
Fixemos v ∈ IR2.
O caminho α : (−�, �)→ U dado por α(t) = a+ tv e´ geometricamente um segmento de
reta passando por a e tem v como um vetor tangente em a (vetor velocidade em t = 0)
Temos enta˜o (veja Aplicac¸a˜o do exemplo F) que g ◦ α : (−�, �) → S e´ um caminho cuja
imagem e´ uma curva em S, passando por g(a) e tendo neste ponto g′(a)(v) como vetor tan-
gente:
38 CAPI´TULO 2
Procedendo desta forma para cada vetor v ∈ IR2, temos que g′(a)(v) fornece um vetor
tangente a uma curva na superf´ıcie S, no ponto g(a)
Vamos dar uma olhada para
Jg(a) = [g′(a)] =

∂g1
∂x
(a)
∂g1
∂y
(a)
∂g2
∂x
(a)
∂g2
∂y
(a)
∂g3
∂x
(a)
∂g3
∂y
(a)

=

1 0
0 1
∂f
∂x
(a)
∂f
∂y
(a)

(matriz de g′(a) em relac¸a˜o a`s bases canoˆnicas)
Temos que a dimensa˜o da imagem de g′(a) e´ igual a 2 e portanto o conjunto dado por
Tg(a)(S) =
{
g(a) + g′(a)(v), v ∈ IR2} e´ um plano (plano tangente ao gra´fico S de f em
g(a) = (a, f(a)) ).
Diferenciabilidade 39
2.4 Exerc´ıcios
1. (Derivadas direcionais) Sendo f ′(x)(h) = lim
t→0
f(x+ th)− f(x)
t
e admitindo a existeˆncia
das derivadas em questa˜o, calcule:
a) f ′(z)(h), com z = (4,−1), h = (1, 2) e f : IR2 → IR2 dada por f(x) = (x2 + y, x+ y2).
b) ϕ′(x)(v), onde x, v ∈ IRm sa˜o vetores quaisquere ϕ : IRm → IR e´ definida por
ϕ(x) = f(x).g(x), sendo f, g : IRm → IR funcionais lineares.
c) ξ′(x)(h), onde h ∈ IRm e´ um vetor arbitra´rio e ξ : U → IR e´ definida do seguinte modo
no aberto U ⊂ IRm : sa˜o dadas f, g : U → IRp diferencia´veis e ξ(x) = < f(x), g(x) > , para
todo x ∈ U , e´ o produto interno dos vetores f(x) e g(x).
2. (Diferenciabilidade) Seja E o espac¸o das matrizes n× n (se achar conveniente, identifique
E com IRn
2
). Defina f : E → E pondo f(X) = X3 para cada matriz X. Mostre que f e´
diferencia´vel em todos os pontos de E (use o me´todo do exerc´ıcio anterior para determinar o
candidato a f ′(X)).
3. (Diferenciabilidade) Sejam f : U(aberto) ⊂ IRm → IRn e a ∈ U .
Mostre que se f e´ diferencia´vel em a na˜o podemos garantir a existeˆncia do limite
lim
v→0
f(a+ v)− f(a)
‖v‖ .
Mostre tambe´m que se existe o limite lim
v→0
f(a+ v)− f(a)
‖v‖ enta˜o na˜o podemos garantir a
diferenciabilidade de f em a.
4. (Diferenciabilidade e derivadas direcionais) Seja det : IR3
2 → IR a func¸a˜o determinante.
Se
A =
 1 1 12 0 3
3 1 0
 e V =
 0 1 20 0 0
−2 −1 1
 ,
obtenha
∂ det
∂V
(A) de duas maneiras diferentes:
(i) Usando
∂ det
∂V
(A) = det ′(A) (V ) (lembre que det e´ func¸a˜o 3-linear neste caso);
(ii) Pela definic¸a˜o (via limite) de derivada direcional.
5. (Diferenciabilidade) Sejam U ⊂ IRm e f, g : U → IRn diferencia´veis no ponto a ∈ U ,
com f(a) = g(a). Mostre que f ′(a) = g′(a) se, e so´ se, lim
v→0
f(a+ v)− g(a+ v)
‖v‖ = 0.
40 CAPI´TULO 2
6. (Diferenciabilidade e matriz jacobiana) Seja f : IR3 → IR3 a aplicac¸a˜o dada por
f(x, y, z) = (x2 +
3y2
2
+
z2
2
− z, y + z, z − x+ 5).
Mostre que f e´ diferencia´vel (em todos os pontos do IR3).
Dado a = (x, y, z) ∈ IR3 , obtenha a matriz jacobiana de f em a e responda: em quais
pontos a ∈ IR3 temos que f ′(a) e´ isomorfismo ?
Qual o posto de f ′(b) nos pontos b ∈ IR3 tais que f ′(b) na˜o e´ isomorfismo ?
O conjunto X =
{
a ∈ IR3 ; f ′(a) e´ isomorfismo } e´ conexo ? Justifique.
7. (Diferenciabilidade e matriz Jacobiana) Seja f : IR3 → IR4 dada por
f(x, y, z) = (x2 − y2, xy, xz, zy)
a) Prove que f e´ diferencia´vel em todos os pontos de IR3 e calcule sua matriz jacobiana.
b) Mostre que a derivada f ′(x, y, z) : IR3 → IR4 e´ uma transformac¸a˜o linear injetora, exceto
no eixo Oz (isto e´, para x = y = 0).
c) Determine a imagem de f ′(0, 0, z) : IR3 → IR4.
8. (Derivada) Seja f : U → IRn diferencia´vel no aberto U ⊂ IRm. Se, para algum b ∈ IRn, o
conjunto f−1(b) possui um ponto de acumulac¸a˜o a ∈ U enta˜o f ′(a) : IRm → IRn na˜o e´ injetiva.
9. (Derivada; matriz Jacobiana) Seja f : IR2 → IR2 definida por f(x, y) = (ex cos y, ex sen y).
Considere a transformac¸a˜o linear T = f ′(3, pi/6) : IR2 → IR2, e os vetores h = (1, 0) e k = (1, 1).
Qual e´ o aˆngulo formado pelos vetores T 100(h) e T 101(k) ?
10. (Derivada; matriz Jacobiana) Seja f : IR2 → IR3 dada por
f(x, y) = (x2, y2, (x+ y)2)
Mostre que f ′(x, y) : IR2 → IR3 tem posto 2, exceto na origem (isto e´, f ′(x, y)(e1) e f ′(x, y)(e2)
sa˜o linearmente independentes salvo quando x = y = 0).
11. (Derivada) Seja f : IRm → IRm diferencia´vel, com f(0) = 0. Se a transformac¸a˜o linear
f ′(0) na˜o tem valor pro´prio 1 enta˜o existe uma vizinhanc¸a V de 0 em IRm tal que f(x) 6= x
para todo x ∈ V − {0}.
12. (Derivada; matriz Jacobiana) Seja f : IR3 → IR3 dada por
f(x, y, z) = (x+ y + z, x2 + y2 + z2, x3 + y3 + z3)
Mostre que f ′(x, y, z) : IR3 → IR3 e´ uma aplicac¸a˜o biun´ıvoca, salvo se duas das coordenadas
x, y, z sa˜o iguais.
Diferenciabilidade 41
13. (Derivada; matriz Jacobiana) Mostre que a derivada da aplicac¸a˜o f : IR2 → IR2, dada por
f(x, y) = (ex + ey, ex + e−y) e´ uma transf. linear invert´ıvel f ′(x, y) : IR2 → IR2 para todos os
pontos z = (x, y) ∈ IR2. Diga se f , considerada como uma func¸a˜o complexa, e´ holomorfa.
14. (Diferenciabilidade) Seja E = IRn
2
o espac¸o vetorial formado pelas matrizes n× n. Indi-
cando com X∗ a transposta de uma matriz X, considere a aplicac¸a˜o f : E → E definida por
f(X) = XX∗. Descreva a derivada f ′(X) : E → E. Mostre que f ′(X)(H) e´ sime´trica, para
cada H ∈ E e que se X e´ ortogonal (isto e´, X∗ = X−1) enta˜o, para toda matriz sime´trica S,
existe pelo menos uma matriz H tal que f ′(X)(H) = S.
15. (Ma´ximos e mı´nimos relativos interiores) Seja U ⊂ IRm aberto. Se f : U → IR atinge um
ma´ximo (ou mı´nimo) relativo no ponto x ∈ U , e f e´ diferencia´vel no ponto x, enta˜o f ′(x) = 0
(transformac¸a˜o linear nula).
16. (Condic¸o˜es necessa´rias, na˜o suficientes) Obtenha aplicac¸o˜es f : U(aberto)⊂ IRm → IRn
tais que:
a) Existem todas as derivadas parciais de f em um ponto mas na˜o existem todas as derivadas
direcionais (f na˜o e´ diferencia´vel neste ponto).
b) Existem todas as derivadas parciais de f em um ponto mas f na˜o e´ cont´ınua nesse ponto
(f na˜o e´ diferencia´vel neste ponto).
c) Existem todas as derivadas direcionais de f em um ponto mas f na˜o e´ cont´ınua nesse ponto
(f na˜o e´ diferencia´vel neste ponto).
d) Existem todas as derivadas direcionais de f em um ponto a ∈ U , f e´ cont´ınua nesse ponto,
mas a derivada direcional de f em a, relativamente a um vetor v ∈ IRm, na˜o depende linear-
mente de v (f na˜o e´ diferencia´vel neste ponto).
e) Existem todas as derivadas direcionais de f em um ponto a ∈ U , f e´ cont´ınua nesse ponto,
a derivada direcional de f em a, relativamente a um vetor v ∈ IRm, depende linearmente de v,
mas f na˜o e´ diferencia´vel neste ponto.
17. (Derivada do determinante) Seja E = IRn
2
o espac¸o vetorial das matrizes n× n. Sabemos
que a func¸a˜o determinante det : E → IR e´ diferencia´vel em toda matriz A ∈ E (ver exemplo
D nas notas de aula). Verifique, para as matrizes 4× 4, a validade da expressa˜o
∂ det
∂xij
(A) = (−1)i+j detA[i,j], onde A[i,j] e´ a n−1×n−1 matriz obtida eliminando-se a i-e´sima
linha e a j-e´sima coluna da matriz A (a expressa˜o foi obtida tambe´m no exemplo D), escolhendo
uma varia´vel xij.
42 CAPI´TULO 2
18. (Caminhos diferencia´veis) Determine as equac¸o˜es parame´tricas das retas tangentes a`s
seguintes curvas em IR3 nos pontos especificados:
a) g : t→ (x, y, z) = (t, t2, t3) nos pontos correspondentes a t = 0 e t = 1.
b) f : t→ (x, y, z) = (t− 1, t2, 2) nos pontos correspondentes a t = 0 e t = 1.
c) h : t→ (x, y, z) = (2 cos t, 2 sen t, t) nos pontos correspondentes a t = pi/2 e t = pi.
19. (Caminhos diferencia´veis, EDOs) Consideremos o problema de obter um caminho
y = y(t) : I ⊂ IR→ IRp tal que:
y(n)(t) = F (t, y(t), y′(t), y′′(t), ..., y(n−1)(t))
y(0) = η1
y′(0) = η2
...
y(n−1)(0) = ηn
Sa˜o dados
F : IRnp+1 → IRp
η1, η2, ..., ηn ∈ IRp
Mostre que podemos resolver este problema resolvendo um sistema de equac¸o˜es de primeira
ordem, que equivale ao problema da forma:
x′1(t) = f1(t, x1(t), x2(t), ..., xn(t))
x′2(t) = f2(t, x1(t), x2(t), ..., xn(t))
...
x′n(t) = fn(t, x1(t), x2(t), ..., xn(t))
x1(0) = η1
x2(0) = η2
...
xn(0) = ηn
x1, x2, ..., xn : I ⊂ IR→ IRp
Sa˜o dados
f1, f2, ..., fn : IR
np+1 → IRp
η1, η2, ..., ηn ∈ IRp
Mostre agora que podemos reduzir o problema acima a um outro, na forma:
{
x′(t) = f(t, x(t))
x(0) = η0
x : I ⊂ IR→ IRnp
Sa˜o dados
f : IRnp+1 → IRnp
η0 ∈ IRnp
Finalmente, se quisermos, podemos ainda reduzir o problema acima a um outro, autoˆnomo
(“independente” de t):{
w′(t) = g(w(t))
w(0) = η
w : I ⊂ IR→ IRnp+1
Sa˜o dados
g : IRnp+1 → IRnp+1
η ∈ IRnp+1
Diferenciabilidade 43
20. (Caminhos diferencia´veis, EDOs) Usando a ide´ia do exerc´ıcio anterior, reduza cada pro-
blema abaixo a um formado por uma u´nica equac¸a˜o de primeira ordem:
a) y′′ + y′2 = 0, y(0) = a, y′(0) = b, y = y(t) : I ⊂ IR→ IR
b) (1− t2)y′′ − 2ty′ + 2y =0, y(0) = a, y′(0) = b, y = y(t) : I ⊂ IR→ IR
c) y′′′ − 2y′′ + 3y′ − y = 0, y(0) = a, y′(0) = b, y′′(0) = c, y = y(t) : I ⊂ IR→ IR
21. (Caminhos diferencia´veis, EDOs) Consideremos o problema:{
x′(t) = f(t, x(t))
x(0) = x0
Sa˜o dados
f : IRn+1 → IRn, cont´ınua
x0 ∈ IRn
a) Mostre que x = x(t) : I ⊂ IR→ IRn e´ soluc¸a˜o do problema acima se, e somente se:
x(t) = x0 +
∫ t
0
f(s, x(s)) ds , para todo t ∈ I
b) Um importante resultado (Teorema de Picard) assegura que, se f e´ lipschitziana em relac¸a˜o
a` varia´vel x (existe uma constante k > 0 tal que ||f(t, x)− f(t, y)|| ≤ k ||x− y||, para todos
(t, x), (t, y) ) numa vizinhanc¸a de (0, x0) enta˜o existe uma soluc¸a˜o para o problema acima,
definida numa vizinhanc¸a de t = 0 de modo u´nico. Mais ainda, o Teorema de Picard fornece
uma sequ¨eˆncia de caminhos x1, x2, ... : I → IRn que converge para a soluc¸a˜o, sequ¨eˆncia esta
dada por:
x1(t) = x0 , x2(t) = x0 +
∫ t
0
f(s, x1(s))ds , ..., xn+1(t) = x0 +
∫ t
0
f(s, xn(s))ds ,...
Use a sequ¨eˆncia acima para obter a u´nica soluc¸a˜o x = x(t) : IR→ IRn do problema:{
x′(t) = A(x(t)) (x′ = Ax)
x(0) = x0
A : IRn → IRn, linear, n× n matriz de coef. constantes
x0 ∈ IRn
OBS.: Boas justificativas para o estudo de sistemas lineares de coeficientes constantes
x′ = Ax se encontram na˜o so´ no fato de que uma se´rie de problemas sa˜o desta natureza,
bem como em um outro resultado importante, o Teorema de Hartman, que de um certo modo
diz que, dado um problema x′ = f(x), f ∈ C1 (note que f na˜o e´ necessariamente linear), se
x0 e´ ponto singular (f(x0) = 0) e os autovalores de Df(x0) teˆm todos parte real na˜o nula
(neste caso x0 e´ dito ser um ponto singular hiperbo´lico), enta˜o o comportamento das soluc¸o˜es
x = x(t) numa vizinhanc¸a de x0 pode ser aproximado pelo comportamento das soluc¸o˜es do
sistema linear x′ = Df(x0)x (repare que este e´ linear) numa vizinhanc¸a de 0 (origem do IRn).
44 CAPI´TULO 2
22. (Func¸o˜es reais de m varia´veis) Mostre que se uma func¸a˜o f : U(aberto)⊂ IRm → IR possui
derivadas parciais em todos os pontos de uma vizinhanc¸a de a ∈ U e m−1 delas sa˜o cont´ınuas
no ponto a, enta˜o f e´ diferencia´vel em a.
23. (Gra´ficos de func¸o˜es, planos tangentes) Seja f : U ⊂ IR2 → IR uma func¸a˜o cont´ınua
definida num aberto U ⊂ IR2. Tomando S = {(x, y, f(x, y))|(x, y) ∈ U} ⊂ IR3 (gra´fico de f),
sabemos que g : U → S dada por g(x, y) = (x, y, f(x, y)) e´ um homeomorfismo entre U e S
(deˆ uma olhada na Sec¸a˜o 2.3). Se f e´ diferencia´vel em um ponto a ∈ U enta˜o e´ imediato que
g tambe´m e´ diferencia´vel em a e sabemos que existe o Plano Tangente a S (gra´fico de f) no
ponto g(a): Tg(a)(S).
Seja f : IR2 → IR a func¸a˜o dada por f(x, y) = x2 + y2.
Fac¸a um esboc¸o de S (gra´fico de f).
Fixemos um ponto a ∈ IR2, digamos a = (2, 1). Dado um vetor v ∈ IR2, consideremos o
caminho γ = γ(t) : IR → IR2 dado por γ(t) = a + tv (geometricamente a imagem de γ e´ uma
reta em IR2, passando por a e tendo em a vetor tangente igual a v). Sabemos que (g ◦ γ)(IR)
e´ uma curva em S (lembremos que g(x, y) = (x, y, f(x, y)), conforme acima) e que o vetor
tangente a (g ◦ γ)(IR) no ponto g(a), dado por (g ◦ γ)′(0) = g′(a)(v), e´ um vetor tangente a S
em g(a) (g(a) + g′(a)(v) ∈ Tg(a)(S)).
Dados os vetores v1 = e1 = (1, 0), v2 = e2 = (0, 1), v3 = (2, 1), v4 = (1, 3), v5 = (3,−2)
em IR2, utilizando a Matriz Jacobiana de g em a = (2, 1), calcule g′(a)(vi), i = 1, ..., 5 (alguns
vetores tangentes a S em g(a) = (2, 1, 5)), fac¸a um esboc¸o considerando os vetores tangentes
g′(a)(v1) e g′(a)(v2) e finalmente verifique que todos esses cinco vetores tangentes a S em
g(a) = (2, 1, 5) sa˜o coplanares, como era de se esperar.
24. (Gra´ficos de func¸o˜es, planos tangentes) Com as mesmas considerac¸o˜es do exerc´ıco anterior
para uma func¸a˜o f : U ⊂ IR2 → IR definida num aberto U ⊂ IR2, determine os Planos
Tangentes a S (gra´fico de f) nas situac¸o˜es abaixo (fac¸a os esboc¸os):
a) f1(x, y) = x
2 + y2 . Determine T(0,0,f1(0,0))(S) e T(1,2,f1(1,2))(S) .
b) f2(x, y) = x
2 − y2 . Determine T(0,0,f2(0,0))(S) e T(1,2,f2(1,2))(S) .
c) f3(x, y) = (4− (x2 + y2))1/2 . Determine T(0,0,f3(0,0))(S) e T(1,1,f3(1,1))(S) .
Diferenciabilidade 45
2.5 A Regra da Cadeia
Teorema 2.4. (Regra da Cadeia) Sejam U ⊂ IRm e V ⊂ IRn conjuntos abertos,
f : U → IRn uma aplicac¸a˜o diferencia´vel no ponto a ∈ U , com f(U) ⊂ V e g : V → IRp
uma aplicac¸a˜o diferencia´vel no ponto b = f(a) ∈ V .
Enta˜o a aplicac¸a˜o composta g ◦ f : U → IRp e´ diferencia´vel no ponto a e temos ainda que
(g ◦ f)′(a) = g′(b) ◦ f ′(a) : IRm → IRp
46 CAPI´TULO 2
Algumas consequ¨eˆncias:
(A) Interpretac¸a˜o geome´trica para f ′(a)(v):
Corola´rio 1. Seja f : U ⊂ IRm → IRn uma aplicac¸a˜o diferencia´vel em a ∈ U . Dado v ∈ IRm,
seja α : (−�, �) → U um caminho em U , diferencia´vel em t = 0 (existe vetor velocidade em
t = 0), com α(0) = a e α′(0) = v.
Enta˜o f ′(a)(v) e´ o vetor velocidade do caminho f ◦ α : (−�, �) → IRn em t = 0 (geometri-
camente e´ o vetor tangente a` curva (f ◦ α) (−�, �) em f(a) ).
(B) Derivada da aplicac¸a˜o inversa:
Corola´rio 2. Seja f : U → IRn diferencia´vel em a ∈ U ⊂ IRm e suponha que f admite uma
inversa g = f−1 : V → IRm , V ⊂ IRn (f(U) = V, g(V ) = U, f ◦ g = idV e g ◦ f = idU)
que e´ diferencia´vel no ponto b = f(a).
Enta˜o f ′(a) : IRm → IRn e´ um isomorfismo cujo inverso e´ g′(b) : IRn → IRm e em particular
temos que m = n.
Diferenciabilidade 47
(C) Regra da Cadeia e derivadas parciais:
Corola´rio 3. No teorema anterior, suponha f = (f1, f2, . . . , fn) e g = (g1, g2, . . . , gp).
Enta˜o para cada i = 1, . . . , p e j = 1, . . . ,m , temos:
∂(gi ◦ f)
∂xj
(a) =
n∑
k=1
∂gi
∂yk
(b) · ∂fk
∂xj
(a)
(D) Regras de diferenciac¸a˜o:
Corola´rio 4. Sejam f, g : U → IRn diferencia´veis no ponto a ∈ U (aberto) ⊂ IRm e λ um
nu´mero real. Enta˜o:
f + g : U → IRn e´ diferencia´vel em a , com (f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a)
λf : U → IRn e´ diferencia´vel em a , com (λf)′(a) = λ · f ′(a)
Se ϕ : IRn × IRn → IRp e´ uma aplicac¸a˜o bilinear enta˜o a aplicac¸a˜o ϕ(f, g) : U → IRp ,
definida por x 7→ ϕ(f(x), g(x)) e´ diferencia´vel no ponto a , com
[ϕ(f, g)] ′(a)(v) = ϕ (f ′(a)(v), g(a)) + ϕ (f(a), g′(a)(v))
48 CAPI´TULO 2
Algumas aplicac¸o˜es:
(i) “Derivada do produto”: Sejam f, g : U ⊂ IR → IR diferencia´veis (deriva´veis) em
a ∈ U . Enta˜o fg : U → IR dada por fg(x) = f(x) · g(x) e´ deriva´vel em a com
(fg) ′(a) = f ′(a) · g(a) + f(a) · g′(a)
(ii) Seja f : IRm → IR dada por f(x) = ‖x‖2 = < x, x > . Enta˜o
f ′(a)(v) = 2 < v, a > ∀ v, a ∈ IRm
(iii) Seja n : IRm → IR dada por n(x) = ‖x‖ = < x, x >1/2 (norma proveniente de um
produto interno). Enta˜o
n′(a)(v) =
< v, a >
< a, a >1/2
∀ v ∈ IRm, a 6= 0 ∈ IRm
Diferenciabilidade 49
2.6 Teorema/Desigualdade do valor me´dio
Tentaremos agora generalizar o Teorema do Valor Me´dio de Lagrange, estudado no
curso de ana´lise na reta.
Teorema 2.5. (Generalizac¸a˜o do TVM de Lagrange da “Ana´lise na Reta”)
Seja f : U ⊂ IRm → IR diferencia´vel em todos os pontos do segmento de reta aberto
(a, a + v) = { a+ tv , 0 < t < 1 } ⊂ U e tal que sua restric¸a˜o ao segmento de reta fechado
[a, a+ v] ⊂ U seja cont´ınua.
Enta˜o existe t0 ∈ (0, 1) tal que f(a+ v)− f(a) = f ′(a+ t0v)(v)
OBS.: Apesar de conseguirmos acima generalizar o Teorema do Valor Me´dio de La-
grange para func¸o˜es (contradomı´nio = IR), o mesmo na˜o pode ser feito para aplicac¸o˜es
f : U ⊂ IRm → IRn em geral, conforme ilustra o contra-exemplo abaixo.
Contra-Exemplo:
Seja f : IR→ IR2 a aplicac¸a˜o (caminho) dada por f(t) = (cos t, sen t) ∀ t ∈ IR
Para todo t ∈ IR , temos: f ′(t) = (− sen t, cos t) 6= (0, 0)
Agora f(2pi)− f(0) = (0, 0) 6= f ′(t).2pi ∀ t ∈ IR
OBS.: Conforme veremos a seguir, o teorema do valor me´dio, quando temos uma aplicac¸a˜of : U ⊂ IRm → IRn , n > 1, aparece sob a forma de desigualdade.
Isto na˜o impede que dele seja extra´ıda uma se´rie de resultados significativos, conforme
veremos adiante.
50 CAPI´TULO 2
Teorema 2.6. (“Versa˜o fraca” da Desigualdade do Valor Me´dio)
Dado U ⊂ IRm , aberto, seja f : U → IRn diferencia´vel em cada ponto do segmento de
reta aberto (a, a+ v) e tal que sua restric¸a˜o ao segmento de reta fechado [a, a+ v] ⊂ U seja
cont´ınua.
Enta˜o existem uma constante real θ > 0 e um ponto ci0 ∈ (a, a+ v) tais que
‖f(a+ v)− f(a)‖ ≤ θ. ‖f ′(ci0)(v)‖ ≤ θ. ‖f ′(ci0)‖ . ‖v‖
Em particular, se ‖f ′(x)‖ ≤M para todo x ∈ (a, a+ v) , temos
‖f(a+ v)− f(a)‖ ≤ θ.M. ‖v‖ se ‖f ′(x)‖ ≤M
Diferenciabilidade 51
Teorema 2.7. (“Versa˜o completa” da Desigualdade do Valor Me´dio)
Dado U ⊂ IRm , aberto, seja f : U → IRn diferencia´vel em cada ponto do segmento de
reta aberto (a, a+ v) e tal que sua restric¸a˜o ao segmento de reta fechado [a, a+ v] ⊂ U seja
cont´ınua.
Se ‖f ′(x)‖ ≤M para todo x ∈ (a, a+ v) enta˜o ‖f(a+ v)− f(a)‖ ≤ M. ‖v‖.
52 CAPI´TULO 2
OBS.: Se a norma considerada em IRn prove´m de um produto interno, enta˜o podemos
garantir ainda que existe um ponto ci0 ∈ (a, a+ v) tal que
‖f(a+ v)− f(a)‖ ≤ ‖f ′(ci0)(v)‖ ≤ ‖f ′(ci0)‖ . ‖v‖
Algumas consequ¨eˆncias:
(A) Uma fonte natural de aplicac¸o˜es Lipschitzianas:
Corola´rio 1. Seja U ⊂ IRm aberto e convexo. Se f : U → IRn e´ diferencia´vel, com
‖f ′(x)‖ ≤ M para todo x ∈ U enta˜o f e´ Lipschitziana, com ‖f(y)− f(x)‖ ≤ M. ‖y − x‖
quaisquer que sejam x, y ∈ U .
OBS.: Para conclu´ırmos que f e´ Lipschitziana basta a “Versa˜o fraca”(Teo 2.6)
Diferenciabilidade 53
(B) Generalizac¸a˜o de um resultado canoˆnico:
Corola´rio 2. Se f : U → IRn e´ diferencia´vel no aberto e conexo U ⊂ IRm e f ′(x) = O
(transformac¸a˜o linear nula) para todo x ∈ U enta˜o f e´ constante.
(C) Um lema muito u´til:
Corola´rio 3. Sejam U ⊂ IRm aberto, [a, a+ v] ⊂ U e f : U → IRn diferencia´vel em cada
ponto do segmento aberto (a, a+ v) com f
∣∣
[a,a+v]
cont´ınua.
Seja T : IRm → IRn uma transformac¸a˜o linear.
Se ‖f ′(x)− T‖ ≤M ∀ x ∈ (a, a+ v) enta˜o ‖f(a+ v)− f(a)− T (v)‖ ≤M. ‖v‖
54 CAPI´TULO 2
2.7 Exerc´ıcios
1. (Regra da Cadeia)
a) Se f(x, y) = x2 + y2 e g(t) = (3t+ 1, 2t− 3), seja F (t) = (f ◦ g)(t).
Calcule F ′(t) diretamente e aplicando a Regra da Cadeia.
b) Se f(x, y, z) = xyz e g(s, t) = (3s+ st, s, t), seja F (s, t) = (f ◦ g)(s, t).
Calcule
∂F
∂s
e
∂F
∂t
diretamente e aplicando a Regra da Cadeia.
2. (Regra da Cadeia e Equac¸o˜es de Cauchy-Riemann em coordenadas polares)
Seja f = f(z) : A(aberto)⊂ C → C uma func¸a˜o complexa de uma varia´vel complexa
z = x + iy. Sabemos que f(z) = u(x, y) + iv(x, y), onde u, v : U → IR sa˜o as func¸o˜es
coordenadas de f (pela identificac¸a˜o de C com IR2, dada por z = x+ iy → (x, y)).
Para que f seja deriva´vel em um ponto z0 = x0 + iy0 = (x0, y0) ∈ A, e´ necessa´rio que as
Equac¸o˜es de Cauchy-Riemann sejam satisfeitas em z0, isto e´:
∂u
∂x
(x0, y0) =
∂v
∂y
(x0, y0) e
∂u
∂y
(x0, y0) = −∂v
∂x
(x0, y0)
Agora, se z0 6= 0 enta˜o z0 = r0eiθ0 , de modo que z0 pode ser representado por suas coordenadas
polares (r0, θ0). Desse modo, cada ponto z = x + iy = (x, y) numa vizinhanc¸a de z0 tambe´m
pode ser representado por suas coordenadas polares: z = reiθ. Temos enta˜o x = r cos θ e
y = r sen θ.
Portanto (x, y) = m(r, θ) = (m1(r, θ),m2(r, θ)) = (r cos θ, r sen θ), onde m e´ a aplicac¸a˜o de
mudanc¸a de varia´veis (de coordenadas polares para coordenadas retangulares).
Pondo U = u ◦m e V = v ◦m, temos:
u(x, y) = u(m(r, θ)) = (u ◦m)(r, θ) = U(r, θ)
v(x, y) = v(m(r, θ)) = (v ◦m)(r, θ) = V (r, θ)
Temos portanto f(z) = U(r, θ) + iV (r, θ) numa vizinhanc¸a de (r0, θ0). Utilizando a Regra
da Cadeia, obtenha as Equac¸o˜es de Cauchy-Riemann em coordenadas polares (supondo f
deriva´vel em z0 = r0e
iθ0 = (r0, θ0), z0 6= 0):
∂U
∂r
(r0, θ0) =
1
r0
∂V
∂θ
(r0, θ0) e
∂V
∂r
(r0, θ0) = − 1
r0
∂U
∂θ
(r0, θ0)
3. (Regra da Cadeia) Seja f : U → IRn\ {0} diferencia´vel no aberto conexo U ⊂ IRm. A fim de
que seja ‖f(x)‖ =constante, e´ necessa´rio e suficiente que f ′(x)(v) seja perpendicular a f(x),
para todo x ∈ U e todo v ∈ IRm (considere a norma euclidiana e o produto interno canoˆnico).
Diferenciabilidade 55
4. (Regra da Cadeia) Sejam U(aberto)⊂ IRm e p ∈ IRm\U . Prove que a func¸a˜o f : U → IR
dada por f(x) = ‖x− p‖, para todo x ∈ U (func¸a˜o distaˆncia a p) e´ diferencia´vel em U e
obtenha df(a)(v) = f ′(a)(v), onde a ∈ U e v ∈ IRm.
5. (Diferenciabilidade e Regra da Cadeia)
Sejam E o espac¸o das 3× 3 matrizes reais e M =
 1 0 20 −1 3
1 0 −1
 .
Seja f : E → IR a func¸a˜o dada por f(X) = det (X +M) .
(a) f e´ diferencia´vel (JUSTIFIQUE).
(b) Dadas A e V em E, mostre que f ′(A)(V ) = det′(A+M)(V ) .
(c) Obtenha f ′(A)(V ) se A =
 0 1 −1−1 2 −1
0 3 1
 e V =
 1 0 01 0 2
−1 1 1
 .
6. (Regra da Cadeia: mudanc¸a de coordenadas e EDPs) Suponhamos que se queira obter
soluc¸o˜es para a equac¸a˜o da onda :
∂2u
∂t2
= c2
∂2u
∂x2
, onde c ∈ IR, c 6= 0, e u = u(x, t) : U(aberto)⊂ IR2 → IR
Introduzindo a mudanc¸a de varia´veis (ξ, η) = m(x, t), onde
{
ξ = m1(x, t) = x+ ct
η = m2(x, t) = x− ct
, temos:
(ξ, η) = (x+ ct, x− ct) = (m1(x, t),m2(x, t)) = m(x, t)
Fazendo v(ξ, η) = u(x, t), temos u = v ◦m.
Impondo a equac¸a˜o acima, mostre que chegamos a
∂2v
∂ξ∂η
= 0 .
Obtenha v = v(ξ, η), soluc¸a˜o geral desta u´ltima equac¸a˜o, “volte” atrave´s da mudanc¸a de
varia´veis m para obter u = u(x, t), soluc¸a˜o da equac¸a˜o inicial, e verifique algumas soluc¸o˜es
particulares.
7. (Desigualdade do valor me´dio) Seja U ⊂ IRm um aberto e f : U → IRn. Suponha que
U conte´m os pontos a, b e o segmento de reta [a, b] que os une, e que f e´ diferencia´vel em
todo ponto de [a, b]. Mostre que existe uma transformac¸a˜o linear L : IRm → IRn tal que
f(b)− f(a) = L(b− a).
8. (Desigualdade do valor me´dio) Sejam U ⊂ IRm aberto, [a, b] ⊂ U, f : U → IRn cont´ınua
em [a, b] e diferencia´vel em (a, b). Mostre que para cada y ∈ IRn existe cy ∈ (a, b) tal que
< f(b)− f(a), y > = < f ′(cy)(b− a), y >.
56 CAPI´TULO 2
9. (Desigualdade do valor me´dio) Seja U ⊂ IRm convexo. Dada f : U → IRn diferencia´vel,
considere as seguintes afirmac¸o˜es:
a) ‖f ′(x)‖ ≤ c para todo x ∈ U ;
b) ‖f(x)− f(y)‖ ≤ c ‖x− y‖ para quaisquer x, y ∈ U ;
c) f e´ uniformemente cont´ınua ;
d) Para todo x0 ∈ clU , existe lim
x→x0
f(x) ;
e) Se U e´ limitado enta˜o f(U) e´ limitado.
Mostre que a ⇔ b ⇒ c ⇒ d ⇒ e , mas as demais implicac¸o˜es sa˜o todas falsas.
10. (Desigualdade do valor me´dio - Extensa˜o) Sejam U ⊂ IRm aberto e c ∈ U . Se a aplicac¸a˜o
cont´ınua f : U → IRn e´ diferencia´vel em U\ {c} e existe o lim
x→c
f ′(x) = T ∈ L(IRm; IRn),
enta˜o f e´ diferencia´vel no ponto c, com f ′(c) = T .
2.8 As classes de diferenciabilidade Ck
A aplicac¸a˜o derivada e a Classe C1
Seja f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn uma aplicac¸a˜o diferencia´vel.
Definimos a APLICAC¸A˜O DERIVADA DE f como a aplicac¸a˜o
f ′ : U → L(IRm; IRn)
x 7→ f ′(x)
Agora questionamos: dado a ∈ U , quando a aplicac¸a˜o derivada f ′ e´ cont´ınua em a ?
Para cada x ∈ U vamos identificar f ′(x) com sua Matriz Jacobiana:
Jf(x) =

∂f1
∂x1
(x)
∂f1
∂x2
(x) . . .
∂f1
∂xm
(x)
∂f2
∂x1
(x)
∂f2
∂x2
(x) . . .
∂f2
∂xm
(x)
...
...
...
∂fn
∂x1
(x)
∂fn
∂x2
(x) . . .
∂fn
∂xm
(x)

onde fi : U → IR (i = 1, . . . , n) sa˜o as func¸o˜es coordenadas de f : f = (f1, f2, . . . , fn).
Diferenciabilidade 57
Observamos enta˜o que
∂fi
∂xj
: U → IR
x 7→ ∂fi
∂xj
(x)
i = 1, . . . , n
j = 1, . . . ,m
sa˜o as func¸o˜es coordenadas da aplicac¸a˜o derivada (de f) f ′ : U → L(IRm; IRn).

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