Prova 2 Graça 2013.1

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Instituto de Matemática. - Departamento de Matemática. 
MATA03 – Cálculo B Prova da 2a Unidade Data: 05/08/2013 
Semestre – 2013.1 Turma: 01 Profa: Graça Luzia Dominguez Santos 
Nome do Aluno___________________________________________________ 
Assinatura_______________________________________________________ 
 
Observações:  Não é permitido o uso de calculadoras. Todas as respostas devem ser justificadas. 
 
(3,0)1
a
 QUESTÃO: Dada as curvas C1: 
)3(2 senr 
 e C2: 
)(2 senr 
 
a) Determine o conjunto abrangente de C2. 
b) Determine o conjunto dos pontos de interseção das curvas pelo método analítico. 
c) Identifique as curvas. Esboce as curvas em um mesmo sistema de coordenadas polares, indicando os seus 
principais elementos e os pontos de interseção obtidos no item anterior. 
d) Dê a expressão que permite calcular o comprimento de arco da curva C1. (não é necessário resolver a 
integral desse item). 
(2,0) 2
a
 QUESTÃO: Na figura ao lado estão os esboços das curvas C3: 
)2cos(42 r
 
e C4: 
)cos(2 r
, que se intersectam nos pontos: polo, A e B, sendo 














3
1
arccos,
3
2
A
 e 















3
1
arccos,
3
2
B
. 
a) Dê a expressão que permite calcular a área da região interior a C3 e exterior a C4. 
b) Dê a expressão que permite calcular a área da região limitada pelas duas curvas. 
(não é necessário resolver as integrais dessa questão). 
 
(3,0) 3ª QUESTÃO: 
a) Mostre que o 










 3
33
)1,1(),( )1(4)1(2
)1()1(
lim
yx
yx
yx
 não existe. 
b) Determine e represente geometricamente o domínio da função 
RRDf  2:
, definida por 
4 22 9)9ln(),(  xyxyxf
. 
c) Determine e identifique as curvas de nível da função )242(),( yxeyxf  . Em caso de cônica 
especifique o eixo focal. 
 
(1,0) 4ª QUESTÃO: Considere a função real de duas variáveis reais, definida por 
),( yxfz 
, 
diferenciável e dada implicitamente pela equação 
0) (2 2  zyarctgx
, Determine uma equação do plano 
tangente ao gráfico de f no ponto 
 000 ,, zyxP
, sendo y0 = 4 e z0 = ½. 
 
(1,0) 5ª QUESTÃO: Dada 






 222),( yxyyxh 
, sendo 
RI :
 é função diferenciável. Sabendo 
que 
5
12
)3,4( 


x
h
 e 
5
3
)3,4( 


y
h
 determine 
)5(
. 
 
x
y
A
B