Aula 3 Matemática Elementar Prof Álvaro

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1
Professor Me. Álvaro Emílio Leite
MATEMÁTICA
Revisão Geral
Aula 3 - Parte 1
Expressões numéricas
Exemplos:
3 + 2 ∙ 5� =
3 + 2 ∙ 25 =
3 + 50 =
3 + 50 = 53
Expressões numéricas
2	
4 ∙ 3 −
1
8 ∙ 4 + 10 − 64 ∙ 2 =
32
4 ∙ 3 −
4
8 + 10 − 8 ∙ 2 =
24 − 0,5 + 10 − 16 =17,5
2
Expressões numéricas
−5 ∙ − 2 ∙ 3 − 5 � ∙ 3 + 2 =
−5 ∙ − 2 ∙ −2 � ∙ 3 + 2 =
−5 ∙ − −4 � ∙ 3 + 2 =
−5 ∙ −16 ∙ 3 + 2 =
−5 ∙ −48 + 2 =
240 + 2 = 242
Definição: Expressões algébricas
(ou expressões literais) são
aquelas em que figuram letras (a,
b, c, d, ..., x, y, z) e números.
Elas são utilizadas para
representar uma sequência de
operações que se repetem em
várias situações.
Obs. As letras são chamadas de
variáveis
Expressões algébricas
Expressões algébricas
��� = �ℎ�
� = ��
� = ��� ∙ ����
Exemplos:
3
Vamos ver se você entendeu?
Um número � somado 
com o dobro do 
número �.
� + 2�
2� + 2�
� + ��
2� + 2��
O quadrado do número �
subtraído do triplo do 
número �.
3� + ��
2� − 3�
� − ��
�� − 3�
X
X
Vamos pensar um pouco....
Roberto possuía x reais. Ele foi a
um depósito de materiais de
construção e comprou 5 sacos de
cimento, cada qual custava y
reais. Qual a expressão algébrica
que podemos escrever para
representar a quantia que restou
para Roberto após a compra?
� = − 5!
Valor numérico de uma expressão 
algébrica
Exemplos:
Qual o valor numérico da
expressão algébrica �" − "� − �,
quando � = 3 e " = 2.
3 ∙ 2 − 2� − 3
6 − 4 − 3 = −1
4
Valor numérico de uma expressão 
algébrica
Exemplos:
b) Calcule o valor da mesma
expressão algébrica ( �" − "� −
�)$quando � = %� e " = 1.
3
2 ∙ 1 − 1
� − 32 =
3
2 − 1 −
3
2 =
3 − 2 − 3
2 = −1
Termos algébricos ou monômios
5 
Parte literal
Coeficiente numérico
−23 �"
�
Parte literal
Coeficiente numérico
Observação
1 � = �
−1���� $= −����
5
Grau de um termo algébrico ou grau 
de um monômio
Exemplos:
a) 5���%
b) −7 !�
c) 7,3"&
d) 50
5° grau
3° grau
8° grau
0 grau
Termos ou monômios semelhantes
a) 3 � e −4 �
b) 7� e 12��
c) − �	 �!� e 34!��
d) 3�!� e −4��!
Semelhantes
Não semelhantes
Semelhantes
Não 
semelhantes
Agrupamento de termos ou monômios 
semelhantes
a) 3 � + 5 � − � =
b) 5�! − 7�! =
c) −20'% ! + 17,4'% ! =
d) 6��! + 3�!� =
7 �
−2�!
−2,6'% !
Não 
semelhantes
6
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MATEMÁTICA
Revisão Geral
Aula 3 - Parte 2
Multiplicação de termos ou monômios
a) 2 %!�'( ∙ −3 (!%' =
b) 3 � ∙ 2 =
c) −2 ! ∙ 5!� =
d) −2�� ∙ −5�� =
−6 )!	'	
6 %
−10 !%
10����
Divisão de termos ou monômios
a) 
�*+,
	+- =
b) 
.��/-+0
.(/+- =
c) − %+1-(+0 =
2 %
3� 
−3 
.�!�
4 = −0,75 
.�!�
7
Potenciação de termos ou monômios
a) 3 �% � =
b) −2!.% % =
c) 
.	1-
�+
.� =
9 ��3
−8!.4
2 
−5!�
�
= 4 
�
25!( =
4 �!.(
25
Radiciação de termos ou monômios
a) 5 4 � =
b) 4$ 27 3!	0 =
c) −2 3 3�45 =
d) − .&+016�)
0 =
5 ∙ 2 = 10 
4$ 27 3!%!�0 =
4 ∙ 3
−2$ 3 ( ��&�5 =
−2
2 !�
3
�� $ 3 ��5
 �! !�0 = 12 �! !�0
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MATEMÁTICA
Revisão Geral
Aula 3 - Parte 3
8
Binômios, trinômios e polinômios
a) 6 � 0 =
b) 5 + 2!� + 7 =
c) 8 + 3 � + 4 − 5 � + 1 =
d) 2 + 3! + 4 � − !% − =
Monômio
2!� + 12 Binômio
−2 � + 4 + 9
Trinômio
−!% + 4 � + 3! + Polinômio
Multiplicação de polinômios
a) 3 2 + 1 =6 �+3 
b) 5 − 2! + 1 =
5 �+5 −2 ! −2!
Divisão de polinômios
a) 
3+-7&+
�+ =
b) 
� 17� -
( 17� =
c) 
+7� +.�
+.� =
3 +4
1 ! + 1
2 =
! + 1
2
 + 2
9
Produtos notáveis
Quadrado da soma de dois termos
 + ! � = + ! + ! =
 � +!�+ !+ !
 � + 2 ! + !�
Regra: o quadrado da soma de dois 
termos é igual ao quadrado do 
primeiro, mais duas vezes o produto 
do primeiro pelo segundo, mais o 
quadrado do segundo. 
Produtos notáveis
Quadrado da diferença de dois termos
 − ! � = − ! − ! =
 � +!�− !− !
 � − 2 ! + !�
Regra: o quadrado da diferença de 
dois termos é igual ao quadrado do 
primeiro, menos duas vezes o 
produto do primeiro pelo segundo, 
mais o quadrado do segundo. 
Produtos notáveis
Produto da soma pela diferença de 
dois termos
 + ! − ! =
 � −!�− !+ !
 � − !�
Regra: o produto da soma pela 
diferença de dois termos é igual ao 
quadrado do primeiro termo menos 
o quadrado do segundo termo. 
10
Fatoração de polinômios
a) % + 6 + 12 ! =
b) 4 � + 4 ! + !� $=
c) �� − 4� + 4 =
d) � − 4 =( − 2)( + 2)
 ( � + 6 + 12!)
(2 + !)�(2 + !) 2 + ! =
(� − 2) � − 2 = (� − 2)�
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MATEMÁTICA
Revisão Geral
Aula 3 - Parte 4
Equações
Exemplo
a) + 3 = 5 b) 2! − 1 = 7
 = 2
2 + 3 = 5
! = 4
2 ∙ 4 − 1 = 7
c) 3 − 4 = − 8
 = −2
11
Equações do primeiro grau
9: + ; = <
Coeficientes
Incógnita
3 kg 3 kg
3 kg
3 kgX
Como resolver uma equação do 1°
grau
3 kg
X
3 kg
=: + > = ?@
=
=: = ?=
: = A
Exemplo
Calcule o valor de x.
4 
3 + 2 = 16 − 
−2
4 
3 + = 16 − 24 
3 + = 14
+ 4 3 + 2$$$$$$$$$$$$$$ = 16 − + −2
12
Exemplo
4 
3 +
3 
3 = 14
7 
3 = 14
3
7 ∙
7 
3 =
3
7 ∙ 14
 = 3 ∙ 2
2
 = 6
Exemplos
Um marceneiro deseja dividir uma
tábua de 200cm em duas partes. O
comprimento da parte maior deve
ser o quadruplo do comprimento da
menor. Calcule o comprimento de
cada uma das partes.
200cm
4 
Exemplo
4 
4 + = 200
200cm
5 = 200
 = 2005
 = 40
13
Em uma turma de engenharia civil
haviam 54 alunos. Em uma reunião
para saber como estava o
andamento da turma, o
coordenador perguntou:
Exemplos
- Quem está fazendo estágio na
área de engenharia? 35 alunos
levantaram a mão.
- Quem está cursando disciplinas?
45 alunos levantaram a mão.
Calcule quantos alunos estavam
fazendo estágio e ao mesmo tempo
cursando disciplinas?
Exemplos
Raciocínio da resolução
:>@ − : B@ − :
E D
E∩D
(35 − ) + + (45 − ) = 54
14
Raciocínio da resolução
 = 26
35 − + + 45 − = 54
− + 80 = 54
− + 80 − 80 = 54 − 80
− = −26
Definição: uma equação que tem
a forma � + �! = �, sendo � ≠ 0 e
� ≠ 0, é chamada de equação do
primeiro grau com duas
incógnitas, x e y.
Equações do primeiro grau com duas 
incógnitas
Exemplos:
a) 2 + ! = 3$$$$$$$$$$$$$$$$$$$b) 5 + 7! = 27
c) − 3! = 10 d) 2 − 5! = 21
Sistemas de equações do primeiro grau
Em um estacionamento, dentre
motos (2 rodas) e carros (4 rodas),
é possível contar 49 veículos,
sendo que o total de rodas é 142.
Qual é o número de carros e qual é
o número de motos que se
encontram no estacionamento?
15
Sistemas de equações do primeiro 
grau
 =número de carros
! =número de motos
D + ! = 494 + 2! = 142
Sistemas de equações do primeiro 
grau
1) Método da substituição
D + ! = 494 + 2! = 142
4 49 − ! + 2! = 142
196 − 4! + 2! = 142
−4! + 2! = 142 − 196
−2! = −54
! = 27
 = 49 − 27 = 22
 = 49 − !
Sistemas de equações do primeiro 
grau
A população de uma cidade y é o
triplo da população da cidade x.
Se as duas cidades juntas têm
uma população de 80.000
habitantes, quantos habitantes
tem a cidade y?
 =população da cidade x
! =população da cidade y
16
Sistemas de equações do primeiro grau
2) Método da comparação
D ! = 3 + ! = 8000
! = 80000 − 
3 = 80000 − 
3 + = 80000
4 = 80000
 = 20000
! = 3 ∙ 20000
! = 60000
Sistemas de equações do primeiro 
grau
A soma da idade de Pedro com a
idade de João é 30 anos. Sabendo
que a diferença entre as idades é
4 anos, calcule a idade de cada
um deles.
 =idade de Pedro
! =idade de João
Sistemas de equações do primeiro grau
3) Método da adiçãoD + ! = 30 − ! = 4
2 = 34
 = 17
17 + ! = 30
! = 30 − 17
! = 13