Curvas em Polares

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Algumas equações em coordenadas polares e seus respectivos traços 
 
 
Circunferência 
 
1) r = a, a  R* - circunferência com centro no pólo e raio |a|. 
2) r = 2acos, a  R* - circunferência com centro no ponto (a,0), passando pelo polo e com 
raio |a|. 
3) r = 2asen, a  R* - circunferência com centro no ponto (a,π /2), passando pelo polo e com 
raio |a|. 
 
r =2acos, a > 0 r = 2acos, a < 0 
 
 
r = 2asen, a > 0 r = 2asen, a < 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Instituto de Matemática. - Departamento de Matemática. 
MATA03 – Cálculo B - Profa: Graça Luzia Dominguez Santos - 2012.1 
 2 
Limaçon: r = a  b cos e r = a  b sen, a  R* e b  *R 
 
 
1) Limaçon com laço: |a| < b 
 
 
r = a + b cos r = a – b cos 
 
 
r = a + b sen r = a – b sen 
 
 
 
 
2) Cardióide: |a| = b 
 
 
r = a +|a|cos r = a – |a|cos 
 
 
r = a + |a| sen r = a – |a| sen 
 3 
 
 
 
 
3) Limaçon sem laço: |a| > b (não passa pelo pólo) 
 
r = a + b cos r = a – b cos 
x
y
 
x
y
 
r = a + b sen r = a – b sen x
y
 
x
y
 
 
 
 
 4 
 
 
Leminiscata 
 
r
2
 = a cos(2θ) ou r2 = a sen(2θ) , a  R* 
 
r
2
 = a cos(2θ) , a > 0 r2 = a cos(2θ) , a < 0 
x
y
 
 
 
x
y
 
 
 
r
2
 = a sen(2θ), a > 0 r2 = a sen(2θ), a < 0 
x
y
 
x
y
 
 
 
 
 
 
Rosácea 
r = a cos(nθ) ou r = a sen(nθ), a 
*R
 e n 
}1,1{*  Z
 
Obs: 
1)Se n é par a rosácea possui 2n pétalas 
 Se n é par a rosácea possui n pétalas 
2) se a rosácea tem p pétalas então o ângulo entre os eixos de duas pétalas consecutivas é 2π/p. 
 
 
 
 
 
 5 
Alguns exemplos: 
 
 
 
r = 3 cos(2θ) r = 3 cos(3θ) 
x
y

 
x
y

a



 
r = -3 cos(3θ) r = 3 sen(3θ) 
x
y




 
x
y




 
r = -3 sen(3θ) r = 4sen(4θ) 
x
y




 
x
y
 
 6 
 
 
 
 
 
Espiral Arquimedes: r = aθ, a 
*R
 
 
r = 2θ, 
2πθ0 
 r = -2θ, 
2πθ0 
 
x
y
 
x
y