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Aula 2 Matemática Elementar Prof Álvaro

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1
Professor Me. Álvaro Emílio Leite
MATEMÁTICA
Revisão Geral
Aula 2 - Parte 1
Conjunto dos números irracionais (I)
{ }∞+−−−∞−= ...;7;3;2;5;... ππI
NZQ I
Número pi (((( ))))π
Perímetro
Diâmetro
π = 3,14159265358979323846264...
2
Conjunto dos números irracionais (I)
Não é irracional�� = �
�, �� = �, �
�� = �, 	
��	���…
� = �, ��������…
é irracional
Não é irracional
é irracional
Radicais Semelhantes
 �
�
índice
coeficiente radicando
Para que dois radicais sejam semelhantes
eles precisam ter o mesmo índice o
mesmo radicando.
As operações de soma e subtração
de radicais somente são possíveis se
os radicais forem semelhantes.
Soma e subtração de radicais 
semelhantes
Exemplos:
�
+ � 
�
= � 
�
� � + � � − � � =−� �
−� �
�
+ � �
�
=Não é possível fazer 
a soma dos radicais
3
Só é possível multiplicar e dividir
radicais que possuem o mesmo
índice.
Multiplicação e Divisão de radicais
Exemplos
:
3
�
∙ 5
�
= 15
�
6
�
2
�
= 3
�
Para introduzir um fator num
radical, elevamos esse fator a
uma potência igual à do índice
desse radical.
====⋅⋅⋅⋅ 33 3 52 ====⋅⋅⋅⋅3 3 52 3 40
====50 ====⋅⋅⋅⋅252 ====⋅⋅⋅⋅ 252 25
Introdução e retirada de fatores 
de um radical
====3 52
Exemplos:
A raiz de um radical é
equivalente à outro radical de
índice igual ao produto dos
índices.
====⋅⋅⋅⋅23 4 6 4
====3 4 2 3 ====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 243 3 24 3
Radiciação de radicais
====3 4
Exemplos:
4
Para elevar um radical a uma 
potência, eleva-se o radicando a 
essa potência.
====3 26 3 36
(((( )))) ====24 32 ====4 62 4 64
Potenciação de radicais
(((( )))) ====23 6
Exemplos:
y xy
x
AA ====
4 33
====




 5
2
3
2
5
2
3
2






Transformação de expoente 
fracionário em radical
====4
3
3
Exemplos:
Consiste em tornar racional o 
denominador da fração dada.
====
⋅⋅⋅⋅ 55
53
====
25
53
5
53
====
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
3 23
3 23
55
532
====
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
3 3
3
5
5532
5
7523
====
5
3
a)
====
3
3
5
32b)
Racionalização de frações
5
Professor Me. Álvaro Emílio Leite
MATEMÁTICA
Revisão Geral
Aula 2 – Parte 2
Conjunto dos números reais 
(R)
NZQ IR
Números decimais
Números decimais são aqueles que
possuem uma parte inteira e uma
parte fracionária.
6,33333333....
Parte inteira Parte inteira
Parte fracionária Parte fracionária
2,68
Exemplos:
6
Soma e subtração de números 
decimais
m
ilh
ar
e
s
ce
n
te
n
as
d
ez
en
as
u
n
id
ad
es
d
éc
im
o
s
ce
n
té
si
m
o
s
m
ilé
si
m
o
s
......
Exemplo:
43,45 + 2,986 =
62 , 9 8
4 3 , 4 5 0
4 6 4 3 6
+
,
Soma e subtração de números 
decimais
m
ilh
ar
e
s
ce
n
te
n
as
d
ez
en
as
u
n
id
ad
es
d
éc
im
o
s
ce
n
té
si
m
o
s
m
ilé
si
m
o
s
......
Exemplo:
7,2 − 0,052 =
20 , 0 5
7 , 2 0 0
7 1 4 8
−
,
Multiplicação de números decimais
Exemplos:
�, ��� ∙ �� = ��, ��
�, 
��� ∙ ��� = �
�, ��
 ∙ ��� = 
�����
1º Caso: multiplicação por potências de 10
7
Multiplicação de números decimais
2º Caso: multiplicação de um número 
inteiro por um decimal
1,73
x 25
865
346 0
5234 ,
1,8
x 3
5�4,
A altura de
Alberto é 1,8
m. Calcule o
triplo da altura
de Alberto.
Uma régua
custa R$ 1,73.
Quanto pagarei
por 25 réguas?
Multiplicação de números decimais
3º Caso: multiplicação entre dois 
números decimais
Multiplique
1,45 por 2,8.
Multiplique
3,85 por
0,0043.
1,45
x 2,8
1160
2900
0604,
3,85
x 0,0043
1055
14400
5545, 100
Divisão de números decimais
Exemplos:
31,15 ÷ 10 =
3,115
9654,2 ÷ 10" =
1º Caso: divisão por potências de 10
31,15
10
= 31,15 ∙ 10
#$ =
9654,2
10"
= 9654,2 ∙ 10#" = 0,96542
8
Divisão de números decimais
2º Caso: divisão entre dois números 
decimais
9,6 ÷ 0,06 =
9,6
0,06
=
960
6
=160
4,512 ÷ 3,2 =
4,512
3,2
=
4512
3200
=1,41
0,35 ÷ 5 =
0,35
5
=
35
500
= 0,07
Exemplos:
Potenciação de números decimais
�, �� = �, � ∙ �, � ∙ �, � =�, ��
−�, � � = −�, � ∙ −�, � = �, ��
−�, � � =
−�, � ∙ −�, � ∙ −�, � = −��, 
��
Exemplos:
Deve-se aplicar as regras de 
potências para números inteiros.
Professor Me. Álvaro Emílio Leite
MATEMÁTICA
Revisão Geral
Aula 2 - Parte 3
9
Teoria dos conjuntos
Um conjunto é uma coleção de 
objetos, pessoas, animais, 
coisas etc. que levam o nome 
de elementos.
Formas de representar um 
conjunto
Conjunto A
Elementos do 
conjunto A
Por 
extensão
Diagrama 
de Venn
A •d
•a
•b
•c •e
•f •g
•h
A = {a; b; c; d; e; f; g; h}
Conjunto Unitário
É o conjunto que não possui nenhum 
elemento.
Conjunto vazio
É o conjunto que possui um único 
elemento. Por exemplo:
B = { r }
B
• r 
W = { } ou W = ØW
W = { Ø }
10
Relação de Pertinência
Por exemplo:
A = { a, b, c, d, e } e B = { f, g, h }
b ∈ A
f ∉ A
Símbolos:
∈ → pertence ∉ → não pertence
Subconjuntos
B é um subconjunto de A
A = { 1; 2; 3; 4; 5; 6 }
B = { 2; 4; 6 }
B
A
•1
•2
•3
•4
•5 •6
Relação de Inclusão
Símbolos:
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
C ⊄ A
B = {2; 4; 6}
C = { 7; 8 }
• 2 • 4
• 6
• 1
• 3
• 5
A B
C
• 7 • 8
Por exemplo:
⊂ → está contido
B ⊂ A
⊄ → não está contido
11
Interseção de conjuntos ( ∩ )
Considere os conjuntos 
A B
4 
6 
8
0
2
10 
13 
20 
30 
A ∩ B = { 0; 2; 10 }
Interseção de conjuntos ( ∩ )
Dados os conjuntos:
A = { a; b; c; d; e; f; g; h }
B = { m; n; o; f; g; h; i; j }
Escreva A ∩ B.
A ∩ B = { f; g; h }
União de conjuntos ( ∪ )
Considere os conjuntos 
A = {a; b; c; d; e}
B = {d; e; f; g; h}
A B
A ∪ B = {a; b; c; d; e; f; g; h}
a d f 
g b 
c e h 
12
União de conjuntos ( ∪ )
Dados os conjuntos:
X = { 1; 2; 3; 4 } e 
Y = { 3; 4; 5; 6 }
Escreva X ∪ Y.
X ∪ Y = { 1; 2; 3; 4; 5; 6 }
X Y
1 3 5
2 4 6
Diferença entre conjuntos
A Bn
p q
k
mw
x 
y 
Considere os conjuntos
A = {x; y; w; k; m}
B = {k; m; n; p; q}
A − B = { x; y; w }
Diferença entre conjuntos
K L
amarelo
verde
Azul
branco
preto
rosa
Dados os conjuntos: 
K = { azul, verde, preto, branco, rosa} 
L = {verde, amarelo, azul, branco}
K − L = { preto; rosa}
L − K = {amarelo}
13
Considere os seguintes conjuntos:
H = { 1; 2; 3; 4; 5; 6 }
B = { x ∈ H x é ímpar }
Quais os elementos do conjunto B?
Subconjunto definido por uma 
propriedade
B = {x ∈ H | x é ímpar}
xpertence ao conjunto H tal que
x é ímparB = { 1; 3; 5 }
Sinais de maior e menor
>Maior Menor
< MaiorMenor
Outros sinais:
Maior ou igual ≥≥≥≥ Menor ou igual ≤≤≤≤
Subconjunto definido por uma 
propriedade
A = { x ∈ Z | - 2 ≤ x ≤ 1 }
A = { - 2; - 1; 0; 1 }
W = { x ∈ Z | 3 < x ≤ 6 }
W = { 4; 5; 6 }
Escreva entre chaves os elementos 
dos seguintes conjuntos. 
J = { x ∈ N | 5 < x < 10 }
J = { 6; 7; 8; 9 }
14
Intervalos
1) Intervalo aberto 
a b
{x ϵ R | a < x < b} ou ]a , b[
2) Intervalo fechado 
a b
{x ϵ R | a ≤ x ≤ b} ou [a , b]
Intervalos
3) Intervalo semi-aberto à direita 
a b
{x ϵ R | a≤ x < b} ou [a , b[
4) Intervalo semi-aberto à esquerda 
a b
{x ϵ R | a < x ≤ b} ou ]a , b]
Exemplo 1
Dados os conjuntos:
A = { x ϵ R | 2 < x < 5 }
B = { x ϵ R | 3 ≤ x < 8 }
Escreva
a)A∩ B
b)A U B
15
Exemplo 1
a)A ∩ B
2 5
3 8
B
A
A ∩ B = { x ϵ R | 3 ≤ x < 5} 
ou [3 , 5[
3
A ∩ B
5
A = { x ϵ R | 2 < x < 5 }
B = { x ϵ R | 3 ≤ x < 8 }
Exemplo 1
b) A U B
2 5
3 8
B
A
A ∩ B = { x ϵ R | 2 < x < 8} 
ou ]2 , 8[
2
A ∩ B
8
Exercício
O total de alunos matriculados
no terceiro período do curso de
engenharia civil é 180. Desses,
100 estão matriculados na
disciplina de matemática, 110
estão matriculados na disciplina
de física e 60 estudam
matemática e física.
16
a) Quantos alunos estão 
matriculados somente na disciplina 
de matemática?
b) Quantos alunos estão 
matriculados somente na disciplina 
de física?
c) Quantos alunos estão 
matriculados na disciplina de 
matemática ou na de física?
d) Quantos alunos não estão 
matriculados nem na disciplina de 
matemática e nem na de física?
Solução
a) M = 40
100 – 60=40
b) F = 50
110 – 60 = 5060
M ∩ F = 60
c) (M U F) = 40 + 60 + 50 = 150 
d) T - (M U F) = 180 – 150 = 30

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