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AP3 MetDet12015-2 Métodos Deterministicos 1 MD1

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2015-2
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa.
ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
Questa˜o 1 (1.0 pt) Calcule:
a) 2× 1
5
b)
(
−1
3
)2
c) 3
√−125 d) (√2−√5)2
Os itens valem, respectivamente, (0.2), (0.2), (0.3) e (0.3).
Soluc¸a˜o:
a) 2× 1
5
=
2
1
× 1
5
=
2 · 1
1 · 5 =
2
5
b)
(
−1
3
)2
=
(
−1
3
)
·
(
−1
3
)
=
(−1) · (−1)
3 · 3 =
1
9
c) 3
√−125 = (−125)1/3 = [(−5)3]1/3 = (−5)3/3 = (−5)1 = −5
d)
(√
2−√5)2 = (√2)2 − 2 · √2 · √5 + (√5)2 = 2− 2√10 + 5 = 7− 2√10
Questa˜o 2 (2.0 pt) : Indique quais das sentenc¸as a seguir sa˜o verdadeiras e quais sa˜o falsas.
Justifique sua resposta.
a) (0.5 pt) ( ) Se x e´ um nu´mero real tal que x > 3, enta˜o −3 < −x
b) (0.5 pt) ( ) Para todo m que e´ um nu´mero inteiro positivo, tem-se que m+ 1 > 3.
c) (1.0 pt) ( ) Na˜o existe um nu´mero real x tal que x2 − 2x+ 2 < 0.
Soluc¸a˜o:
a) ( Falsa ) Pois, por exemplo, para x = 10 temos que 10 > 3, no entanto −3 > −10.
b) ( Falsa ) Pois, por exemplo, para m = 1, m+ 1 = 2 < 3
Me´todos Determin´ısticos I AP3 2
c) ( Verdadeira ) Para saber se o que se afirma e´ verdade ou na˜o, vamos estudar o sinal de x2−2x+2.
Para isso, vamos chamar y de x2 − 2x+ 2, isto e´, y = x2 − 2x+ 2.
Lembremos que no plano euclideano o gra´fico de y = x2 − 2x + 2 e´ uma para´bola. Vamos,
enta˜o, estudar o sinal do y da para´bola a partir de seu esboc¸o no plano. Notemos que ela tem
a concavidade voltada para cima, ja´ que o coeficiente de x2 e´ positivo. Ale´m disso, quando
y = 0, isto e´, quando x2 − 2x + 2 = 0, temos que ∆ = 4 − 8 = −4 < 0, o que significa que a
para´bola na˜o intercepta o eixo x. Temos tambe´m que o ve´rtice da para´bola e´
(
− b
2a
,−∆
4a
)
=(
−(−2)
2
,−(−4)
4
)
= (1, 1). A partir destas informac¸o˜es, plotamos o gra´fico da para´bola na
Figura 1. Nele, observamos que para qualquer x real, o ponto (x, y) da para´bola, tem o y
positivo. Ou seja, na˜o existe x real tal que x2 − 2x+ 2 < 0.
1
x
1
y
Figura 1: Questa˜o 2-g)
Questa˜o 3 (1.5 pt) : Um funciona´rio de uma empresa recebeu a quantia de R$ 285,00 a mais em
seu sala´rio. Essa quantia refere-se a um aumento de 9,5% sobre o seu sala´rio.
a) (1.0 pt) Determine qual era o sala´rio do funciona´rio antes do aumento.
b) (0.5 pt) Qual e´ o sala´rio do funciona´rio depois do aumento?
Soluc¸a˜o:
a) Seja S o sala´rio do funciona´rio antes do aumento. Pelo enunciado, temos que
9, 5% · S = 285, 00 ⇐⇒ 9, 5
100
· S = 285, 00
⇐⇒
95
10
100
· S = 285, 00
⇐⇒ 95
1000
· S = 285, 00
⇐⇒ S = 1000
95
· 285, 00
⇐⇒ S = 3000, 00.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 3
Ou seja, o sala´rio do funciona´rio antes do aumento era igual a R$ 3000,00.
b) O sala´rio do funciona´rio depois do aumento e´ igual a soma de R$3000,00 com R$285,00. Ou
seja, e´ igual a R$ 3285,00.
Questa˜o 4 (3.0 pts) : Considere o sistema S de equac¸o˜es:
S :
{
x2 − 6x− y = 0 (i)
2x− y = 7. (ii)
a) (1.5 pt) Determine as soluc¸o˜es do sistema, se existirem.
b) (1.5 pt) Fac¸a os esboc¸os dos gra´ficos das equac¸o˜es (i), (ii) e marque, tambe´m, os pontos encon-
trados no item a) (se existirem).
Soluc¸a˜o:
a) Multiplicando a equac¸a˜o (ii) por −1 e depois somando as duas equac¸o˜es, i.e., fazendo (i)− (ii),
temos 

x2 − 6x− y = 0
−2x+ y = −7
+
x2 − 8x = −7
Encontramos enta˜o que
x2 − 8x+ 7 = 0⇐⇒ x = 8±
√
64− 28
2
⇐⇒ x = 8± 6
2
⇐⇒ x = 7 ou x = 1.
Substituindo x em 2x− y = 7 para determinar o valor de y correspondente, temos que
• para x = 1, 2(1)− y = 7⇐⇒ y = 2− 7⇐⇒ y = −5.
• para x = 7, 2(7)− y = 7⇐⇒ y = 14− 7⇐⇒ y = 7.
Portanto, o sistema S tem como soluc¸o˜es os pares ordenados (1,−5), (7, 7).
b) As equac¸o˜es x2−6x−y = 0 e 2x−y = 7 podem ser reescritas na forma y = x2−6x e y = 2x−7
cujos gra´ficos sa˜o representados por uma para´bola e por uma reta, respectivamente.
Gra´fico de y = x2 − 6x: a para´bola tem concavidade voltada para cima pois o coeficiente de
x2 e´ positivo. Temos tambe´m que
• x = 0⇐⇒ y = (0)2 − 6(0) = 0.
Portanto, a para´bola intercepta o eixo y no ponto (0, 0).
• y = 0⇐⇒ x2 − 6x = 0⇐⇒ x(x− 6) = 0⇐⇒ x = 0 ou x = 6.
Portanto, a para´bola intercepta o eixo x nos pontos (0, 0) e (6, 0).
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 4
• O ve´rtice V = (xv, yv) da para´bola tem coordenadas
xv = − b
2a
= −(−6)
2(1)
= 3 e yv = x
2
v − 6xv = (3)2 − 6(3) = −9.
Gra´fico de y = 2x− 7: Para determinar a reta, basta determinarmos dois pontos pelos quais
ela passa. Temos que:
• x = 0⇐⇒ y = 2(0)− 7 = −7. Ou seja, (0,−7) e´ um ponto da reta.
• y = 0⇐⇒ 2x− 7 = 0⇐⇒ x = 7
2
. Ou seja,
(
7
2
, 0
)
e´ um ponto da reta.
Na Figura 2 plotamos os gra´ficos de y = x2 − 6x e de y = 2x − 7, bem como os pontos
encontrados no item a).
V
1
7
2 6 7
x
-5
-3
7
-7
-9
y
Figura 2: Questa˜o 4, item b)
Questa˜o 5 (2.5 pts) : Considere as func¸o˜es f(x) = 2x− 1
3
e g(x) = x+ 3.
a) (1.4 pt) Considere a nova func¸a˜o h(x) =
1√
f(x) g(x)
. Determine o dom´ınio de h na forma de
intervalo ou reunia˜o de intervalos.
b) (0.5 pt) Calcule h(−4).
c) (0.6 pt) Considere uma nova func¸a˜o w(x) =
1√
f(x)
√
g(x)
.
Qual e´ o dom´ınio da func¸a˜o w? As func¸o˜es h(x) e w(x) sa˜o iguais? Justifique sua resposta.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 5
Soluc¸a˜o:
a) Como h(x) =
1√
f(x) g(x)
=
1√(
2x− 1
3
)
(x+ 3)
, isto e´, h e´ um quociente, segue que o deno-
minador de h deve ser diferente de zero para que esse quociente esteja bem definido, ou seja,√(
2x− 1
3
)
(x+ 3) 6= 0⇐⇒
(
2x− 1
3
)
(x+ 3) 6= 0.
Por outro lado,
√(
2x− 1
3
)
(x+ 3) esta´ bem definida quando
(
2x− 1
3
)
(x+ 3) ≥ 0.
Assim, o dom´ınio D(h) de h e´ formado pelos valores de x ∈ R em que(
2x− 1
3
)
(x+ 3) 6= 0 e
(
2x− 1
3
)
(x+ 3) ≥ 0.
Isto significa que D(h) e´ formado pelos valores de x ∈ R em que(
2x− 1
3
)
(x+ 3) > 0.
Vamos, enta˜o, determinar os valores de x ∈ R que satisfazem a inequac¸a˜o acima utilizando a
te´cnica de ana´lise de sinais.
Ou seja, vamos estudar o sinal de 2x− 1
3
e de x+ 3;
Estudo do sinal de 2x− 1
3
• 2x− 1
3
= 0⇐⇒ x = 1
6
• 2x− 1
3
> 0⇐⇒ x > 1
6
• 2x− 1
3
< 0⇐⇒ x < 1
6
Estudo do sinal de x+ 3
• x+ 3 = 0⇐⇒ x = −3
• x+ 3 > 0⇐⇒ x > −3
• x+ 3 < 0⇐⇒ x < −3
Tomando as ra´ızes das equac¸o˜es 2x− 1
3
= 0 e x+3 = 0 como pontos de refereˆncia constru´ımos
a tabela a seguir para determinar os valores de x que satisfazem a inequac¸a˜o dada.
(−∞,−3)
(
−3, 1
6
) (
1
6
,∞
)
sinal de
(
2x− 1
3
)
− − +
sinal de (x+ 3) − + +
sinal de
(
2x− 1
3
)
(x+ 3) + − +
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Me´todos Determin´ısticos I AP3 6
Como vemos na tabela acima,(
2x− 1
3
)
(x+ 3) > 0 ⇐⇒ x < −3 ou x > 1
6
.
Portanto, D(h) = (−∞,−3) ∪
(
1
6
,∞
)
.
b) Temos que
• f(−4) = 2(−4)− 1
3
= −8 − 1
3
=
−24− 1
3
= −25
3
• g(−4) = −4 + 3 = −1
• f(−4) g(−4) =
(
−25
3
)(−1) = 25
3
Logo,
h(−4) = 1√
f(−4) g(−4) =
1√
25
3
=
1√
25√
3
=
1
5√
3
=
√
3
5
.
c) Como w(x) =
1√
f(x)
√
g(x)
=
1√
2x− 1
3
√
x+ 3
, isto e´, w e´ um quociente, segue que o
denominador de w deve ser diferente de zero para que esse quociente esteja bem definido, ou
seja,√
2x− 1
3
√
x+ 3 6= 0 ⇐⇒
√
2x− 1
3
6= 0 e √x+ 3 6= 0⇐⇒ 2x− 1
3
6= 0 e x+ 3 6= 0.
Por outro lado,
√
2x− 1
3
e
√
x+ 3 esta˜o bem definidas quando 2x− 1
3
≥ 0 e x+ 3 ≥ 0.
Isto significa que D(w) e´ formado pelos valores de x ∈ R em que
2x− 1
3
> 0 e x+ 3 > 0.
Ou seja, pelos valores de x tais que x >
1
6
.
Assim, D(w) =
(
1
6
,∞
)
.
Da´ı, como D(h) 6= D(w), segue que as func¸o˜es h e w sa˜o diferentes.
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