EP8 2017 1 gabarito

Prévia do material em texto

Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
EP8 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2017-2
Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado na Aula 9 do Caderno Dida´tico.
ATENC¸A˜O!!! Na˜o comece seu estudo por este documento! A versa˜o deste EP contendo
as questo˜es, sem o gabarito, traz tambe´m uma revisa˜o da teoria do Caderno Dida´tico.
Essa revisa˜o deve ser estudada.
Exerc´ıcio 1 Calcule |x| para os valores de x dados abaixo:
a) x = 1 b) x =
√
2 c) x = 1
2
d) x = −1
e) x = −√2 f) x = 0 g) x = √2− 1 h) x = 1−√2
Soluc¸a˜o: Nos itens (a) a (f), e´ simples marcar no eixo real os pontos correspondentes aos nu´meros
dados:
Assim, podemos verificar que
a) |1| = 1 b) ∣∣√2∣∣ = √2 c) ∣∣1
2
∣∣ = 1
2
d) | − 1| = 1 e) ∣∣−√2∣∣ = √2 f) |0| = 0
No item (f), note que a distaˆncia entre 0 e o pro´prio 0 e´ 0, logo |0| = 0.
No item (g), precisamos saber se
√
2 − 1 e´ positivo ou negativo. Mas sabemos que √2 > 1, logo√
2− 1 > 0. Observe ainda que o valor do item (h), 1−√2 e´ tal que 1−√2 = − (√2− 1), isto e´,
e´ o sime´trico do valor do item (g). Com isso, eles tera˜o a mesma distaˆncia ao 0, portanto o mesmo
mo´dulo.
Com isso, a)
∣∣√2− 1∣∣ = √2− 1 b) ∣∣1−√2∣∣ = √2− 1
Me´todos Determin´ısticos I EP8 2
Exerc´ıcio 2 Calcule os mo´dulos abaixo:
a)
∣∣√3−√2∣∣ b) ∣∣√2−√3∣∣ c) |a|, com a > 0
d) |a|, com a < 0 e) | − a|, com a > 0 f) | − a|, com a < 0
g) |a− 1|, com a > 1 h) |a− 1|, com a < 1 i) |2− a|, com a < 2
j) |2− a|, com a > 2
Soluc¸a˜o:
a) Como
√
3 >
√
2, temos
√
3−√2 > 0, logo, aplicando a definic¸a˜o, ∣∣√3−√2∣∣ = √3−√2.
b) Como
√
3 >
√
2, temos
√
2−√3 < 0, logo, aplicando a definic¸a˜o, ∣∣√2−√3∣∣ = − (√2−√3) =√
3−√2.
c) Como a > 0, aplicando a definic¸a˜o, |a| = a.
d) Como a < 0, aplicando a definic¸a˜o, |a| = −(a) = −a.
e) Como a > 0, temos −a < 0, logo, aplicando a definic¸a˜o, | − a| = −(−a) = a.
f) Como a < 0, temos −a > 0, logo, aplicando a definic¸a˜o, | − a| = −a.
g) Como a > 1, temos a− 1 > 0, logo |a− 1| = a− 1.
h) Como a < 1, temos a− 1 < 0, logo |a− 1| = −(a− 1) = 1− a.
i) Como a < 2, temos 2 > a, logo 2− a > 0. Assim, |2− a| = 2− a.
j) Como a > 2, temos 2 < a, logo 2− a < 0. Assim, |2− a| = −(2− a) = a− 2.
Exerc´ıcio 3 Utilizando as propriedades acima [veja EP08], resolva as equac¸o˜es:
a) |x2 − 3x+ 2| = 0 b) |ax| = |a|, sabendo que a 6= 0 e x > 0
c)
∣∣∣∣x− 2x
∣∣∣∣ = 0 d) ||x|+ 2| = 2x.
Soluc¸a˜o:
a) observe que, fatorando, |x2 − 3x + 2| = |(x − 1)(x − 2)|. Aplicando a propriedade M4, temos
enta˜o |x2− 3x+2| = |(x− 1)(x− 2)| = |x− 1| · |x− 2|. Com isso, a equac¸a˜o pode ser reescrita
como
|x− 1| · |x− 2| = 0.
Temos dois nu´meros reais cujo produto da´ 0. Com isso, pelo menos um deles deve ser igual a 0,
isto e´,
|x− 1| = 0 ou |x− 2| = 0.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP8 3
Pela propriedade M1, isso so´ ocorre se o que esta´ dentro de cada mo´dulo for igual a 0, isto e´,
x− 1 = 0 ou x− 2 = 0.
Assim, a soluc¸a˜o da equac¸a˜o e´
x = 1 ou x = 2.
b) Aplicando a propriedade M4 ao lado esquerdo da equac¸a˜o, temos |ax| = |a| · |x|, logo a equac¸a˜o
se transforma em
|a| · |x| = |a|.
Como a 6= 0, temos, pela Propriedade M1, que |a| 6= 0, logo podemos dividir a equac¸a˜o acima
por |a|. Assim, temos
|x| = 1.
Mas, como x > 0, temos que |x| = x, logo a equac¸a˜o se transforma em
x = 1,
sendo essa, portanto, a soluc¸a˜o procurada.
c) Pela M5, temos
∣∣∣∣x− 2x
∣∣∣∣ = |x− 2||x| , logo a equac¸a˜o se transforma em
|x− 2|
|x| = 0.
Para que a frac¸a˜o da esquerda seja igual a 0, precisamos ter |x − 2| = 0 e |x| 6= 0. Com isso,
temos x− 2 = 0 e x 6= 0. Assim, a soluc¸a˜o e´ x = 2.
d) Observando a equac¸a˜o dada, vemos que, do lado esquerdo, temos um mo´dulo. Pela propriedade
M1, mo´dulos sa˜o sempre maiores ou iguais a 0, portanto 2x > 0 e, com isso, x > 0. Sendo
x > 0, temos |x| = x, e a equac¸a˜o se transforma enta˜o em
|x+ 2| = 2x.
Mas, como x > 0, temos x+ 2 > 2 > 0, logo |x+ 2| = x+ 2. Assim, temos a equac¸a˜o
x+ 2 = 2x ∴ x = 2.
Exerc´ıcio 4 Calcule |x− y| para os valores de x e y dados abaixo:
a) x = 10 e y = 7 b) x = 7 e y = 10 c) x = 3 e y = −4
d) x = −4 e y = 3 e) x = −5 e y = −7 f) x = −7 e y = −5
Soluc¸a˜o:
a) |10− 7| = |3| = 3
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP8 4
b) |7− 10| = | − 3| = 3
c) |3− (−4)| = |3 + 4| = |7| = 7
d) | − 4− 3| = | − 7| = 7
e) | − 5− (−7)| = | − 5 + 7| = |2| = 2
f) | − 7− (−5)| = | − 7 + 5| = | − 2| = 2
Exerc´ıcio 5 Para cada um dos itens da questa˜o anterior, marque na reta orientada os pontos x e y
e conte quantos intervalos unita´rios ha´ entre x e y. Tome como modelo a reta abaixo.
Soluc¸a˜o:
Exerc´ıcio 6 Em cada item a seguir, encontre o conjunto soluc¸a˜o.
a) | − 2x+ 1| = 0 b) | − 2x+ 1| = 3 c) | − 2x+ 1| = −7
d) |3x+ 6| = x
2
e) |1, 5x+ 5| = 1, 5x+ 5 f) |x| = 2x+ 1
Soluc¸a˜o:
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP8 5
a) Pelo Teorema 1, temos que
| − 2x+ 1| = 0 ⇔ −2x+ 1 = 0
⇔ x = 1
2
.
Desta forma, o conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o | − 2x+ 1| = 0 e´ o conjunto S, dado por
S =
{
1
2
}
.
b) Pelo Teorema 1, temos que
| − 2x+ 1| = 3 ⇔ −2x+ 1 = −3 ou − 2x+ 1 = 3
⇔ −2x = −4 ou − 2x = 2
⇔ x = 2 ou x = −1
Desta forma, o conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o | − 2x+ 1| = 3 e´ o conjunto S, dado por
S = {−1, 2} .
c) Como |y| ≥ 0, ∀ x ∈ R, a equac¸a˜o | − 2x+ 1| = −7 na˜o possui soluc¸a˜o.
Desta forma, o conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o | − 2x+ 1| = −7 e´ o conjunto S, dado por
S = ∅.
d) De acordo com o Teorema 1, sabemos que a equac¸a˜o |3x+6| = x
2
so´ possui soluc¸a˜o se
x
2
≥ 0.
Ou seja, se x ≥ 0. Neste caso, segue que
|3x+ 6| = x
2
⇔
(
3x+ 6 = −x
2
ou 3x+ 6 =
x
2
)
e x ≥ 0
⇔
(
3x+
x
2
= −6 ou 3x− x
2
= −6
)
e x ≥ 0
⇔
(
7x
2
= −6 ou 5x
2
= −6
)
e x ≥ 0
⇔
(
x = −12
7
ou x = −12
5
)
e x ≥ 0.
Como x deve ser positivo ou nulo e os valores encontrados sa˜o negativos, segue que o conjunto
soluc¸a˜o da equac¸a˜o |3x+ 6| = x
2
e´ o conjunto S, dado por
S = ∅.
e) De acordo com o Teorema 1, sabemos que a equac¸a˜o |1, 5x+5| = 1, 5x+5 so´ possui soluc¸a˜o
se
1, 5x+ 5 ≥ 0 ⇔ 3x
2
+ 5 ≥ 0⇔ 3x
2
≥ −5
⇔ x ≥ −10
3
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP8 6
Neste caso, segue que
|1, 5x+ 5| = 1, 5x+ 5 ⇔ (1, 5x+ 5 = −(1, 5x+ 5) ou 1, 5x+ 5 = 1, 5x+ 5) e x ≥ −10
3
⇔ (3x = −10 ou 0.x = 0) e x ≥ −10
3
⇔
(
x = −10
3
ou 0.x = 0
)
e x ≥ −10
3
∗⇔ (x ∈ R) e x ≥ −10
3
⇔ x ≥ −10
3
.
(*) Note que a equac¸a˜o 0.x = 0 e´ satisfeita para todo valor x ∈ R.
Desta forma, o conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o |1, 5x+ 5| = 1, 5x+ 5 e´ o conjunto S, dado por
S =
[
−10
3
,∞
)
.
f) De acordo com o Teorema 1, sabemos que a equac¸a˜o |x| = 2x + 1 so´ possui soluc¸a˜o se
2x+ 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1
2
. Neste caso, segue que
|x| = 2x+ 1 ⇔ (x = −(2x+ 1) ou x = 2x+ 1) e x ≥ −1
2
⇔ (3x = −1 ou − x = 1) e x ≥ −1
2
⇔
(
x = −1
3
ou x = −1
)
e x ≥ −1
2
⇔ x = −1
3
.
Desta forma, o conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o |x| = 2x+ 1 e´ o conjunto S, dado por
S =
{
−1
3
}
.
Exerc´ıcio 7 Em cada item a seguir, encontre o conjunto soluc¸a˜o. Escreva-o, se poss´ıvel, na forma
de intervalo ou de unio˜es de intervalos.
a) |8x− 12| ≥ 3 b) |3x− 1| ≤ x c)
∣∣∣∣2− x3
∣∣∣∣ < 20− x
d)
∣∣∣∣12 − x
∣∣∣∣ ≤ 0 e) ∣∣∣∣3x− 14
∣∣∣∣ ≥ 0 f) |2x− 1| < 0
Soluc¸a˜o:
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP8 7
a) Vamos utilizar o Teorema 2 do Enunciado do EP8, item (4): |y| ≥ a ⇔ y ≤ −a ou y ≥ a,
tomando y = 8x− 12 e a = 3. Temos enta˜o,que
|8x− 12| ≥ 3 ⇔ 8x− 12 ≤ −3 ou 8x− 12 ≥ 3
⇔ 8x ≤ −3 + 12 ou 8x ≥ 3 + 12
⇔ 8x ≤ 9 ou 8x ≥ 15
⇔ x ≤ 9
8
ou x ≥ 15
8
.
Conclusa˜o: |8x− 12| ≥ 3 ⇔ x ≤ 9
8
ou x ≥ 15
8
.
x £
9
8
x ³
15
8
x £
9
8
ou x ³
15
8
-1 0 1 98
15
8 2
Desta forma, o conjunto soluc¸a˜o desta inequac¸a˜o e´ o conjunto S, dado por
S =
{
x ∈ R | x ≤ 9
8
ou x ≥ 15
8
}
=
(
−∞, 9
8
]
∪
[
15
8
,∞
)
.
b) Vamos utilizar o Teorema 1 do Enunciado do EP8, item (2): |y| ≤ a⇔ −a ≤ y ≤ a, tomando
y = 3x− 1 e a = x. Temos enta˜o, que
|3x− 1| ≤ x ⇔ −x ≤ 3x− 1 ≤ x
⇔ −x ≤ 3x− 1 e 3x− 1 ≤ x
⇔ −x− 3x ≤ −1 e 3x− x ≤ 1
⇔ −4x ≤ −1 e 2x ≤ 1
⇔ 4x ≥ 1 e x ≤ 1/2
⇔ x ≥ 1/4 e x ≤ 1/2.
Conclusa˜o: |3x− 1| ≤ x ⇔ 1/4 ≤ x ≤ 1/2.
Desta forma, o conjunto soluc¸a˜o desta inequac¸a˜o e´ o conjunto S, dado por
S =
{
x ∈ R | 1
4
≤ x ≤ 1
2
}
=
[
1
4
,
1
2
]
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP8 8
x £
1
2
x ³
1
4
1
4
£ x £
1
2
-1 0 14
1
2 1 2
c) Vamos utilizar o Teorema 2 do Enunciado do EP8, item (1): |y| < a⇔ −a < y < a, tomando
y =
2− x
3
e a = 20− x. Temos enta˜o, que∣∣∣∣2− x3
∣∣∣∣ < 20− x ⇔ −(20− x) < 2− x3 < 20− x
⇔ −3(20− x) < 2− x < 3(20− x)
⇔ 3x− 60 < 2− x < 60− 3x
⇔ 3x− 60 < 2− x e 2− x < 60− 3x
⇔ 4x < 62 e 2x < 58
⇔ x < 31
2
e x <
58
2
⇔ x < 31
2
e x < 29.
⇔ x < 31
2
.
x <
31
2
x < 29
x <
31
2
e x < 29
31
2 29
Conclusa˜o:
∣∣∣∣2− x3
∣∣∣∣ < 20− x ⇔ x < 312 .
Desta forma, o conjunto soluc¸a˜o desta inequac¸a˜o e´ o conjunto S, dado por
S =
{
x ∈ R | x < 31
2
}
=
(
−∞, 31
2
)
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP8 9
d) Como |y| ≥ 0, ∀ y ∈ R, a inequac¸a˜o
∣∣∣∣12 − x
∣∣∣∣ ≤ 0 so´ possui soluc¸a˜o se ∣∣∣∣12 − x
∣∣∣∣ = 0, pois na˜o
existe nu´mero real tal que
∣∣∣∣12 − x
∣∣∣∣ < 0. Desta forma, segue que∣∣∣∣12 − x
∣∣∣∣ = 0 ⇔ 12 − x = 0⇔ x = 12 .
Conclusa˜o:
∣∣∣∣12 − x
∣∣∣∣ ≤ 0 ⇔ x = 12 .
Desta forma, o conjunto soluc¸a˜o desta inequac¸a˜o e´ o conjunto S, dado por
S =
{
1
2
}
.
Caso voceˆ na˜o tivesse percebido isto, e partisse direto para aplicar o item (2) do Teorema 2
do EP8: |y| ≤ a ⇔ −a ≤ y ≤ a, tomando y = 1
2
− x e a = 0, na˜o teria problema, pois voceˆ
chegaria ao mesmo resultado. Confira abaixo.
Aplicando o teorema, segue que∣∣∣∣12 − x
∣∣∣∣ ≤ 0 ⇔ −0 ≤ 12 − x ≤ 0
⇔ 0 ≤ 1
2
− x ≤ 0⇔ 1
2
− x = 0.
e) Como |y| ≥ 0, ∀ y ∈ R, a inequac¸a˜o
∣∣∣∣3x− 14
∣∣∣∣ ≥ 0 e´ satisfeita para todo nu´mero real x.
Conclusa˜o:
∣∣∣∣3x− 14
∣∣∣∣ ≥ 0 ⇔ x ∈ R.
Desta forma, o conjunto soluc¸a˜o desta inequac¸a˜o e´ o conjunto S, dado por
S = R.
Caso voceˆ na˜o tivesse percebido isto, e partisse direto para aplicar o item (4) do Teorema 2
do EP8: |y| ≥ a ⇔ y ≤ −a ou y ≤ a, tomando y = 3x− 1
4
e a = 0, na˜o teria problema, pois
voceˆ chegaria ao mesmo resultado. Confira abaixo.
Aplicando o teorema, segue que∣∣∣∣3x− 14
∣∣∣∣ ≥ 0 ⇔ 3x− 14 ≤ −0 ou 3x− 14 ≥ 0
⇔ 3x− 1
4
≤ 0 ou 3x− 1
4
≥ 0.
Isto significa que x ∈ R, pois ao se substituir qualquer real x na a expressa˜o 3x− 1
4
, teremos
como resultado um nu´mero real que e´ positivo, negativo ou nulo e os treˆs casos sa˜o permitidos.
Logo,
S = R.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP8 10
f) Como |y| ≥ 0, ∀ x ∈ R, a inequac¸a˜o |2x − 1| < −3 na˜o possui soluc¸a˜o, pois na˜o existe
nu´mero real tal que |2x− 1| < 0. Desta forma, segue que o conjunto soluc¸a˜o desta inequac¸a˜o
e´ o conjunto S, dado por
S = ∅.
Caso voceˆ na˜o tivesse percebido isto, e partisse direto para aplicar o item (1) do Teorema 2
do EP8: |y| ≥ a ⇔ −a < y < a, tomando y = 2x − 1 e a = −3, na˜o teria problema, pois
voceˆ chegaria ao mesmo resultado. Confira abaixo.
|2x− 1| ≤ −3 ⇔ −(−3) ≤ 2x− 1 ≤ −3
⇔ 3 ≤ 2x− 1 ≤ −3.
Observe que na˜o existe x real que satisfac¸a a inequac¸a˜o acima, pois 3 > −3.
g) Como |y| ≥ 0, ∀ x ∈ R, a inequac¸a˜o |3, 9x − 1| > 0 e´ sempre va´lida para todo x real,
excetuando o valor de x que satisfaz |3, 9x − 1| = 0, pois na˜o existe nu´mero real tal que
|3, 9x− 1| < 0. Desta forma, segue que
|3, 9x− 1| 6= 0 ⇔ 3, 9x− 1 6= 0⇔ x 6= 1
3, 9
6= 139
10
6= 10
39
.
Conclusa˜o: |3, 9x− 1| > 0 ⇔ x 6= 10
39
.
Desta forma, o conjunto soluc¸a˜o desta inequac¸a˜o e´ o conjunto S, dado por
S = R\ {10/39} .
Caso voceˆ na˜o tivesse percebido isto, e partisse direto para aplicar o item (3) do Teorema 2
do EP8: |y| > a ⇔ y < −a ou y > a, tomando y = 3, 9x − 1 e a = 0, na˜o teria problema,
pois voceˆ chegaria ao mesmo resultado. Confira abaixo.
|3, 9x− 1| > 0 ⇔ 3, 9x− 1 < −0 ou 3, 9x− 1 > 0
⇔ 3, 9x− 1 < 0 ou 3, 9x− 1 > 0⇔ 3, 9x− 1 6= 0.
Exerc´ıcio 8 Encontre o conjunto soluc¸a˜o dos nu´meros reais que satisfazem ao mesmo tempo a`s
duas inequac¸o˜es a seguir:
|3x+ 5| ≤ 8 e | − 6x+ 3| − 4 < 10
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP8 11
Soluc¸a˜o: Primeiro, vamos encontrar em separado o conjunto soluc¸a˜o de cada uma das inequac¸o˜es.
Em seguida, determinamos o conjunto soluc¸a˜o, S, dos nu´meros reais que satisfazem simultaneamente
a`s duas inequac¸o˜es, fazendo a intersec¸a˜o do conjunto soluc¸a˜o de cada uma das inequac¸o˜es.
Para resolver |3x+ 5| ≤ 8, vamos utilizar o Teorema 2 do Enunciado do EP8, item (2): |y| ≤ a ⇔
−a ≤ y ≤ a, tomando y = 3x+ 5 e a = 8. Neste caso,
|3x+ 5| ≤ 8
m
−8 ≤ 3x+ 5 ≤ 8
m
−13 ≤ 3x ≤ 3
m
−13
3
≤ x ≤ 1
—
Logo, o conjunto soluc¸a˜o desta inequac¸a˜o e´ o conjunto S1, dado por
S1 =
{
x ∈ R | − 13
3
≤ x ≤ 1
}
=
[
−13
3
, 1
]
.
Agora, vamos resolver a segunda inequac¸a˜o.
Observe que |−6x+3|−4 < 10⇔ |−6x+3| < 14. Desta forma, vamos utilizar utilizar o Teorema
2, item (1) do Enunciado do EP8: |y| < a ⇔ −a < y < a, tomando y = −6x+ 3 e a = 14. Neste
caso,
| − 6x+ 3| < 14
m
−14 < −6x+ 3 < 14
m
−17 < −6x < 11
m
17
6
> x > −11
6
m
−11
6
< x <
17
6
Logo, o conjunto soluc¸a˜o desta inequac¸a˜o e´ o conjunto S2, dado por
S2 =
{
x ∈ R | − 11
6
< x <
17
6
}
=
(
−11
6
,
17
6
)
.
Para encontrar o conjunto S, dos nu´meros reais que satisfazem ao mesmo tempo a`s duas inequac¸o˜es,
temos que determinar o conjunto dos nu´meros que esta˜o ao mesmo tempo nos dois intervalos
encontrados, isto e´, a intersec¸a˜o destes intervalos.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP8 12
S1
S2
S1 Ý S2
-
13
3 -
11
6 1
17
6
Conclusa˜o:
S = S1 ∩ S2 = [−13/3, 1] ∩ (−11/6, 17/6) = (−11/6, 1]
Exerc´ıcio 9 Em cada item a seguir, extraia a raiz quadrada.
a)
√
4 b)
√
(2)2 c)
√
(−2)2 d)
√
(1−√2)2
Soluc¸a˜o:
a)
√
4 = 2
b)
√
(2)2 = |2| = 2
c) |√(−2)2 = | − 2| = 2
d)
√
(1−√2)2 = |1−√2| = √2− 1, pois √2 > 1
Exerc´ıcio 10 Em cada item a seguir, encontre o conjunto soluc¸a˜o.
a)
√
x2 = 5 b)
√
(x− 3)2 = 1
2
c)
√
(3x− 2)2 − x > 5
Soluc¸a˜o:
a)
√
x2 = 5 ⇔ |x| = 5⇔ x = −5 ou x = 5.
Conclusa˜o:
√
x2 = 5 ⇔ x = −5 ou x = 5.
Desta forma, o conjunto soluc¸a˜o desta inequac¸a˜o e´ o conjunto S, dado por
S = {−5, 5} .
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP8 13
b) √
(x− 3)2 = 1
2
⇔ |x− 3| = 1
2
⇔ x− 3 = −1
2
ou x− 3 = 1
2
⇔ x = 3− 1
2
ou x = 3 +
1
2
⇔ x = 5
2
ou x =
7
2
Conclusa˜o:
√
x2 = 5 ⇔ x = −5 ou x = 5.
Desta forma, o conjunto soluc¸a˜o desta inequac¸a˜o e´ o conjunto S, dado por
S =
{
5
2
,
7
2
}
.
c) √
(3x− 2)2 − x > 5 ⇔
√
(3x− 2)2 > 5 + x
⇔ |3x− 2| > 5 + x⇔ 3x− 2 < −(5 + x) ou 3x− 2 > 5 + x
⇔ 3x− 2 < −5− x ou 3x− 2 > 5 + x
⇔ 3x+ x < −5 + 2 ou 3x− x > 5 + 2
⇔ 4x < −3 ou 2x > 7
⇔ x < −34
ou x >
7
2
Conclusa˜o:
√
(3x− 2)2 − x > 5 ⇔ x < −3
4
ou x >
7
2
.
Desta forma, o conjunto soluc¸a˜o desta inequac¸a˜o e´ o conjunto S, dado por
S =
{
x ∈ R | x < −3
4
ou x >
7
2
}
=
(
−∞,−3
4
)
∪
(
7
2
,∞
)
.
Exerc´ıcio 11 Sabe-se que a distaˆncia entre o triplo de um nu´mero ao nu´mero 0,25 e´ maior do que
1 e menor ou igual a 5. Encontre o conjunto soluc¸a˜o dos nu´meros reais que satisfazem a restric¸a˜o
imposta acima.
Soluc¸a˜o: Primeiro, vamos modelar nosso problema. Vamos chamar de x o nosso nu´mero. Desta
forma, temos que o triplo do nu´mero e´ dado por 3x. A distaˆncia entre dois nu´meros a e b reais
e´ dada por |a − b|. Portanto, a distaˆncia entre o triplo de um nu´mero e nu´mero 0,25 e´ dada por
|3x− 0, 25|. Como esta distaˆncia e´ maior do que 1 e menor ou igual a 5, temos que
1 < |3x− 0, 25| ≤ 5.
Desta forma, temos que
1 < |3x− 0, 25| ≤ 5 ⇔ 1 <
∣∣∣∣3x− 25100
∣∣∣∣ ≤ 5 ⇔ 1 < ∣∣∣∣3x− 14
∣∣∣∣ ≤ 5
⇔ 1 <
∣∣∣∣3x− 14
∣∣∣∣ e ∣∣∣∣3x− 14
∣∣∣∣ ≤ 5
⇔
∣∣∣∣3x− 14
∣∣∣∣ > 1 e ∣∣∣∣3x− 14
∣∣∣∣ ≤ 5.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP8 14
Vamos encontrar em separado o conjunto soluc¸a˜o de cada uma das inequac¸o˜es.
Para resolver |3x− 0, 25| > 1, vamos utilizar o Teorema 2 do Enunciado do EP8, item (3): |y| > a
⇔ y < −a ou y > a, tomando y = 3x− 0, 25 e a = 1. Neste caso,∣∣∣∣3x− 14
∣∣∣∣ > 1 ⇔ 3x− 14 < −1 ou 3x− 14 > 1
⇔ 3x < −1 + 1
4
ou 3x > 1 +
1
4
⇔ 3x < −3
4
ou 3x >
5
4
⇔ x < −1
4
ou x >
5
12
.
Logo, o conjunto soluc¸a˜o desta inequac¸a˜o e´ o conjunto S1, dado por
S1 =
{
x ∈ R | x < −1
4
ou x >
5
12
}
=
(
−∞,−1
4
)
∪
(
5
12
,∞,
)
.
Agora, vamos resolver a segunda inequac¸a˜o.
Para resolver |3x− 0, 25| ≤ 5, vamos utilizar o Teorema 2 do Enunciado do EP8, item (2): |y| ≤ a
⇔ −a ≤ y ≤ a, tomando y = 3x− 0, 25 e a = 1. Neste caso,∣∣∣∣3x− 14
∣∣∣∣ ≤ 5 ⇔ −5 ≤ 3x− 14 ≤ 5
⇔ −5 + 1
4
≤ 3x ≤ 5 + 1
4
⇔ −19
4
≤ 3x ≤ 21
4
⇔ −19
12
≤ x ≤ 21
12
.
Logo, o conjunto soluc¸a˜o desta inequac¸a˜o e´ o conjunto S2, dado por
S2 =
{
x ∈ R | − 19
12
≤ x ≤ 21
12
}
=
[
−19
12
,
21
12
]
.
Para encontrar o conjunto S, dos nu´meros reais que satisfazem ao mesmo tempo a`s duas inequac¸o˜es,
temos que determinar o conjunto dos nu´meros que esta˜o ao mesmo tempo nos dois intervalos
encontrados, isto e´, a intersec¸a˜o destes intervalos.
Conclusa˜o:
S = S1 ∩ S2 =
((
−∞,−1
4
)
∪
(
5
12
,∞,
))
∩
[
−19
12
,
21
12
]
=
[
−19
12
,− 3
12
)
∪
(
5
12
,
21
12
]
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP8 15
S1
S2
S1 Ý S2
-
19
12 -
1
4
5
12
7
4
Exerc´ıcio 12 Para determinar se uma moeda e´ imparcial (se possui a mesma probabilidade de dar
cara ou coroa), um experimentador joga-a 100 vezes, anotando o nu´mero de caras, x. A teoria
estat´ıstica diz que a moeda e´ tendenciosa se∣∣∣∣x− 505
∣∣∣∣ ≥ 1, 645.
Para que valores de x a moeda e´ declarada tendenciosa?
Soluc¸a˜o: Para resolver a inequac¸a˜o
∣∣∣∣x− 505
∣∣∣∣ ≥ 1, 645, vamos utilizar o Teorema 2 do Enunciado
do EP8, item (4): |y| ≥ a ⇔ y ≤ −a ou y ≤ a, tomando y = x− 50
5
e a = 1, 645 =
1645
1000
=
329
200
.
Temos enta˜o, que
∣∣∣∣x− 505
∣∣∣∣ ≥ 329200 ⇔ x− 505 ≤ −329200 ou x− 505 ≥ 329200
⇔ x− 50 ≤ −329
40
ou x− 50 ≥ 329
40
⇔ x ≤ −329
40
+ 50 ou x ≥ 329
40
+ 50
⇔ x ≤ −329
40
+
2000
40
ou x ≥ 329
40
+
2000
40
⇔ x ≤ 1671
40
ou x ≥ 2329
40
Conclusa˜o:
∣∣∣∣x− 505
∣∣∣∣ ≥ 329200 ⇔ x ≤ 167140 = 41+ 3140 ou x ≥ 232940 = 58+ 940 . Desta forma, a
moeda e´ declarada tendenciosa se o nu´mero de caras e´ menor ou igual a 41 ou maior ou igual a 59.
Exerc´ıcio 13 Em uma refinaria, a produc¸a˜o de petro´leo e´ estimada a partir da desigualdade
|p− 2.250.000| < 125.000,
onde p e´ medido em barris de petro´leo. Sabendo disto, determine os valores de p em que se teˆm os
n´ıveis de alta e baixa produc¸a˜o.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP8 16
Soluc¸a˜o: Para resolver a inequac¸a˜o |p− 2.250.000| < 125.000, vamos utilizar o Teorema 2 do
Enunciado do EP8, item (1): |y| < a ⇔ −a < y < a, tomando y = p− 2.250.000 e a = 125.000.
Temos enta˜o, que
|p− 2.250.000| < 125.000 ⇔ −125.000 < p− 2.250.000 < 125.000
⇔ −125.000 + 2.250.000 < p < 125.000 + 2.250.000
⇔ 2.125.000 < p < 2.375.000
Conclusa˜o: |p− 2.250.000| < 125.000 ⇔ 2.125.000 < p < 2.375.000. Desta forma, a produc¸a˜o
mais baixa e´ de 2.125.001 barris de petro´leo e a produc¸a˜o mais alta e´ de 2.374.999 barris de petro´leo.
Exerc´ıcio 14 A altura, h de uma selec¸a˜o de membros de uma determinada populac¸a˜o satisfazem a
desigualdade ∣∣∣∣h− 173, 56, 5
∣∣∣∣ ≤ 1,
onde h e´ medido em cent´ımetros. Determine o intervalo da reta real que coincide com o conjuntos
destas alturas.
Soluc¸a˜o: Para resolver a desigualdade
∣∣∣∣h− 173, 56, 5
∣∣∣∣ ≤ 1, vamos utilizar o Teorema 2 do Enunciado
do EP8, item (2): |y| ≤ a ⇔ −a ≤ y ≤ a, tomando
y =
h− 173, 5
6, 5
=
h− 1735
10
65
10
=
10
(
h− 1735
10
)
65
=
10h− 1735
65
e a = 1. Temos enta˜o, que
∣∣∣∣h− 173, 56, 5
∣∣∣∣ ≤ 1 ⇔ ∣∣∣∣10h− 173565
∣∣∣∣ ≤ 1
⇔ −1 ≤ 10h− 1735
65
≤ 1
⇔ −65 ≤ 10h− 1735 ≤ 65
⇔ −65 + 1735 ≤ 10h ≤ 65 + 1735
⇔ 1670 ≤ 10h ≤ 1800
⇔ 167 ≤ h ≤ 180.
Conclusa˜o:
∣∣∣∣h− 173, 56, 5
∣∣∣∣ ≤ 1 ⇔ 167 ≤ h ≤ 180. Desta forma, o intervalo da reta real que
coincide com o conjuntos das alturas que satisfazem a desigualdade acima e´ [167, 170].
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP8 17
Exerc´ıcio 15 Uma indu´stria de grande porte ira´ se instalar a`s margens de uma rodovia, pro´xima a
uma cidade localizada no quiloˆmetro 60 da rodovia e a um porto, cujo terminal rodovia´rio esta´ no
quiloˆmetro 100.
Segundo a legislac¸a˜o ambiental local, a distaˆncia, medida ao longo da rodovia, entre a cidade e a
indu´stria na˜o deve ser menor do que 40km.
Para facilitar e baratear o escoamento da produc¸a˜o, a indu´stria deve ser instalada a` distaˆncia ma´xima
de 30km do terminal rodovia´rio do porto. Pore´m a indu´stria na˜o pode se instalar a uma distaˆncia
menor do que 20km deste terminal, devido ao prec¸o proibitivo dos terrenos.
Determine o trecho da rodovia no qual a indu´stria pode se instalar, segundo os crite´rios acima.
Soluc¸a˜o:
Para acompanhar melhor o soluc¸a˜o apresentada abaixo, antes, estude com muita atenc¸a˜o o Teorema
2 do EP8.
Abaixo, vemos uma mapa da rodovia:
Vamos chamar de x a poss´ıvel localizac¸a˜o da indu´stria. Se a distaˆncia entre a cidade e a indu´stria
na˜o deve ser inferior a 40km, temos
|x− 60| > 40,
logo
x− 60 > 40 ou x− 60 6 −40,
e assim, x− 60 > 40 ou x− 60 6 −40. Com isso, x > 100 ou x 6 20. Assim, a condic¸a˜o relativa
a` distaˆncia m´ınima a` cidade nos leva a x ∈ (−∞, 20] ∪ [100,+∞), condic¸a˜o representada na figura
abaixo:
Como a distaˆncia entre a indu´stria e o terminal do porto deve ser, no ma´ximo, de 30km, temos
|x− 100| 6 30,
ou, equivalentemente,
−30 6 x−100 6 30⇔ x−100 6 30 e x−100 > −30⇔ x 6 130 e x > 70⇔ 70 6 x 6 130⇔ x ∈ [70, 130].
Esta condic¸a˜o esta´ representada na figura abaixo:
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP8 18
Pore´m, a distaˆncia entre a indu´stria na˜o deve ser inferior a 20, logo, deve ser maior ou igual a 20.
Assim,
|x−100| > 20⇔ x−100 6 −20 ou x−100 > 20⇔ x 6 80 ou x > 120⇔ x ∈ (−∞, 80]∪[120,+∞).
Esta condic¸a˜o esta´ representada na figura abaixo:
Como TODAS as treˆs condic¸o˜es referidas anteriormente precisam ser satisfeitas, precisamos que a
localizac¸a˜o x da cidade obedec¸a a:
x ∈ (−∞, 20] ∪ [100,+∞)
e
x ∈ [70, 130]
e
x ∈ (−∞, 80] ∪[120,+∞).
Sendo assim, temos que ter
x ∈ ((−∞, 20] ∪ [100,+∞)) ∩ [70, 130] ∩ ((−∞, 80] ∪ [120,+∞))
Para realizar as intersec¸o˜es acima, representamos, na figura abaixo, os treˆs trechos dados, cada um,
como resultado de uma das condic¸o˜es impostas. A intersec¸a˜o encontra-se destacada em preto.
A intersec¸a˜o dos treˆs intervalos obtidos anteriormente representa o trecho da rodovia onde pode se
instalar a indu´stria, pois esta deve cumprir TODAS as treˆs condic¸o˜es. Com isso,
x ∈ [120, 130].
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ