Prova 2 Graça 2013.2

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Instituto de Matemática. - Departamento de Matemática. 
MATA03 – Cálculo B Prova da 2a Unidade Data: 20/12/2013 
Semestre – 2013.2 Turma: 01 Profa: Graça Luzia Dominguez Santos 
Nome do Aluno___________________________________________________ 
Assinatura_______________________________________________________ 
 
Observações: Não é permitido o uso de calculadoras. Todas as respostas devem ser justificadas. 
1
a
 QUESTÃO: Dada as curvas C1: 
 
)(1
4
sen
r


e C2: 
)(88 senr 
 
(0,6) a) Verifique se o ponto P







6
,
3
8 
 pertence à curva C1. 
(1,4) b) Determine o conjunto dos pontos de interseção, em coordenadas polares, das curvas pelo método 
analítico. 
2
a
 QUESTÃO: As curvas C3: e C4: , se intersectam nos pontos: polo, 






4
,2

A
 e 






4
7
,2

B
. 
(1,4) a) Identifique as curvas. Esboce as curvas em um mesmo sistema de coordenadas, destacando os seus 
principais elementos e os pontos de interseção. 
(1,6) b) Identifique geometricamente e determine a expressão, através de integral, que permite calcular, a 
área da região: 
i) Exterior a C4 e interior a C3. 
ii) Está no interior de ambas as curvas C3 e C4 
(Não é necessário resolver as integrais do item 2b) 
(3,0) 3
a
 QUESTÃO: 
a) Determine e represente geometricamente o domínio da função 
RRDf  2:
, definida por 
22
),(
22 

yx
x
yxf
. 
b) Determine o domínio; determine e trace as interseções do gráfico com os planos x = 0 e y = 0; determine, 
identifique e trace as curvas de nível; e esboce o gráfico da função 
229
1
),(
yx
yxf


. 
 c) Mostre que o limite 
22
)1,0(),( )1(
)1(
lim


 yx
xy
yx
 não existe. 
(2,0) 4
a
 QUESTÃO 
a) Determine as equações dos planos tangentes ao gráfico da função 
)ln(),( xyyxf 
no ponto , 
sendo a ordenada o triplo da abscissa.
 
b) Calcule as derivadas de 2ª ordem da função 
 
arctg √ )