2012 1 Calculo C P1+P2+P3

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Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Centro de Cieˆncias Agra´rias
Primeira Avaliac¸a˜o de Ca´lculo C
13 de abril de 2012
NOME:
Justifique todas as respostas!
1. Determine e fac¸a o esboc¸o do domı´nio da func¸a˜o:
(a) (1,25 pt) f(x, y) =
√
(x− 1)(y+ 2)
(b) (1,25 pt) f(x, y) =
1
√
36− 9x2 − 4y2
2. Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite na˜o existe.
(a) (1 pt) lim
(x,y)→(0,0)
xy4
x2 + y8
(b) (1 pt) lim
(x,y)→(0,0)
xy
√
x2 + y2
3. Seja f(x, y) = 3
√
x3 + y3.
(a) (1 pt) Calcule fy(0, 0).
(b) (1,5 pt) Sabendo que fx(0, 0) e fy(0, 0) existem, podemos dizer que f e´ diferencia´vel? Justifique.
4. (1,5 pts) Calcule
∂z
∂x
e
∂z
∂y
da equac¸a˜o x2 + zsen(xyz) = 1.
5. (1,5 pts) Determine uma equac¸a˜o do plano tangente a` superf´ıcie z = xey/x no ponto (1, 0, 1).
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Centro de Cieˆncias Agra´rias
Segunda Avaliac¸a˜o de Ca´lculo C
28 de setembro de 2012
NOME:
Justifique todas as respostas!
1. Suponha que f seja uma func¸a˜o diferencia´vel de x e y e que f tenha derivadas parciais de segunda ordem
cont´ınuas, e z = f(x, y), onde x = 2u e y =
v
u
:
(a) (1 pt) Determine zu(1, 0) e zv(1, 0), onde fx(1, 0) = −1, fy(1, 0) = 2, fx(2, 0) = −2, fy(2, 0) = 1
(b) (1,5 pts) Utilizando o resultado da letra (a), determine zuv(1, 0), onde fxx(1, 0) = 0, fxx(2, 0) = −1,
fxy(1, 0) = 4, fxy(2, 0) = 2, fyy(1, 0) = 3 e fyy(2, 0) = 0.
2. Dada a func¸a˜o f(x, y) = 3xy− x2y− xy2 e a regia˜o triangular fechada D com ve´rtices (−4, 4), (2,−2) e (2, 4),
determine:
(a) (1,5 pts) os pontos de ma´ximos e mı´nimos locais e os pontos de sela da func¸a˜o f no interior de D.
(b) (1,5 pts) os valores ma´ximos e mı´nimos absolutos de f em D.
3. (2 pts) Determine os valores ma´ximos e mı´nimos da func¸a˜o f(x, y, z) = xyz sobre a curva x2 + y2 + z2 = 3.
4. (1 pt) Determine a derivada direcional, se existir, de f(x, y) = 3
√
xy no ponto (0, 0) na direc¸a˜o do vetor
−→u = −→i −−→j .
5. (1,5 pts) Determine as direc¸o˜es em que a derivada direcional de f(x, y) = x e−xy
2
no ponto (0, 1) tem valor
1
2
.
1 ponto extra
6. Seja f uma func¸a˜o de duas varia´veis que tenha derivadas parciais cont´ınuas e considere os pontos A = (1, 3),
B = (4, 7), C = (6, 15) e D = (4, 3). A derivada direcional em A na direc¸a˜o do vetor
−→
AB e´ 4, e a derivada
direcional em A na direc¸a˜o do vetor
−→
AC e´ 11. Determine a derivada direcional, se existir, de f em A na direc¸a˜o
do vetor
−−→
AD.
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Centro de Cieˆncias Agra´rias
Terceira Avaliac¸a˜o de Ca´lculo C
02 de novembro de 2012
NOME:
Justifique todas as respostas!
1. Calcule o valor das integrais duplas abaixo:
(a) (2 pontos)
∫1
0
∫1
x2
x seny
y
dydx
(b) (2 pontos)
∫ ∫
D
ydA, onde D e´ a regia˜o no primeiro quadrante limitada pelas para´bolas x = y2 e
x = 8− y2.
2. (2 pontos) Determine o volume do so´lido limitado pelo cilindro x2 + z2 = 4 e pelos planos y = 0 e y+ z = 3.
3. (2 pontos) Calcule
∫ ∫ ∫
E
(x2 + y2 + z2)3/2 dV onde E e´ a regia˜o delimitada pelo cone z =
√
3x2 + 3y2 e pela
esfera x2 + y2 + z2 = z.
4. (2 pontos) Utilize a transformac¸a˜o u = x − y, v = x + y para calcular
∫ ∫
R
x− y
x+ y
dA, onde R e´ o quadrado
com ve´rtices (0, 2), (1, 1), (2, 2) e (1, 3).