EP4 2017 2 gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
EP4 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2017-2
Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado nas Aulas 4 e 5 do Caderno Dida´tico.
Exerc´ıcio 1 Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das proposic¸o˜es compostas a seguir. Jus-
tifique.
a) Se a Amazoˆnia e´ uma floresta enta˜o ha´ praias no Rio de Janeiro.
b) Se respiramos oxigeˆnio, enta˜o temos guelras.
c) Se o Snoopy era um gato, enta˜o o Garfield era um cachorro.
d) Se Salvador e´ a capital do Brasil, enta˜o o Rio de Janeiro fica na regia˜o Sudeste.
e) Se existe chuva de canivete, enta˜o os canivetes evaporam quando deixados no Sol.
Soluc¸a˜o: Este exerc´ıcio e´ sobre a ana´lise do valor-verdade de proposic¸o˜es condicionais. Neste
caso, sabemos que a proposic¸a˜o condicional so´ podera´ ser considerada falsa se a primeira proposic¸a˜o
elementar do condicional for verdadeira e a proposic¸a˜o elementar que ela implica for falsa. Em todos
os outros casos, a proposic¸a˜o condicional sera´ verdadeira. Confira abaixo.
a) Verdadeira. A primeira proposic¸a˜o elementar e´ verdadeira e a proposic¸a˜o elementar que ela
implica tambe´m e´ verdadeira.
b) Falsa. A primeira proposic¸a˜o elementar e´ verdadeira, pore´m aparece implicando uma proposic¸a˜o
que e´ falsa.
c) Verdadeira. A primeira proposic¸a˜o elementar e´ falsa, logo qualquer que seja a segunda pro-
posic¸a˜o o resultado e´ verdadeiro. (Veja que a proposic¸a˜o na˜o faz nenhuma afirmac¸a˜o sobre a
espe´cie de Garfield, caso Snoopy na˜o seja um gato).
d) Verdadeira. Como no item anterior, aqui tambe´m a primeira proposic¸a˜o do condicional e´ falsa.
Logo, o resultado e´ verdadeiro qualquer que seja a segunda proposic¸a˜o (Se Salvador na˜o e´ a
capital do Brasil, a frase na˜o representa nenhum comprometimento quanto a` localizac¸a˜o do
Rio de Janeiro.)
e) Verdadeira. Vale o mesmo que nos dois itens anteriores, como a primeira afirmativa e´ falsa,
na˜o importa o absurdo que venha depois, o resultado na˜o representa uma mentira.
Exerc´ıcio 2 Determine se as proposic¸o˜es compostas abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas. Justifique.
a) Bananas sa˜o vermelhas se e somente se existem mac¸a˜s verdes.
b) A bandeira brasileira e´ lila´s se e somente se ha´ peixes no mar.
c) Os peixes sabem respirar sob a a´gua se e somente se ha´ elefantes que voam.
Me´todos Determin´ısticos I EP4 2
d) As bananeiras da˜o mac¸a˜s se e somente se os golfinhos teˆm asas.
Soluc¸a˜o: Este exerc´ıcio e´ sobre a ana´lise do valor-verdade de proposic¸o˜es bicondicionais. Neste caso,
sabemos que a proposic¸a˜o bicondicional so´ podera´ ser considerada falsa se as proposic¸o˜es elementares
possu´ırem valores-verdade opostos. Confira abaixo.
a) Falsa. A primeira proposic¸a˜o elementar e´ falsa, mas a segunda e´ verdadeira, logo o resultado
do bicondicional e´ falso.
b) Falsa. Vale o mesmo do item anterior.
c) Falsa. A primeira proposic¸a˜o elementar e´ verdadeira, mas a segunda e´ falsa, logo o resultado
do bicondicional e´ falso.
d) Verdadeira. A primeira proposic¸a˜o elementar e´ falsa, mas a segunda tambe´m e´ falsa, logo o
resultado do bicondicional e´ verdadeiro (as duas proposic¸o˜es elementares teˆm o mesmo valor
lo´gico).
Exerc´ıcio 3 Complete a tabela verdade a seguir.
p q p⇒ q p ∨ q p∨ ∼ p q∧ ∼ q p ∧ q ∼ p⇒ q ∼ q ⇒∼ p
V V
V F
F V
F F
Soluc¸a˜o:
p q p⇒ q p ∨ q p∨ ∼ p q∧ ∼ q p ∧ q ∼ p⇒ q ∼ q ⇒∼ p
V V V V V F V V V
V F F V V F F V F
F V V V V F F V V
F F V F V F F F V
Observac¸a˜o: Se voceˆ resolveu o exerc´ıcio acima, descobriu que o resultado da primeira proposic¸a˜o
composta e´ igual ao da u´ltima em todas as linhas da tabela. Quando isso ocorre dizemos que as
duas proposic¸o˜es sa˜o equivalentes. Ja´ a terceira proposic¸a˜o composta, voceˆ deve ter visto que e´
sempre verdadeira. Isso e´ o que chamamos de tautologia. Ao contra´rio desta, ha´ a quarta proposic¸a˜o
composta, que e´ sempre falsa, e´ o que chamamos de contradic¸a˜o.
Exerc´ıcio 4 Andre´ e´ inocente ou Beto e´ inocente. Se Beto e´ inocente, enta˜o Caio e´ culpado. Caio
e´ inocente se e somente se Deˆnis e´ culpado. Ora, Deˆnis e´ culpado. Logo,
(A) Caio e Beto sa˜o inocentes.
(B) Caio e Andre´ sa˜o inocentes.
(C) Andre´ e Beto sa˜o inocentes.
(D) Caio e Deˆnis sa˜o culpados.
(E) Andre´ e Deˆnis sa˜o culpados.
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Observac¸a˜o: Essa questa˜o foi desenvolvida pela Escola de Administrac¸a˜o Fazenda´ria (ESAF) – (Fiscal Recife/2003/Esaf).
Soluc¸a˜o:
a) Proposic¸o˜es simples:
a: Andre´ e´ inocente
b: Beto e´ inocente
c: Caio e´ inocente
d: Deˆnis e´ inocente
b) Premissas:
1) a ∨ b
2) b⇒∼ c
3) c⇔∼ d
4) ∼ d
c) Vamos analisar as premissas. Ja´ sabemos pela 4 que d e´ falsa, isto e´, Deˆnis e´ culpado. Logo,
pela premissa 3, seque que c e´ verdadeira, ou seja, Caio e´ inocente. Mas isso significa que ∼ c e´
falsa, logo como a premissa 2 tem que ser verdadeira, podemos concluir que b e´ falsa (caso contra´rio
ter´ıamos uma afirmativa verdadeira implicando uma falsa, o que resultaria na falsidade da premissa
2). Da´ı sabemos que Beto e´ culpado. Mas se b e´ falsa, pela premissa 1 a e´ verdadeira, isto e´, Andre´
e´ inocente.
Conclusa˜o: Andre´ e´ inocente, Beto e´ culpado, Caio e´ inocente e Deˆnis e´ culpado. A resposta correta
na questa˜o da Esaf e´ a letra B.
Exerc´ıcio 5 Considere a afirmac¸a˜o P: “A ou B”, onde A e B, por sua vez, sa˜o as seguintes
afirmac¸o˜es:
A: “Carlos e´ dentista.”
B:“Se Eˆnio e´ economista, enta˜o Juca e´ arquiteto.”
Ora, sabe-se que a afirmac¸a˜o P e´ falsa. Logo,
(A) Carlos na˜o e´ dentista, Eˆnio na˜o e´ economista, Juca na˜o e´ arquiteto.
(B) Carlos na˜o e´ dentista, Eˆnio e´ economista, Juca na˜o e´ arquiteto.
(C) Carlos na˜o e´ dentista, Eˆnio e´ economista, Juca e´ arquiteto.
(D) Carlos e´ dentista, Eˆnio na˜o e´ economista, Juca na˜o e´ arquiteto.
(E) Carlos e´ dentista, Eˆnio e´ economista, Juca na˜o e´ arquiteto.
Observac¸a˜o: A questa˜o a seguir foi desenvolvida pela Escola de Administrac¸a˜o Fazenda´ria (ESAF) para um concurso
de gestor fazenda´rio em 2005.
Soluc¸a˜o: Para que uma disjunc¸a˜o, isto e´, uma proposic¸a˜o tipo “A ou B” seja falsa, e´ necessa´rio
que tanto A quanto B sejam falsas. Logo, a premissa diz que A e´ falsa e B tambe´m e´ falsa.
Dizer que A e´ falsa e´ dizer que Carlos na˜o e´ dentista.
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Por outro lado, a proposic¸a˜o B e´ uma condicional, logo, se ela e´ falsa, significa que Eˆnio e´ economista
mas Juca na˜o e´ arquiteto. A resposta correta e´ a letra B.
Exerc´ıcio 6 (Esaf/2002) O Rei ir a cac¸a e´ condic¸a˜o necessa´ria para o duque sair do castelo e e´
condic¸a˜o suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa e´
condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para o bara˜o sorrir e e´ condic¸a˜o necessa´ria para a duquesa ir ao
jardim. O bara˜o na˜o sorriu. Logo:
(A) a duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa.
(B) se o duque na˜o saiu do castelo, enta˜o o conde encontrou a princesa.
(C) o rei na˜o foi a` cac¸a e o conde na˜o encontrou a princesa.
(D) o rei foi a cac¸a e a duquesa na˜o foi ao jardim.
(E) o duque saiu do castelo e o rei na˜o foi a cac¸a.
Soluc¸a˜o: Vamos usar a mesma estrate´gia que ja´ usamos antes. Primeiro vamos escrever as pro-
posic¸o˜es elementares e representa´-las por letras:
r: Rei ir a cac¸a;
d: duque sair do castelo;
j: duquesa ir ao jardim;
c: conde encontrar a princesa;
b: bara˜o sorrir.
Agora vamos escrever as premissas usando os s´ımbolos lo´gicos:
d⇒ r (o rei ir a cac¸a e´ condic¸a˜o necessa´ria para o duque sair do castelo);
r ⇒ j (o rei ir a cac¸a e´ condic¸a˜o suficiente para a duquesair ao jardim);
c⇔ b (o conde encontrar a princesa e´ condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para o bara˜o sorrir);
j ⇒ c (o conde encontrar a princesa e´ condic¸a˜o necessa´ria para a duquesa ir ao jardim);
∼ b (o bara˜o na˜o sorriu).
Falta apenas analisar as premissas que temos.
Pela u´ltima ja´ sabemos que b e´ falsa.
Pela terceira premissa, se b e´ falsa, c tambe´m tem que ser falsa.
Pela quarta premissa, se c e´ falsa, j tambe´m tem que ser falsa.
Pela segunda premissa, se j e´ falsa, r tambe´m tem que ser falsa.
Pela primeira premissa, se r e´ falsa, d tambe´m tem que ser falsa.
Logo, todas as proposic¸o˜es elementares que consideramos sa˜o falsas:
O rei na˜o foi a cac¸a, o duque na˜o saiu do castelo, a duquesa na˜o foi ao jardim, o conde na˜o
encontrou a princesa e o bara˜o na˜o sorriu.
A resposta correta e´ a letra C.
Exerc´ıcio 7 Seja A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6, 7}. Escreva por extenso as proposic¸o˜es abaixo e
decida se sa˜o falsas ou verdadeiras justificando sua resposta. A primeira esta´ resolvida como exemplo.
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a) x ∈ A⇒ x < 5
Por extenso: se x pertence a A, enta˜o x e´ menor que 5.
E´ verdadeira: veja que quando a primeira proposic¸a˜o elementar e´ verdadeira, isto e´, x ∈ A,
tambe´m temos a segunda verdadeira, pois todos os elementos de A sa˜o menores que 5. Observe
ainda que, quando usamos varia´veis como x para que uma proposic¸a˜o como essa seja verdadeira,
ela deve ser verdadeira para todos os valores de x poss´ıveis. Basta que um valor de x falhe
para que a proposic¸a˜o seja considerada falsa. Assim, se a questa˜o fosse x ∈ A ⇒ x ≤ 3, ela
seria falsa, pois um dos valores poss´ıveis para x e´ o 4 (veja que 4 ∈ A), mas 4 na˜o e´ menor
ou igual a 3.
b) x ∈ A⇒ x+ 2 ∈ B.
c) x ∈ A⇔ x+ 2 ∈ B.
d) y ∈ B ⇒ (y − 2 ∈ A ou y e´ ı´mpar)
e) ∀x ∈ N, x e´ par ⇒ x+ 1 e´ ı´mpar
f) ∀x ∈ R, x2 > 1⇔ x > 1
Soluc¸a˜o:
b) Se x pertence a A enta˜o x+ 2 pertence a B
A proposic¸a˜o e´ verdadeira, pois a primeira proposic¸a˜o elementar sera´ verdadeira quando x for
1, 2, 3 ou 4, e nesses casos, x+2 sera´ 3, 4, 5 ou 6, todos pertencentes a B, logo, sempre que
a primeira proposic¸a˜o for verdadeira a segunda tambe´m sera´.
c) x pertence a A se e somente se x+ 2 pertence a B
A proposic¸a˜o e´ falsa. Ja´ vimos que sempre que x pertence a A, x+2 pertence a B, entretanto
ha´ casos em que x+2 pertence a B e x na˜o pertence a A: basta tomar x = 5 (5 /∈ A, pore´m
7 ∈ B). Logo, as duas proposic¸o˜es na˜o sa˜o equivalentes (para que elas fossem equivalentes,
sempre que uma delas fosse verdadeira a outra tambe´m deveria ser).
d) Se y pertence a B, enta˜o: y − 2 pertence a A ou y e´ ı´mpar.
Verdadeira: Para que a primeira afirmativa seja verdadeira, y deve valer 3, 4, 5, 6 ou 7. Se
y for 3, 4, 5 ou 6, y − 2 sera´ 1, 2, 3 ou 4, e portanto pertencera´ a A. Falta apenas pensar
no caso em que y = 7. Mas, nesse caso, y e´ ı´mpar. Logo, em qualquer caso, se y pertence a
B e´ verdadeira a proposic¸a˜o y − 2 ∈ A ou y e´ ı´mpar, o que garante que nossa implicac¸a˜o e´
verdadeira.
e) Para todo x pertencente aos naturais, se x e´ par enta˜o x+ 1 e´ ı´mpar.
Verdadeira: sempre que a primeira proposic¸a˜o for verdadeira, isto e´, x for par, sabemos que a
segunda tambe´m sera´ verdadeira, isto e´, x+ 1 sera´ ı´mpar.
f) Para todo x real, x2 > 1 se e somente se x > 1.
Falso: como vimos, basta mostrar um x real para o qual uma das duas proposic¸o˜es elementares
seja verdadeira e a outra na˜o. Tomemos, por exemplo, x = −2 (e´ um nu´mero real). Enta˜o a
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proposic¸a˜o x2 > 1 e´ verdadeira pois (−2)2 = 4 > 1, pore´m a proposic¸a˜o x > 1 e´ falsa (pois
−2 < 1).
Exerc´ıcio 8 Classifique em va´lido ou inva´lido cada um dos argumentos abaixo. Justifique.
a) Premissas:
Se eu estudo, eu aprendo.
Se eu aprendo, eu passo de ano.
Eu estudo.
Conclusa˜o:
Eu passo de ano.
b) Premissas:
Se eu tenho sede, bebo a´gua.
Se eu bebo a´gua, na˜o me desidrato.
Conclusa˜o:
Se eu tenho sede, na˜o me desidrato.
c) Premissas:
Se eu estudo, na˜o vou ao cinema.
Se na˜o vou ao cinema, na˜o janto fora.
Hoje janto fora.
Conclusa˜o:
Hoje na˜o estudo.
d) Premissas:
Se o Pedrinho na˜o se comportasse, ficaria de castigo
Pedrinho ficou de castigo.
Conclusa˜o:
Pedrinho na˜o se comportou.
Soluc¸a˜o:
a) Este argumento e´ va´lido: Pela premissa 3, eu estudo. Juntando isso com a premissa 1, con-
clu´ımos que eu aprendo. Agora com a premissa 2, podemos concluir que passo de ano. Vamos
resolver usando a linguagem e a simbologia da lo´gica:
Proposic¸o˜es simples:
e: eu estudo;
a: eu aprendo;
p: eu passo de ano.
Premissas:
e⇒ a
a⇒ p
e
Ana´lise:
Pela premissa 3 e e´ verdadeira, logo pela premissa 1 a e´ verdadeira, logo pela premissa 2 p e´
verdadeira. Conclusa˜o: p e´ verdadeira, isto e´, passo de ano.
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b) Este argumento e´ va´lido: Pela premissa 1, se eu tenho sede, enta˜o eu bebo a´gua, e pela pre-
missa 2, enta˜o eu na˜o me desidrato. Vamos resolver usando a linguagem e a simbologia da
lo´gica:
Proposic¸o˜es simples:
s: tenho sede;
a: bebo a´gua;
d: me desidrato.
Premissas:
s⇒ a
a⇒∼ d
Ana´lise:
Se s e´ verdadeira, a e´ verdadeira pela premissa 1, mas se a e´ verdadeira, d e´ falsa pela premissa
2. Logo, se s e´ verdadeira, enta˜o d e´ falsa, isto e´, s⇒∼ d, que e´ a conclusa˜o (se tenho sede,
enta˜o na˜o me desidrato).
c) Este argumento e´ va´lido. Vamos resolver usando a linguagem e a simbologia da lo´gica:
Proposic¸o˜es simples:
e: eu estudo;
c: vou ao cinema;
j: janto fora.
Premissas:
e⇒∼ c
∼ c⇒∼ j
j
Ana´lise:
Pela premissa 3 j e´ verdadeira, logo a u´nica forma de que a premissa 2 seja verdadeira, e´
tendo ∼ c falso, isto e´, c verdadeiro. Da´ı, sabendo que c e´ verdadeiro, a u´nica forma de ter a
primeira premissa verdadeira e´ tendo e falso. Logo conclu´ımos que e e´ falso, isto e´, na˜o estudo.
d) O argumento na˜o e´ va´lido. Vamos resolver usando a linguagem e a simbologia da lo´gica:
Proposic¸o˜es simples:
p: Pedrinho se comporta;
c: Pedrinho fica de castigo.;
Premissas:
∼ p⇒ c
c
Ana´lise:
Sendo c verdadeiro (pela premissa 2), a premissa 1 na˜o nos permite concluir que p e´ falso,
pois como sabemos, quando o lado direito de uma implicac¸a˜o e´ verdaderio, nada podemos
afirmar sobre a proposic¸a˜o do lado esquerdo. Assim, na˜o e´ poss´ıvel concluir que Pedrinho na˜o
se comportou, o que torna o argumento inva´lido.
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Exerc´ıcio 9 Determine se o argumento abaixo e´ va´lido ou inva´lido.
Premissas:
Desempregados na˜o trabalham.
Se uma pessoa precisa de dinheiro, enta˜o ela trabalha.
Conclusa˜o
Desempregados na˜o precisam de dinheiro.
Soluc¸a˜o: O argumento e´ va´lido. Vamos resolver usando a linguagem e a simbologia da lo´gica:
Proposic¸o˜es simples:
d: esta´ desempregado;
p: precisa de dinheiro;
t: trabalha.
Premissas:
d⇒∼ t
p⇒ t
Ana´lise: Se d e´ verdadeiro, pela premissa 1, t e´ falso. Mas se t e´ falso, a premissa 2 na˜o nos permite
concluir que p e´ falso, pois, como sabemos, quando o lado direito de uma implicac¸a˜o e´ falso, para
que a proposic¸a˜o composta seja verdadeira, o lado esquerdo tambe´m tem que ser falso. Assim, se d e´
verdadeiro, enta˜o p deve ser falso, isto e´, matematicamente, d⇒∼ p, e literalmente, desempregados
na˜o precisam de dinheiro.
E´ claro que do ponto de vista do senso comum a conclusa˜o acima e´ um absurdo. Na verdade, chega-
mos a isso porque o argumento inclu´ıa uma premissa que tambe´m e´ falsa em nossas vidas, sabemos
que ha´ muita gente que precisa de dinheiro, mas na˜o trabalha porque na˜o consegue emprego, o que
equivale a dizer que a segunda premissa era falsa. Pore´m, do ponto de vista da resoluc¸a˜o deuma
questa˜o de lo´gica matema´tica, tudo isso e´ irrelevante.
Exerc´ıcio 10 Determine se o argumento abaixo e´ va´lido ou inva´lido.
Premissas:
Joa˜o sabe f´ısica quaˆntica.
Joa˜o e´ doutor em matema´tica.
Joa˜o e´ formado em filosofia.
Joa˜o ganhou o preˆmio Nobel da literatura.
Conclusa˜o:
Joa˜o e´ inteligente.
Soluc¸a˜o: O argumento na˜o e´ va´lido. Na˜o ha´ nas premissas nada que nos permita concluir atrave´s
da lo´gica matema´tica que Joa˜o e´ inteligente. O que nos faz pensar que Joa˜o e´ inteligente, neste
caso, na˜o e´ a lo´gica matema´tica, mas sim nossa pro´pria experieˆncia de vida.
Proposic¸o˜es simples:
q: Joa˜o sabe f´ısica quaˆntica.
m: Joa˜o e´ doutor em matema´tica.
f : Joa˜o e´ formado em filosofia.
n: ganhou o preˆmio Nobel da literatura.
i: Joa˜o e´ inteligente.
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Premissas:
q
m
f
n
Ana´lise:
Como podemos ver nas premissas acima, nenhuma delas faz qualquer refereˆncia a` proposic¸a˜o i que
esta´ nas concluso˜es. Logo na˜o podemos concluir i a partir das premissas, o argumento na˜o e´ va´lido.
Exerc´ıcio 11 Determine se o argumento abaixo e´ va´lido ou inva´lido.
Premissas:
Joa˜o sabe f´ısica quaˆntica.
Joa˜o e´ doutor em matema´tica.
Joa˜o e´ formado em filosofia.
Joa˜o ganhou o preˆmio Nobel da literatura.
Qualquer pessoa que saiba f´ısica quaˆntica e seja doutor em matema´tica e seja
formado em filosofia e tenha ganho o preˆmio Nobel da literatura e´ inteligente.
Conclusa˜o:
Joa˜o e´ inteligente.
Soluc¸a˜o: A u´nica diferenc¸a entre esta questa˜o e a anterior e´ que temos a u´ltima premissa que diz
que se uma pessoa satisfaz todas as outras premissas, enta˜o ela e´ inteligente. Enta˜o nosso conjunto
de premissas pode ser reescrito assim (considerando as letras que usamos na questa˜o anterior):
Premissas:
q
m
f
n
(q ∧m ∧ f ∧ n)⇒ i
Ana´lise:
Agora sim, as quatro primeiras premissas nos dizem que sa˜o verdadeiras q, m, f e n e a quinta
premissa nos diz que se todas essas sa˜o verdadeiras, enta˜o tambe´m e´ verdadeira i. Portanto agora
o argumento e´ va´lido e podemos matematicamente concluir que Joa˜o e´ inteligente.
Exerc´ıcio 12 Decida se cada um dos argumentos abaixo e´ ou na˜o va´lido e justifique sua resposta:
a) Premissas: Se o do´lar cai os produtos brasileiros ficam mais caros no mercado internacional; Se
os produtos brasileiros ficam mais caros no mercado internacional, caem as nossas exportac¸o˜es;
Em 2012 o do´lar na˜o caiu.
Conclusa˜o: Nossas exportac¸o˜es na˜o ca´ıram em 2012.
b) Premissas: Se as vendas da empresa ABC ca´ırem, a empresa se endividara´ com empre´stimos
ou demitira´ empregados; A diretoria da ABC na˜o permitira´ que a empresa contraia d´ıvidas com
empre´stimos.
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Me´todos Determin´ısticos I EP4 10
Conclusa˜o: Se a empresa ABC na˜o demitir, e´ porque suas vendas na˜o ca´ıram.
Soluc¸a˜o:
a) O argumento na˜o e´ va´lido. As premissas nos permitem concluir que se o do´lar cair as ex-
portac¸o˜es tambe´m caira˜o, mas as premissas na˜o nos fornecem as rec´ıprocas das implicac¸o˜es,
na˜o sendo poss´ıvel concluir que se o do´lar na˜o cai as exportac¸o˜es tambe´m na˜o caem. Podemos
ter do´lar subindo e exportac¸o˜es caindo sem violar nenhuma das premissas.
b) O argumento e´ va´lido. Se as vendas cairem a primeira premissa nos garante que havera´ d´ıvidas
ou demisso˜es. Contudo a segunda premissa nos garante que na˜o havera´ d´ıvidas. Logo, se as
vendas cairem, necessariamente havera´ demisso˜es. O que equivale a dizer que se a empresa
na˜o demitir e´ porque as vendas na˜o ca´ıram (forma contrapositiva da proposic¸a˜o anterior).
Exerc´ıcio 13 Sobre o clima na praia de Icara´ı, costuma-se dizer que esta´ chovendo sempre que o
vento sudoeste esta´ soprando.
Considerando as proposic¸o˜es
p: ”O vento sudoeste esta´ soprando em Icara´ı”
q: ”Esta´ chovendo em Icara´ı”
(a) Escreva a frase do enunciado utilizando p, q e o conectivo lo´gico adequado.
(b) Minha tia acredita que a regra do enunciado nunca falha. Desta forma, em um dia em que o
vento sudoeste na˜o estava soprando, ela afirmou: “Como o vento na˜o esta´ soprando, na˜o esta´
chovendo, logo na˜o vou levar o meu guarda-chuva”. Ha´ algum erro na argumentac¸a˜o de minha
querida tia? Justifique.
(c) Se o ditado “Em Icara´ı, esta´ chovendo sempre que o vento sudoeste esta´ soprando”for verdadeiro,
e, em um certo meˆs, o vento sudoeste tiver soprado em 10 dias, e´ correto dizer que:
( ) choveu em Icara´ı em, no ma´ximo, 10 dias.
( ) choveu em Icara´ı em, no m´ınimo, 10 dias.
( ) choveu em Icara´ı em exatamente 10 dias.
( ) nenhuma das alternativas anteriores.
Justifique.
(d) Supondo novamente que o ditado e´ verdadeiro, se, em um certo meˆs, em Icara´ı, tiver chovido
em 10 dias, e´ correto dizer que:
( ) o sudoeste soprou em Icara´ı em, no ma´ximo, 10 dias.
( ) o sudoeste soprou em Icara´ı em, no m´ınimo, 10 dias.
( ) o sudoeste soprou em exatamente 10 dias.
( ) nenhuma das alternativas anteriores.
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Me´todos Determin´ısticos I EP4 11
Soluc¸a˜o:
(a) A afirmac¸a˜o pode ser escrita como
“esta´ chovendo em Icara´ı”(q)
sempre que
“O vento sudoeste esta´ soprando em Icara´ı”(p),
isto e´, sempre que p acontece, q acontece. Isto significa que p implica q, ou que se “esta´
chovendo em Icara´ı”, enta˜o “o vento sudoeste esta´ soprando em Icara´ı”. Assim,
p⇒ q.
(b) Uma poss´ıvel soluc¸a˜o:
Como visto acima, o ditado diz que p ⇒ q. A contrapositiva deste ditado e´ ∼ q ⇒∼ p (Se
“na˜o esta´ chovendo em Icara´ı”enta˜o “o sudoeste na˜o esta´ soprando”). Estas afirmac¸o˜es sa˜o
logicamente equivalentes, ou seja, se assumimos que o ditado e´ correto, temos que ∼ q⇒∼ p.
Pore´m, a argumentac¸a˜o de minha tia e´ “O sudoeste na˜o esta´ ventando, logo na˜o esta´ chovendo”,
que pode ser escrita como ∼ p⇒∼ q, que na˜o e´ o ditado (e´ sua conversa˜o, na verdade).
Veremos na soluc¸a˜o seguinte que, mesmo que o ditado seja verdadeiro e que na˜o esteja ventando,
pode estar chovendo.
Outra poss´ıvel soluc¸a˜o:
Acreditando que o ditado e´ verdadeiro, ele pode ser tomado como uma premissa. Assim, no dia
em questa˜o, a primeira argumentac¸a˜o de minha tia (”Como o vento na˜o esta´ soprando, na˜o esta´
chovendo”) tem as seguintes premissas em sua argumentac¸a˜o:
premissa 1: p ⇒ q (“Se o vento sudoeste esta´ soprando em Icara´ı”enta˜o “esta´ chovendo
em Icara´ı.”)
premissa 2: ∼ p (O vento sudoeste na˜o esta´ soprando.)
Sua conclusa˜o e´
conclusa˜o: ∼ q (Na˜o esta´ chovendo)
Este argumento e´ falho! Vamos listar todas as possibilidades de valores para p e q e verificar
que as premissas podem ser verdadeiras sem que a conclusa˜o o seja.
premissas conclusa˜o
p q p⇒ q ∼ p ∼ q
V V V F F
V F F F V
F V V V F
F F V V V
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP4 12
A terceira linha nos mostra que o ditado (p ⇒ q) pode ser verdadeiro e na˜o estar ventando
(∼ p), sem que a conclusa˜o (∼ q) seja va´lida.
(c) Assumindo que o ditado p⇒ q (Se “o sudoeste esta´ soprando em Icara´ı”enta˜o “esta´ chovendo”)
e´ verdadeiro, em todos os dias que o sudoeste ventar (p for verdadeiro), tambe´m devera´ chover
(q tambe´m tera´ de ser verdade). Assim, para cada dia de vento havera´ pelo menos um dia de
chuva. Com isso, como foram 10 dias de vento, teremos no m´ınimo 10 dias de chuva, logo a
opc¸a˜o “choveu em Icara´ı em, no m´ınimo, 10 dias”e´ correta.
A opc¸a˜o “choveu em Icara´ı em, no ma´ximo, 10 dias”na˜o e´ correta, visto que, ale´m de chover nos
dez dias de vento, pode ter chovido em algum outro dia. Em outras palavras, podemos ter q
verdadeiro com p falso, e ainda continuara´ sendo verdade que p⇒ q (relembre a tabela verdade
de ⇒). Poder´ıamos ter tido, por exemplo, 15 dias de chuva, com vento em apenas 10 deles.
Pelo mesmo motivo,a afirmac¸a˜o “choveu em Icara´ı em exatamente 10 dias”na˜o e´ correta.
(d) Como vimos acima, em todos os dias que o sudoeste ventar, tambe´m devera´ chover, logo o
nu´mero de dias de chuva sera´ menor ou igual ao nu´mero de dias de vento. Equivalentemente, o
nu´mero de dias de vento e´ maior ou igual ao nu´mero de dias de chuva.
Com isso, se choveu em 10 dias, tera´ ventado em 10 ou menos dias. Logo a opc¸a˜o “o sudoeste
soprou em Icara´ı em, no ma´ximo, 10 dias”e´ correta.
As opc¸o˜es “o sudoeste soprou em Icara´ı em, no m´ınimo, 10 dias”e “o sudoeste soprou em
exatamente 10 dias”na˜o esta˜o corretas, pois poder´ıamos ter tido, por exemplo, 10 dias de chuva
com vento em apenas 5 deles.
Qual e´ a moral desta questa˜o?!?!
Ale´m de fazer argumentac¸o˜es (incorretas!) sobre o clima em Icara´ı, minha tia costuma diz (correta-
mente, neste caso!) que toda boa histo´ria tem uma moral.
A moral desta questa˜o e´ que uma implicac¸a˜o p⇒ q jamais deve ser confundida com sua conversa˜o
p⇒ q. Elas representam relac¸o˜es de causa e consequeˆncia muito diferentes.
Vamos a um exemplo muito claro disso: e´ verdade que “se a > b enta˜o a + 1 > b”. Isto pode ser
provado de forma muito simples; assumindo a > b, temos a+ 1 > a > b, logo a+ 1 > b. Por outro
lado, na˜o e´ verdade que “se a + 1 > b enta˜o a > b”. Tome, por exemplo, a = 0 e b = 0; teremos
a+ 1 > b, pois 0 + 1 > 0, mas na˜o e´ verdade que 0 > 0 (a > b). Outro contraexemplo e´ a = 0, 5 e
b = 1.
Temos uma tendeˆncia muito forte a confundir implicac¸o˜es (⇒) com equivaleˆncias (⇔), o que pode
nos conduzir a inu´meros mal-entendidos, ou nos fazer utilizar argumentac¸o˜es falaciosas.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ