(MASSARANI) Fluidodinâmica em Sistemas Particulados.pdf

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FLUIDODINÂMICA EMFLUIDODINÂMICA EM
SISTEMAS PARTICULADOSSISTEMAS PARTICULADOS
Giulio MassaraniGiulio Massarani
Programa de Engenharia QuímicaPrograma de Engenharia Química
COPPE/Universidade Federal do Rio de JaneiroCOPPE/Universidade Federal do Rio de Janeiro
Versão Preliminar da 2º EdiçãoVersão Preliminar da 2º Edição
20012001
 
 
Ao amigo José Teixeira Freire
2
 
 
SUMÁRIOSUMÁRIO
Prefácio 5 
Capítulo 1 Fluidodinâmica da Partícula Sólida 6 
1. Equação do Movimento da Partícula 6 
2. A Força Resistiva Fluido-Partícula 11 
Efeito da presença de fronteiras rígidas 17 
Influência da concentração de partículas 20
3. O Movimento Acelerado da Partícula 26 
4. Dinâmica da Partícula em Fluido Não-Newtoniano 28 
Problemas 31 
Bibliografia 36 
Capítulo 2 A Decantação 38 
1. A Trajetória da Partícula 38 
2. Separação Sólido-Fluido na Fenda de Seção Retangular 42 
3. O Conceito Sigma e a Especificação de Centrífugas 44 
4. Ciclones a Gás e Hidrociclones 45 
Problemas 53 
Bibliografia 60 
Capítulo 3 Escoamento de Fluidos em Meios Porosos 62
1. Equações da Continuidade e de Movimento para o Fluido 62 
A força resistiva m 64 
A tensão extra τ 65 
A equação de Darcy 65 
2. Propriedades Estruturais da Matriz Porosa 66 
A determinação experimental de parâmetros estruturais 66 
O modelo capilar 67 
3. Escoamento em Meios Porosos: Aplicações Clássicas 73
A perda de carga no meio poroso 73 
O escoamento compressível 75 
O escoamento transiente 75 
3
 
 
4. O Escoamento Bifásico em Meios Porosos 75 
Equação de Darcy-Buckingham 76 
Generalização da Forma Quadrática de Forchheimer 77 
Problemas 80 
Bibliografia 95 
Capítulo 4 Fluidodinâmica em Sistemas particulados Expandidos 97 
1. Equações da Continuidade e do Movimento 97 
2. Caracterização dos Meios Expandidos 101 
3. O Elo entre a Fluidodinâmica de Partículas e a Teoria de Misturas 103 
4. Transporte Hidráulico e Pneumático de Partículas 105 
Transporte vertical homogêneo: partículas "grandes" 106 
Transporte hidráulico homogêneo 108 
Problemas 109 
Bibliografia 117 
Capítulo 5 Escoamento em Meios Porosos Deformáveis 118 
1. Equações da Continuidade e do Movimento 118 
2. Teoria da Filtração com Formação de Torta 122 
Equacionamento da filtração plana com formação de torta 123 
A teoria simplificada da filtração 126 
3. A Sedimentação Contínua 128 
Problemas 131 
Bibliografia 145 
Índice Onomástico 146 
4
 
 
PREFÁCIOPREFÁCIO
Primeira Edição (Ed. UFRJ, 1997)Primeira Edição (Ed. UFRJ, 1997)
Entre as múltiplas facetas que os Fenômenos de Transporte em Sistemas Particulados oferecem, tanto
do ponto de vista científico como numa larga gama de aplicações tecnológicas, este livro trata apenas dos
aspectos fluidodinâmicos da questão.
Inicialmente, nos primeiros capítulos, os sistemas em que a fase dispersa é diluída são analisados a
 partir da fluidodinâmica da partícula isolada; efeitos como aqueles causados pela interação entre partículas sãolevados em conta através de modificações do problema inicial.
Para contornar a dificuldade aparentemente intransponível na descrição geométrica do conjunto de
 partículas que compõe o sistema denso, os capítulos seguintes utilizam uma Teoria de Misturas com base na
Mecânica do Contínuo. A formulação é estabelecida a partir das leis de conservação aplicadas às fases fluida e
 particulada, e mais um conjunto de informações que caracterizam o sistema, as denominadas equações
constitutivas.
A poderosa formulação via Teoria de Misturas, com os seus teoremas, acarreta, no primeiro impacto, o
desconforto causado pela perda do referencial “partícula” na “estrutura amorfa do contínuo”. No cálculo da queda de
 pressão no escoamento em duto, problema clássico na Mecânica dos Fluidos, leva-se em conta, por acaso, a estrutura
molecular da matéria? Da mesma forma, na Teoria de Misturas os detalhes da estrutura do Sistema Particulado
escapam pela luneta usada ao revés; as propriedades do sistema são medidas em experiências simples e os resultados
expressos de modo generalizado através das equações constitutivas, tal como na Mecânica dos Fuidos o escoamento
laminar em tubo capilar fornece informações sobre a reologia do fluido.
 Não há como negar, o desafio em ministrar por uma centena de vezes a disciplina de Sistemas
Particulados, quer na forma de Operações Unitárias para os estudantes da graduação ou no enfoque de
Fenômenos de Transporte para os pós-graduados, foi sempre a busca de uma teoria que procura amalgamar e
correlacionar os diferentes temas. Assim, por exemplo, o escoamento em meios porosos, a filtração com
formação de torta e o espessamento, guardadas algumas poucas peculiaridades, podem e devem ser tratados
dentro de um mesmo arcabouço; os resultados alcançados na fluidização homogênea levam à reologia da
suspensão e ao projeto das linhas de tranporte hidráulico; a dinâmica da partícula no campo centrífugo permite
analisar o desempenho de ciclcones e de centrífugas.
A cena repete-se anualmente desde 1973, sempre em outubro, na atmosfera acolhedora do anfiteatro
universitário. Entre os veteranos circulam os debutantes tensos. O evento nasceu Encontro sobre o Escoamento
em Meios Porosos (ENEMP) e só recentemente, a partir da 23ª versão, passou a ser Congresso Brasileiro em
Sistemas Particulados. Pois é sobretudo neste foro que os últimos resultados são disseminados entre os grupos
 participantes; esta Fluidodinâmica procura respeitosamente preservar e ordenar um pouco da memória dos
Encontros.
Rio de Janeiro, Outubro de 1996
Giulio Massarani
Versão Preliminar da Segunda EdiçãoVersão Preliminar da Segunda Edição
A realização desta Versão Preliminar foi concretizada graças ao incentivo e ao apoio desta generosa
 população que trabalha no Laboratório de Sistemas Particulados: Christine Lamenha Luna, Cláudia Miriam
Scheid, Flavia Pereira Puget, João Francisco A. Vitor, Marcel Vasconcelos Melo, Marcelo Guilherme G. Mazza,
Marcos Roberto T. Halasz e Sílvia Cristina A. França.
Rio de Janeiro, Julho de 2001
Giulio Massarani
5
 
 
Capítulo 1Capítulo 1
Fluidodinâmica da Partícula SólidaFluidodinâmica da Partícula Sólida
1. Equação do Movimento da 1. Equação do Movimento da PartículaPartícula 
A fluidodinâmica em sistemas particulados pode ser estudada tomando como ponto de partida a fluidodinâmica da partícula isolada. A determinação das propriedades do todo pela
extrapolação do comportamento de um elemento da estrutura complexa é intuitiva e didática,
embora, na maioria das situações, esta estratégia exija um grande esforço de imaginação
combinando a um procedimento matemático complicado e duvidoso.
O capítulo 1 procura reunir o conhecimento comum que diz respeito à fluidodinâmica
da partícula, consolidado na literatura a partir do trabalho pioneiro de Stokes sobre a interação
fluido newtoniano-partícula esférica rígida no movimento relativo lento.
C.R. Stokes, "On the Effect of the Internal Friction of Fluids on the Motion of
Pendulums", Trans. Cambridge Phil. Soc., 9,8 (1850).
A fluidodinâmica da partícula pode ser descrita através de um conjunto de equações
que inclui a equação do movimento da partícula, as equações da continuidade e movimento
 para o fluido, a condição de aderência na interface fluido-partícula e mais as equações
constitutivas para o fluido e as condições limites pertinentes ao problema específico. A
análise limita-se à fluidodinâmica da partícula rígida, incluindo-se nesta categoria não apenas
as partículas sólidas como também gotas e bolhas de dimensões diminutas. A partícula tem
massa , densidade uniforme , volume V e a superfície em contato com o fluido é S .
As equações que seguem são estabelecidas em base a um referencial inercial.
m P ρS P P 
 
Equação do movimento da partículaEquação do movimento da partícula
. (1)m dS P S C F S S P P ( )a a T T nn= +∫ρ V bb
 
Equações da continuidade e movimento para o Equações da continuidade e movimento para o fluidofluido
∂ρ
∂ ρ
 F 
 F F t 
+ div( )vv 0= (2)
ρ ∂∂ ρ F 
 F 
 F F F t 
vv v v v v T T bb+

 = +( )grad div . F (3)
Condição de aderência sobre a superfície da partículaCondição de aderência sobre a superfície da partícula
. (4)( ) ( )v v vv F Q s C QC = + ×ω r r 
 6
 
 
 Nestas equações, em relação à partícula, ( e ( são respectivamente a velocidade e a
aceleração de seu centro de massa, ω a velocidade angular e r r o vetor posição do ponto Q 
sobre a superfície da partícula em relação ao centro de massa. Quanto ao fluido, ρ
são respectivamente a densidade, o campo de velocidades e o tensor tensão que atua sobre
esta fase. bb é a intensidade do campo exterior.
)vv s C )aa s C 
QC 
 F F F ,v v T T e
A força de interação fluido-partícula pode ser decomposta na força resistiva e no
empuxo,
 - ρ (5)=∫ dSPS FnnT T bbPFV
 
sendo nula a força resistiva quando a velocidade relativa entre as fases for nula. A equação
do movimento da partícula toma a forma
 + (6)=CsP )(m a a bbPFS V)( ρ−ρ
 
A análise limita-se, deste ponto em diante, ao movimento de translação daao movimento de translação da
partículapartícula, para atender às necessidades do próximo capítulo sobre a separação sólido-fluido
em sistemas diluidos. Mesmo neste caso relativamente simples, as expressões analíticas
conhecidas para representar a força resistiva restringem-se a algumas configurações
caracterizadas pela forma regular da partícula e pelo movimento relativo partícula-fluido
suficientemente lento, o regime de Stokesregime de Stokes, quando a equação do movimento para o fluido,
equação (3), pode ser linearizada.
Os resultados reunidos na tabela (1), alcançados através das equações (1) a (5), são em
maioria exatos ou encerram alguma sorte de aproximação, preservando, no entanto, a forma
analítica do resultado (Berker, 1963). Trata-se de um repertório clássico de soluções que
forma a base para o estudo da fluidodinâmica da partícula.
Os resultados mostram que:
a) A força resistiva exercida pelo fluido sobre a partícula depende das dimensões e
forma da partícula;
 b) A força resistiva depende do campo de velocidades do fluido não pertubado pela
 presença da partícula;
c) A força resistiva é influenciada pela presença de contornos rígidos e pela presença
de outras partículas;
d) No movimento acelerado da partícula a força resistiva depende da história da
aceleração da partícula.
7
 
Tabela 1 -Tabela 1 - Força resistiva fluido-partícula no movimento de translação da partícula no regime de Stokes. O fluido é newtoniano e tem
viscosidade µ. uu F é o campo de velocidades do fluido não perturbado pela presença da partícula enão perturbado pela presença da partícula e vvs é a velocidade de translação da partícula
(Berker, 1963).
DescriçãoDescrição uu F vvS 
Esfera fixa com diâmetro D,
escoamento permanente.
( )
( ) ( )
u U 
u u
 F x
 F y F z 
=
= =
∞
0 =vvS 0 πµ x ∞= DU3
Translação retilínea e uniforme de
esfera com diâmetro D, fluido
inicialmente em repouso
uu F = 00 
( )v vS x = = =( ) ( )v vS y S z 0 3 x Dvπµ−= 
Elipsóide fixo, semi-eixos a, b, c,
escoamento permanente.
 x
a
 y
b
 z 
c
2
2
2
2
2
2 1+ + = 
( )
( ) ( )
u U 
u u
 F x
 F y F z 
=
= =
∞
0 =vvS 0
 x ∞πµ= U'D3
 D abc
ao o
'= +
32
3 2
π
ψ α 
ψ π α πo o o oabc
du
u
abc du
a
= = +
∞ ∞∫ ∫2 2 2∆ , (
[ ]∆u a u b u c u= + + +( )( )( ) /2 2 2 1 2 
Esfera fixa com diâmetro D,
escoamento permanente do fluido não
 pertubado pela presença da partícula
resultante do campo de pressões
 piezométricas P .
uu F =vvS 0 C
3
CF )Pgrad(8
D)(D3 π+πµ= uu ,
onde C denota a posição do centrode massa da partícula
8
 
Tabela 1 (cont.) -Tabela 1 (cont.) - Força resistiva fluido-partícula no movimento de translação da partícula no regime de Stokes. O fluido é newtoniano e tem
viscosidade µ. uu é o campo de velocidades do fluido não perturbado pela presença da partícula enão perturbado pela presença da partícula e vvs é a velocidade de translação da
 partícula (Berker, 1963).
 F 
 
DescriçãoDescrição uu F vvs 
Translação retilínea e uniforme da
esfera com diâmetro D em presença de
duas paredes planas paralelas. O fluido
está inicialmente em repouso.
uu F = 00 
v
0)v()v(
)v(
zSyS
xS
==
= x 



 
 
 
 ++πµ−=
21 h
1
h
1D32
91Dv3
Translação retilínea e uniforme da
esfera com diâmetro D ao longo do eixo
do tubo com diâmetro Dt . O fluido está
inicialmente em repouso.
uu F = 00 
v
0)v()v(
)v(
zSyS
xS
==
= x 
 
 

 
 +πµ−=
t
D
D1,21Dv3
h1 h2xx
v
fluido
Dt
v
 9
 
Tabela 1 (cont.) -Tabela 1 (cont.) - Força resitiva fluido-partícula no movimento de translação da partícula no regime de Stokes. O fluido é newtoniano e tem
viscosidade µ. uu é o campo de velocidades do fluido não perturbado pela presença da partícula enão perturbado pela presença da partícula e vv é a velocidade de translação da
 partícula (Berken, 1963).
 F S 
 
DescriçãoDescrição uu F vvs 
Translação retilínea e uniforme das
esferas 1 e 2 com diâmetro D1 e D2. O
fluido está inicialmente em repouso.
f 
v
2
q2
h
v
f 1
q1
φ
 
uu F = 00 
v v( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
v
v v
v v
S x S x
S y S y
S z S z 
1 2
1 2
1 2
0
0
= =
= =
= =
 
 f D v D
h
 f D v D
h
qq D D v
h
1 1 2
2 2 1
1 2 1 2
3 1 38
3 1 38
9
8
= −    
= −  
 
 





= =
πµ
πµ
πµ φcos
 
Esfera em translação retilínea não
uniforme e com velocidade inicial nula.
O fluido está inicialmente em repouso.
uu F = 00 (( ) ), ( )
( ) ( )
v v t v
v v
S x
S y S z 
= =
= =
0 0
0
 
∫ ττ−τπµρ
πµ+ρπ
t
o
2/12
F3
dt
ddv)(D2
3+ 
Dv3dt
dvD12
1
 
 
=x =
10
 
 
 Na situação em que a partícula apresenta forma irregular e fora do regime de Stokes, não
 parece haver outra alternativa senão a de tratar a força resistiva de modo empiríco,
 procurando generalizar os resultados clássicos (Bird et al., 1960, p.193):
 
vvuu
vvuuvvuu −
−⋅⋅−ρ⋅ D2F c2
1 A= , (7)
onde A é uma área característica, o coeficiente de arraste cujo valor numérico depende da
definição de A, é a velocidade do fluido não perturbado pela presença da partícula na posição do centro de massa desta partícula, e vv a velocidade de translação da partícula.
Considera-se na equação (7) que a força resistiva e a velocidade relativa
c D
uu
 
(8)U U u u vv= −
 
tenham a mesma direção, o que implica em admitir que a forma da partícula apresenta um
certo grau de regularidade. Nestas condições, a equação do movimento da partícula toma a
forma
m A c P S F D S F P a a U U U U = + + −12 ρ ρ ρ( )V bb . (9)
2. A Força Resistiva Fluido-Partícula2. A Força Resistiva Fluido-Partícula 
O estudo da fluidodinâmica da partícula requer o conhecimento da reologia do fluido e
das propriedades físicas da partícula expressas pela densidade, dimensão e forma. Entre as
múltiplas possibilidades conhecidas na caracterização da partícula e para melhor usufruir um
grande número de dados experimentais disponíveis na literatura, adotam-se neste texto o
diâmetro volumétricodiâmetro volumétrico como dimensão característica e a esfericidadeesfericidade φ na
caracterização da forma da partícula (Allen, 1981).
 D P 
 
O diâmetro volumétrico é definido como sendo o diâmetro da esfera com o mesmo
volume que a partícula,
 D V P P =   
 
 
6 1 3
π
/
. (10)
O valor desta propriedade para partículas de forma irregularpode ser determinado com o
auxílio da picnometria clássica ou, na situação em que as partículas são diminutas, através daanálise granulométrica realizada no Coulter Counter (Allen, 1981).
A esfericidade é definida como sendo o cociente entre a superfície da esfera com o
mesmo volume que a partícula e a superfície ,S P 
 
. (11)φ π= D S P 2 / P 
11
 
 
A esfericidade é um fator de forma empírico que pode ser determinado por
 permeametria, técnica que será apresentada em detalhes no capítulo 3. É a partícula esférica
que apresenta o maior valor da esfericidade, φ=1; as partículas que ocorrem usualmente,
como aquelas resultantes dos processos de moagem, apresentam a esfericidade na faixa de 0,5
a 0,7.
O coeficiente de arraste c , presente na equação que define a força resistiva fluido-
 partícula, equação (7), pode ser calculado através da medida da velocidade terminal da
 partícula , isto é, a velocidade constante atingida pela partícula quando lançada no fluido
inicialmente em repouso. Definindo a área característica desta equação como sendo a área da
seção transversal da esfera de diâmetro ,
 D
v
t 
 D P 
 
(12) A D P = π 2 4/
 
resulta no campo gravitacional, a partir das equações (8) e (9).
U v z t = − = −0 vt (13)
c D g 
v D
S F P 
 F t 
= −43 2
( )ρ ρ
ρ . (14)
vt
Um grande número de experiências conduzidas com partículas isométricaspartículas isométricas, isto é, partículas
esféricas ou na forma de poliedros regulares (tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro e
dodecaedro), parecem indicar que o valor do coeficiente de arraste depende apenas do número
de Reynolds,
 Re = D v P t F ρµ (15)
e da esfericidade (Pettyjohn e Christiansen, 1948). Generalizande este resultado,
c D b
U 
 f D S F P 
 F 
= − =43 2 1
( ) ( ,ρ ρρ φ Re ) (16)
 Re = D U P F ρµ (17)
b = = =b b U U uu, U − vv
)
, )
. (18)
A partir da equação (16):
(19) Re Re= f c D2 2( ,φ
 
(20) Re / Re= f c D3( φ
12
 
 
onde os grupos adimensionais são assim calculadosc D Re / Re2 c De
c bD D F S F P Re2
3
2
4
3=
 −ρ ρ ρ
µ
( ) (21)
c b
U 
 D
S F 
 F 
/ ( ) Re = −4
3
2 3
ρ ρ µ
ρ
. (22)
Cabe ressaltar que a correlação expressa pela equação (16) é o ponto de partida para o
estabelecimento das equações (19) e (20) e que pode ser utilizada com vantagem no estudo da
dinâmica da partícula em fluido não newtoniano pelo fato da viscosidade estar presente
apenas no número de Reynolds. A equação (19) presta-se para o cálculo de U , pois
não inclui esta variável; analogamente, a equação (20) deve ser utilizada no cálculo de já
que não inclui esta variável. Nestas duas últimas situações, U e são calculados a
 partir do número de Reynolds.
c D Re2
 D P 
 /ReDc D P 
 
As correlações apresentadas nas tabelas (2) a (4) referem-se à fluidodinâmica da
 partícula isométrica isolada em fluido newtoniano. Embora a tabela (3) inclua a partícula
esférica, recomenda-se neste caso, para maior precisão, a utilização da tabela (2). A tabela (4) 
fornece diretamente as expressões para a velocidade relativa fluido-partícula e para o
diâmetro da partícula quando prevalece o regime de Stokes ou o de Newton , isto é, quando
ou . As correlações das tabelas (2) e (3) foram estabelecidas
através do Método das Duas Assíntotas de Churchill (1983).
 Re < 0 5, 10 2 103 < < × Re 5
n
 
, (23) y x y x y xon n( ) [ ( ) ( )] /= + ∞ 1
 
onde referem-se, respectivamente, aos regimes de Stokes e Newton, e o
“valor ótimo” de n é determinado a partir de dados experimentais, dentro de algum critério
estatístico.
 y x xo ( ) ( ) ye ∞
 
Entre outras correlações apresentadas na literatura para a fluidodinâmica da partícula
isométrica, cabe mencionar as de Concha e Barrientos (1986) e Haider e Levenspiel (1989).
Estas correlações, baseadas essencialmente nos dados experimentais de Pettyjohn e 
Christiansen (1948), são de complexidade e precisão equivalentes àquelas apresentadas na
tabela (3). 
Em algumas situações foram levantadas correlações específicas para descrever a
fluidodinâmica da partícula não-isométrica (Concha e Christiansen, 1986), porém, na falta
destas, utilizam-se os resultados relativos à partícula isométrica, caracterizando a forma da
 partícula não-isométrica através da esfericidade.
13
 
 
Tabela 2 -Tabela 2 - Fluidodinâmica da partícula esférica isolada:
Correlações de Coelho & Massarani (1996) com base nos dados de Lapple & Shepherd 
(1940) e Pettyjohn & Christiansen (1948). 
 Re < ×5 104 
CorrelaçãoCorrelação nn Valor Médio e Desvio PadrãoValor Médio e Desvio Padrão
n/1
nnD 43,0
24c








+ 
  
 =
 Re
 0,63
( )
( ) , ,
expc
c
 D
 D cor 
= ±10 0 0 09
 Re Re Re
2 2
=   
 
 
 +   
 
 









− − −
c c D
n
 D
n n
24 0 43
2 1
,
/ /
 0,95
( )
( ) , ,
exp Re
 Re cor 
= ±1 00 00 6
 Re Re Re=
  
 
 
  +
 
 
 
 








24 0 432
1
c c D
n
 D
n n
/
,
/
/ /
 
0,88
( )
( )
, ,exp Re
 Re cor 
= ±1 00 00 9
 Re Re Re2= = − = − D U bD b
U 
 P F 
 D
 F S F P 
 D
S F 
 F 
ρ
µ
ρ ρ ρ
µ
ρ ρ µ
ρ2 3,
( ) , / ( ) c c43
4
3
3
2 
14
 
 
Tabela 3 -Tabela 3 - Fluidodinâmica da partícula isométrica isolada:
Correlações de Coelho & Massarani (1996) com base nos dados de Pettyjohn & Christiansen 
(1948).
0 65 1 5 104, < ≤ < ×φ e Re
 
CorrelaçãoCorrelação nn Valor Médio e Desvio PadrãoValor Médio e Desvio Padrão
c
 K 
 K D
n
n
n
=   
 
  +








24
1
2
1
 Re
/
 0,85
( )
( ) , ,
expc
c
 D
 D cor 
= ±10 0 01 3
 Re Re Re
2 2
=   
 
 
 +   
 
 









− − −
 K c c
 K 
 D
n
 D
n n
1
2
2 1
24
/ /
 1,2
( )
( ) , ,
exp R
 R
e
e cor 
= ±10 0 01 0
 Re
 Re Re
=   
 
  +
 
 
 
 








24
1
2
2
1
 K c
 K 
c D
n
 D
n n
( / ) /
/ /
 1,3
(Re)
(Re)
 , ,exp
cor 
= ±1 00 0 14
 Re = = − = − D U bD b
U 
 P F 
 D
 F S F P 
 D
S F 
 F 
ρ
µ
ρ ρ ρ
µ
ρ ρ µ
ρ2 3 , Re
( ) , / Re ( ) c c2
3
2
4
3
4
3 
 K K 1 10 20 843 5 31 4 88= =, log ( , , ,φ / 0,065) φ −
 
15
 
 
Tabela 4 -Tabela 4 - Fluidodinâmica da partícula isométrica isolada:
Cálculo da velocidade e do diâmetro da partícula (Pettyjohn & Christiansen, (1948).
0 65 1 , < ≤φ
 
Variável Variável a a Ser Ser Estimada Estimada Regime Regime de de StokesStokes
 Re < 0 5, 
Regime de NewtonRegime de Newton
10 5 10
3 4
< < × Re 
c D 24
1 K Re
 K 2 
U 
( )ρ ρ
µ
S F − bK D1 2
18
 p 4 3 2
1 2( ) / ρ ρ
ρ
S F p
 F 
bD
 K 
−



 
 D p 18
1
1 2µ
ρ ρ
U 
bK S F ( )
 / 
−




 
3
4
2
2ρ
ρ ρ
 F 
S F 
 K U 
b( )− 
 K K 
1 10 2
0 843 5 31 4 88= =, log ( , , ,φ / 0,065) φ −
 
16
 
 
ExemploExemplo
Deseja-se estudar a possibilidade de separar o minério A do minério B através da
elutriação com corrente ascendente de água.
Propriedades do minério A: ρ φ SA A= =2 2 0 703, / , g cm e
SB B= =3 2 0 853 , / , g cm e
0149 0 595 , ,< < D mm P 
mm
 s
m
 s
mm
m
Água
A+B
A+B
A
 
Propriedades do minério B: ρ φ 
Faixa granulométrica da mistura A+ B: ,
correspondendo às peneiras 28/100 # Tyler.
A velocidade de elutriação de água (20ºC) que permite recuperar a maior quantidade
 possível do produto A puro é igual à velocidade terminal da menor partícula de B, isto é,. Resulta da tabela 3, utilizando as propriedades de B: ,
e, deste último, .
 D PB = 0149 ,
 Re ,= 2 93
c D Re ,2 95 2=
uv cm F tB= = 1 97 , / 
 
Conhecida a velocidade de elutriação, é possível calcular o diâmetro da maior
 partícula de A presente no produto arrastado. A tabela (3) leva aos seguintes resultados
utilizando as propriedades de A: c , e, deste último, . D / , Re = 2 05 Re ,= 3 97 D m PA = 0202 ,
 
Em conclusão, a velocidade de elutriação leva a um produto de topo
constituido de A puro na faixa granulométrica ; o produto de fundo é
constituido de uma mistura de A e de B .
Cabe salientar que esta análise trata apenas das condições de separabilidade dos componentes
 A e B na elutriação e nada informa sobre a cinética de separação. Pode-se esperar que as
 partículas maiores de A sejam arrastadas muito lentamente e que as partículas menores de B 
sedimentem também muito lentamente.
u cm= 1 97 , / 
149 0 202 , < < D P 
595 , mm
0 ,
)0< < D 0(0 202 , P ( )149 0 595 , ,< < D m P 
 
Efeito da presença de fEfeito da presença de fronteiras rígidasronteiras rígidas
Resultados analíticos reunidos na tabela (1) evidenciam que a fluidodinâmica da
 partícula é influenciado pela presença de fronteiras rígidas, resultando uma redução na
velocidade terminal em relação à velocidade terminal da partícula isoladapartícula isolada, v .∞
 
17
 
 
Almeida (1995) estudou experimentalmente o
movimento da partícula isométrica ao longo do eixo
 principal de um tubo cilíndrico com diâmetro ,
resultando a figura (1) e as correlações empíricas
apresentadas na tabela (5). Cabe ressaltar que as
correlações clássicas de Francis (1933), regime de Stokes,
e de Munroe (1888), regime de Newton, válidas para
esferas, podem ser utilizadas também para partículas
isométricas.
 Dt 
 
vt
Dt
 
Francis (1933)
Almeida (1995)
Munroe (1888)
10310210110-110-2
10-2
0,2
= 0,5
Re =∞
0,3
D p
Dt
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0
0,05
0,1
0,3
0,2
β=
0,4
vt
v∞
µ
D v p ∞ρF
 
Figura 1 -Figura 1 - Efeito de parede na velocidade terminal da partícula isométrica (Almeida, 1995).
18
 
 
Tabela 5 -Tabela 5 - Efeito de parede na fluidodinâmica da partícula isométrica em fluido newtoniano
(Almeida, 1995): .5,0D/D0 e 165,0 tP ≤<≤φ<
 
 Re∞ ∞= D v P F ρµ k 
v
v
 D D P t P t = =
∞
 , / β 
< 0,1
(Francis, 1933) k P =
 −
−




1
1 04 75
4β
β , 
01 103, − 
k 
 A P B
= + ∞
10
1 Re 
 A e= = × − −8 91 117 10 0 2812 79 3 , , , , , β β B 
> 103 
(Munroe, 1888)
k P = −1 3 2β / 
 Re = − =
24 0 85
1
3 54
2
1 K 
e
c K Dn n n
,
/( ) ,
β
 n , para 35< Re
 
2tF
PFSD v
gD)(
3
4c
ρ
ρ−ρ= 
 K 1 10 20843 0065 5 31 48 8= = , log , , , ,
φ φ K − 
19
 
 
ExemploExemplo
Deseja-se planejar uma experiência que consiste na medida da velocidade terminal
limitando, com a escolha adequada do diâmetro do cilindro de testes, o efeito de parede a 5%,
isto é, k v
v P 
t = >
∞
0 95 , . A partícula tem diâmetro . Utilizando as correlações de
Francis e Munroe, tabela (5),
 D m P = 5 m
 
Regime de Stokes : ; D D mmt P t / ,> >41 205 D Regime de Newton: . D D mmt P t / ,> >8 40 D
 
Os resultados evidenciam que o efeito da parede e bem mais agudo no regime de
Stokes que no regime de Newton.
Influência da concentração de Influência da concentração de partículaspartículas
V 
 , )
Um grande número de dados experimentais apresentados na literatura evidencia que a
velocidade terminal de uma partícula tem seu valor substancialmente reduzido pela presença
de outras partículas. Esta redução, tanto mais sensível quanto maior a concentração de
sólidos, é da ordem de 5% para concentrações de apenas 2%, como mostra a equação de
Einstein (Govier e Aziz, 1972, p. 98).
, (24)v v ct / / ,∞ = +1 1 2 5( )
 onde v é a velocidade terminal da partícula isolada e a fração volumétrica da fase sólida
na suspensão.
∞ cV 
 
O efeito da presença da fase particulada na fluidodinâmica de suspensões é
comumente expresso através de correlação do tipo (Richardson e Zaki, 1954).
, (25)U v f / Re∞ ε= ∞(
 
onde U é o módulo da velocidade relativa fluido-partícula,
U = −v v uu ,
 Re∞ o número de Reynolds referente à velocidade terminal da partícula isolada,
 Re∞ ∞= D v P F ρµ ,
ε, a porosidade, é a fração volumétrica de fluido na suspensão,
.ε = −1 cV 
20
 
 
As correlações referentes à equação (25) podem ser determinadas através da
experimentação conduzida na sedimentação em batelada e na fluidização homogênea: no
 primeiro caso U v , onde v é a velocidade da frente de sedimentação; no segundo caso
, sendo a vazão de fluido e a A área da seção transversal de fluidização
(Barnea e Mizrahi, 1973). A experimentação torna-se imprecisa quando a faixa
granulométrica das partículas sólidas é extensa e quando a concentração de sólidos é
reduzida, inferior a 5% em volume, resultando nas duas situações uma interface fluido-
suspensão pouco nítida por problemas de segregação de partículas.
= / ε
) QU Q A F = / (ε F 
 
A maioria das correlações apresentadas na literatura referem-se a amostras com
 partículas "arredondadas", em faixa granulométrica "estreita" representada por um diâmetro
médio que possivelmente não caracteriza a fluidodinâmica da suspensão. Como conseqüência
da caracterização incompleta do sistema particulado, as correlações da literatura podem
diferir substancialmente entre si. São apresentadas na tabela (6) as correlações de Richardson 
e Zaki (1954) para partículas arredondadas, a de Politis e Massarani (1989) para partículas
irregulares e outras resultantes dos dados experimentais reunidos por Concha e Almendra 
(1978). Na figura (2) é feita a comparação entre os resultados de Richardson e Zaki (1954) e
Almendra (1979) para partículas arredondadas: as maiores discrepâncias ocorrem quando a
 porosidade é elevada e na região intermediária entre os regimes de Stokes e Newton.
21
 
 
Tabela 6 -Tabela 6 - Influência da concentração de partículas na fluidodinâmica de suspensões.
A. Correlação de Richardson e Zaki (1954) para partículas arredondadas:
U v nn/ (∞ ∞= =ε , R n )e 
 Re∞ < 0,2 0,2-1 1-500 > 500
n 3,65 4 35 10 03 , Re ,∞− − 445 10 1 , Re ,∞− − 1,39
B. Correlação de Politis e Massarani (1989) para partículas irregulares (areia, hematita,
itabirito, dolomita e quartzo, 0,47<φ<0,80).
U v / , Re , Re
 ,
∞ ∞= <∞
−ε5 93 0 14 700 9,5 < .
O diâmetro médio é a média aritmética da abertura das peneiras de corte.
C. Correlações empíricas estabelecidas com base nos dados experimentais reunidos por
Concha e Almendra (1978) (Massarani e Santana, 1994) 
Re , , , ,, , ,
, ,
,
Re , Re , , ,
, , , ,
Re , , ,
,
,
∞
∞
∞
∞ ∞
−
−
∞
∞
< = −



< ≤
< <
< < = + < <
= = −
> × =
0 2 0 834 8 3 8
0 5 0 9
0 9 1
1 500 11 0 5 0 95
0 28 0 350 33
21 0 0 095 2 29
3 94
5 96
3
 U 
v
U 
v A
 A B
U 
v
 B
ε
ε
ε
ε
ε
ε ε
ε εexp( ), 0,5 < <0 ,95.
 
22
 
 
0
0,2
0,4
0,6
0,8
 ε = 0,95
0,95
0,90
0,90
0,80
0,80
0,70
0,70
0,60
0,60
1
U/v∞
103
Richardson e Zaki
Almendra
Re∞
10410210110-110-2
 
Figura 2 -Figura 2 - Influência da concentração de partículas na fluidodinâmica de suspensões:
comparação entre os resultados de Richardson e Zaki (1954) e Almendra (1979). 
23
 
 
Outra estratégia que pode ser adotada na análise de fluidodinâmica de suspensões
consiste em considerar o comportamento isolado de uma partícula no seio da mistura sólido-
fluido, mistura esta caracterizada pela densidade e viscosidade ρSusp e µSusp(Govier e Aziz,
1972, p.98; Massaranie Santana, 1994). Assim, no regime de Stokes, tabela (4),
U18
DgK )(v
Susp
2P1SuspS ε=µ
ρ−ρ= . (26)
Sendo
v gK DS F ∞ = −( )ρ ρ µ
1
2
18
 P (27)
e
, (28)ρ ρ ε ρ ρS Susp S F − = −( )
 
resulta, combinando as equações (25) a (28),
µ µ µSusp (= =
∞
∞U v
 f 
 / 
 / Re ,ε) . (29)
Finalmente, cabe indagar em que medida podem estar relacionados entre si osresultados clássicos da fluidodinâmica nos meios de densos, estabelecidos no contexto da
Teoria de Misturas, e os da fluidodinâmica de suspensões estabelecidos a partir do
comportamento da partícula isolada. O assunto será abordado nos capítulos 3 e 4. Demonstra-
se, por exemplo, que no regime de Stokes
U D g P S F = ⋅ ⋅ − ⋅ −
1
36 1
2 2
µ
φ
β
ε
ε ρ ρ
( ) ( ) (30)
ou, de modo equivalente,
c D = ⋅ ⋅ − ⋅43
361 1
2 2
β
φ
ε
ε Re , (31)
sendo
β ε ε= − <3 82 1 0 977 21, / ( ) ,, e .
 
24
 
 
ExemploExemplo 
Deseja-se calcular a porosidade no transporte vertical ascendente, em duto com
diâmetro , de partículas sólidas com as seguintes propriedades: diâmetro
, densidade ρ e esfericidade
 D ct = 5 1,
mm
m
 D P = 1 S g cm= 3 3/ φ = 0 75, .
 
a) O fluido é água e as vazões de fluido e sólido são
respectivamente Q .
( /ρ µ F g cm= 1 3 e = 0,9cP)
h Q m h F S = = 33 3/ /em15
 
 b) O fluido é ar a 20ºC e 1 atm e as
vazões de fluido e sólido são respectivamente .
( , /ρ µ F g cm= × ×−1 2 10 3 3 e =1 ,8 10 cP)-2
Q m h Q m h F S = =39 9 1 323 3, / , /e
A porosidade no transporte vertical pode ser calculada resolvendo a equação (25),
U Q
 A
Q
 A
v f F S = − − = ∞ ∞ε ε ε( ) ( ,1 Re )
m
,
onde é a área da seção transversal do duto. Uma estimativa do valor da
 porosidade pode ser alcançada a partir do conhecimento das vazões de cada fase,
 A c= 20 4 2,
 
α εε ε εε ε
= + = + − = + −
Q
Q Q
u A
u A v A v
u
 F 
 F S ( ) ( )1 1
. (32)
Quando v
u
 tende a 1, ε tende a α.
 Na solução deste exemplo admite-se que as correlações de Richardson e Zaki (1954), tabela
(6), sejam válidas apesar das partículas não serem arredondadas.
2 Re∞Dc 
(eq. 21)
 Re∞ 
(tab. 3) n (tab. 6)
v∞ 
(cm/s) α (eq. 32)
ε 
(eq. 25)
u 
(cm/s)
v 
(cm/s)
u
v
 
Trans.
Hidráulico 3,23x104 134 1,73 12,1 0,833 0,829 246 239 1,03
Trans.Pneumático 1,45x105 295 1,52 443 0,968 0,921 592 228 2,60
25
 
 
O fato da densidade e viscosidade da água serem muito maiores do que estas
 propriedades para o ar explica os resultados esperados de que a velocidade de deslizamento
é muito menor no primeiro caso do que no segundo.u v−
 
3. O Movimento Acelerado da Partícula3. O Movimento Acelerado da Partícula
O movimento retilínio acelerado de uma esfera no seio de um fluido newtoniano,
regime de Stokes, foi estudado no final do século passado por Basset (Berker, 1963, p.241).
 No caso da queda livre da partícula partindo do repouso em fluido inicialmente estagnado a
força resistiva toma a forma indicada na tabela (1):
 ττ−
τπµρ+µπ+ρ= ∫ dtd
dv
)(D2
3)t(vD3dt
dvV2
t
0
2/1F2PF . (33)
O primeiro termo do segundo membro da equação fornece o valor da força resistiva que o
fluido ideal em escoamento potencial exerce sobre a partícula; o segundo termo exprime o
resultado clássico de Stokes para o movimento retilíneo e uniforme de uma esfera em fluido
viscoso; o terceiro termo evidencia a ação “hereditária” do fluido sobre a partícula, pois
explicita o fato de que a força resistiva depende da história da aceleração da partícula.história da aceleração da partícula. 
Substituindo a equação (33) na equação do movimento da partícula, equação (6),
resulta a equação integro-diferencial
ρ ρ ρ ρ π µ πµρ τ τ τS 
 F 
 P S F P F V 
dv
dt 
V g D v t D
dv
d 
t 
d +  
 
  = − − − −∫2 3
3
2
2 1 2
0( ) ( ) ( )
/
 
t , (34)
que pode ser resolvida analiticamente por diferentes técnicas (Clift et al., 1979, p. 285;
Hackenberg, 1991).
O resultado expresso pela equação (34) mostra que a aceleração inicial da partícula
a S F 
S F 
( ) (0 22
ρ ρ
ρ ρ g 
) , (35)
tende ao valor da intensidade do campo gravitacional g quando ρS >> ρF e que esta
aceleração é nula no caso limite em que as densidades do fluido e da partícula forem iguais
entre si. Desprezando o efeito da história da aceleração da partículahistória da aceleração da partícula, a integração daequação (34) fornece
v
v v D
t t 
t S F 
exp ( )
36
2 2
µ
ρ ρ , (36)
onde v é a velocidade terminal da partículat 
26
 
 
v gDt S F = −( )ρ ρ µ
2
18 .
ExemploExemplo
O diâmetro da esfera sólida de densidade em queda livre no ar
e na água ( , no limite
de validade do regime de Stokes,
ρS g cm3
3
/
/ρ F g cm= 1( , / ,ρ µS g cm P = × = ×− −1 2 10 1 8 103 3 4 e ) 0 2, )µ P = −13 
 Re∞ = = Dvt F ρµ 0 5, ,
é de respectivamente 43µm e 77µm. Para os sistemas assim definidos, a integração da
equação (34) e a equação (36) conduzem à figura (3) (Hackenberg, 1991). Pode-se observar
que o regime permanente é atingido em fração de segundo, sendo que a água leva a uma
resposta mais rápida inicialmente e mais retardada ao final. O efeito da história da aceleração
da partícula é importante no caso da água e desprezível no caso do ar.
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
água
ar 
Eq. (34)
Eq. (36) ar 
água
1
v/vt
t (s)0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14
Figura 3 -Figura 3 - Movimento acelerado das esferas com densidade e diâmetro
em ar e em água .
3 3 g cm/ D m= 43µ
 D = 77µm (Re , )∞ = 0 5
 
Face às evidentes dificuldades tanto na abordagem teórica quanto experimental, a
literatura evidencia uma grande carência de informações relativas ao movimento acelerado da
27
 
 
 partícula fora do regime de Stokes e quando estas não são esféricas (Marchildon e Gauvin, 
1979; Renganathan et al., 1989). Na situação em que ρS >> ρF, Renganathan et al. (1989), em
abordagem empírica, consideram a queda livre da partícula como descrita pela equação do
movimento
m dv
dt 
V g D c v P P S D F = −ρ π ρ
2 2
4 2 (37)
em que o coeficiente de arraste c f preserva a forma funcional das correlaçõesalcançadas no movimento estabelecido, . D = ( Rec f D =)
λ*
∞ ∞( ) Re
 
4. Dinâmica da Partícula em Fluido Não Newtoniano4. Dinâmica da Partícula em Fluido Não Newtoniano
Os estudos teóricos relativos ao escoamento de fluidos não newtonianos nas
vizinhanças de esferas rígidas restringem-se aos casos em que prevalece o regime de Stokes.
 Neste sentido, cabe mencionar os trabalhos de Caswell (1962, 1970).
A estratégia usada neste capítulo e nos seguintes consiste em estender a formulação
clássica sobre a dinâmica da partícula sólida em fluidos newtonianos para contemplar também
uma classe ampla de fluidos não newtonianos: o elo de ligação é a viscosidade efetiva µef que
 pode ser calculada através da tensão cisalhante S, uma propriedade material do fluido, e da
taxa de deformação característica λ∗ , uma propriedade cinemática de escoamento (Massarani
e Silva Telles, 1978),
(38)µ λef S = ( ) /*
 
A taxa de distensão característica λ∗ pode ser determinada empiricamente através da
medida experimental da velocidade da partícula com o auxílio, por exemplo, das relações
apresentadas nas tabelas (3), (5) e (6) na seguinte seqüência:c D × Re
 
v c D b
v
 D v
S 
t D
S F P 
 F t 
ef 
 P t F → = − → → = →
=
4
3 2
( )
( ) /
*
* *
ρ ρ
ρ µ
 ρ λ
µ λ
 Re
 Re
ef 
 
a partir 
de
λ
 .
A propriedade cinemática λ pode ser representada do modo,*
 
D
v* α=λ (39)
onde v* e D* são respectivamente uma velocidade e dimensão características e α um fator de
configuração adimensional. Estão reunidos na tabela (7) os resultados obtidospara a dinâmica
da partícula isolada e nos casos em que são levados em conta os efeitos de parede e de
concentração.
28
 
 
Tabela 7 -Tabela 7 - Dinâmica da partícula sólida em fluido não-newtoniano
DescriçãoDescrição Taxa de DistensãoTaxa de Distensão ReferênciaReferência
Partículas esféricas e não
esféricas isoladas
P
2
D
v)62,346,1385,8(39,0 −φ+φ− Laruccia(1990)
Deslocamento da partícula
esférica ao longo do eixo
 principal do tubo )5,0D/D(
D
ve39,0
t
81,6
<=β
⋅β 
Almeida
(1995)
Efeito de concentração na
fluidodinâmica de
 partículas )9,0(
D
U19
P
<ε
⋅φε
ε−
 
Silva Telles e
Massarani (1979)
ExemploExemplo
Reômetro de Stokes para fluidos não newtonianos
Deseja-se determinar a relação para um fluido
não newtoniano através da medida da velocidade de
deslocamento de esferas neste fluido. Diâmetro do tubo,
. Densidade do fluido, ρ .
Dados:
S S = ( )λ
 D mt = 20 m 3F cm/g15,1=
 
Dt
v
Exp.
nº
ρS 
(g/cm³) 
D
(cm) β 
v 
(cm/s)
1 2,55 0,20 0,10 0,72
2 2,55 0,50 0,25 3,61
3 3,98 0,30 0,15 3,78
4 3,98 0,50 0,25 8,87
5 7,60 0,30 0,15 9,85
6 7,60 0,50 0,25 22,3
29
 
 
Resulta:
Exp. nº λ
*( ) s−1 
(tab. 7)
c D 
(eq. 14)
 Re 
(tab.5)
)P( 
vD FP
ef Re
ρ=µ
 
)cm/dyn( 
)(S
2
*ef * λµ=λ 
1 2,77 614 0,056 2,96 8,20
2 15,1 61,1 0,957 2,17 32,83 13,6 67,6 0,606 2,15 29,2
4 38,0 20,5 2,94 1,73 65,7
5 35,6 22,7 1,86 1,83 65,2
6 95,5 7,38 8,75 1,47 140
O resultado pode ser expresso de modo conveniente através de
, válido para .280,0 cm/dyn65,3S λ= 1s1002 −<λ<
 
30
 
 
Problemas: Fluidodinâmica da Partícula SólidaProblemas: Fluidodinâmica da Partícula Sólida
1.1. Foram os seguintes os resultados obtidos na elutriação de 25 g de um pó industrial com
água a 30°C, numa vazão de 37 cm3/min:
Elutriador Diâmetro do
tubo (cm)
Massa
recolhida (g)
1 3,0 4,622 4,0 6,75
3 6,0 7,75
4 12,0 4,42
Determinar a distribuição granulométrica da amostra em termos do diâmetro de Stokes,
sabendo-se que a densidade do sólido é 1,8 g/cm3. 
Resposta:Resposta:
Elutriador Diâmetro (cm) Velocidade do fluido
(cm/s)
 D P 
(µm)
 X 
1 3,0 8,72×10-2 44,9 0,815
2 4,0 4,91×10-2 33,7 0,545
3 6,0 2,18×10-2 22,4 0,235
4 12,0 5,45×10-3 11,2 0,058
31
 
 
2.2. Calcular a velocidade de sedimentação de uma suspensão de partículas em querosene.
Propriedades do fluido: densidade 0,9 g/cm3 e viscosidade 2,3 cP.
Propriedades das partículas: densidade 2,3 g/cm3, diâmetro médio 0,8 mm, esfericidade 0,8.
Concentração de sólidos na suspensão: 260 g/l de suspensão.
Resposta:Resposta:
Porosidade da suspensão: 0,887.
Velocidade terminal da partícula isolada: 7,71 cm/sVelocidade de sedimentação da suspensão: 5,25 cm/s.
3.3. Os seguintes dados foram obtidos em ensaios de sedimentação de partículas de Al 2O3 em
água, a 25°C:
c gAl O cm( /2 3 3 de suspensão) 0,041 0,088 0,143 0,275 0,435
v cm min( / ) 40,5 38,2 33,3 24,4 14,7
A densidade das partículas é 4,0 g/cm3 e a esfericidade é estimada em 0,7.
a) Determinar, pela extrapolação dos dados, a velocidade terminal das partículas à diluição
infinita e, a partir deste valor, calcular D p (diâmetro da esfera de igual volume que a partícula);
 b) Comparar os resultados experimentais com as estimativas segundo a correlação empíricade Richardson & Zaki.
Resposta:Resposta:
Dados experimentais:
v min R= − + =2232 67 0 9962ε cm / ( , ) .
Velocidade terminal calculada por extrapolação dos dados experimentais: 43,3 cm/min.
Diâmetro volumétrico das partículas: 72 µm.
ε 0,990 0,978 0,964 0,931 0,891
v cm min( / ) 40,5 38,2 33,3 24,4 14,7
v v cm min= ∞ε4 43, ( / ) 41,4 39,2 36,8 31,5 25,9
4.4. Michael e Bolger (IEC Fundam., 1, 24, 1962) desenvolveram um método que permite a
caracterização de partículas floculadas (diâmetro e densidade médios, grau de floculação e
velocidade de sedimentação dos flocos). Uma vez determinada experimentalmente a
velocidade de sedimentação da suspensão v a diferentes concentrações co, os parâmetrosdesejados podem ser estimados através do seguinte sistema de equações:
(Correlação de Richardson e Zaki)v v kco= −∞ ( ) ,1 4 65
32
 
 
v
 D g fl fl F 
∞ =
 −2
18
( )ρ ρ
µ (Equação de Stokes)
ρ ρ ρ ρρ fl F 
S 
S k 
− = − F (Balanço de massa),
onde
v - velocidade de sedimentação da interface lodo-líquido clarificado no ensaio em
 batelada;
v∞ - velocidade terminal do floco à diluição infinita;
k - volume de flocos por unidade de massa de sólido seco (fornece o grau de floculação);
co - concentração em massa de sólido seco por unidade de volume de supensão;
 D fl - diâmetro médio dos flocos;
ρ fl - densidade média dos flocos;
ρ F - densidade do fluido;
ρS - densidade do sólido seco;
 g - aceleração da gravidade;
µ - viscosidade do fluido.
Calcular as propriedades caracaterísticas ( dos flocos de hidróxido de cálcio
de uma suspensão aquosa (agente de floculação: alúmen) sabendo-se que a 25ºC:
, , )v D k fl fl ∞ e ρ
 
c g cmo ( / )3 6×10-3 8×10-3 10×10-3 12,5×10-3 15×10-3 20×10-3 25×10-3 30×10-3 
v cm min( / ) 4,77 4,32 3,65 3,04 2,33 2,08 1,37 0,30.
A densidade do sólido seco é 2,20 g/cm3.
Resposta:Resposta:
v∞ = 7,89 cm/min e k = 14,7 cm3/g (1 ª equação).
ρ fl = 1,037 g/cm3 (3 ª equação).
 D fl = 256 µm (2 ª equação).
5.5. Determinar as respectivas velocidades de elutriação para separar pó de diamante nas faixas
0-1 µm, 1-2 µm, 2-3 µm (diâmetro da esfera de igual volume que a partícula). A densidade
33
 
 
do diamante é 3,5 g/cm3 e a esfericidade das partículas 0,7. O fluido de arraste é água a 20ºC.
(P.Grodzinski, “Diamond Technology”, NAG Press Ltd., Londres, 2ª edição, p. 349, 1953).
Resposta:Resposta:
Faixa granulométrica (µm) 0-1 1-2 2-3
Velocidade de elutriação (cm/h) 0,427 1,71 3,84.
6.6. Uma mistura finamente dividida de galena e calcário na proporção 1:4 em massa é sujeita àelutriação com corrente ascendente de água com velocidade de 0,5 cm/s. A distribuição
granulométrica dos dois materiais é a mesma:
 D p (µm) 20 30 40 50 60 70 80 100
100X 15 28 43 54 64 72 78 88.
Calcular a percentagem de galena no material arrastado e no produto de fundo.
Galena: densidade 7,5 g/cm3 e esfericidade das partículas 0,8.
Calcário: densidade 2,7 g/cm3 e esfericidade das partículas 0,7.
Temperatura da água: 20ºC.
Resposta:Resposta:
Análise granulométrica da alimentação 27,2
 pD
6,441
1X
 
  
 +
= , D p em µm.
Material c
 g 
u D
S F 
 F 
/ ( ) Re = −43 2 3
ρ ρ µ
ρ Re 
Diâmetro
Crítico, µm
% Massa
Arrastada
Calcário 178 0,395 73,8 0,76
Galena 680 0,196 39,2 0,43
% galena na alimentação : 20,0
% galena no produto de fundo: 37,3
% galena no produto de topo : 12,4.
7.7. O separador de poeira opera em 3 compartimentos, como mostra o esquema abaixo
representado. Estimar a faixa granulométrica das partículas retidas em cada compartimento
sabendo-se que a vazão de gás (ar a 20ºC e 1 atm) é 140 m 3/min, a densidade das partículas é3 g/cm3 e sua esfericidade 0,75.
34
 
 
Resposta:Resposta:
Compartimento L m( ) v H u
m s
t = /
( / ) 
 L c
 g 
v D
S F 
 F t 
/ ( ) Re = −43 2 3
ρ ρ µ
ρ
 Re D P 
m( )µ 
Faixa
Granulométrica
( )µm 
1 1,5 0,390 8,27 1,84 72,2 >72,2
2 3 0,195 66,2 0,640 49,2 49,2-72,2
3 4,5 0,130 223 0,347 40,0 40,0-49,2
8.8. Dimensionar um rotâmetro tronco de cone-esfera para medir a vazão de água (20ºC) na
faixa de 1 a 3 m3/h. O flutuador é uma esfera de aço com 1 cm de diâmetro e densidade 7,7
g/cm3. Que faixa de vazões este mesmo rotâmetro mediria se o fluido fosse ar a 20ºC e 1
atm?
Resposta:Resposta:
A altura h não influencia o desempenho do rotâmetro. Pode ser da ordem de 20 cm por
questão de comodidade e precisão na leiturada escala do aparelho.
Faixa de vazão de ar: 30,4 a 97,8 m3/h.
35
 
 
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37
 
 
Capítulo 2Capítulo 2
A DecantaçãoA Decantação
1. A Trajetória da Partícula1. A Trajetória da Partícula
O processo de separação sólido-fluido conduzido a partir de suspensões diluidas - a
decantação - pode ser analisado através do estudo da trajetória das partículas no interior doequipamento de separação (Brauer, 1982).
Considera-se nesta análise que:
a) As partículas sejam caracterizadas individualmente através do diâmetro volumétrico
e da esferacidade φ ; D P 
 
 b) A distribuição de tamanhos das partículas, isto é, a análise granulométrica, seja
expressa por , sendo X a fração em massa das partículas com diâmetro menor que
;
 X X D P = ( )
 D P 
 
c) O campo de velocidades do fluido não pertubado pela presença das partículas seja
;u u u u x x = ( )
 
d) Os efeitos da aceleração e concentração de partículas sejam desprezíveis nocomportamento dinâmico destas partículas.
Como visto no capítulo anterior, a equação do movimento de translação da partícula é
expressa por
0 = (+ (1)bbPF V)ρ−ρS 
 
 vvuuU U U U −=ρ= ,c2
A
DF U (2)
c f D U D P F = =( , ), , Re φ ρµ Re U U U = . (3)
 Nestas equações ρ e µ são respectivamente a densidade e a viscosidade do fluido, ρ a
densidade das partículas, a força resistiva que o fluido exerce sobre a partícula, A e V a
área projetada ( e V o volume ( da partícula, bb a intensidade do campo
exterior, o coeficiente de arraste, uu, vv e U U respectivamente a velocidade do fluido, a
velocidade da partícula e a velocidade relativa fluido-partícula.
 F 
 D P 2
S 
 P 
/ )π 4 P / )π D P 3 6
c D
 
Seja a situação simples em que se deseja determinar o diâmetro da partícula que
 percorre a trajetória assinalada na figura (1) representando uma fenda retangular com
38
 
 
dimensões B, H e L. Na situação de maior interesse tecnológico H << B, o que equivale a
considerar o escoamento como ocorrendo entre placas paralelas. O efeito da aceleração da
 partícula não é levado em conta.
B L
H u
v
x
yh
(corte transversal) (corte longitudinal)
 
Figura 1 -Figura 1 - Fluidodinâmica da partícula na fenda de seção retangular
Equação do movimento da partícula:
Componente na direção x A c U u v F D x x, ( 0 2 0= −ρ ) + ;
Componente na direção y A c U v V g F D y S F P , ( ) ( 0 2 0= + − −ρ ρ )ρ
 x
 y
 
Resulta da primeira equação que e , portanto,v u x =
 
[ ]U u v v v x x y= − + + =( ) ( ) /2 2 1 20 .
 
Substituindo este resultado na segunda equação, vem
v V g A c
 y
S F P 
 F D
= −










( )
/
ρ ρ
ρ2
1 2
 
que representa, segundo a equação (14) do primeiro capítulo, a velocidade terminal da
 partícula isolada, v . Portanto, desprezando o efeito da aceleração da partícula:
t 
 Na direção do escoamento do fluido, ;v u x x=
 Na direção normal ao escoamento do fluido, v v . y t =
 
Voltando à figura da fenda de seção retangular, pela composição do movimento da
 partícula
39
 
 
h
v
 L
ut h
= , (4)
onde u h é a velocidade média do fluido em 0 . Portanto,≤ ≤ y h
 
v
h u
 Lt 
h= e c g 
v D
S F 
 F t 
/ ( ) Re = −43 2 3
ρ ρ µ
ρ
 
que permite calcular Re (tabela 2 do capítulo 1) e dele o valordo diâmetro da partícula
desejado.
A situação mais desfavorável para a captura da partícula corresponde à posição h= H , a
espessura de separação da câmara. O diâmetro crítico especifica as condições limites de
separabilidade no equipamento em análise: partículas com diâmetros maior que são
coletadas com eficiência de 100% independentemente da posição em que ingressam na
câmara de separação. A equação (4) toma a forma
 D pc
 D pc
 
 H 
v
 L
ut 
= , (5)
a equação de projeto para a separação de partículas na fenda de seção retangular.
ExemploExemplo
O sedimentador lamelado é constituido por um conjunto de fendas com seção
retangular em que a espessura de separação em cada fenda H/n é muito menor que o
comprimento L. A inclinação das lamelas, da ordem de 40º , permite a retirada contínua por
gravidade das partículas depositadas nestas lamelas.
 L H H / n
θ
Suspensão
 
40
 
 
A velocidade terminal da partícula com diâmetro crítico é, analogamente à
equação (5),
 D pc
 
v H u
 L H 
 H u
 Lt 
 = + ≅cos sen cos θ θ θ .
Sendo Q BHu= a vazão de suspensão que alimenta o sedimentador lamelado, resulta a
equação de projeto
,v Q At = / *
 
onde é a área projetada das n lamelas ativas no plano horizontal. A nBL cos* = θ
r / e
 
ExemploExemplo
Deseja-se determinar o tempo consumido para que uma partícula se desloque, num
campo centrífugo, da posição radial r até a parede do equipamento de separação.
Fluido
Ω
vθ vr r 
v
 
 Na situação representada na figura, os componentes da velocidade do fluido são
e (Bird et al., 1960, p.96) e do campo centrífugo b , sendo ê
a velocidade angular da carcaça cilíndrica. Desprezando a aceleração da partícula, resulta da
equação do movimento:
ur = 0 u r θ = Ω b vr = θ2 θ = 0
 
v dr 
dt 
v V b A c
r t 
S FP r 
 F D
= = = −










( )
/
ρ ρ
ρ2
1 2
 (6)
, (7)v u r θ θ= = Ω
 
41
 
 
onde v é a velocidade terminal da partícula no campo centrífugo. A integração da equação
(6) para a partícula esférica e regime de Stokes leva ao valor do tempo desejado,
t 
 
2FS D)(
18t
Ωρ−ρ
µ= . n(R/r) (8)
2. Separação Sólido-Fluido na Fenda de Seção Retangular2. Separação Sólido-Fluido na Fenda de Seção Retangular 
O projeto e a análise do desempenho do equipamento de separação sólido-fluido
 podem ser realizados em base aos seguintes resultados:
a) Equação que relaciona o diâmetro de corte D∗ às propriedades físicas do sistema
 particulado, às dimensões do equipamento e às condições operacionais;
 b) Função eficiência individual de coleta relativa à partícula com diâmetro D,
(9)η η= ( / * D D )
 
que depende da configuração do equipamento, do regime de escoamento do fluido e da
dinâmica da partícula;
c) Função eficiência global de coleta que depende da distribuição granulométrica do
conjunto de partículas, , X X D= ( ) 
η η= ∫01 ( / )* D D dX ; (10)
d) Equação que relaciona queda de pressão e vazão de fluido no equipamento de
separação.
O diâmetro de corte pode ser especificado de diferentes formas; neste texto é definido
como sendo o diâmetro das partículas que são coletadas com eficiência de 50% no
equipamento de separação.
 Na análise da separação sólido-fluido em camada delgada ( conduzida no
equipamento representado na figura (1) serão consideradas as seguintes hipóteses:
) H B<<
 
a) As partículas estão igualmente distribuidas na alimentação, x ,independentemente do valor do diâmetro. Portanto, a eficiência de coleta da partícula com
diâmetro D que percorre a trajetória assinalada na figura é
= 0
 
, (11)η( ) / D h= H 
 
estando o diâmetro de corte associado a h H .= / 2
42
 
 
 b) O escoamento de fluido na fenda é laminar, resultando (Bird et al., 1960, p.62) 
u u y
 H 
 y
 H 
= −   
 
 








6
2
 (12)
H2/H
h
0h
uu u
H
h
H
h
3
1
2
1u6udyh
1u
==

 
 
 
 −== ∫
 (13)
Q HB u BH p
 L
= = −  
 
 
1
12
3
µ
∆ , (14)
onde Q é a vazão de fluido e a queda de pressão no equipamento.∆ p
 
c) Prevalece o regime de Stokes para as partículas sólidas (capítulo 1, tabela 4)
v K gDt S F = −1
2
18
( )ρ ρ
µ (15)
. K 1 100 843 0 065= , log (/ , )φ
 Combinando as equações (4), (11), (13) e (15) resulta
η( ) ( / )
( )
( ) * * D
h
 H 
h
 H 
 L v
u
 L v
u
h
 H 
h
 H 
 D
 D
t D
h
t D
= = = = −   
 
 




  
 
 
 
−1
2 2
1
2
1
12
1
2
1
3
1 2
. (16)
Portanto, a função eficiência individual de coleta η η para o equipamento em
questão, dentro das hipóteses consideradas, é
= ( / * D D )
 
( ) , /
, /
*
*
*
3 2 12 2
1 2
2
2
− =   
 
  ≤
= ≥




η η
η
 D
 D
 D
 D
 D
 D .
 (17)
A relação entre o diâmetro de corte D*, as propriedades físicas do sistema particulado,
as dimensões do equipamento e as condições operacionais pode ser estabelecida combinando
as equações (4) e (15)
 D Q
 BLK g S F 
*
/
( )= −




9
1
1 2µ
ρ ρ . (18)
43
 
 
Cabe ainda mencionar que quando o escoamento de fluido é turbulento,
u Q Bh ≅ / , H 
resultando da equação (16) a denominada “eficiência teórica” do equipamento de separação
(Perry e Green, 1984, p.20-86):
η
η
=  
 
 
 
 ≤
= ≥




1
2
2
1 2
2 D
 D
 D
 D
*
*
*
, /
, /
 D
 D .
 (19)
3. O Conceito Sigma e a 3. O Conceito Sigma e a Especificação de CentrífugasEspecificação de Centrífugas
A trajetória da partícula assinalada no esquema da centrífuga tubular, figura (2), 
 permite especificar o valor D do diâmetro das partículas que são coletadas com eficiência de
100%. Para facilitar a análise, considera-se que as partículas sejam esféricas e que prevaleça o
regime de Stokes.
R 
fluido
u
v
fluido
u
L
z
QR 0
 
Figura 2 -Figura 2 - Esquema da centrífuga tubular
44
 
 
Resulta da composição do movimento da partícula com diâmetro crítico, utilizando a
equação (8),
D)(
18
)R R (
Q
L
u
Lt
FS
202
Ωρ−ρ
µ=
−π
== n ( )R /R 0
 
ou, explicitando a vazão de líquido,
)R /R (nlg
L)R R (
18
gD)(Q
0
22022FS
⋅
Ω−π⋅µ
ρ−ρ= . (20)
Este último resultado mostra que a capacidade da centrífuga pode ser expressa pelo produto
de dois termos, um que caracteriza o sistema particulado (a velocidade terminal da partícula
no campo gravitacional) e o outro que caracteriza a configuração, as dimensões e rotação da
centrífuga, o fator sigma:
. (21)Q vt = Σ
 
A equação (21) constitui a base para a especificação da centrífuga para uma dada tarefa,
conhecendo o desempenho de uma centrífuga de laboratório, ambas do mesmo tipo, operando
com a mesma suspensão (Svarovsky, 1981):
Q Q
Σ Σ
 
 
 
  =
  
 
 
 1 2
. (22)
4. Ciclones a Gás e Hidrociclones4. Ciclones a Gás e Hidrociclones 
A separação de particulas no interior do ciclone é efetuada pela ação do campo
centrífugo resultante da configuração do equipamento e do modo com que a suspensão o
alimenta.
O estudo da fluidodinâmica da partícula no ciclone vem recebendo contribuições
teóricas significativas, o que faz prever que em futuro próximo o projeto e a análise do
desempenho deste equipamento deixem de ser fundamentalmente empíricos: Leith e Licht
(1972), Bloor et al. (1980), Mothes e Löffler (1985), Barrientos e Concha (1992). 
Tal como foi abordado no item 2 deste capítulo, procura-se estabelecer para ciclones
com diferentes configurações as equações que fornecem a relação entre diâmetro de corte,
 propriedades físicas do sistema, dimensões do equipamentoe condições operacionais, a
função eficiência de coleta relativa à partícula de diâmetro D, a expressão para a eficiência
global de coleta e a equação que relaciona vazão e queda de pressão no ciclone. Cabe
ressaltar que a configuração do ciclone caracteriza-se por uma relação específica entre suas
dimensões, expressa usualmente em termos do diâmetro da parte cilíndrica do equipamento,
. Dc
45
 
 
Serão estudados neste item os ciclones a gás nas configurações Lapple e Stairmand e
os hidrociclones nas configurações Rietema e Bradley. Enquanto que os ciclones Lapple e
Stairmand são amplamente utilizados na indústria, os hidrociclones Rietema e Bradley
recebem o rótulo de equipamento de pesquisa e são distintos daqueles disponíveis
comercialmente (Pereira e Massarani, 1995).
As configuraçõesAs configurações 
Estão especificadas na figura (3) as configurações dos ciclones a gás Lapple eStairmand, e na figura (4) as configurações dos hidrociclones Rietema e Bradley.
Diâmetro de corte na separação centrífugaDiâmetro de corte na separação centrífuga
 D
 D
 K D
Q
 f R g c
c
c
S F 
 L
* /
( ) ( ) (= −




 ⋅ ⋅µρ ρ
1 2
v )
 L
v
0 5
, (23)
onde é o diâmetro da parte cilíndrica do ciclone, K um parâmetro que depende da
configuração, µ e Q são a viscosidade e a vazão de fluido que alimenta o ciclone, f é um fator
de correção que leva em conta o fato de que uma fração das partículas sólidas é coletada no
"underflow" sem a ação do campo centrífugo (efeito "T ") e g um fator que leva em conta a
concentração volumétrica de sólidos na alimentação, c (Massarani, 1991).
 Dc
v
 
O fator f está relacionado ao quociente entre as vazões de fluido no "underflow"e naalimentação, , R L
 
(24) f R AR L( ) = +1
 
, (25) R B D D L u c C = ( / )
 
e os parâmetros A, B, e C relacionados à configuração do ciclone, e D respectivamente os
diâmetros do "underflow" e da parte cilíndrica do equipamento.
 Du c
 
Para partículas arredondadas o fator g pode ser expresso através da seguinte equação
empírica:
. (26) g c c cv v( ) / [ , ( ) , ( )] ,= − − −14 8 1 3 8 12
 Os ciclones a gás operam com suspensões mais diluidas do que os hidrociclones e
freqüentemente a descarga de sólido é feita de modo intermitente a partir do barril acoplado
ao "underflow" do equipamento. Por estas razões, considera-se que para os ciclones a gás f e
 g não influenciam o valor do diâmetro de corte, equação (23), ou seja, . f g = = 1
 
Os valores dos parâmetros de configuração A, B, C e K estão reunidos na tabela (1),
cuja validade está restrita às condições operacionais assinaladas na própria tabela.
46
 
 
Bc
Hc
Do
Du
Dc
c
Lc
Zc
 
S 
CicloneCiclone
Lapple StairmandLapple Stairmand
 B Dc c/ 0,25 0,20
 D Do c/ 0,50 0,50
 H Dc c/ 0,50 0,50
 L Dc c/ 2 1,50
S Dc c/ 0,62 0,50
 Z Dc c/ 2 2,50
 D Du c/ 0,25 0,37
47
Figura 3 -Figura 3 - Configuração dos ciclones a gás Lapple e Stairmand
 
 
Di
Do
D
u
θ
Dc
L1
L
 
HidrocicloneHidrociclone
Rietema BradleyRietema Bradley D Di c/ 0,28 1/7
 D Do c/ 0,34 1/5
 L Dc/ 5 -
 L Dc1 / - 1/2
/ Dc 0,40 1/3
θ 10º-20º 9º
Figura 4 -Figura 4 - Configuração dos hidrociclones Rietema e Bradley
48
 
 
 
 
Tabela 1 -Tabela 1 - Parâmetros de configuração do ciclone e condições operacionais recomendadas.
ConfiguraçãoConfiguração K K 
(eq. 23)(eq. 23)
 A A 
(eq. 24)(eq. 24)
 B B 
(eq. 25)(eq. 25)
C C 
(eq. 25)(eq. 25)
 
(eq. 32)(eq. 32) u u ReRe
** **ouou ** D D / / DDu u cc 
Lapple 0,095 - - - 315 5 20< <u m / s 0,25
Stairmand 0,041 - - - 400 10 30< <u m / s 0,37
Rietema 0,039 1,73 145 4,75 1200 5 103 5 104× < < × Re 0,10-0,30
Bradley 0,016 1,73 55,3 2,63 7500 3 103 2 104× < < × Re 0,07-0,15
*u é a velocidade média do fluido na seção de entrada do ciclone, u Q
 B H c c
=
 ** Re , onde uc é a velocidade média do fluido na seção cilíndrica do
ciclone,
= D uc c F ρµ
u .Q
 Dc c
= π / 4
 
Função eficiência individual de coleta Função eficiência individual de coleta no campo centrífugono campo centrífugo
A eficiência individual de coleta relativa à partícula com diâmetro D pode ser
expressa pelas correlações empíricas:
Ciclones Lapple e Stairmand
η( / ) ( / )( / )
* *
* D D
 D D
 D D
= +
2
21 ; (27)
Hidrociclones Rietema e Bradley
η( / ) exp( / )exp( / )
* *
* D D
 D D
 D D
= −+
5
5 146 .
1 (28)
Conhecida a distribuição granulométrica das partículas, , é possível
estabelecer o valor da eficiência global de coleta no campo centrífugo,
 X X D= ( )
 
(29)∫ η= 10 dXI
 e a eficiência global alcançada no ciclone, incluindo o efeito "T ",
η = − +( )1 R I R L L , (30)
sendo R o quociente entre as vazões de fluido no "underflow" e na alimentação. L
 
A integração da equação (29) para a situação bastante comum em que a distribuição
granulométrica pode ser representada pelo modelo de Rosin-Rammler-Bennet,
49
 
 
, (31) X D e D D n( ) '( / )= − −1
 
toma a forma (Massarani, 1991):
Ciclones Lapple e Stairmand
 I 
n
n
n D D
 D
 D=
 +
− + ⋅
111
0118
1 81 03 22
,
,
, , ( ' / )
'
* * ; (32)
Hidrociclones Rietema e Bradley
 I 
n
n
n D D
 D
 D
= +
− +
⋅
113
0138
14 4 02 79
,
,
, , ( ' / )
'
* * . (33)
Cabe ressaltar que na equação (31) X é a fração em massa das partículas com diâmetro
menor que D e que D' e n são os parâmetros do modelo, respectivamente o diâmetro da
 partícula que corresponde a e a dispersão. X = 0 632,
 
A relação vazão - queda de pressãoA relação vazão - queda de pressão 
A expressão clássica que relaciona vazão e queda de pressão na Mecânica dos Fluidos,regime turbulento estabelecido, é utilizada também para os ciclones,
β ρ=
 −∆ p
u F c2 2/
 (34)
u Q
 Dc c
= π 2 4/ , (35)
sendo a queda de pressão medida entre o "overflow" e a alimentação. O valor de β depende da
configuração do ciclone, como mostra a tabela (1). 
ExemploExemplo
O diâmetro de corte na operação do cicloneO diâmetro de corte na operação do ciclone
A separação sólido-fluido no ciclone pode ser considerada, numa análise grosseira,
como acorrendo em camada delgada, num campo centrífugo com intensidade constante. O
diâmetro de corte está associado à metade da espessura de separação, isto é, a B . D* c / 2
 
50
 
 
Dc
Do
trajetória da
 partícula
Vista superior do
ciclone
 B c 
Admitindo que as partículas sejam esféricas e que prevaleça o regime de Stokes, resulta que o
tempo de residência do fluido e da partícula com diâmetro D* é dado por
V 
Q
 B
 D b
a c
S F 
= −
/
( ) *
2
18
2ρ ρ
µ
r 
 (36)
b r ur = =Ω2 Ω (37)
Ω =
2π N 
V Qea / . (38)
 Nestes resultados, V é o volume que o fluido ocupa no ciclone (pode se formar no
hidrociclone um nucleo de ar no interior do equipamento), u e Q respectivamente a
velocidade média na seção de entrada e a vazão de fluido, e N e o número de espiras de fluido
que se formam no interior do ciclone. Combinando as equações (36) a (38):
a
 
 D B
 N u
c
e S F 
*
/
( )= −




9
2
1 2µ
π ρ ρ . (39)
 No caso particular do ciclone Lapple, verifica-se por simples visualização que .
Lembrando que para esta configuração
 N e ≅ 5
 
u Q B H Q Dc c c= = 8 2 ,
vem para a equação (37),
 D
 D
 K D
Qc
c
S F 
* /
( )= −




µ
ρ ρ
1 2
 
51
 
 
 K = 0 095, .
 
resultados que confirmam a equação (23) e o valor do parâmetro de configuração K , tabela 
(1). 
ExemploExemplo
Deseja-se especificar uma bateria de ciclones Lapple para operar com 100 de
gás carregado com cinzas de carvão.Densidade das partículas de carvão, ρ .
São as seguintes as propriedades do gás: ρ µ A bateria
deve funcionar com descarga de sólida intermitente e deseja-se uma eficiência global de
coleta superior a 85%. Distribuição granulométrica das partículas
3m min/
S g c= 2 3, /
, cP e .
m3
035 F g cm= × =−4 43 10 03 3, / 
 X e D= − −1 37 7 1 5(/ , ) , , . D em µm
m
 s
n
m s
 
Cálculo do diâmetro de corteCálculo do diâmetro de corte
Resulta da equação (32), fazendo . I D m= ′ = = =0 85 37 7 1 5 6 0, , , , ,µ µe : n D*
 
Estimativa Estimativa de de e e do do número número de de ciclones ciclones em em paraleloparalelo D Dcc
 Fazendo na equação (39) u , como recomendado na tabela (1), e lembrando
que , vem que o diâmetro da parte cilíndrica do ciclone é dado por
. Portanto, sendo , resulta que o número de ciclones na bateria é
m= 15 0, /
Q uDc1 2 8= /
8/DHB 2ccc =⋅
 D cm49 6,c =
 
. N Q Q= =/ ,1 3 6
 
Novo Novo cálculo cálculo de de considerando considerando 4 4 ciclones ciclones em em paraleloparalelo D Dcc
 
A vazão em cada ciclone é . Vem da equação (23) que
, o que leva a uma velocidade u , valor este dentro da faixa
recomendada para a operação do ciclone Lapple.
QQ m mi1 34 25= =/ /
m= 14 5, / D cc = 48
 
Cálculo da potência do sopradorCálculo da potência do soprador
Considerando apenas a perda de carga nos ciclones, a potência requerida para a
separação é dada pela equação
 P Q p
 E 
= ∆ 175 (40)
52
 
 
com P em cv, a vazão total Q em m³/s e a queda de pressão num ciclone em mm de
coluna de água. E é a eficiência elétrica do motor, da ordem de 0,5 para motores de baixa
 potência. Resulta das equações (34) e (40) e da tabela (1): P c 
∆ p1
v
, )
3
= 2 .
 
ConclusõesConclusões
A unidade: bateria com 4 ciclones Lapple em paralelo, diâmetro da parte cilíndrica
 Dc= 48 cm.
Capacidade da unidade: 100 de ar carregado com cinzas de carvão
.
3m min/
( , ,′ = = D m n37 7 15µ
 
Eficiência global de coleta de partículas: 85%.
Potência do soprador, considerando apenas as perdas nos ciclones: 2 cv.
Problemas: DecantaçãoProblemas: Decantação
1.1. Calcular o diâmetro da menor partícula que é coletada com eficiência de 100% na câmara
de poeira abaixo esquematizada.
Propriedades físicas do fluido: densidade 1 e viscosidade 1 .2 10 3, /× − g cm 8 10 2, × − cP 
Propriedades físicas das partículas: densidade e esfericidade 0,7.2 5 3, / g cm
Dimensões da câmara: , sendo a distância entre as lamelas de 10 (a espessura
das lamelas é desprezível).
m1622 ×× cm
 
Vazão de suspensão na alimentação: 4 m3/s.
Considerar as seguintes situações diferentes:
a) A suspensão tem concentração volumétrica em sólido inferior a 0,2%;
 b) Esta concentração é de 5%.
---- "Trajetória crítica"da menor partícula coletada com eficiência de 100%.
53
 
 
Resposta:Resposta:
Velocidade terminal da menor partícula coletada com eficiência de 100%: .0 625, /cm s
Diâmetro da menor partícula coletada com eficiência de 100%, diluição infinita: .9 74, µm
Idem, 5% em volume de sólido: 11,0 µm.
2.2. Uma suspensão diluída de cal em água contém areia como produto indesejável.
Determinar, na operação a 25ºC:
a) A vazão de alimentação para a separação completa da areia no tanque com
dimensões 0 ;3 3 4, × × m
 b) O percentual de cal perdida na separação da areia.
Faixa granulométrica de areia: 70 .250< < D m p µ
Distribuição granulométrica das partículas de cal:
 D m p (µ ) 20 30 40 50 60 70 80 100
100 X 15 28 48 54 64 72 78 88.
Densidade da cal e da areia, respectivamente, .2 2 2 6 3, , / e g cm
Esfericidade das partículas de cal e de areia, respectivamente, 0,6 e 0,8.
Resposta:Resposta:
Capacidade do sistema para a separação completa de areia: 175 m3/h.
Diâmetro da maior partícula de cal no produto: 83,5 µm.% de cal perdida na separação da areia: 18,8.
3.3. Foi conduzido no laboratório um ensaio de separação de argila (densidade 2,64 g/cm3) de
uma suspensão aquosa em centrífuga tubular.
Propriedades do fluido: densidade 1 g/cm3, viscosidade 1cP.
Dimensões da centrífuga de laboratório: Ro = 1,1cm; R = 2,2cm e L = 20 cm.
54
 
 
 Número de rotações da centrífuga de laboratório: 20000 rpm.
Vazão de suspensão da centrífuga de laboratório que permite obter um classificado
satisfatório: 28,8 L/h.
Determinar a capacidade de uma centrífuga industrial operando com a mesma suspensão a
15000 rpm. Suas dimensões são: Ro = 5,21cm; R = 8,16cm e L = 73,4cm.
(Svarovski, L., “Solid-Liquid Separation”, Butterworths, Londres, 2ª edição, p. 196, 1981).
Resposta:Resposta:
Fator Σ para a unidade de laboratório: 1,42×103 cm2.
Fator Σ para a unidade industrial: 4,22×104 cm2.
Capacidade da unidade industrial: 856 L/h. 
4.4. A Companhia Chalboud do Brasil adquiriu uma bateria de ciclones com as dimensões
especificadas na figura para coletar partículas de um fluxo de ar a 70ºC e 1 atm. A densidade
das partículas é 1,05 g/cm3.
Verificar a validade da seguinte especificação fornecida pelo fabricante do equipamento:
 partículas com diâmetro maior que 20 µm são coletadas com eficiência superior a 95%
quando a velocidade do ar na seção de alimentação do ciclone é 15 m/s.
55
 
 
Resposta:Resposta:
Os ciclones fornecidos estão praticamente na configuração Lapple, podendo-se esperar uma
eficiência de coleta para as partículas de 20 µm de apenas 90%.
5.5. O ferro-velho "Dois Irmãos" da Pavuna dispõe de um conjunto de 3 ciclones em paralelona configuração Lapple, estado de conservação razoável. O diâmetro dos ciclones é 20 in.
Estimar:
a) A capacidade do conjunto para u = 15 m/s;
 b) O diâmetro da partícula que é coletada com eficiência de 95%;
c) A potência do soprador a ser usado na operação.
Considerar que o gás tenha as propriedades físicas do ar a 200ºC e 1 atm e que as partículas
sólidas tenham densidade 3 g/cm3.
Resposta:Resposta:
Capacidade da bateria de ciclones: 87 m3/min.
Diâmetro da partícula coletada com eficiência de 95%: 20 µm.
Potência do soprador: ~3cv (eficiência 0,5). 
6.6. Deseja-se estudar o desempenho de uma bateria constituída por 2 ciclones Lapple em série
com respectivamente 63,6 cm e 45 cm de diâmetro no tratamento de 27,7 m3/min de gás
contendo 3% em volume de sólido.
Propriedades do gás: densidade 1,1x10-3 g/cm3 e viscosidade 1,7x10-2 cP.
56
 
 
Propriedades das partículas sólidas: densidade 2,5 g/cm3 e distribuição granulométrica dada
 por
 X D= − −  
 
 








1 17 3
1 5
exp , ,
,
 D em mµ .
Pede-se:
a) A eficiência global de coleta do sistema;
 b) A potência do soprador para o serviço.
Resposta:Resposta:
Diâmetro de corte relativo ao 1º ciclone, concentração volumétrica em sólido 0,03: 6,42 µm.
Diâmetro de corte relativo ao 2º ciclone, concentração volumétrica em sólido considerada
como nula: 3,48 µm.
Eficiência global de coleta o 1º ciclone: .690,0dX)D/D(10 1 =η
 ∗∫
Eficiência global de coleta o 2º ciclone: .162,0dX)1(10 21 =ηη−∫
 
(η e η são as eficiências individuais de coleta em cada ciclone)1 2
Eficiência global do sistema: 85,2%.
Potência do soprador: ~3cv (eficiência 0,5).
7.7. Uma usina em Campos, RJ, pretende secar bagaço de cana com o gás de chaminé
 proveniente da caldeira (propriedades do ar a 210ºC e 1 atm).
Especificar a bateria de ciclones Lapple para a recuperação de finos secos sabendo-se que a
vazão de gás é 140 m3/min e que as partículas maiores que 40 µm devem ser coletadas com
eficiência superior a 95%. A densidade do bagaço seco é 1,55 g/cm3.
Resposta:Resposta:
Bateria constituída por 2 ciclones em paralelo com diâmetro 1 m.
8.8. Especificar a bateria de ciclones Lapple para operar com 100 m
3
/min de ar (520ºC e 1 atm)contendo cinzas de carvão. A eficiência de coleta deve ser superior a 80%. Determinar