EP10 2017 1 gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
EP10 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2017-1
Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado na Aula 12, pa´ginas 149 a 155, do Caderno Dida´tico.
Na˜o leia este gabarito sem ter estudado com afinco o EP10 e tentado resolver os
exerc´ıcios!!! Voceˆ pode, claro, ler a` medida em que resolve cada questa˜o!
Exerc´ıcio 1 Resolva as equac¸o˜es do segundo grau:
a) x2 − 6x + 5 = 0 b) 3x2 − 12x + 6 = 0
c) x2 − 4x = 0 d) x2 − 49 = 0
e) 2|x2|+ 3|x| − 2 = 0
Soluc¸a˜o:
a) Para resolver a equac¸a˜o do segundo grau x2− 6x+ 5 = 0, vamos usar a fo´rmula de Bhaskara,
com a = 1, b = −6 e c = 5. Temos que:
∆ = b2 − 4ac = (−6)2 − 4(1)(5) = 36− 20 = 16.
Como ∆ > 0, a equac¸a˜o do segundo grau tem duas ra´ızes reais. Ou seja,
x =
−b±√∆
2a
=
−(−6)±√16
2(1)
=
6± 4
2
.
Logo, o conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o dada e´ formado por x =
6 + 4
2
=
10
2
= 5,
ou x =
6− 4
2
=
2
2
= 1. Isto e´, o conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o x2 − 6x + 5 = 0 e´ o
conjunto
S = {1, 5}.
b) Observe que na equac¸a˜o dada os coeficientes sa˜o mult´ıplos de 3. Assim, multiplicando os dois
membros da igualdade por
1
3
, obtemos a equac¸a˜o
x2 − 4x + 2 = 0,
cujo conjunto soluc¸a˜o e´ o mesmo da equac¸a˜o dada.
Ou seja, o conjunto soluc¸a˜o de 3x2 − 12x + 6 = 0 e x2 − 4x + 2 = 0 sa˜o iguais. Isso, so´ foi
poss´ıvel porque temos uma igualdade. Isoladamente a expressa˜o 3x2 − 12x+ 6 e´ diferente da
expressa˜o x2 − 4x + 2.
Agora, usando Bhaskara para resolver a equac¸a˜o simplificada x2 − 4x + 2 = 0, com a = 1,
b = −4 e c = 2, temos
∆ = b2 − 4ac = (−4)2 − 4(1)(2) = 16− 8 = 8,
Me´todos Determin´ısticos I EP10 2
assim,
x =
−b±√∆
2a
=
−(−4)±√8
2
=
4± 2√2
2
= 2±
√
2.
Logo,
x = 2 +
√
2, ou x = 2−
√
2.
Portanto, S = {2−√2, 2 +√2}.
Sugesta˜o:: Resolva este exerc´ıcio usando Bhaskara na equac¸a˜o inicial 3x2 − 12x+ 6 = 0, ou
seja, com a = 3, b = −12 e c = 6. Veja que, de fato, esta equac¸a˜o tem o mesmo conjunto
soluc¸a˜o da equac¸a˜o simplificada.
c) Esta equac¸a˜o na˜o tem termo o independente de x, ou seja, c = 0, o que torna mais simples
sua soluc¸a˜o. Assim,
x2 − 4x = 0 ⇔ x(x− 4) = 0
⇔ x = 0 ou x− 4 = 0
⇔ x = 0 ou x = 4
Portanto, S = {0, 4}.
d) Nesta equac¸a˜o, veja que b = 0. Logo,
x2 − 49 = 0 ⇔ x2 = 49
⇔ x = 7 ou x = −7.
Portanto, S = {−7, 7}.
e) Lembre-se que |x2| = |x · x| = |x| · |x|.
Lembre-se, tambe´m, que
|x| =

x, se x ≥ 0
−x, se x < 0.
Temos, enta˜o de considerar dois casos: quando x ≥ 0, quando x < 0 e, em seguida, fazer a
reunia˜o do conjunto soluc¸a˜o de cada um destes casos.
1o Caso: x ≥ 0
Enta˜o |x| = x e |x2| = |x| · |x| = x · x = x2.
Da´ı, 2|x2|+ 3|x| − 2 = 0⇐⇒ 2x2 + 3x− 2 = 0. Logo,
x =
−3±√(3)2 − 4(2)(−2)
4
=
−3±√9 + 16
4
=
−3±√25
4
=
−3± 5
4
,
Isto e´, x =
−3 + 5
4
=
1
2
ou x =
−3− 5
4
= −2
Como x ≥ 0, a resposta deste item e´ x = 1
2
.
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Me´todos Determin´ısticos I EP10 3
2o Caso: x < 0
Enta˜o |x| = −x e |x2| = |x| · |x| = (−x) · (−x) = (−x)2.
Da´ı, 2|x2|+ 3|x| − 2 = 0⇐⇒ 2(−x)2 + 3(−x)− 2 = 0⇐⇒ 2x2 − 3x− 2 = 0.
Logo,
x =
−(−3)±√(−3)2 − 4(2)(−2)
4
=
3±√9 + 16
4
=
3±√25
4
=
3± 5
4
,
Isto e´, x =
3 + 5
4
= 2 ou x =
3− 5
4
= −1
2
Como x < 0, a resposta deste item e´ x = −1
2
.
Consequentemente, S =
{
−1
2
,
1
2
}
.
Exerc´ıcio 2 Resolva as equac¸o˜es a seguir, utilizando a soma e o produto das ra´ızes, conforme feito
acima:
a) x2 − 6x + 5 = 0 b) 3x2 + 18x + 24 = 0
c) x2 − 3x− 10 = 0 d) −2x2 + 20x− 50 = 0
Soluc¸a˜o:
a) Na equac¸a˜o x2 − 6x + 5 = 0, a soma das soluc¸o˜es sera´ 6 e o produto 5. Assim, temos como
soluc¸a˜o x = 5 e x = 1.
b) A equac¸a˜o 3x2 + 18x + 24 = 0 pode ser reescrita como 3(x2 + 6x + 8) = 0. Logo, a soma das
soluc¸o˜es sera´ −6 e o produto 8. Assim, temos como soluc¸a˜o x = −2 e x = −4.
c) Na equac¸a˜o x2− 3x− 10 = 0, a soma das soluc¸o˜es sera´ 3 e o produto −10. Assim, temos como
soluc¸a˜o x = 5 e x = −2.
d) A equac¸a˜o −2x2 + 20x− 25 = 0 pode ser reescrita como −2(x2− 10x+ 25) = 0. Logo, a soma
das soluc¸o˜es sera´ 10 e o produto 25. Assim, temos como soluc¸a˜o x = 5 e x = 5, ou seja, uma
u´nica soluc¸a˜o!
Exerc´ıcio 3 Escreva os trinoˆmios ax2 + bx + c abaixo na forma a(x− r1)(x− r2):
Atenc¸a˜o! Neste exerc´ıcio na˜o estamos resolvendo uma equac¸a˜o (observe que na˜o ha´ sinal de igual)!, apenas
fatorando um trinoˆmio, mas talvez ajude se pensarmos na equac¸a˜o ax2 + bx+ c = 0.
a) x2 − 6x + 5 b) 3x2 + 18x + 24
c) 3x3 − 4x + 1 d) −4x2 − 4x− 1
Soluc¸a˜o:
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Me´todos Determin´ısticos I EP10 4
a) Vamos resolver a equac¸a˜o x2 − 6x + 5 = 0 para entender a fatorac¸a˜o do trinoˆmio x2 − 6x + 5.
A equac¸a˜o x2 − 6x + 5 = 0 tem soluc¸a˜o x = 5 e x = 1 (letra (a) do exerc´ıcio anterior). Assim,
x2 − 6x + 5 = (x− 5)(x− 1).
b) Resolvendo 3x2 + 18x + 24 = 0, temos x = −2 ou x = −4. Logo,
3x2 + 18x + 24 = (x− (−2))(x− (−4)) = (x + 2)(x + 4).
c) Resolvendo 3x3 − 4x + 1 = 0, temos (por soma e produto ficou dif´ıcil!)
x =
−(−4)±√(−4)2 − 4 · 3 · 1
2 · 3 =
4±√4
6
=
4± 2
6
.
Assim, x =
4 + 2
6
=
6
6
= 1 ou x =
4− 2
6
=
2
6
=
1
3
. Com isso,
3x2 + 18x + 24 = 3 (x− 1)
(
x− 1
3
)
d) Resolvendo −4x2 − 4x− 1 = 0, temos
x =
−(−4)±√(−4)2 − 4 · (−4) · (−1)
2 · (−4) =
4±√0
−8 =
4
−8 = −
1
2
.
Assim, x = −1
2
e, com isso,
−4x2 − 4x− 1 = −4
(
x−
(
−1
2
))2
= −4
(
x +
1
2
)2
.
Exerc´ıcio 4 Resolva as inequac¸o˜es a seguir:
Atenc¸a˜o! Voceˆ precisara´ trabalhar um pouco algumas das inequac¸o˜es a seguir para que fiquem nas formas
estudadas acima.
a) −
(
x +
1
2
)
(x− 3) + 1
2
(29− 5x) ≤ 0 b) −1
5
(10x2 − 60x + 30)− 12 > 0
c) (x− 1)2 ≥ −x + 3 d) 2x2 − 2x + 10 > 0
e) 2x2 − 2x + 10 < 0 f) x2 ≥ |5x + 6|
Soluc¸a˜o:
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a) Notemos que
−
(
x +
1
2
)
(x− 3) + 1
2
(29− 5x) ≤ 0 ⇐⇒ −
(
x2 − 3x + x
2
− 3
2
)
+
29
2
− 5x
2
≤ 0
⇐⇒ −x2 + 3x− x
2
+
3
2
+
29
2
− 5x
2
≤ 0
⇐⇒ −x2 + 6x− x− 5x
2
+
3 + 29
2
≤ 0
⇐⇒ −x2 + 16 ≤ 0.
Agora, observe que a forma mais pra´tica de resolver inequac¸o˜es do tipo acima e´ fatorando−x2+16
e fazendo uma ana´lise de sinais de cada um dos fatores de −x2 + 16.
Para fazer a fatorac¸a˜o de uma expressa˜o do tipo ax2 + bx + c, lembramos que se a equac¸a˜o do
segundo grau ax2 + bx+ c = 0 tem ra´ızes (soluc¸o˜es) x1 e x2, enta˜o a expressa˜o e´ fatorada como
a(x− x1)(x− x2), ou seja,
ax2 + bx+ c = a(x− x1)(x− x2) .
Assim, como a = −1, temos
−x2 + 16 = −(x + 4)(x− 4).
Logo,
−x2 + 16 ≤ 0 ⇐⇒ −(x + 4)(x− 4) ≤ 0
⇐⇒ (x + 4)(x− 4) ≥ 0.
Vamos fazer a ana´lise de sinal para a u´ltima inequac¸a˜o acima.
Para isso, vamos estudar o sinal de x + 4 e de x− 4;
Estudo do sinal de x + 4
• x + 4 = 0⇐⇒ x = −4
• x + 4 > 0⇐⇒ x > −4
• x + 4 < 0⇐⇒ x < −4
Estudo do sinal de x− 4
• x− 4 = 0⇐⇒ x = 4
• x− 4 > 0⇐⇒ x > 4
• x− 4 < 0⇐⇒ x < 4
Tomando as ra´ızes das equac¸o˜es x + 4 = 0 e x− 4 = 0 como pontos de refereˆncia constru´ımos
a tabela a seguir para determinar os valores de x que satisfazem a inequac¸a˜o dada.
(−∞,−4) (−4, 4) (4,∞)
sinal de (x + 4) − + +
sinal de (x− 4) − − +
sinal de (x + 4)(x− 4) + − +
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Me´todos Determin´ısticos I EP10 6
Como vemos na tabela acima,
(x + 4)(x− 4) > 0 ⇐⇒ x < −4 ou x > 4.
E, lembrando que (x + 4)(x− 4) = 0⇐⇒ x = −4 ou x = 4.
Temos que, (x + 4)(x− 4) ≥ 0⇐⇒ x ≤ −4 oux ≥ 4.
Portanto, x ∈ (−∞,−4] ∪ [4,∞), ou seja, S = (−∞,−4] ∪ [4,∞).
b) Em primeiro lugar, observe que
−1
5
(
10x2 − 60x + 30)− 12 > 0 ⇐⇒ −10x2
5
+
60x
5
− 30
5
− 12 > 0
⇐⇒ −2x2 + 12x− 18 > 0.
Simplificando a inequac¸a˜o (dividindo por -2) obtemos:
−2x2 + 12x− 18 > 0 ⇐⇒ x2 − 6x + 9 < 0
E´ fa´cil fatorar x2 − 6x + 9 pois trata-se de um produto nota´vel:
x2 − 6x + 9 = (x− 3)2
Portanto,
x2 − 6x + 9 < 0 ⇐⇒ (x− 3)2 < 0
Observe que, como o quadrado de qualquer nu´mero real e´ sempre maior ou igual a zero, na˜o ha´
valor de x que satisfaz a inequac¸a˜o.
Portanto, o conjunto soluc¸a˜o e´ o conjunto vazio. Ou seja, S = ∅.
c) Para determinar os valores de x que satisfazem
(x− 1)2 ≥ −x + 3
transformamos esta inequac¸a˜o em uma forma equivalente
Expressa˜o em x ≥ 0.
Assim,
(x− 1)2 ≥ −x + 3 ⇐⇒ (x− 1)2 + x− 3 ≥ 0
⇐⇒ x2 − 2x + 1 + x− 3 ≥ 0
⇐⇒ x2 − x− 2 ≥ 0.
Agora, podemos resolver essa u´ltima inequac¸a˜o pelo processo de fatorac¸a˜o e ana´lise de sinal.
Por Bhaskara determinamos as ra´ızes da equac¸a˜o do segundo grau x2−x−2 = 0, que sa˜o x1 = 2
e x2 = −1. Da´ı, segue a fatorac¸a˜o:
x2 − x− 2 = (x− 2)(x + 1)
Portanto,
x2 − x− 2 ≥ 0 ⇐⇒ (x− 2)(x + 1) ≥ 0.
Fazendo a ana´lise de sinal para a inequac¸a˜o (x− 2)(x + 1) > 0, segue a tabela:
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Me´todos Determin´ısticos I EP10 7
(−∞,−1) (−1, 2) (2,∞)
sinal de (x− 2) − − +
sinal de (x + 1) − + +
sinal de (x− 2)(x + 1) + − +
Como vemos na tabela acima,
(x− 2)(x + 1) > 0 ⇐⇒ x < −1 ou x > 2.
E, como (x− 2)(x + 1) = 0⇐⇒ x = 2 ou x = −1,
temos que, (x− 2)(x + 1) ≥ 0⇐⇒ x ≤ −1 ou x ≥ 2.
Portanto, x ∈ (−∞,−1] ∪ [2,∞). Ou seja, S = (−∞,−1] ∪ [2,∞).
d) Simplificando a inequac¸a˜o (dividindo cada membro da desigualdade por 2) obtemos:
2x2 − 2x + 10 > 0 ⇐⇒ x2 − x + 5 > 0
Ao tentar resolver a equac¸a˜o x2−x+ 5 = 0 por Bhaskara, percebemos que a equac¸a˜o na˜o possui
ra´ızes reais, pois ∆ = (−1)2 − 4(1)(5) = −19, isto e´, ∆ < 0. Isso significa que na˜o existe valor
de x que faz com que x2− x+ 5 = 0, isto e´, x2− x+ 5 nunca se anula, sendo enta˜o, ou sempre
positivo ou sempre negativo.
Para descobrir qual e´ o caso em questa˜o, vamos substituir x por um real qualquer na expressc¸a˜o
x2 − x+ 5. Por exemplo, substituindo x = 0, temos que 02 − 0 + 5 = 5 > 0. Por causa disso, a
expressa˜o x2 − x + 5 e´ sempre maior que zero para qualquer valor de x.
Portanto, o conjunto soluc¸a˜o e´ o conjunto dos nu´meros reais. Ou seja, S = R.
e) Como foi visto no item anterior, na˜o ha´ nenhum valor de x para o qual tenhamos 2x2−2x+10 < 0.
Portanto, o conjunto soluc¸a˜o e´ o conjunto vazio.
f) Para resolver a inequac¸a˜o x2 ≥ |5x + 6|, precisamos saber qual o valor de |5x + 6|. Aplicando a
definic¸a˜o de mo´dulo, temos que
|5x + 6| =

5x + 6, se 5x + 6 ≥ 0,
−(5x + 6), se 5x− 6 < 0.
Ou seja,
|5x + 6| =

5x + 6, se x ≥ −6
5
,
−(5x + 6), se x < −6
5
.
Tomando como refereˆncia o nu´mero real −6
5
, escrevemos a reta real como a unia˜o dos intervalos
(−∞,−6/5) e [−6/5,∞).
Ou seja, R = (−∞,−6/5) ∪ [−6/5,∞).
Assim, para x ∈ (−∞,−6/5), temos que |5x + 6| = −(5x + 6), de modo que a inequac¸a˜o
x2 ≥ |5x + 6| pode ser escrita como x2 ≥ −(5x + 6).
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E, para x ∈ [−6/5,∞), temos que |5x + 6| = 5x + 6, de modo que a inequac¸a˜o x2 ≥ |5x + 6|
pode ser escrita como x2 ≥ 5x + 6. Colocando estas informac¸o˜es numa tabela, temos:
(−∞,−6/5) [6/5,∞)
|5x + 6| −(5x + 6) 5x + 6
x2 ≥ |5x + 6| x2 ≥ −(5x + 6) x2 ≥ 5x + 6
De acordo com a subdivisa˜o da reta real, vemos que a resoluc¸a˜o da inequac¸a˜o x2 ≥ |5x + 6|
equivale a` resoluc¸a˜o de duas diferentes inequac¸o˜es dependendo da localizac¸a˜o de x em R. Va-
mos, portanto, dividir em casos e resolver cada uma das inequac¸o˜es encontradas dentro de seus
respectivos intervalos.
Caso 1: x < −6/5.
Conforme verificado, neste intervalo, a inequac¸a˜o x2 ≥ |5x + 6| equivale a` inequac¸a˜o
x2 ≥ −(5x + 6). De modo que
x2 ≥ −(5x + 6)⇐⇒ x2 + 5x + 6 ≥ 0.
Para resolver a inequac¸a˜o acima, vamos primeiro encontrar as ra´ızes de x2 + 5x + 6 = 0. Utili-
zando a fo´rmula de Bhaskara, com a = 1, b = 5 e c = 6, temos que:
∆ = b2 − 4ac = 25− 24 = 1,
e
x =
−b±√∆
2a
=
−5±√1
2
=
−5± 1
2
.
Logo, as soluc¸o˜es de x2 + 5x + 6 = 0 sa˜o x = −2, x = −3.
Desta forma, podemos escrever que x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3).
Portanto,
x2 + 5x + 6 ≥ 0 ⇔ (x + 2) (x + 3) ≥ 0.
Vamos utilizar uma tabela para fazer a ana´lise de sinal para essa u´ltima inequac¸a˜o:
(−∞,−3) (−3,−2) (−2,∞)
(x + 2) − − +
(x + 3) − + +
(x + 2) (x + 3) + − +
Como vemos na tabela acima,
(x + 2) (x + 3) > 0 ⇐⇒ x < −3 ou x > −2.
E, como (x + 2) (x + 3) = 0⇐⇒ x = −2 ou x = −3,
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temos que,
(x + 2) (x + 3) ≥ 0 ⇔ x ≤ −3 ou x ≥ −2⇐⇒ x ∈ (−∞,−3] ∪ [−2,∞).
Observe, agora, que so´ devemos tomar os valores de x, soluc¸a˜o da inequac¸a˜o x2 + 5x + 6 ≥ 0,
que estiverem no intervalo do caso considerado, que e´ o intervalo (−∞,−6/5).
Desta forma, devemos fazer a intersec¸a˜o da unia˜o de intervalos (−∞,−3] ∪ [−2,∞) com o
intervalo (−∞,−6/5). Temos assim, que o conjunto soluc¸a˜o do Caso 1, o qual chamaremos de
S1, e´ dado por
S1 = ((−∞,−3] ∪ [−2,∞)) ∩ (−∞,−6/5) = (−∞,−3] ∪ [−2,−6/5).
Caso 2: x ≥ −6/5.
Conforme verificado, neste intervalo, a inequac¸a˜o x2 ≥ |5x+6| equivale a inequac¸a˜o x2 ≥ 5x+6.
Dessa forma,
x2 ≥ 5x + 6⇐⇒ x2 − 5x− 6 ≥ 0.
Para resolver a inequac¸a˜o acima, vamos primeiro encontrar as ra´ızes de x2 − 5x − 6 = 0. Pela
fo´rmula de Bhaskara, com a = 1, b = −5 e c = −6, temos que
∆ = b2 − 4ac = 25 + 24 = 49,
e,
x =
−b±√∆
2a
=
5±√7
2
=
5± 7
2
.
Logo, o conjunto soluc¸a˜o de x2 − 5x− 6 = 0 e´ formado pelos nu´meros x = 6, x = −1.
Desta forma, temos que
x2 − 5x− 6 = (x + 1) (x− 6) .
Portanto,
x2 − 5x− 6 ≥ 0 ⇐⇒ (x + 1) (x− 6) ≥ 0.
Vamos utilizar uma tabela para fazer a ana´lise de sinal para essa u´ltima inequac¸a˜o:
(−∞,−1) (−1, 6) (6,∞)
(x + 1) − + +
(x− 6) − − +
(x + 1) (x− 6) + − +
Como vemos na tabela acima,
(x + 1) (x− 6) ≥ 0 ⇔ x < −1 ou x > 6.
E, como (x + 1) (x− 6) = 0⇐⇒ x = −1 ou x = 6,
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temos que,
(x + 1) (x− 6) ≥ 0 ⇐⇒ x ≤ −1 ou x ≥ 6⇐⇒ x ∈ (−∞,−1] ∪ [6,∞).
Observe, agora, que so´ devemos tomar os valores de x, soluc¸a˜o da inequac¸a˜o x2 − 5x − 6 ≥ 0,
que estiverem no intervalo do caso considerado, que e´ o intervalo [−6/5,∞).
Desta forma, devemos interceptar a unia˜o de intervalos (−∞,−1] ∪ [6,∞) com o intervalo
[−6/5,∞).
Temos assim, que o conjunto soluc¸a˜o do Caso 2, o qual chamaremos de S2, e´ dado por
S2 = ((−∞,−1] ∪ [6,∞)) ∩ [−6/5,∞) = [−6/5,−1] ∪ [6,∞).
Unindo as respostas obtidas em cada um dos dois casos, temos que
x2 ≥ |5x + 6| ⇐⇒ x ∈ S1 ∩ S2
⇐⇒ x ∈ ((−∞,−3] ∪ [−2,−6/5)) ∪ ([−6/5,−1] ∪ [6,∞))
⇐⇒ x ∈ (−∞,−3] ∪ [−2,−1] ∪ [6,∞)
⇐⇒ x ≤ −3 ou − 2 ≤ x ≤ −1 ou x ≥ 6 .
Exerc´ıcio 5 Numa situac¸a˜o idealizada de um certo come´rcio foi estabelecido dois grupos de vende-
dores, A e B, para a venda de x unidades de um produto. Sabendo-se que os lucros dos grupos A
e B sa˜o medidos, respectivamente, por
LA = 5x
2
(
4x
5
− 38
5
)
+ 75 e LB = −(x + 2)(x− 10) + 13,
onde as unidades x do produto pertencem ao conjunto {x ∈ Z | 0 ≤ x ≤ 11}.
a) Determine a quantidade vendida pelo grupo A quando o lucro deste grupo e´ de 30 reais.
b) Determine para quais quantidades vendidas, o lucro do grupo A e´ igual ao do grupo B.
c) Determine para quais quantidades, o lucro do grupo A e´ menor que o do grupo B.
Soluc¸a˜o:
a) A fim de determinar a quantidade x vendida pelo grupo A, quando LA e´ igual a 30 reais, temos
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de resolver a equac¸a˜o
30 =
5x
2
(
4x
5
− 38
5
)
+ 75
⇐⇒ 30 = 5x
2
· 4x
5
− 5x
2
· 38
5
+ 75
⇐⇒ 30 = 2x2 − 19x + 75
⇐⇒ 2x2 − 19x + 75− 30 = 0
⇐⇒ 2x2 − 19x + 45 = 0
⇐⇒ x = −(−19)±
√
(−19)2 − 4 · (2) · (45)
4
⇐⇒ x = 19±
√
361− 360
4
⇐⇒ x = 19±
√
1
4
⇐⇒ x = 19± 1
4
⇐⇒ x = 5 ou x = 18
4
=
9
2
.
Como x e´ um elemento do conjunto {x ∈ Z | 0 ≤ x ≤ 11}, temos que , o grupo A vende uma
quantidade de 5 unidades do produto, quando o lucro deste grupo e´ de 30 reais.
b) Para determinar a quantidade vendida x, para que o LA seja igual a LB, temos de resolver a
equac¸a˜o
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LA = LB
⇐⇒ 5x
2
(
4x
5
− 38
5
)
+ 75 = −(x + 2)(x− 10) + 13
⇐⇒ 2x2 − 19x + 75 = −(x2 − 10x + 2x− 20)+ 13
⇐⇒ 2x2 − 19x + 75 = −(x2 − 8x− 20)+ 13
⇐⇒ 2x2 − 19x + 75 = −x2 + 8x + 20 + 13
⇐⇒ 2x2 − 19x + 75 = −x2 + 8x + 33
⇐⇒ 3x2 − 27x + 42 = 0
⇐⇒ 3(x2 − 9x + 14) = 0
⇐⇒ x2 − 9x + 14 = 0
⇐⇒ x = −(−9)±
√
(−9)2 − 4 · (1) · (14)
2
⇐⇒ x = 9±
√
81− 56
2
⇐⇒ x = 9±
√
25
2
⇐⇒ x = 9± 5
2
⇐⇒ x = 2 ou x = 7.
Portanto, o lucro do grupo A e´ igual ao do grupo B quando forem vendidos 2 ou 7 unidades do
produto.
c) Para determinar para quais quantidades, LA e´ menor que LB, temos de resolver a desigualdade
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LA < LB
⇐⇒ 5x
2
(
4x
5
− 38
5
)
+ 75 < −(x + 2)(x− 10) + 13
⇐⇒ 2x2 − 19x + 75 < −x2 + 8x + 33
⇐⇒ 3x2 − 27x + 42 < 0
⇐⇒ 3(x2 − 9x + 14) < 0
⇐⇒ x2 − 9x + 14 < 0
⇐⇒ (x− 2) (x− 7) < 0.
Vamos utilizar uma tabela para fazer a ana´lise de sinal para essa u´ltima inequac¸a˜o:
(−∞, 2) (2, 7) (7,∞)
(x− 2) − + +
(x− 7) − − +
(x− 2) (x− 7) + − +
Da tabela acima, temos que (x− 2) (x− 7) < 0 ⇐⇒ 2 < x < 7.
Como x e´ um elemento do conjunto {x ∈ Z | 0 ≤ x ≤ 11}, temos que o lucro do grupo A e´
menor que o do grupo B para as quantidades 3, 4, 5 ou 6 unidades do produto.
Exerc´ıcio 6 Sabe-se que o lucro de uma empresa e´ dado pela relac¸a˜o L = R−C, onde L representa
o lucro, R a receita total e C o custo total da produc¸a˜o.
Em uma empresa que produziu x unidades de um produto, verificou-se que R = 600x − x2 e
C = x2 − 200x. Nestas condic¸o˜es:
i) Obtenha a expressa˜o em x que define o lucro dessa empresa.
ii) Considerando que essa empresa teve um lucro nulo, qual foi a quantidade de unidades que ela
produziu?
iii) Qual o significado da situac¸a˜o considerada no item ii) em termos da receita R e do custo C?
Soluc¸a˜o:
i)
L = R− C = (600x− x2)− (x2 − 200x)
= 600x− x2 − x2 + 200x
= −2x2 + 800x.
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ii)
L = 0 ⇐⇒ −2x2 + 800x = 0
⇐⇒ 2x2 − 800x = 0
⇐⇒ x2 − 400x = 0
⇐⇒ x(x− 400) = 0
⇐⇒ x = 0 ou x− 400 = 0
⇐⇒ x = 0 ou x = 400.
Como essa empresa produziu x unidades, x 6= 0. Consequentemente, com lucro nulo essa
empresa produziu 400 unidades do produto.
iii) O significado e´ que a receita total R e´ igual ao custo total C. De fato, pois para x = 400
R = 600(400)− 4002 = 240000− 160000 = 80000 reais,
bem como
C = 4002 − 200(400) = 160000− 80000 = 80000 reais.
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