Aula 13 - Transformações Lineares

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALFENAS – UNIFAL-MG Aula 13 
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
ICT 13 
Álgebra 
Linear 
Aula 13 
 
	
   	
   	
  
PROF. DR. MAYK COELHO 	
   
Iremos estudar funções, ou aplicações, onde o domínio e o contradomínio 
são espaços vetoriais. Estas funções são denominadas Funções Vetoriais. 
Assim, se 𝑇 é uma função vetorial do espaço vetorial 𝑉 no espaço vetorial 𝑊, então escrevemos 𝑇:𝑉 →𝑊. 
Porém, estamos interessados em funções vetoriais 𝑇:𝑉 →𝑊 que 
preservam proporcionalidade, ou seja, dados: 𝑣 ∈ 𝑉 e 𝛼 ∈ ℝ⟹ 𝑇 𝛼𝑣 = 𝛼𝑇 𝑣 
Também estamos interessados em funções 𝑇:𝑉 →𝑊 que preservam 
combinações lineares entre dois vetores quaisquer de 𝑉, ou seja, dados: 𝑤 = 𝛼𝑣 + 𝛽𝑢   ⇒ 𝑇 𝑤 = 𝛼𝑇 𝑣 + 𝛽𝑇 𝑢 ,∀𝛼,𝛽 ∈ ℝ 
 Estas duas propriedades, se combinadas, podem nos ajudar muito, pois 
garantem subespaços de 𝑉 sejam levados em subespaços de 𝑊, 
preservando linearidade das retas. 
As funções vetoriais 𝑇:𝑉 →𝑊 que possuem estas duas 
propriedades são chamadas de Transformações Lineares. 
 
 
Transformações Lineares 
das 
 
Logo,
 se 𝑢 ∈ 𝑈 ⊂ 𝑉 tal que 𝑈
= [𝑣!,… , 𝑣!] é 
um su
bespa
ço ger
ado de
 𝑉, então 𝑇(𝑢) ∈ 𝑆 ⊂𝑊
, 
onde 𝑆 = [𝑇(𝑣!),… ,𝑇(
𝑣!)], subespaço gerado
 de 
𝑊, ou seja, se 𝑢 = 𝛼!𝑣!
+⋯+ 𝛼!𝑣! então 
  𝑇(𝑢) = 𝛼!𝑇(𝑣!) +⋯+
𝛼!𝑇(𝑣!)  ∀𝛼! ∈ ℝ   
 
Logo retas em 𝑉 são levadas em retas de 
𝑊,ou seja, sejam 𝑟 é uma reta que passa por 
𝑣 ∈ 𝑉, 𝑟 = {𝛼𝑣|𝛼 ∈ ℝ} e 𝑠 é uma reta que 
passa por 𝑇(𝑣) ∈ 𝑊, 𝑠 = {𝛼𝑇(𝑣)|𝛼 ∈ ℝ} 
então: 𝑇(𝛼𝑣) = 𝛼𝑇(𝑣),∀𝛼 ∈ ℝ ⇒ 𝑇(𝑟) = 𝑠. 
 
AULA 13 – TRANSFORMAÇÕES LINEARES 	
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Com esta definição geral de transformações lineares entre espaços vetoriais, é possível observar que se 𝑇 for uma 
transformação linear o elemento nulo de 𝑉será levado no elemento nulo de 𝑊 pois: 0! = 0 ∘ 𝑢,∀𝑢 ∈ 𝑉 ⇒ 𝑇 0! = 𝑇 0 ∘ 𝑢 = 0⊚ 𝑇 𝑢 = 0! 
A definição geral pode causar um certo espanto a primeira vista, mas basta observar que como 𝑢 e 𝑣 ∈ 𝑉, deve-se 
fazer uso das operações em 𝑉, porém 𝑇(𝑢) e T(𝑣) ∈ 𝑉, devendo-se agora fazer uso das operações em 𝑊. A 
mesma observação vale para operações entre escalares e vetores. Vejamos um exemplo: 
Exemplo 1: Seja 𝑉 = { 𝑥,𝑦 ∈ ℝ!|𝑥 > 0  𝑒  𝑦 > 0}. Para quaisquer 𝑢 = 𝑎, 𝑏 e 𝑣 = (𝑐,𝑑) em 𝑉 e 𝛼 ∈ ℝ, 
definimos as seguintes operações: 𝑢Δ𝑣 = 𝑎𝑐, 𝑏𝑑𝛼 ∘ 𝑢 = (𝑎! , 𝑏!). Assim temos que (𝑉,Δ,∘) forma um espaço vetorial. 
É fácil verificar que o elemento nulo de 𝑉 é o vetor 𝟎𝑽 = (1,1). Seja agora 𝑊 = ℝ! com as operações usuais, 
logo 𝟎𝑾 = (0,0,0). 
Seja ainda 𝑇:𝑉 →𝑊 definida por 𝑇 𝑥,𝑦 = (𝑥,𝑦, 𝑥 + 𝑦). Vimos acima que para toda transformação linear, 
temos que 𝑇 𝟎𝑽 = 𝟎𝑾 , porém, 𝑇 𝟎𝑽 = 𝑇 1,1 = (1,1,2) ≠ 𝟎𝑾 , logo 𝑇 não é linear. 
Observe que se tomarmos 𝑉 no exemplo acima como sendo ℝ! com as operações usuais, 𝑇:𝑉 →𝑊 será uma 
transformação linear, pois sendo 𝑢 = (𝑥,𝑦) e 𝑣 = (𝑎, 𝑏) temos que: 
	
   𝑇 𝑢 + 𝑣 = 𝑇 𝑥 + 𝑎,𝑦 + 𝑏 = 𝑥 + 𝑎,𝑦 + 𝑏, 𝑥 + 𝑎 + 𝑦 + 𝑏 = 𝑥,𝑦, 𝑥 + 𝑦 + 𝑎, 𝑏,𝑎 + 𝑏 = 𝑇 𝑢 + 𝑇(𝑣) 𝑇 𝛼𝑢 = 𝑇 𝛼𝑥,𝛼𝑦 = 𝛼𝑥,𝛼𝑦,𝛼𝑥 + 𝛼𝑦 = 𝛼 𝑥,𝑦, 𝑥 + 𝑦 = 𝛼𝑇(𝑢) 
Assim, para uma função 𝑇:𝑉 →𝑊 ser uma transformação linear, não basta saber como ela relaciona os 
elementos entre os espaços vetoriais, é preciso saber também as operações definidas nestes espaços. 
Vejamos mais um exemplo: 
Exemplo 2: Sejam 𝑉 = 𝑀!×! o espaço das matrizes 2×2 com as operações usuais de matrizes, 𝑊 = ℝ! com as 
operações usuais. Sejam ainda 𝑇:𝑉 →𝑊 e 𝐹:𝑉 →𝑊 aplicações definidas por: 𝑇 𝑎 𝑏𝑐 𝑑 = 𝑎, 𝑏 + 𝑐,𝑑 e 𝐹 𝑎 𝑏𝑐 𝑑 = 𝑎, 𝑏𝑐,𝑑 
Para verificar se as aplicações 𝑇 e 𝐹 são transformações lineares de 𝑉 em 𝑊 deve-se verificar se dadas quaisquer 
matrizes 𝐴 e 𝐵 ∈ 𝑉, são válidas as afirmações: 
1) 𝑇 𝐴 + 𝐵 = 𝑇 𝐴 + 𝑇 𝐵𝑇 𝛼𝐴 = 𝛼𝑇 𝐴 ∀𝛼 ∈ ℝ e 2) 𝐹 𝐴 + 𝐵 = 𝐹 𝐴 + 𝐹 𝐵𝐹 𝛼𝐴 = 𝛼𝐹 𝐴 ∀𝛼 ∈ ℝ 
Se 𝑇é linear então 𝑇(𝟎𝑽) = 𝟎𝑾 
De modo geral, sejam (𝑉,∆,∘), (𝑊,⨁,⊚) espaços vetoriais e uma função 𝑇:𝑉 →𝑊, podemos definir que 𝑇 é 
uma transformação linear se e somente se dados 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 e 𝛼 ∈ ℝ: !𝑇(𝑢∆𝑣) = 𝑇(𝑢)⨁𝑇(𝑣)𝑇(𝛼 ∘ 𝑢) = 𝛼⊚ 𝑇(𝑢) 
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Assim, tomemos duas matrizes 𝐴 e 𝐵 quaisquer de 𝑉: 𝐴 = 𝑎 𝑏𝑐 𝑑 e 𝐵 = 𝑥 𝑦𝑧 𝑡 ,⇒ 𝐴 + 𝐵 = 𝑎 + 𝑥 𝑏 + 𝑦𝑐 + 𝑧 𝑑 + 𝑡  𝑒  𝛼𝐴 = 𝛼𝑎 𝛼𝑏𝛼𝑐 𝛼𝑑 
 
Logo, para a afirmação 1): 𝑇 𝐴 + 𝐵 = 𝑇 𝑎 + 𝑥 𝑏 + 𝑦𝑐 + 𝑧 𝑑 + 𝑡 = 𝑎 + 𝑥, 𝑏 + 𝑦 + 𝑐 + 𝑧,𝑑 + 𝑡 = 𝑎, 𝑏 + 𝑐,𝑑 + 𝑥,𝑦 + 𝑧, 𝑡= 𝑇 𝐴 + 𝑇 𝐵 𝑇 𝛼𝐴 = 𝑇 𝛼𝑎 𝛼𝑏𝛼𝑐 𝛼𝑑 = 𝛼𝑎,𝛼𝑏 + 𝛼𝑐,𝛼𝑑 = 𝛼 𝑎, 𝑏 + 𝑐,𝑑 = 𝛼𝑇(𝐴). 
Verificamos que 𝑇 é linear, porém, para a aplicação 𝐹 temos o seguinte: 
𝐹 𝐴 + 𝐵 = 𝐹 𝑎 + 𝑥 𝑏 + 𝑦𝑐 + 𝑧 𝑑 + 𝑡 = 𝑎 + 𝑥, 𝑏 + 𝑦 𝑐 + 𝑧 ,𝑑 + 𝑡 = 𝑎 + 𝑥, 𝑏𝑐 + 𝑏𝑧 + 𝑦𝑐 + 𝑦𝑧,𝑑 + 𝑡 
Mas, 𝑇 𝐴 + 𝑇 𝐵 = 𝑎, 𝑏𝑐,𝑑 + 𝑥,𝑦𝑧, 𝑡 = 𝑎 + 𝑥, 𝑏𝑐 + 𝑦𝑧,𝑑 + 𝑡 ≠ 𝐹(𝐴 + 𝐵), logo já poderíamos afirmar 
que 𝐹 não é uma transformação linear de 𝑉 em 𝑊. Pode-se ainda verificar a segunda condição: 
𝐹 𝛼𝐴 = 𝐹 𝛼𝑎 𝛼𝑏𝛼𝑐 𝛼𝑑 = 𝛼𝑎,𝛼𝑏𝛼𝑐,𝛼𝑑 = 𝛼𝑎,𝛼!𝑏𝑐,𝛼𝑑 
Mas, 𝛼𝐹 𝐴 = 𝛼𝐹 𝛼𝑎 𝛼𝑏𝛼𝑐 𝛼𝑑 = 𝛼 𝑎, 𝑏𝑐,𝑑 = (𝛼𝑎,𝛼𝑏𝑐,𝛼𝑑)  ≠ 𝐹(𝛼𝐴). Logo as duas condições são falsas.   
	
  
A partir destes exemplos podemos fazer algumas considerações. O exemplo 1 nos dá a liberdade de enunciar o 
seguinte resultado: 
 
No exemplo 2, as duas condições para 𝐹 ser linear falharam, isto nem sempre acontece, há casos em que se 
preserva a proporção mas não as combinações e vice-versa. 
 
Seja 𝑇:𝑉 →𝑊 uma aplicação entre os espaços vetoriais 𝑉  𝑒  𝑊 se 𝑇(0!) ≠ 0! então 𝑇 não é linear. 
	
  
 
Cuidado para não usar o resultado acima de forma errada, pois caso se obtenha 𝑇(𝟎𝑽) = 𝟎𝑾 nada se conclui, 
veja o caso da aplicação 𝐹 no exemplo 2, 𝐹 não é linear mas 𝐹(𝟎𝑽) = 𝟎𝑾. 
	
  
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Entendido o conceito, podemos, de forma simplificada, dizer que: 
 
Esta definição simplificada é a mais comum na literatura, porém não abrange todo tipo de espaço vetorial, visto 
que nem sempre temos as operações usuais de soma de vetores e de produto por um escalar. 
A simplificação se dá devido ao uso mais comum de espaços euclidianos, mas desde que a definição geral esteja 
entendida, o uso desta simplificação facilita muito, principalmente por não poluir a notação. 
Em alguns livros da literatura de álgebra linear é possível encontrar a seguinte definição: 
Estas duas formas simplificadas são equivalentes. 
Nesta mesma ideia, poderíamos “simplificar” a definição geral de Transformações Lineares da seguinte forma: 
A notação pode parecer pesada, dificultando o entendimento do conceito envolvido e causando confusões na hora 
da escrita, mas pode vir a ser útil em algumas situações teóricas mais adiante. 
Agora já sabemos identificar uma transformação linear, mas como obter uma? Será que é possível construir uma 
função que além de ser uma transformação linear também faça o que desejamos? Ou melhor, que transforme 
certos vetores em vetores determinados? 
Este será o assunto da próxima aula. 
Sendo 𝑉 e 𝑊espaços vetoriais, 𝑇:𝑉 →𝑊é uma transformação linear se e somente se ∀  𝑢,𝑣 ∈ 𝑉 e 𝛼 ∈ ℝ, 
tivermos: !𝑇(𝑢 + 𝑣) = 𝑇(𝑢)+ 𝑇(𝑣)𝑇(𝛼𝑢) = 𝛼𝑇(𝑢) 
Sendo 𝑉 e 𝑊espaços vetoriais, 𝑇:𝑉 →𝑊é uma transformação linear se e somente se ∀  𝑢,𝑣 ∈ 𝑉 e 𝛼 ∈ ℝ, 
tivermos: 𝑇(𝑢 + 𝛼𝑣) = 𝑇(𝑢) + 𝛼𝑇(𝑣) 
	
  
Sejam (𝑉,∆,∘), (𝑊,⨁,⊚) espaços vetoriais e uma função 𝑇:𝑉 →𝑊, podemos definir que 𝑇 é uma 
transformação
linear se e somente se dados 𝑢,𝑣 ∈ 𝑉 e 𝛼 ∈ ℝ: 𝑇(𝑢∆(𝛼 ∘ 𝑣)) = 𝑇(𝑢)⨁(𝛼⊚ 𝑇(𝑣))