Projeto de Controladores pelo Experimento do Relé e Funções Descritivas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE 
 DCA0425 – TÓPICOS ESPECIAIS EM SISTEMAS DE CONTROLE 1 
 
Relatório do Segundo Trabalho 
CONTROLE DE POSIÇÃO DE UMA JUNTA ROBÓTICA UTILIZANDO O 
EXPERIMENTO DO RELÉ E FUNÇÕES DESCRITIVAS 
Guilherme Pereira Marchioro Bertelli, 2009029291 – gui.pmbertelli@gmail.com 
Tomaz Filgueira Nunes, 2010036840 – to_filgueira@hotmail.com 
Resumo: Neste trabalho, tem-se como objetivo controlar uma junta robótica acionada por um motor de corrente contínua. Será 
mostrado o projeto do controlador para o sistema não-linear utilizando técnicas frequenciais, com base em uma aproximação de 
primeira ordem com atraso de transporte do sistema, através do experimento do relé e análise de funções descritivas. Será feita, 
também, uma análise de robustez do sistema linearizado para cada controlador projetado. As simulações a serem mostradas foram 
feitas no MATLAB. 
Palavras-chave: Braço robótico, experimento do relé, robustez, controle PID.
 
1 – Introdução 
 Juntas robóticas são amplamente utilizadas na 
solução de diversos problemas, desde a área médica 
até a automobilística, bem como na aplicação da 
automação no geral, devendo possuir precisão 
satisfatória. Desta forma, é de grande importância que 
se atente ao projeto de seu controlador, de forma a 
atender as exigências do sistema em questão com o 
mínimo de erros possível. 
 Um controle adequado está diretamente 
relacionado com uma modelagem correta do sistema, 
bem como uma linearização em torno de um ponto de 
operação condizente com o funcionamento do sistema. 
Para este trabalho, o projeto do controlador será feito 
pela análise da resposta em frequência de uma 
aproximação do sistema não-linear a um sistema de 
primeira ordem com atraso de transporte, fazendo uso 
do experimento do relé e funções descritivas. 
2 – O Modelo do Sistema 
 A junta robótica é representada por uma haste 
ideal (com peso localizado em um único ponto), em 
que a única força que irá interagir com a massa é a 
gravidade. Assim, a força exercida pela gravidade é o 
cosseno do ângulo multiplicado pelo comprimento da 
haste e sua massa. A haste ideal, bem como as relações 
das forças, podem ser vistas na Figura 1. 
 
 
Figura 1 - Modelo da haste 
 A junta robótica é acionada por um motor de 
corrente contínua, fornecendo energia elétrica ao 
enrolamento da armadura, gerando um campo 
magnético que interage com o campo do estator, 
gerando movimento. Sua planta está representada na 
Figura 2. O objetivo é controlar a posição (θ) do braço. 
 
Figura 2 - Modelo do acionamento do motor DC 
 Os parâmetros do sistema são os seguintes [4]: 
Parâmetros Valor 
Ra 5,5 Ω 
La 36 mH 
Km = Kb 0,53 
B 8,85x10
-4
 kg.m²/s 
J 1,95x10
-3
 kg.m² 
d 1 m 
m 500 g 
Tabela 1 – Parâmetros da planta 
 
2 
 
 Onde Ra é a resistência da armadura, La é a 
indutância da armadura, Km e Kb são as constantes de 
proporcionalidade, B é o coeficiente de amortecimento 
viscoso, J é o momento de inércia, d é o comprimento 
da haste e m sua massa. 
 O sistema possui uma pequena não 
linearidade, portando o mesmo foi linearizado em 
torno do ponto de operação θ = 45 graus, nos dando a 
seguinte função de transferência: 
 ( ) 
 
( )( )
 
Esse sistema possui um polo real em -133.7 e polos 
complexos dominantes em -9 ±18i. 
3 – Desempenho do Sistema 
 A resposta do sistema em malha aberta a uma 
entrada tipo degrau unitário pode ser vista na Figura 3. 
Percebe-se que existe um erro de regime de cerca de 
90%, um overshoot de 20,5% e um tempo de 
estabilização de 0,45s. 
 
Figura 3 - Resposta ao degrau 
 As curvas de Bode do sistema, já com um 
atraso de transporte de 0.006s aplicado, podem ser 
vistas na Figura 4. O sistema possui uma margem de 
ganho de 32.2 dB e uma margem de fase infinita, o que 
facilita a obtenção de qualquer valor especificado da 
mesma. Observa-se um pequeno pico de ressonância 
em = 15 rads/s e um módulo indesejado de -21 dB 
em baixa frequência. 
 
Figura 4 - Curvas de Bode do Sistema 
3.1 – Especificações do Sistema Controlado 
 No trabalho passado, foi projetado um 
controlador PID que desse ao sistema as seguintes 
especificações: 
• ; 
• ; 
• ; 
• 
• MF = 60º 
O controlador foi projetado utilizando métodos 
frequenciais para o sistema linearizado, cujos 
parâmetros foram: 
 
 
 
Dando ao sistema a resposta a seguir: 
 
Figura 5 - Resposta ao Degrau do sistema linear controlado 
3 
 
O overshoot foi eliminado, e o tempo de 
estabilização do sistema aumentou para 0.6s, mas esse 
valor ainda é adequado dadas as aplicações deste 
sistema. A aplicação deste controlador no não-linear 
não foi tão eficiente, então aumentou-se a margem de 
fase desejada para 80 graus, nos dando os seguintes 
parâmetros e resposta ao degrau: 
 
 
 
 Dessa forma foi possível controlar com 
sucesso o sistema não-linear, como pode ser visto na 
Figura 6, abaixo. O overshoot de cerca de 6% é um 
pouco acima do especificado, e o tempo de 
especificação de 0.8s está dentro do especificado. 
 
Figura 6 - Sistema não-linear controlado 
4 – Projeto de Controladores utilizando o 
experimento do relé e Ziegle-Nichols 
 Para este segundo trabalho, os controladores 
foram projetados com base nas aproximações do 
sistema não-linear em um sistema de primeira ordem 
com atraso de transporte, utilizando o experimento do 
relé e funções descritivas, bem como sintonia PID 
utilizando Ziegler-Nichols. 
 Para todas as simulações, foi aplicado ao sinal 
um ruído gaussino de média zero e variância 0.02, com 
passo de 0.003. 
4.1 – Experimento do relé para K180 e ω180 
 Para realizar a aproximação do sistema não-
linear, deve-se aplicar um relé no sistema 
realimentado, como pode ser visto na simulação feita 
no simulink, no Apêndice A. O ganho estático 
 do sistema foi obtido pela resposta ao 
degrau. 
 Como este experimento não possui integrador, 
deve-se adaptar os limites do relé de modo ao ciclo 
limite oscilar em torno da referência fazendo 
 
 
 
 
 
. Para este experimento e . 
Para diminuir a interferência do ruído, fixou-se uma 
histerese de ±0.7, obtida experimentalmente. A Figura 
a seguir mostra o ciclo limite obtido. 
 
Figura 7 - Ciclo do limite utilizando relé sem integrador 
 Através da análise do gráfico, tiramos que 
 . O período pode ser obtido 
pela análise da saída do relé, vista na Figura 8. 
 A partir desses dados, pode-se calcular o 
ganho 
 
 
 
 √ 
 e a frequência 
 
 
: 
 ; 
 ; 
 
Figura 8 - Período de oscilação do relé 
4 
 
 O experimento do relé irá aproximar o sistema 
a um sistema de primeira ordem com atraso de 
transporte, com a seguinte forma: ( ) 
 
 
 
 Calcula-se, então, 
 
 
√( ) 
e 
 
 
( ( )): 
 
 
 
O que nos dá uma aproximação do sistema: 
 
 ( ) 
 
( )
 
As curvas de Bode do sistema aproximado foram as 
seguintes: 
 
Figura 9 - Curvas de Bode da aproximação por relé sem 
integrador 
Comparando a resposta em frequência do sistema 
linearizado, na Figura 4, percebe-se uma notável 
diferença. O sistema aproximado possui margem de 
fase e ganhos negativos, enquanto no sistema 
linearizado a ambas são positivas, e a margem de fase 
é infinita. Nota-se, também, um ganho positivoem 
baixa frequência, enquanto que no sistema linearizado 
o ganho é negativo. Pode-se constatar que a 
aproximação não foi muito satisfatória em termos de 
resposta em frequência. 
Foi projetado, então, um controlador PID com as 
mesmas especificações desejando uma margem de fase 
de 60 graus. Calculando τ1 = 
 
 
 e τ2 = 
 ( ( ))
 
, temos: 
 τ1 
 τ2 = 
Em seguida, calcula-se o ganho K de modo que 
seja a frequência de cruzamento de ganho: 
 ( )( ) ( ) 
 
 
Então, temos . 
Com os valores de K, τ1 e τ2 , obtêm-se Kp, Ti e Td: 
 
 
 
Que nos dá o seguinte controlador: 
 
 ( )( )
 
 
4.1 – Experimento do relé para K90 e ω90 
 Este experimento é semelhante ao realizado 
anteriormente, mas com o acréscimo de um integrador 
na saída do relé, como pode ser visto na simulação 
apresentada no Apêndice B. 
 Analogamente ao experimento anterior, deve-
se medir o valor x da amplitude do ciclo limite causado 
pelo relé. O uso do integrador faz com que a oscilação 
ocorra em torno do valor de referência com os limites 
do relé simétricos, de ±4, com histerese de ±0.01.A 
Figura 10 mostra o ciclo limite obtido: 
 
Figura 10 - Ciclo limite utilizando o relé com integrador 
5 
 
 Do gráfico, podemos tirar que , e 
pelo gráfico da saída do relé, visto na Figura 11, 
podemos tirar que . 
 
Figura 11 - Saída do relé com integrador 
 
A partir desses dados, pode-se calcular o ganho 
 
 
 √ 
 e a frequência 
 
 
: 
 ; 
 ; 
Calcula-se, então, 
 
 
√( ) e 
 
 
 
( (
 
 
 )): 
 ; 
 ; 
Que dá ao sistema a seguinte aproximação: 
 ( ) 
 
 
 
Cujos diagramas de Bode podem ser vistos na Figura 
12, a seguir. Ao contrário da aproximação pelo 
experimento sem integrador, esta segunda 
aproximação tem uma resposta em frequência 
semelhante a do sistema linearizado, com margem de 
fase infinita e margem de ganho positiva (mas não tão 
próxima). A frequência de corte também é semelhante, 
e o ganho em baixa frequência também é negativo (-
9.2 dB na aproximação, -21.3 no sistema linearizado). 
 
Figura 12 - Diagramas de Bode para a aproximação pelo Relé 
com integrador 
 Projetando um controlador PID de forma 
análoga ao experimento anterior, especificando como 
margem de fase desejada 60 graus, tem-se: 
 
 ; 
 
 
 Dando-nos o seguinte controlador: 
 
 ( )( )
 
 
4.3 – Sintonia PID utilizando Ziegler-Nichols 
 A técnica de sintonia por Ziegler-Nichols 
consiste em levar o sistema até o limite de as 
estabilidade, utilizando um controlador proporcional e 
o aumentando até o sistema oscilar sem convergir para 
o valor da referência. Realizando esta simulação, foi 
possível obter o valor de 
 A saída foi a gerada na Figura 13, de onde 
pode-se tirar o período de oscilação crítica 
 Nota-se que os valores são semelhantes 
àqueles encontrados no experimento do relé sem 
integrador. 
6 
 
 
Figura 13 - Sistema oscilante 
 Tendo em mãos estes dados, pode-se fazer a 
sintonia PID através da tabela de Ziegler-Nichols: 
 K Ti Td 
P 0.5 - - 
PI 0.4 0.8 - 
PID 
Tabela 2 – Tabela de Ziegler-Nichols 
 Pela tabela, achamos os valores dos 
parâmetros do controlador PID: 
 
 ; 
 ; 
Que, por fim, nos dá o seguinte controlador: 
 
 ( )( )
 
 
5 – Análise dos resultados 
 Os controladores projetados foram, então, 
aplicados no sistema não-linear, da mesma forma que 
no trabalho realizado anteriormente. 
 Utilizando o controlador projetado à partir do 
experimento do relé sem integrador, fazendo os 
devidos ajustes finos, o sistema obteve um resposta 
com cerca de 28.67% de overshoot e tempo de 
estabilização de 0.57s, como pode ser visto na Figura 
14. 
 
Figura 14 - Resposta ao degrau utilizando o controlador 
 Aplicando o controlador projetado com base 
na aproximação realizada com o experimento do relé 
com integrador, o sistema obteve a resposta vista na 
Figura 15. 
 O overshoot na saída foi menor que o 
controlador do relé sem integrador, de 13,3%, mas o 
tempo de estabilização aumentou para 
aproximadamente 0.8s. 
 
Figura 15 – Resposta ao degrau utilizando o controlador 
 Por fim, foi utilizado no sistema não-linear o 
controlador provindo da sintonia PID por Ziegler-
Nichols. O controle do sistema pode ser visto na 
Figura 16. Nota-se um overshoot consideravelmente 
mais alto, de 60%, porém com um tempo de 
estabilização mais adequado, de aproximadamente 
0.65s. 
7 
 
 
Figura 16 - Resposta ao degrau utilizando o controlador 
 A Figura 17 mostra todas as respostas, para 
comparativo. Em azul, está a curva do sistema 
controlado pelo controlador projetado com base no 
sistema linearizado; em verde, sistema controlado com 
por ; em vermelho, por ; e em preto por 
 . 
 
Figura 17 - Comparação dos controladores 
 O esforço de controle dos controladores 
projetados para este trabalho podem ser vistos nas 
Figuras 18, 19 e 20, a seguir. Percebe-se um menor 
esforço vindo do controlador , que também 
obteve melhores resultados, enquanto o esforço do 
controlador foi o que convergiu mais rápido para 
zero. 
 
Figura 18 - Esforço de controle do Controlador 
 
 
Figura 19 - Esforço de controle do Controlador 
 
 
Figura 20 - Esforço de controle do Controlador 
8 
 
 A Figura 21 permite constatar como são 
insignificantes os esforços de controle dos 
controladores projetados para este trabalho se 
comparados ao controlador projetado para o sistema 
linearizado (em azul): 
 
Figura 21 - Comparação entre os esforços de controle 
 
6 – Análise de Robustez 
Para realizar a análise de robustez, compara-se 
a resposta em frequência em malha fechada de ( ) 
com a de 
 
 
 , no qual 
 
 
 , onde é um polo 
não modelado do sistema, de forma que: 
 ( ) 
 
 
 
 Essa análise será feita para o sistema 
linearizado 
 ( ) 
 
( )( )
 
com os controladores , , e , este 
último sendo o controlador projetado para o sistema 
linearizado no trabalho anterior. 
 Primeiramente, foi feita a análise com o 
controlador , provindo do experimento do relé 
sem integrador. O limite da estabilidade robusta ocorre 
com um polo em , como pode ser observado 
na Figura 22. 
 
Figura 22 - Limite de estabilidade robusta com 
 Em seguida, foi feita a análise com o 
controlador , provindo do experimento do relé 
com integrador. O mesmo pelo em foi o 
limite de estabilidade robusta para este controlador, 
como pode ser visto na Figura 23. 
 
Figura 23 - Limite de estabilidade robusta com 
 O sistema controlado pelo controlador 
projetado utilizando o método de Ziegler-Nichols se 
mostrou muito menos robusto, atingindo o limite de 
estabilidade robusta com um polo em , 
como pode ser visto na Figura 24, a seguir: 
9 
 
 
Figura 24 - Limite de estabilidade robusta com 
 Por fim, foi feita a análise com sistema 
controlado pelo controlador projetado para o sistema 
linearizado. Este se mostrou bastante robusto, 
atingindo o limite de estabilidaderobusta apenas com 
um polo em , como ilustrado na Figura 25, 
abaixo. 
 
Figura 25 - Limite de estabilidade robusta para 
7 – Conclusões 
 Com base no conteúdo visto em sala de aula, 
foi possível, com sucesso, projetar um controlador com 
base na aproximação de primeira ordem com atraso de 
transporte de um sistema não-linear, fazendo uso do 
experimento do relé com e sem integrador, bem como 
sintonia PID por Ziegler-Nichols. O funcionamento 
mais adequado dos controladores projetado aplicados 
ao sistema não-linear exigiu alguns ajustes finos. 
 Foi notável a superioridade do controlador 
projetado para o sistema linearizado. Isso se deve ao 
fato de que esta aproximação é mais fiel ao sistema 
real, onde linearizamos o sistema em torno de um 
ponto de operação plausível e obtivemos uma função 
de transferência de terceira ordem. O custo desse 
controlador foi um esforço de controle muito maior do 
que o dos outros controladores. O experimento do relé 
aproximou a um sistema de primeira ordem, que é uma 
aproximação bastante simplificada. 
 O experimento do relé, mostrou-se um método 
bastante interessante por ser totalmente experimental, 
não havendo necessidade do conhecimento do planta 
para realizar a aproximação. Os controladores 
projetados para ambos os experimentos geraram 
respostas satisfatórias, apenas com overshoot acima do 
especificado. O experimento utilizando um integrador 
gerou uma resposta mais adequada ao sistema, 
enquanto o experimento do relé sem integrador gerou 
uma resposta mais oscilante (e um pouco mais rápida).
 A resposta utilizando o controlador de Ziegler-
Nichols obteve a resposta rápida e bem mais 
oscilatória, com um esforço de controle mediano, que 
apenas enfatiza o porquê deste método ser tão 
utilizado: é bastante simples e de eficiência aceitável e, 
para a maioria das aplicações industriais, é adequado. 
 Em termos de robustez, o controlador 
projetado no trabalho anterior também se mostrou 
bastante robusto, permanecendo estável até com a 
adição de um polo em . O limite de 
estabilidade robusta para os sistemas controlados pelos 
controladores obtidos pelo método do relé foi o 
mesmo, enquanto o controlador de Ziegler-Nichols se 
mostrou pouco adequado em termos de robustez. 
 Por fim, este segundo trabalho foi muito 
interessante no sentindo de dar conhecimento de 
métodos mais experimentais para projeto de 
controladores que, na prática, são mais utilizados. Foi 
proveitoso para que adquiríssemos certa sensibilidade 
quanto aos limites dos relés e suas histereses para 
anular o efeito do ruído, bem como o ajuste fino dos 
parâmetros dos controladores. 
 
 
 
 
10 
 
8 – Referências 
[1] OGATA, Katsuhiko. “Engenharia de Controle 
Moderno”. Prentice Hall do Brasil, 1993. 
[2] Notas de aula do professor Carlos Eduardo 
Trabuco, da disciplina Tópicos Especiais em Sistemas 
de Controle, DCA, UFRN, 2014. 
[3] FILHO, Marcílio; SENA, Phelipe; ARAÚJO, 
Rafael; SEMENTE, Rodrigo. “Controle de Posição 
por Acionamento de Motor de Corrente Contínua”, 
Relatório técnico, DCA, UFRN, 2012. 
[4] MONTEIRO, Gustavo V.; “Controlo Não 
Linear”, EST, Setúbal, 2003. 
[5] FRANKLIN, Gene F.; POWELL, J. David; 
EMANI-NAEINI, Abbas. “Feedback Control of 
Dynamic Systems”. Prentice Hall, 6th Edition, 2009. 
[6] DORF, Richard C.;BISHIP, Robert H.; 
“Sistemas de Controle Modernos”. LTC Editora, 
1998. 
 
Apêndice A – Experimento do Relé sem integrador 
 
Apêndice B – Experimento do Relé com integrador