RESUMO - Energia Cinetica e Trabalho

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Energia Cine´tica e Trabalho
Energia Cine´tica e Trabalho
Prof. Fa´bio Nakagomi
UDF - Centro Universita´rio
2 de setembro de 2013
Prof. Fa´bio Nakagomi Energia Cine´tica e Trabalho
Energia Cine´tica e Trabalho
Suma´rio
1 Energia
2 Energia Cine´tica
3 Trabalho
4 Trabalho e Energia Cine´tica
5 Trabalho Realizado pela Forc¸a Gravitacional
6 Trabalho Realizado por uma Forc¸a Ela´stica
7 Trabalho Realizado por uma Forc¸a Varia´vel Gene´rica
8 Poteˆncia
Prof. Fa´bio Nakagomi Energia Cine´tica e Trabalho
Energia Cine´tica e Trabalho
Energia
Suma´rio
1 Energia
2 Energia Cine´tica
3 Trabalho
4 Trabalho e Energia Cine´tica
5 Trabalho Realizado pela Forc¸a Gravitacional
6 Trabalho Realizado por uma Forc¸a Ela´stica
7 Trabalho Realizado por uma Forc¸a Varia´vel Gene´rica
8 Poteˆncia
Prof. Fa´bio Nakagomi Energia Cine´tica e Trabalho
Energia Cine´tica e Trabalho
Energia
Energia
A palavra Energia nos e´ comum a o utilizamos corriqueiramente.
Energia
Energia Ele´trica
Energia Mecaˆnica
Energia Te´rmica
Neste cap´ıtulo concentramos nossa atenc¸a˜o em um u´nico
tipo de energia (ENERGIA CINE´TICA) e uma u´nica forma
de transfereˆncia de energia (TRABALHO)
Prof. Fa´bio Nakagomi Energia Cine´tica e Trabalho
Energia Cine´tica e Trabalho
Energia
Energia
A palavra Energia nos e´ comum a o utilizamos corriqueiramente.
Energia
Energia Ele´trica
Energia Mecaˆnica
Energia Te´rmica
Neste cap´ıtulo concentramos nossa atenc¸a˜o em um u´nico
tipo de energia (ENERGIA CINE´TICA) e uma u´nica forma
de transfereˆncia de energia (TRABALHO)
Prof. Fa´bio Nakagomi Energia Cine´tica e Trabalho
Energia Cine´tica e Trabalho
Energia
Energia
A palavra Energia nos e´ comum a o utilizamos corriqueiramente.
Energia
Energia Ele´trica
Energia Mecaˆnica
Energia Te´rmica
Neste cap´ıtulo concentramos nossa atenc¸a˜o em um u´nico
tipo de energia (ENERGIA CINE´TICA) e uma u´nica forma
de transfereˆncia de energia (TRABALHO)
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Energia Cine´tica e Trabalho
Energia
O que e´ Energia ?
Habilidade de realizar TRABALHO.
O que e´ Trabalho ?
ENERGIA transferida por uma FORC¸A.
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Energia Cine´tica e Trabalho
Energia Cine´tica
Suma´rio
1 Energia
2 Energia Cine´tica
3 Trabalho
4 Trabalho e Energia Cine´tica
5 Trabalho Realizado pela Forc¸a Gravitacional
6 Trabalho Realizado por uma Forc¸a Ela´stica
7 Trabalho Realizado por uma Forc¸a Varia´vel Gene´rica
8 Poteˆncia
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Energia Cine´tica e Trabalho
Energia Cine´tica
Energia Cine´tica
Energia Cine´tica
A Energia Cine´tica K e´ a energia associada ao estado de
movimento de um objeto.
Quanto maior a velocidade =⇒ maior e´ a energia cine´tica.
Se a velocidade e´ nula =⇒ a energia cine´tica e´ nula.
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Energia Cine´tica e Trabalho
Energia Cine´tica
Energia Cine´tica
Energia Cine´tica
A Energia Cine´tica K e´ a energia associada ao estado de
movimento de um objeto.
Quanto maior a velocidade =⇒ maior e´ a energia cine´tica.
Se a velocidade e´ nula =⇒ a energia cine´tica e´ nula.
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Energia Cine´tica e Trabalho
Energia Cine´tica
Energia Cine´tica
Energia Cine´tica
K = 1
2
mv2 (2.1)
Unidade SI
1 joule = 1 J = 1 kg · m
2
s2
(2.2)
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Energia Cine´tica e Trabalho
Trabalho
Suma´rio
1 Energia
2 Energia Cine´tica
3 Trabalho
4 Trabalho e Energia Cine´tica
5 Trabalho Realizado pela Forc¸a Gravitacional
6 Trabalho Realizado por uma Forc¸a Ela´stica
7 Trabalho Realizado por uma Forc¸a Varia´vel Gene´rica
8 Poteˆncia
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Energia Cine´tica e Trabalho
Trabalho
Trabalho
Trabalho
O Trabalho W e´ a energia transferida para um objeto ou de um
objeto atrave´s de uma forc¸a que age sobre o objeto.
Quando a energia e´ transferida para o objeto, o trabalho e´
positivo.
Quando a energia e´ transferida do objeto, o trabalho e´
negativo.
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Energia Cine´tica e Trabalho
Trabalho e Energia Cine´tica
Suma´rio
1 Energia
2 Energia Cine´tica
3 Trabalho
4 Trabalho e Energia Cine´tica
5 Trabalho Realizado pela Forc¸a Gravitacional
6 Trabalho Realizado por uma Forc¸a Ela´stica
7 Trabalho Realizado por uma Forc¸a Varia´vel Gene´rica
8 Poteˆncia
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Energia Cine´tica e Trabalho
Trabalho e Energia Cine´tica
Encontrando uma expressa˜o para o Trabalho
Considere uma conta que
pode deslizar ao longo de
um fio sem atrito ao longo
de um eixo x horizontal.
Uma forc¸a constante ~F ,
fazendo um aˆngulo φ com o
fio, e´ usada para acelerar a
conta.
Figura 1 : Uma forc¸a constante ~F
acelera a conta.
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Energia Cine´tica e Trabalho
Trabalho e Energia Cine´tica
Encontrando uma expressa˜o para o Trabalho
Considere uma conta que
pode deslizar ao longo de
um fio sem atrito ao longo
de um eixo x horizontal.
Uma forc¸a constante ~F ,
fazendo um aˆngulo φ com o
fio, e´ usada para acelerar a
conta.
Figura 1 : Uma forc¸a constante ~F
acelera a conta.
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Trabalho e Energia Cine´tica
Encontrando uma expressa˜o para o Trabalho
Usando a 2a Lei de Newton para as componentes em relac¸a˜o ao
eixo x:
Fx = max → ax = Fx
m
(4.1)
Onde m e´ a massa da esfera. Quando a conta sofre um
deslocamento ~d , a forc¸a muda a velocidade da conta de um valor
inicial ~v0 para um outro valor ~v . Como a forc¸a e´ constante, a
acelerac¸a˜o tambe´m e´ constante, assim:
v2 = v20 + 2axd →
1
2
mv2 − 1
2
mv20 = Fxd (4.2)
A transfereˆncia de energia em consequeˆncia da aplicac¸a˜o da forc¸a
e´:
W = Fxd (4.3)
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Trabalho e Energia Cine´tica
Para FORC¸AS CONSTANTES
Trabalho
W = ~F · ~d (4.4)
Trabalho
W = F d cos(φ) (4.5)
Importante
Para calcular o trabalho que uma forc¸a realiza sobre um objeto
quando este sofre um deslocamento, usamos apenas a componente
da forc¸a em relac¸a˜o ao deslocamento do objeto.
Forc¸as perpendiculares na˜o realizam trabalho.
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Energia Cine´tica e Trabalho
Trabalho e Energia Cine´tica
Existem algumas condic¸o˜es para se calcular o trabalho usando as
equac¸o˜es anteriores (4.4) e (4.5)
Restric¸o˜es
Forc¸a Constante - mo´dulo e a orientac¸a˜o na˜o devem mudar
durante o deslocamento.
Objeto deve se comportar como uma part´ıcula ou corpo r´ıgido.
Unidade SI
1 joule = 1 J = 1 kg · m
2
s2
= N.m (4.6)
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Energia Cine´tica e Trabalho
Trabalho e Energia Cine´tica
Existem algumas condic¸o˜es para se calcular o trabalho usando as
equac¸o˜es anteriores (4.4) e (4.5)
Restric¸o˜es
Forc¸a Constante - mo´dulo e a orientac¸a˜o na˜o devem mudar
durante o deslocamento.
Objeto deve se comportar como uma part´ıcula ou corpo r´ıgido.
Unidade SI
1 joule = 1 J = 1 kg · m
2
s2
= N.m (4.6)
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Energia Cine´tica e Trabalho
Trabalho e Energia Cine´tica
Trabalho total realizado por va´rias forc¸as
Importante
Quando duas ou mais forc¸as atuam sobre um objeto, o trabalho
total realizado sobre o objeto e´ a soma dos trabalhos realizados
separadamentepelas forc¸as.
Podemos calcular o trabalho total de duas formas:
Podemos determinar o trabalho realizado separadamente pelas
forc¸as e somar os resultados.
Podemos determinar primeiro a resultante ~Fres de todas as
forc¸as e usar W = Fdcos(φ) ou W = ~F · ~d .
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Energia Cine´tica e Trabalho
Trabalho e Energia Cine´tica
Teorema do Trabalho e Energia Cine´tica
=⇒ Cinema´tica
v2final = v
2
inicial + 2~a · ~d (4.7)
Segunda Lei de Newton ~F = m~a =⇒ ~a = ~Fm
v2final = v
2
inicial + 2
~F
m
· ~d (4.8)
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Energia Cine´tica e Trabalho
Trabalho e Energia Cine´tica
Mas defimos o Trabalho:
W = ~F · ~d (4.9)
Substituindo na expressa˜o para a velocidade:
v2final = v
2
inicial +
2
m
W (4.10)
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Energia Cine´tica e Trabalho
Trabalho e Energia Cine´tica
Rearranjando os termos:
Teorema do Trabalho e Energia Cine´tica
W = 1
2
mv2final −
1
2
mv2inicial = Kfinal −Kinicial (4.11)
Trabalho como Variac¸a˜o da Energia Cine´tica
∆K =W (4.12)
A variac¸a˜o da energia cine´tica de uma part´ıcula e´ igual ao trabalho
total executado sobre a part´ıcula.
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Energia Cine´tica e Trabalho
Trabalho Realizado pela Forc¸a Gravitacional
Suma´rio
1 Energia
2 Energia Cine´tica
3 Trabalho
4 Trabalho e Energia Cine´tica
5 Trabalho Realizado pela Forc¸a Gravitacional
6 Trabalho Realizado por uma Forc¸a Ela´stica
7 Trabalho Realizado por uma Forc¸a Varia´vel Gene´rica
8 Poteˆncia
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Trabalho Realizado pela Forc¸a Gravitacional
Considere um objeto
arremessado para cima com
velocidade inicial v0 e
energia cine´tica
Kinicial = 12mv20 .
Na subida, a forc¸a
gravitacional Fg realiza
trabalho sobre a part´ıcula.
Trabalho realizado pela forc¸a
gravitacional
Wg = mgdcos(φ) (5.1)
Figura 2 : Objeto sendo
arremessado para cima.
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Energia Cine´tica e Trabalho
Trabalho Realizado pela Forc¸a Gravitacional
Considere um objeto
arremessado para cima com
velocidade inicial v0 e
energia cine´tica
Kinicial = 12mv20 .
Na subida, a forc¸a
gravitacional Fg realiza
trabalho sobre a part´ıcula.
Trabalho realizado pela forc¸a
gravitacional
Wg = mgdcos(φ) (5.1)
Figura 2 : Objeto sendo
arremessado para cima.
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Trabalho Realizado pela Forc¸a Gravitacional
Durante a subida, a forc¸a ~Fg tem sentido contra´rio ao do
deslocamento ~d , assim φ = 180
φ = 180
Wg = mgdcos(180) = −mgd (5.2)
Depois que o objeto atinge a altura ma´xima e comec¸a a descer, o
aˆngulo φ entre a forc¸a ~Fg e o deslocamento ~d e´ zero.
φ = 0
Wg = mgdcos(0) = +mgd (5.3)
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Trabalho Realizado pela Forc¸a Gravitacional
Trabalho relizado para levantar e baixar um objeto
Considerando a forc¸a vertical ~F :
Durante o deslocamento para cima, esta forc¸a realiza trabalho
positivo Wa sobre o objeto (a forc¸a gravitacional realiza
trabalho negativo Wg .)
Variac¸a˜o da Energia
∆K = Kf −Ki =Wa +Wg (5.4)
Em muitos casos, o objeto esta´ em repouso antes e depois do
levantamento. Nesse caso:
Variac¸a˜o da Energia
Wa +Wg = 0 ⇒ Wa = −Wg ⇒ Wa = −mgdcos(φ) (5.5)
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Trabalho Realizado por uma Forc¸a Ela´stica
Suma´rio
1 Energia
2 Energia Cine´tica
3 Trabalho
4 Trabalho e Energia Cine´tica
5 Trabalho Realizado pela Forc¸a Gravitacional
6 Trabalho Realizado por uma Forc¸a Ela´stica
7 Trabalho Realizado por uma Forc¸a Varia´vel Gene´rica
8 Poteˆncia
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Trabalho Realizado por uma Forc¸a Ela´stica
Lei de Hooke
~Fs = −k ~d (6.1)
k e´ chamada de constante
ela´stica
Caso 1-D
Fx = −kx (6.2)
Forc¸a Restauradora.
Forc¸a Varia´vel
Figura 3 : Sistema Massa-Mola.
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Trabalho Realizado por uma Forc¸a Ela´stica
Trabalho realizado pela mola
Seja xi a posic¸a˜o inicial do bloco e xf a posic¸a˜o do bloco em
um instante posterior.
Dividimos a distaˆncia entre os dois pontos em pequenos
segmentos ∆x .
Assim podemos aproximar o mo´dulo da forc¸a como sendo
constante dentro de cada segmento.
Com uma forc¸a constante em cada segmento, podemos calcular o
trabalho realizado usando (4.5). Nesse caso, φ = 180, de modo
que cos(φ) = −1.
Ws =
∑
−Fxj ∆x ⇒ ∆x → 0 (6.3)
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Trabalho Realizado por uma Forc¸a Ela´stica
Temos dessa forma:
Ws =
∫ xf
xi
−Fxdx ⇒ Fx = kx (6.4)
Ws =
∫ xf
xi
−kxdx = −k
∫ xf
xi
xdx =
(
−1
2
k
)
(x2f − x2i ) (6.5)
Trabalho de uma forc¸a Ela´stica
Ws = 1
2
kx2i −
1
2
kx2f (6.6)
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Trabalho Realizado por uma Forc¸a Ela´stica
O trabalho Ws e´:
Positivo se a posic¸a˜o final do bloco esta´ mais pro´xima da
posic¸a˜o no estado relaxado x = 0 que a posic¸a˜o inicial.
Negativo se a posic¸a˜o final esta´ mais afastada da posic¸a˜o no
estado relaxado x = 0 que a posic¸a˜o inicial.
Zero se a posic¸a˜o final do bloco esta´ a` mesma distaˆncia de
x = 0 que a posic¸a˜o inicial.
Supondo que xi = 0 e chamando a posic¸a˜o final de x :
Trabalho de uma forc¸a ela´stica
Ws = −1
2
kx2 (6.7)
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Energia Cine´tica e Trabalho
Trabalho Realizado por uma Forc¸a Ela´stica
Trabalho realizado por uma Forc¸a Aplicada
Deslocamos o bloco ao longo do eixo x mantendo uma forc¸a ~Fa
aplicada ao bloco.
Durante o deslocamento, a forc¸a aplicada realiza um trabalho
Wa sobre o bloco,
A forc¸a ela´stica tambe´m realiza um trabalho Ws sobre o
bloco.
A variac¸a˜o ∆K da energia cine´tica do bloco e´ dada por:
∆K = Kf −Ki =Wa +Ws (6.8)
Se o bloco estiver em repouso no in´ıcio e no fim do
deslocamento:
Trabalho Realizado por uma Forc¸a Aplicada
Wa = −Ws (6.9)
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Trabalho Realizado por uma Forc¸a Varia´vel Gene´rica
Suma´rio
1 Energia
2 Energia Cine´tica
3 Trabalho
4 Trabalho e Energia Cine´tica
5 Trabalho Realizado pela Forc¸a Gravitacional
6 Trabalho Realizado por uma Forc¸a Ela´stica
7 Trabalho Realizado por uma Forc¸a Varia´vel Gene´rica
8 Poteˆncia
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Energia Cine´tica e Trabalho
Trabalho Realizado por uma Forc¸a Varia´vel Gene´rica
Quando a forc¸a ~F aplicada a um objeto que se comporta como
uma part´ıcula depende da posic¸a˜o do objeto, o trabalho realizado
por ~F sobre o objeto enquanto o objeto se move de uma posic¸a˜o
inicial ri de coordenadas (xi , yi , zi ) para uma posic¸a˜o final rf de
coordenadas (xf , yf , zf ) pode ser calculado integrando a forc¸a.
Supondo que haja independeˆncia linear entre as componentes da
forc¸a.
Forc¸a Varia´vel
W =
∫ xf
xi
Fxdx +
∫ yf
yi
Fydy +
∫ zf
zi
Fzdz (7.1)
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Energia Cine´tica e Trabalho
Trabalho Realizado por uma Forc¸a Varia´vel Gene´rica
Figura 4 : Gra´fico da Amplitude da
Forc¸a
Figura 5 : Gra´fico da Amplitude da
Forc¸a
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Energia Cine´tica e TrabalhoPoteˆncia
Suma´rio
1 Energia
2 Energia Cine´tica
3 Trabalho
4 Trabalho e Energia Cine´tica
5 Trabalho Realizado pela Forc¸a Gravitacional
6 Trabalho Realizado por uma Forc¸a Ela´stica
7 Trabalho Realizado por uma Forc¸a Varia´vel Gene´rica
8 Poteˆncia
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Energia Cine´tica e Trabalho
Poteˆncia
Poteˆncia
A taxa de variac¸a˜o com o tempo do trabalho realizado por uma
forc¸a recebe o nome de POTEˆNCIA.
Poteˆncia Me´dia
Pme´dia = W
∆t
(8.1)
A poteˆncia instantaˆnea com a qual o trabalho e´ realizado:
Poteˆncia Instantaˆnea
P = dW
dt
(8.2)
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Energia Cine´tica e Trabalho
Poteˆncia
Unidade de Poteˆncia
A unidade de poteˆncia no SI e´ o joule por segundo, definida como
watt.
Unidade SI
joule
segundo
= watt (8.3)
No caso de uma forc¸a ~F que faz um aˆngulo φ com a velocidade
instantaˆnea ~v de um objeto, a poteˆncia instantaˆnea e´:
Poteˆncia Instantaˆnea
P = ~F · ~v = Fvcos(φ) (8.4)
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	Energia
	Energia Cinética
	Trabalho
	Trabalho e Energia Cinética
	Trabalho Realizado pela Força Gravitacional
	Trabalho Realizado por uma Força Elástica
	Trabalho Realizado por uma Força Variável Genérica
	Potência