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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro AP3 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2015-2 Nome: Matr´ıcula: Polo: Data: Atenc¸a˜o! • Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto, Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta; • E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas. • Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa. ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas. Questa˜o 1 (1.0 pt) Calcule: a) 2× 1 5 b) ( −1 3 )2 c) 3 √−125 d) (√2−√5)2 Os itens valem, respectivamente, (0.2), (0.2), (0.3) e (0.3). Soluc¸a˜o: a) 2× 1 5 = 2 1 × 1 5 = 2 · 1 1 · 5 = 2 5 b) ( −1 3 )2 = ( −1 3 ) · ( −1 3 ) = (−1) · (−1) 3 · 3 = 1 9 c) 3 √−125 = (−125)1/3 = [(−5)3]1/3 = (−5)3/3 = (−5)1 = −5 d) (√ 2−√5)2 = (√2)2 − 2 · √2 · √5 + (√5)2 = 2− 2√10 + 5 = 7− 2√10 Questa˜o 2 (2.0 pt) : Indique quais das sentenc¸as a seguir sa˜o verdadeiras e quais sa˜o falsas. Justifique sua resposta. a) (0.5 pt) ( ) Se x e´ um nu´mero real tal que x > 3, enta˜o −3 < −x b) (0.5 pt) ( ) Para todo m que e´ um nu´mero inteiro positivo, tem-se que m+ 1 > 3. c) (1.0 pt) ( ) Na˜o existe um nu´mero real x tal que x2 − 2x+ 2 < 0. Soluc¸a˜o: a) ( Falsa ) Pois, por exemplo, para x = 10 temos que 10 > 3, no entanto −3 > −10. b) ( Falsa ) Pois, por exemplo, para m = 1, m+ 1 = 2 < 3 Me´todos Determin´ısticos I AP3 2 c) ( Verdadeira ) Para saber se o que se afirma e´ verdade ou na˜o, vamos estudar o sinal de x2−2x+2. Para isso, vamos chamar y de x2 − 2x+ 2, isto e´, y = x2 − 2x+ 2. Lembremos que no plano euclideano o gra´fico de y = x2 − 2x + 2 e´ uma para´bola. Vamos, enta˜o, estudar o sinal do y da para´bola a partir de seu esboc¸o no plano. Notemos que ela tem a concavidade voltada para cima, ja´ que o coeficiente de x2 e´ positivo. Ale´m disso, quando y = 0, isto e´, quando x2 − 2x + 2 = 0, temos que ∆ = 4 − 8 = −4 < 0, o que significa que a para´bola na˜o intercepta o eixo x. Temos tambe´m que o ve´rtice da para´bola e´ ( − b 2a ,−∆ 4a ) =( −(−2) 2 ,−(−4) 4 ) = (1, 1). A partir destas informac¸o˜es, plotamos o gra´fico da para´bola na Figura 1. Nele, observamos que para qualquer x real, o ponto (x, y) da para´bola, tem o y positivo. Ou seja, na˜o existe x real tal que x2 − 2x+ 2 < 0. 1 x 1 y Figura 1: Questa˜o 2-g) Questa˜o 3 (1.5 pt) : Um funciona´rio de uma empresa recebeu a quantia de R$ 285,00 a mais em seu sala´rio. Essa quantia refere-se a um aumento de 9,5% sobre o seu sala´rio. a) (1.0 pt) Determine qual era o sala´rio do funciona´rio antes do aumento. b) (0.5 pt) Qual e´ o sala´rio do funciona´rio depois do aumento? Soluc¸a˜o: a) Seja S o sala´rio do funciona´rio antes do aumento. Pelo enunciado, temos que 9, 5% · S = 285, 00 ⇐⇒ 9, 5 100 · S = 285, 00 ⇐⇒ 95 10 100 · S = 285, 00 ⇐⇒ 95 1000 · S = 285, 00 ⇐⇒ S = 1000 95 · 285, 00 ⇐⇒ S = 3000, 00. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP3 3 Ou seja, o sala´rio do funciona´rio antes do aumento era igual a R$ 3000,00. b) O sala´rio do funciona´rio depois do aumento e´ igual a soma de R$3000,00 com R$285,00. Ou seja, e´ igual a R$ 3285,00. Questa˜o 4 (3.0 pts) : Considere o sistema S de equac¸o˜es: S : { x2 − 6x− y = 0 (i) 2x− y = 7. (ii) a) (1.5 pt) Determine as soluc¸o˜es do sistema, se existirem. b) (1.5 pt) Fac¸a os esboc¸os dos gra´ficos das equac¸o˜es (i), (ii) e marque, tambe´m, os pontos encon- trados no item a) (se existirem). Soluc¸a˜o: a) Multiplicando a equac¸a˜o (ii) por −1 e depois somando as duas equac¸o˜es, i.e., fazendo (i)− (ii), temos x2 − 6x− y = 0 −2x+ y = −7 + x2 − 8x = −7 Encontramos enta˜o que x2 − 8x+ 7 = 0⇐⇒ x = 8± √ 64− 28 2 ⇐⇒ x = 8± 6 2 ⇐⇒ x = 7 ou x = 1. Substituindo x em 2x− y = 7 para determinar o valor de y correspondente, temos que • para x = 1, 2(1)− y = 7⇐⇒ y = 2− 7⇐⇒ y = −5. • para x = 7, 2(7)− y = 7⇐⇒ y = 14− 7⇐⇒ y = 7. Portanto, o sistema S tem como soluc¸o˜es os pares ordenados (1,−5), (7, 7). b) As equac¸o˜es x2−6x−y = 0 e 2x−y = 7 podem ser reescritas na forma y = x2−6x e y = 2x−7 cujos gra´ficos sa˜o representados por uma para´bola e por uma reta, respectivamente. Gra´fico de y = x2 − 6x: a para´bola tem concavidade voltada para cima pois o coeficiente de x2 e´ positivo. Temos tambe´m que • x = 0⇐⇒ y = (0)2 − 6(0) = 0. Portanto, a para´bola intercepta o eixo y no ponto (0, 0). • y = 0⇐⇒ x2 − 6x = 0⇐⇒ x(x− 6) = 0⇐⇒ x = 0 ou x = 6. Portanto, a para´bola intercepta o eixo x nos pontos (0, 0) e (6, 0). Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP3 4 • O ve´rtice V = (xv, yv) da para´bola tem coordenadas xv = − b 2a = −(−6) 2(1) = 3 e yv = x 2 v − 6xv = (3)2 − 6(3) = −9. Gra´fico de y = 2x− 7: Para determinar a reta, basta determinarmos dois pontos pelos quais ela passa. Temos que: • x = 0⇐⇒ y = 2(0)− 7 = −7. Ou seja, (0,−7) e´ um ponto da reta. • y = 0⇐⇒ 2x− 7 = 0⇐⇒ x = 7 2 . Ou seja, ( 7 2 , 0 ) e´ um ponto da reta. Na Figura 2 plotamos os gra´ficos de y = x2 − 6x e de y = 2x − 7, bem como os pontos encontrados no item a). V 1 7 2 6 7 x -5 -3 7 -7 -9 y Figura 2: Questa˜o 4, item b) Questa˜o 5 (2.5 pts) : Considere as func¸o˜es f(x) = 2x− 1 3 e g(x) = x+ 3. a) (1.4 pt) Considere a nova func¸a˜o h(x) = 1√ f(x) g(x) . Determine o dom´ınio de h na forma de intervalo ou reunia˜o de intervalos. b) (0.5 pt) Calcule h(−4). c) (0.6 pt) Considere uma nova func¸a˜o w(x) = 1√ f(x) √ g(x) . Qual e´ o dom´ınio da func¸a˜o w? As func¸o˜es h(x) e w(x) sa˜o iguais? Justifique sua resposta. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP3 5 Soluc¸a˜o: a) Como h(x) = 1√ f(x) g(x) = 1√( 2x− 1 3 ) (x+ 3) , isto e´, h e´ um quociente, segue que o deno- minador de h deve ser diferente de zero para que esse quociente esteja bem definido, ou seja,√( 2x− 1 3 ) (x+ 3) 6= 0⇐⇒ ( 2x− 1 3 ) (x+ 3) 6= 0. Por outro lado, √( 2x− 1 3 ) (x+ 3) esta´ bem definida quando ( 2x− 1 3 ) (x+ 3) ≥ 0. Assim, o dom´ınio D(h) de h e´ formado pelos valores de x ∈ R em que( 2x− 1 3 ) (x+ 3) 6= 0 e ( 2x− 1 3 ) (x+ 3) ≥ 0. Isto significa que D(h) e´ formado pelos valores de x ∈ R em que( 2x− 1 3 ) (x+ 3) > 0. Vamos, enta˜o, determinar os valores de x ∈ R que satisfazem a inequac¸a˜o acima utilizando a te´cnica de ana´lise de sinais. Ou seja, vamos estudar o sinal de 2x− 1 3 e de x+ 3; Estudo do sinal de 2x− 1 3 • 2x− 1 3 = 0⇐⇒ x = 1 6 • 2x− 1 3 > 0⇐⇒ x > 1 6 • 2x− 1 3 < 0⇐⇒ x < 1 6 Estudo do sinal de x+ 3 • x+ 3 = 0⇐⇒ x = −3 • x+ 3 > 0⇐⇒ x > −3 • x+ 3 < 0⇐⇒ x < −3 Tomando as ra´ızes das equac¸o˜es 2x− 1 3 = 0 e x+3 = 0 como pontos de refereˆncia constru´ımos a tabela a seguir para determinar os valores de x que satisfazem a inequac¸a˜o dada. (−∞,−3) ( −3, 1 6 ) ( 1 6 ,∞ ) sinal de ( 2x− 1 3 ) − − + sinal de (x+ 3) − + + sinal de ( 2x− 1 3 ) (x+ 3) + − + Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP3 6 Como vemos na tabela acima,( 2x− 1 3 ) (x+ 3) > 0 ⇐⇒ x < −3 ou x > 1 6 . Portanto, D(h) = (−∞,−3) ∪ ( 1 6 ,∞ ) . b) Temos que • f(−4) = 2(−4)− 1 3 = −8 − 1 3 = −24− 1 3 = −25 3 • g(−4) = −4 + 3 = −1 • f(−4) g(−4) = ( −25 3 )(−1) = 25 3 Logo, h(−4) = 1√ f(−4) g(−4) = 1√ 25 3 = 1√ 25√ 3 = 1 5√ 3 = √ 3 5 . c) Como w(x) = 1√ f(x) √ g(x) = 1√ 2x− 1 3 √ x+ 3 , isto e´, w e´ um quociente, segue que o denominador de w deve ser diferente de zero para que esse quociente esteja bem definido, ou seja,√ 2x− 1 3 √ x+ 3 6= 0 ⇐⇒ √ 2x− 1 3 6= 0 e √x+ 3 6= 0⇐⇒ 2x− 1 3 6= 0 e x+ 3 6= 0. Por outro lado, √ 2x− 1 3 e √ x+ 3 esta˜o bem definidas quando 2x− 1 3 ≥ 0 e x+ 3 ≥ 0. Isto significa que D(w) e´ formado pelos valores de x ∈ R em que 2x− 1 3 > 0 e x+ 3 > 0. Ou seja, pelos valores de x tais que x > 1 6 . Assim, D(w) = ( 1 6 ,∞ ) . Da´ı, como D(h) 6= D(w), segue que as func¸o˜es h e w sa˜o diferentes. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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