Mecánica ClasicaV1

Vista previa del material en texto

Mario Cosenza
Meca´nica Cla´sica
Versio´n A-15
Mario Cosenza
Universidad de Los Andes
Me´rida, Venezuela
Meca´nica Cla´sica
Versio´n A-2015
c©MMXV
a Claudia
Mi propo´sito es exponer una ciencia muy nueva que trata un tema muy antiguo. Quiza´s
nada hay en la naturaleza ma´s antiguo que el movimiento, respecto al cual los libros escritos
por filo´sofos no son ni pocos ni pequen˜os; no obstante, he descubierto, experimentando, algunas
propiedades que merecen ser conocidas.
Galileo Galilei, Dia´logos Sobre Dos Nuevas Ciencias.
Fo´rmulas vectoriales
Identidades
A · (B×C) = (A×B) ·C = C · (A×B) = (C×A) ·B = B · (C×A) (1)
A× (B×C) = B(A ·C)−C(A ·B) (2)
(A×B) · (C×D) = (A ·C)(B ·D)− (A ·D)(B ·C) (3)
Derivadas de sumas
∇(f + g) = ∇f +∇g (4)
∇ · (A + B) = ∇ ·A +∇ ·B (5)
∇× (A + B) = ∇×A +∇×B (6)
Derivadas de productos
∇(fg) = f∇g + g∇f (7)
∇(A ·B) = A× (∇×B) + B× (∇×A) + (A · ∇)B + (B · ∇)A (8)
∇ · (fA) = f(∇ ·A) + A · ∇f (9)
∇ · (A×B) = B · (∇×A)−A · (∇×B) (10)
∇× (fA) = f(∇×A)−A× (∇f) (11)
∇× (A×B) = A(∇ ·B)−B(∇ ·A) + (B · ∇)A− (A · ∇)B (12)
Derivadas segundas
∇× (∇×A) = ∇(∇ ·A)−∇2A (13)
∇ · (∇×A) = 0 (14)
∇× (∇f) = 0 (15)
Teoremas integrales ∫ b
a
(∇f) · dl = f(b)− f(a) (16)∫
V
(∇ ·A) dV =
∮
S
A · nˆ dS Teorema de Gauss (divergencia) (17)∫
S
(∇×A) · nˆ dS =
∮
C
A · dl Teorema de Stokes (18)∫
V
(f∇2g − g∇2f) dV =
∮
S
(f∇g − g∇f) · nˆ dS Teorema de Green (19)
I´ndice general
1. Ecuaciones de movimiento 9
1.1. Leyes de Newton y meca´nica de una part´ıcula . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Meca´nica de un sistema de part´ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3. Coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4. Principios variacionales y ecuaciones de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.5. Principio de mı´nima accio´n y ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . . . . 40
1.6. Propiedades de las ecuaciones de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.7. Ejemplos de ecuaciones de Lagrange para varios sistemas . . . . . . . . . 47
1.8. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2. Leyes de conservacio´n y simetr´ıas 69
2.1. Momento conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.2. Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.3. Conservacio´n del momento lineal y homogeneidad del espacio . . . . . . . 74
2.4. Conservacio´n del momento angular e isotrop´ıa del espacio . . . . . . . . . 75
2.5. Conservacio´n de la energ´ıa y homogeneidad del tiempo . . . . . . . . . . . 77
2.6. Teorema de Euler para la energ´ıa cine´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.7. Potenciales dependientes de la velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.8. Sistemas integrables y sistemas cao´ticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.9. Movimiento unidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.10. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3. Fuerzas centrales 97
3.1. Problema de dos cuerpos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.2. Potencial efectivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.3. Ecuacio´n diferencial de la o´rbita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.4. Problema de Kepler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.5. Leyes de Kepler y dependencia temporal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.6. Estabilidad de o´rbitas circulares y a´ngulo de precesio´n. . . . . . . . . . . . 127
3.7. Dispersio´n en campo de fuerza central. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.8. El vector de Laplace-Runge-Lenz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.9. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7
8
4. Oscilaciones pequen˜as 149
4.1. Oscilaciones en una dimensio´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.2. Oscilaciones de sistemas con varios grados de libertad. . . . . . . . . . . . 153
4.3. Modos normales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.4. Oscilaciones forzadas y amortiguadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5. Movimiento de cuerpos r´ıgidos 177
5.1. Velocidad angular de un cuerpo r´ıgido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.2. A´ngulos de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.3. Energ´ıa cine´tica y tensor de inercia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.4. Momento angular de un cuerpo r´ıgido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5.5. Ecuaciones de movimiento para cuerpos r´ıgidos. . . . . . . . . . . . . . . . 197
5.6. Ecuaciones de Euler para cuerpos r´ıgidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
5.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
6. Dina´mica Hamiltoniana 221
6.1. Ecuaciones de Hamilton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
6.2. Sistemas dina´micos y espacio de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
6.3. Teorema de Liouville. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.4. Pare´ntesis de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
6.5. Transformaciones cano´nicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
6.6. Transformaciones cano´nicas infinitesimales. . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
6.7. Propiedades de las transformaciones cano´nicas. . . . . . . . . . . . . . . . 250
6.8. Aplicaciones de transformaciones cano´nicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
6.9. Ecuacio´n de Hamilton-Jacobi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
6.10. Variables de accio´n-a´ngulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
6.11. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
A. Lagrangiano de una part´ıcula relativista 295
B. Transformaciones de Legendre 307
C. Teorema del virial. 309
D. Bibliograf´ıa 311
Cap´ıtulo 1
Ecuaciones de movimiento
1.1. Leyes de Newton y meca´nica de una part´ıcula
La Meca´nica consiste en el estudio del movimiento; esto es, la evolucio´n de la posicio´n
de una part´ıcula o de un sistema de part´ıculas en el tiempo. La Meca´nica Cla´sica se refiere
a movimientos que ocurren en escalas macro´scopicas; es decir, no incluye feno´menos
cua´nticos (nivel ato´mico). La Meca´nica Cla´sica provee descripciones va´lidas de feno´menos
en una extensa escala espacial que va desde el orden de 100 nm (R. Decca et al., Phys.
Rev. Lett. 94, 240401 (2005)) hasta distancias cosmolo´gicas.
Actualmente, la Meca´nica Cla´sica se enmarca dentro de un campo de estudio ma´s
general denominado Sistemas Dina´micos. E´stos son sistemas descritos por variables gene-
rales cuyos estados evolucionan en el tiempo de acuerdo a reglas deterministas, e incluyen
sistemas f´ısicos, quimicos, biolo´gicos, sociales, econo´micos, etc.
El origen del me´todo cient´ıfico esta´ directamente vinculado a la primeras formulacio-
nes cuantitativas de la Meca´nica Cla´sica realizadas por Galileo con base en sus experi-
mentos. La Meca´nica Cla´sica constituye el eje esencial alrededor del cual se ha construido
toda la F´ısica.
Figura 1.1: Galileo Galilei (1564-1642).
9
10 CAPI´TULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Durante el siglo XX, la Meca´nica Cla´sica se encontro´ con varias limitaciones para
explicar nuevos feno´menos. Las subsecuentes soluciones de estas dificultades condujeron
a tres grandes revoluciones intelectuales en la F´ısica:
i. Limitacio´n para explicar feno´menos a altas velocidades o a altas energ´ıas, lo quecondujo a la Teor´ıa de Relatividad (Especial y General).
ii. Limitacio´n para explicar feno´menos a escala ato´mica o microsco´pica, lo cual dio
origen a la Meca´nica Cua´ntica.
iii. Limitacio´n del concepto de prediccio´n en sistemas dina´micos deterministas no li-
neales, que condujo al desarrollo del Caos y eventualmente al estudio actual de
Sistemas Complejos.
Para describir el movimiento, se requiere la definicio´n de algunos conceptos ba´sicos.
Un sistema de referencia es una convencio´n necesaria para asignar una posicio´n o
ubicacio´n espacial a una part´ıcula u objeto con respecto a un origen o punto escogido O.
Se asume que una part´ıcula tiene asociada una cantidad de masa, denotada por m.
La posicio´n de una part´ıcula en un sistema de referencia puede describirse mediante
un conjunto de coordenadas. Por ejemplo, en un sistema de coordenadas cartesianas, el
vector de posicio´n r = (x, y, z) da la ubicacio´n de una part´ıcula en el espacio con res-
pecto a un origen O. Las componentes del vector de posicio´n en coordenadas cartesianas
tambie´n se denotan como x1 ≡ x, x2 ≡ y, x3 ≡ z.
Figura 1.2: Posicio´n de una part´ıcula en un sistema de coordenadas cartesianas.
El vector de posicio´n de una part´ıcula en movimiento depende del tiempo, r(t) =
(x(t), y(t), z(t)). El cambio del vector de posicio´n en el tiempo constituye el movimiento.
El tiempo t se considera un para´metro real en Meca´nica Cla´sica que permite establecer
el orden en el cual ocurren los eventos; en particular, es necesario para especificar las
posiciones sucesivas que una part´ıcula en movimiento ocupa en el espacio. Asumimos que
el para´metro t posee la propiedad de incremento monoto´nico a medida que r(t) cambia:
a trave´s de sucesivas posiciones: dados dos valores t1 y t2 tales que t2 > t1, entonces la
part´ıcula ocupa la posicio´n r(t2) despue´s de la posicio´n r(t1).
El vector de desplazamiento infinitesimal se define como
dr = r(t+ dt)− r(t). (1.1)
1.1. LEYES DE NEWTON Y MECA´NICA DE UNA PARTI´CULA 11
La velocidad de una part´ıcula se define como
v ≡ dr
dt
. (1.2)
En coordenadas cartesianas, las componentes de la velocidad son
vx =
dx
dt
, vy =
dy
dt
, vz =
dz
dt
. (1.3)
Las componentes de la velocidad tambie´n se denotan como v1 = vx, v2 = vy, v3 = vz.
La aceleracio´n se define como
a =
dv
dt
=
d2r
dt2
. (1.4)
Se acostumbra usar la siguiente notacio´n para las derivadas con respecto al tiempo,
x˙ ≡ dx
dt
, x¨ ≡ d
2x
dt2
. (1.5)
El momento lineal o cantidad de movimiento de part´ıcula con masa m que se mueve
con velocidad a es la cantidad vectorial
p = mv. (1.6)
Una part´ıcula puede experimentar interacciones con otras part´ıculas. Las interaccio-
nes entre part´ıculas esta´n asociadas a sus propiedades intr´ınsecas y se manifiestan como
fuerzas entre ellas. Por ejemplo, la interaccio´n electromagne´tica esta´ asociada a la carga
ele´ctrica, mientras que la interaccio´n gravitacional depende de la masa. Las fuerzas son
cantidades vectoriales. La suma de las fuerzas debido a interacciones con otras part´ıculas
o con agentes externos se denomina fuerza total (neta) sobre la part´ıcula; se denota por
F. La fuerza total sobre una part´ıcula puede afectar su estado de movimiento.
Las Leyes de Newton describen el movimiento de una part´ıcula sujeta a una fuerza:
I. Primera Ley de Newton:
Una part´ıcula permanece en reposo o en movimiento rectil´ıneo uniforme si la fuerza
total sobre ella es nula.
II. Segunda Ley de Newton:
Existen sistemas de referencia en los cuales el movimiento de una part´ıcula con
masa m y velocidad v esta´ descrito por la ecuacio´n
F =
dp
dt
=
d(mv)
dt
. (1.7)
III. Tercera Ley de Newton:
Si Fji es la fuerza que ejerce una part´ıcula j sobre una part´ıcula i, y Fij es la fuerza
que ejerce la part´ıcula i sobre la part´ıcula j, entonces
Fji = −Fij . (1.8)
12 CAPI´TULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Figura 1.3: Isaac Newton (1642-1727).
La Segunda Ley de Newton establece una relacio´n causa (fuerza) ↔ efecto (cambio
de momento). La Primera Ley de Newton tambie´n se llama Ley de inercia, y es conse-
cuencia de la Segunda Ley: si F = 0, entonces v = constante. La Tercera Ley tambie´n es
conocida como Ley de accio´n y reaccio´n. Las Leyes de Newton son leyes de la Naturaleza
sustentadas en observaciones experimentales.
La Segunda Ley de Newton es una ecuacio´n vectorial, es decir, equivale a tres ecua-
ciones, una para cada componente cartesiana:
Fi =
dpi
dt
, i = 1, 2, 3. (1.9)
Si m es constante,
F = ma = m
d2r
dt2
. (1.10)
Matema´ticamente, la Segunda Ley de Newton, Eq. (1.10), corresponde a una ecuacio´n
diferencial de segundo orden para cada componente de r(t). La solucio´n r(t) esta´ deter-
minada por dos condiciones iniciales, r(to), v(to). Este es el principio del determinismo
en Meca´nica Cla´sica, y que ha sido fundamental en el desarrollo del me´todo cient´ıfico. A
finales del siglo XX, se encontro´ que el determinismo no necesariamente implica predic-
cio´n: existen sistemas dina´micos no lineales en los cuales perturbaciones infinitesimales
de las condiciones iniciales de sus variables pueden conducir a evoluciones muy diferentes
de esas variables. Este es el origen de la moderna Teor´ıa del Caos.
Los sistemas de referencia donde se cumple la Segunda Ley de Newton se denominan
sistemas de referencia inerciales. En ausencia de fuerzas, una part´ıcula en reposo en un
sistema inercial en un instante dado, sigue en reposo en todo instante.
Los sistemas de referencia no inerciales son sistemas de referencia donde aparecen
te´rminos adicionales en la Segunda Ley de Newton, no asociados a las fuerzas expl´ıcitas
en el sistema. Esos te´rminos adicionales se denominan fuerzas ficticias y son debidos a
la aceleracio´n del sistema de referencia.
1.1. LEYES DE NEWTON Y MECA´NICA DE UNA PARTI´CULA 13
Ejemplos de la Segunda Ley de Newton:
1. Un sistema no inercial: pe´ndulo en un sistema acelerado (x′, y′, z′).
Figura 1.4: Pe´ndulo en un sistema acelerado.
El sistema (x′, y′, z′) posee una aceleracio´n a en la direccio´n x, visto desde un
sistema fijo (x, y, z). En el sistema acelerado, la componente en la direccio´n x′ de la
fuerza que actu´a sobre la masa del pe´ndulo es fx′ = T sin θ, pero esta masa esta´ en
reposo en ese sistema; esto implica que x¨′ = 0. Luego, una fuerza adicional ficticia
igual a −T sin θ debe anular a fx′ , de modo que no haya fuerza neta en la direccio´n
x′. En el sistema (x, y, z), la Segunda Ley de Newton da simplemente T sin θ = ma.
La fuerza de Coriolis es otro ejemplo de una fuerza ficticia en un sistema de refe-
rencia en rotacio´n (Cap. 5).
2. Oscilador armo´nico simple.
Figura 1.5: Oscilador armo´nico simple.
La fuerza del resorte sobre la masa m es proporcional y opuesta al desplazamiento
x desde la posicio´n de equilibrio, tomada como x = 0, i.e., F = −kxxˆ, donde k es
la constante del resorte. Entonces,
F = ma⇒ −kx = mx¨ (1.11)
⇒ x¨+ ω2x = 0, (1.12)
donde ω2 ≡ k/m. La Eq. (1.12) es la ecuacio´n del oscilador armo´nico, cuya solucio´n
es
x(t) = A cosωt+B sinωt (1.13)
Tambie´n se puede escribir
x(t) = C sin(ωt+ φ), (1.14)
14 CAPI´TULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
con A = C sinφ, B = C cosφ. Los coeficientes A y B esta´n determinados por las
condiciones iniciales x(0) y x˙(0) = v(0),
x(0) = A (1.15)
x˙(t) = −ωA sinωt+Bω cosωt (1.16)
⇒ B = v(0)
ω
. (1.17)
Luego,
x(t) = x(0) cosωt+
v(0)
ω
sinωt. (1.18)
3. Part´ıcula en un medio viscoso.
Figura 1.6: Part´ıcula en medio viscoso.
La fuerza que ejerce un medio viscoso sobre una part´ıcula que se mueve en ese medio
es proporcional a la velocidad de la part´ıcula, F = −γv, donde γ es un coeficiente
de friccio´n caracter´ıstico del medio. Supongamos que la part´ıcula se mueve en la
direccio´n x. La Segunda Leyde Newton para la componente x de la fuerza da:
−γv = mdv
dt
. (1.19)
Integrando obtenemos,
v(t) = c1e
−(γ/m)t =
dx
dt
, c1 = v(0), (1.20)
x(t) = v(0)
∫
e−(γ/m)tdt
= −v(0)m
γ
e−(γ/m)t + c2. (1.21)
donde v(0) es la velocidad inicial de la part´ıcula. La constante c2 se determina
usando la posicio´n inicial x(0),
c2 = x(0) +
v(0)m
γ
. (1.22)
Luego,
x(t) = x(0) +
v(0)m
γ
(
1− e−(γ/m)t
)
. (1.23)
1.1. LEYES DE NEWTON Y MECA´NICA DE UNA PARTI´CULA 15
4. Sistema de masa variable: movimiento de un cohete.
Consideremos un cohete que se mueve verticalmente en el campo gravitacional de
la Tierra. La masa del cohete en un tiempo t es m. La velocidad del cohete en
t es v, y la velocidad de los gases expulsados es u. Sea dm la masa de los gases
expulsados (asumida negativa) en un instante t+ dt.
Figura 1.7: Cohete en movimiento vertical.
Aplicamos la Segunda Ley de Newton para la u´nica componente y de la fuerza,
−mg = dp
dt
=
p(t+ dt)− p(t)
dt
. (1.24)
Tenemos
p(t) = mv, (1.25)
y
p(t+ dt) = (m+ dm)(v + dv) + (−dm)u. (1.26)
Usamos la velocidad del cohete relativa a los gases,
vrel = (v + dv)− u. (1.27)
Luego,
p(t+ dt)− p(t) = mv +mdv + v dm+ dmdv
− v dm− dmdv + dmvrel −mv
= mdv + vrel dm. (1.28)
Sustituyendo en la Eq. (1.24), obtenemos
−mg = mdv
dt
+ vrel
dm
dt
. (1.29)
16 CAPI´TULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
La Eq. (1.29) se conoce como la ecuacio´n del cohete. De esta ecuacio´n, se puede
obtener la variacio´n de la velocidad del cohete,
dv +
dm
m
vrel = −g dt. (1.30)
Integrando entre un valor inicial de masa m0 en t
′ = 0 y un valor final mf en t′ = t,
tenemos ∫ f
0
dv + vrel
∫ f
0
dm
m
= −g
∫ t
0
dt′
⇒ vf = v0 + vrel ln
(
m0
mf
)
− gt. (1.31)
Si la masa del cohete no var´ıa, m0 = mf ; entonces obtenemos la velocidad vertical
de una part´ıcula en el campo gravitacional terrestre,
vf = v0 − gt. (1.32)
Existen otros conceptos u´tiles en Meca´nica, que definimos a continuacio´n.
Consideremos una part´ıcula ubicada en la posicio´n r y cuya velocidad es v. Se define
el momento angular de la part´ıcula como la cantidad vectorial
l ≡ r× p = mr× v. (1.33)
El torque ejercido por una fuerza F sobre una part´ıcula ubicada en r se define como
τ ≡ r× F. (1.34)
La Ec. (1.34) se puede expresar como
τ = r× F = r× dp
dt
=
d(r× p)
dt
− dr
dt
× p
=
dl
dt
+ ����:
0
v × p
⇒ τ = dl
dt
. (1.35)
La Ec. (1.35) implica la conservacio´n del momento angular : si el torque sobre una part´ıcu-
la es τ = 0, entonces l = constante. Esto significa que cada componente del vector l es
una constante.
En particular, una fuerza de la forma F = f(r)rˆ, se denomina una fuerza central. La
fuerza gravitacional es un ejemplo de una fuerza central. Para tales fuerzas, τ = 0. Luego,
el momento angular de una part´ıcula se conserva en presencia de fuerzas centrales.
1.1. LEYES DE NEWTON Y MECA´NICA DE UNA PARTI´CULA 17
La energ´ıa cine´tica de una part´ıcula con masa m y velocidad v se define como la
cantidad escalar
T ≡ 1
2
m(v · v) = 1
2
mv2 . (1.36)
Se define el trabajo realizado por una F externa sobre una part´ıcula para llevarla
desde una posicio´n r1 hasta una posicio´n r2, como la integral de l´ınea
W12 ≡
∫ 2
1
F · ds, (1.37)
donde ds es el vector tangente a la trayectoria que une la posicio´n r1 con la posicio´n r2.
Figura 1.8: Trayector´ıa de un part´ıcula entre r1 y r2, sujeta a una fuerza F.
Note que ds = dr = vdt. Luego, si m es constante, podemos escribir,
W12 = m
∫ 2
1
(
dv
dt
)
· (v dt). (1.38)
Usamos la relacio´n d(v · v) = 2v · dv = d(v2), para expresar
W12 =
1
2
m
∫ 2
1
d(v · v) = 1
2
m
∫ 2
1
d(v2)
=
1
2
mv22 −
1
2
mv21 ,
= T2 − T1. (1.39)
Luego, el trabajo realizado por una F externa para llevar una part´ıcula desde la posicio´n
r1 hasta la posicio´n r2 depende solamente de la diferencia entre la energ´ıa cine´tica que
posee la part´ıcula en r2 y la energ´ıa cine´tica que posee en r1.
Note que, si se utiliza la misma fuerza F y la misma trayectoria, denotada por B,
para ir del punto r1 al punto r2 y para volver de r2 a r1, entonces∫ 2
1
F · ds︸ ︷︷ ︸ = −
∫ 1
2
F · ds︸ ︷︷ ︸ ⇒ W12(B) = −W21(B), (1.40)
camino B camino B
puesto que ds(1→ 2) = −ds(2→ 1) para la misma trayectoria.
18 CAPI´TULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Si W12 realizado por una F externa es independiente de la trayectoria entre r1 y r2,
entonces F se llama fuerza conservativa. Es decir; si F es conservativa y A y B son dos
caminos diferentes para ir de 1 a 2, entonces∫ 2
1
F · ds︸ ︷︷ ︸ =
∫ 2
1
F · ds︸ ︷︷ ︸ (1.41)
camino A camino B
Figura 1.9: Izquierda: dos trayectorias distintas A y B para ir del punto 1 al punto 2. Derecha:
contorno cerrado C que encierra un a´rea S.
Luego, si F es conservativa, las Ecs. (1.41) y (1.40) implican que∫ 2
1
F · ds︸ ︷︷ ︸ +
∫ 1
2
F · ds︸ ︷︷ ︸ = 0. (1.42)
camino A camino B
Puesto que los caminos A y B son arbitrarios, tenemos que para una F conservativa,∮
C
F · ds = 0, (1.43)
donde C es un contorno cerrado arbitrario. Usando el Teorema de Stokes, la integral de
contorno Ec. (1.43) se puede escribir como∮
C
F · ds =
∫
S
(∇× F) · da = 0, (1.44)
donde S es el a´rea encerrada por el contorno cerrado C. Puesto que C es arbitrario y por
lo tanto S 6= 0, la Ec. (1.44) implica para una fuerza conservativa,
∇× F = 0. (1.45)
Por otro lado, para toda funcio´n escalar φ(r) se cumple la identidad vectorial∇×∇φ =
0. Esto implica que la fuerza conservativa F debe ser proporcional al gradiente de alguna
funcio´n escalar. Se define la funcio´n V (r) tal que
F = −∇V (r). (1.46)
1.1. LEYES DE NEWTON Y MECA´NICA DE UNA PARTI´CULA 19
Luego, para una fuerza conservativa
W12 = −
∫ 2
1
∇V · ds = −
∫ 2
1
(
3∑
i=1
∂V
∂xi
dxi
)
= −
∫ 2
1
dV = V1 − V2. (1.47)
Vimos que el trabajo W12 realizado por toda fuerza es igual al cambio de energ´ıa cine´tica,
T2−T1, que es una funcio´n escalar de la velocidad. La Ec. (1.47) muestra que, en sistemas
conservativos, el trabajo W12 adema´s esta´ relacionado con cambios de otra funcio´n escalar
V que depende de las coordenadas, evaluada en los puntos 1 y 2.
La funcion escalar V (r) se denomina energ´ıa potencial y expresa la energ´ıa almace-
nada en un sistema, relacionada con la posicio´n o configuracio´n de los elementos cons-
tituyentes del sistema. Por ejemplo, un resorte estirado o comprimido una distancia ∆x
posee una energ´ıa potencial almacenada V (x) = 12k∆x
2, k = cte. Un sistema de dos
part´ıculas con masas m1 y m2, separadas una distancia r y sujetas a una interaccio´n
gravitacional, tiene una energ´ıa potencial asociada V (r) = −Gm1m2/r, donde G es la
constante universal gravitacional (Cap. 3).
La Ec. (1.47) va´lida para fuerzas conservativas, junto con la Ec. (1.39) que se cumple
para cualquier fuerza, conduce a la relacio´n
V1 − V2 = T2 − T1,
⇒ T1 + V1 = T2 + V2. (1.48)
La energ´ıa meca´nica total de una part´ıcula se define como la cantidad escalar:
E ≡ T + V. (1.49)
La Ec. (1.48) implica que
E1 = E2. (1.50)
Puesto que los puntos 1 y 2 son arbitrarios, la energia meca´nica total es constante en
cualquier punto para sistemas conservativos,
E = T + V = constante. (1.51)
Si la funcio´n energ´ıa potencial depende del tiempo, adema´s de las coordenadas,
V (r, t), la energ´ıa meca´nica total puede no conservarse. Consideremos la derivada
dE
dt
=
d
dt
(T + V ) =
dT
dt
+
dV
dt
. (1.52)
Tenemos
dT
dt
= mv · dv
dt
= F · v. (1.53)
20 CAPI´TULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Calculamos la derivada total con respecto al tiempo de V (r, t) = V (x, y, z, t),
dV (r)
dt
=
3∑
i=1
∂V
∂xi
x˙i +
∂V
∂t
= ∇V · v+ ∂V
∂t
. (1.54)
Luego,
dE
dt
= F · v +∇V · v + ∂V
∂t
= −∇V · v +∇V · v + ∂V
∂t
(1.55)
donde hemos empleado F = −∇V , para un sistema conservativo. Luego,
dE
dt
=
∂V
∂t
. (1.56)
La Ec. (1.56) es la condicio´n para la conservacio´n de la energ´ıa meca´nica: la energ´ıa
meca´nica total es constante si la energ´ıa potencial no depende explicitamente del tiempo,
∂V
∂t
= 0⇒ dE
dt
= 0⇒ E = constante. (1.57)
La energ´ıa potencial tambie´n puede ser definida para sistemas no conservativos; en esos
casos V depende expl´ıcitamente tanto de la posicio´n como del tiempo. La fuerza corres-
pondiente puede expresarse como el gradiente de esta energ´ıa potencial. Sin embargo, el
trabajo hecho para mover una part´ıcula entre los puntos 1 y 2 ya no es V1−V2, puesto que
V cambia con el tiempo cuando la part´ıcula se mueve. La energ´ıa total puede ser definida
tambie´n como E = T + V ; pero la cantidad E no se conserva durante el movimiento.
1.2. Meca´nica de un sistema de part´ıculas
Consideremos un conjunto de N part´ıculas en un sistema de referencia cartesiano.
Sean mi y ri la masa y la posicio´n de la part´ıcula i, respectivamente, con i = 1, . . . , N .
Definimos el vector rij ≡ rj − ri, que va en la direccio´n de la part´ıcula i a la part´ıcula j.
Figura 1.10: Sistema de part´ıculas en un sistema de referencia cartesiano.
1.2. MECA´NICA DE UN SISTEMA DE PARTI´CULAS 21
El vector de posicio´n del centro de masa de un sistema de part´ıculas se define como
R ≡
∑
imiri∑
imi
=
∑
imiri
MT
, (1.58)
donde MT =
∑
imi es la masa total del sistema.
La velocidad del centro de masa es
vcm =
dR
dt
=
1
MT
∑
i
mi
dri
dt
. (1.59)
El momento lineal total del sistema de N part´ıculas es
PT =
∑
i
pi =
∑
i
mi
dri
dt
= MT
dR
dt
= MTvcm. (1.60)
Luego, el momento total PT es equivalente al momento de una part´ıcula que posea la
masa total del sistema, movie´ndose con la velocidad del centro de masa del sistema.
Supongamos que existen fuerzas sobre las part´ıculas, tanto internas como externas al
sistema. Denotamos por Fji la fuerza que la part´ıcula j ejerce sobre la part´ıcula i, y por
Fext(i) la fuerza total debida a influencias externas sobre la part´ıcula i.
Recordemos que las fuerzas de interaccio´n entre dos part´ıculas i y j obedecen la
Tercera Ley de Newton,
Fji = −Fij . (1.61)
Para fuerzas centrales, la Tercera Ley es ma´s restrictiva. Si Fij es central,
Fij = k|Fji|rij , (1.62)
entonces las fuerzas sobre las part´ıculas van en la direccio´n (paralela o antiparalela) del
vector rij . Esta condicio´n sobre fuerzas centrales se conoce como forma fuerte de la ley
de accio´n y reaccio´n. Cabe recordar que no todas las fuerzas cumplen esta condicio´n; por
ejemplo, las fuerzas magne´ticas entre dos cargas en movimiento no siempre son centrales.
.
Figura 1.11: Tercera Ley de Newton, en sus dos formas.
La ecuacio´n de movimiento para la part´ıcula i puede expresarse como∑
j 6=i
Fji + Fext(i) =
dpi
dt
=
d2(miri)
dt2
, (1.63)
22 CAPI´TULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
donde
∑N
i6=j Fji es la suma de las fuerzas internas sobre la part´ıcula i, debido a las
interacciones con las otras part´ıculas.
Para obtener la fuerza total sobre el sistema, sumamos sobre todas las part´ıculas en
la Ec. (1.63),
��
��
��*0∑
i
∑
j
Fji +
∑
i
Fext(i) =
∑
i
p˙i =
∑
i
d2
dt2
(miri) . (1.64)
El primer te´rmino es cero porque las fuerzas se anulan en pares debido a la Tercera Ley,∑
i
∑
j
Fji =
∑
j
∑
i
Fij = −
∑
j
∑
i
Fij = −
∑
i
∑
j
Fji ⇒
∑
i
∑
j
Fji = 0. (1.65)
Luego, si mi es constante ∀i, la Ec. (1.64) queda∑
i
Fext(i) =
∑
i
mi
d2ri
dt2
. (1.66)
Usando la definicio´n del centro de masa, la Ec. (1.58), se puede expresar como∑
i
Fext(i) =
∑
i
mi
d2ri
dt2
= MT
d2R
dt2
. (1.67)
Luego,
Fext(total) ≡
∑
i
Fext(i) =
dPT
dt
, (1.68)
La Ec. (1.68) constituye una ecuacio´n de movimiento para el centro de masa. Luego,
si Fext(total) = 0, entonces PT es constante. Es decir, si la fuerza externa total sobre
un sistema de part´ıculas es cero, entonces el momento lineal total PT del sistema se
conserva.
El momento angular de la part´ıcula i es
li = ri × pi. (1.69)
Entonces, el momento angular total del sistema de part´ıculas es
lT =
∑
i
li =
∑
i
(ri × pi) =
∑
i
(ri ×mivi). (1.70)
Si definimos la posicio´n r′i de la part´ıcula i con respecto al centro de masa del sistema,
tenemos
r′i = ri −R, (1.71)
y su velocidad con respecto al centro de masa sera´
v′i = vi − vcm. (1.72)
1.2. MECA´NICA DE UN SISTEMA DE PARTI´CULAS 23
Figura 1.12: Posicio´n relativa de una part´ıcula con respecto al centro de masa.
Entonces, en te´rminos del centro de masa podemos escribir
lT =
∑
i
(r′i + R)×mi(v′i + vcm)
=
∑
i
(r′i ×miv′i) +
��
��
��*
0(∑
i
mir
′
i
)
× vcm
+ R×
��
��
��*
0(∑
i
miv
′
i
)
+ R×
(∑
i
mi vcm
)
. (1.73)
Para mostrar los te´rminos que se anulan en la Ec. (1.73), calculamos
MTR =
∑
i
miri =
∑
i
mi(r
′
i + R)
=
∑
i
mir
′
i +MTR
⇒
∑
i
mir
′
i = 0. (1.74)
Del mismo modo,
∑
i
miv
′
i =
∑
i
mi
dr′i
dt
=
d
dt
(∑
i
mir
′
i
)
= 0. (1.75)
Entonces, la Ec. (1.73) para el momento angular total queda
lT =
∑
i
(r′i × p′i) + R× (MTvcm) . (1.76)
El momento angular total lT de un sistema de part´ıculas consta de dos contribuciones:
(i) el momento angular del centro de masa, R× (MTvcm);
(ii) el momento angular relativo al centro de masa,
∑
i(r
′
i × p′i).
24 CAPI´TULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Calculemos la derivada temporal de lT ,
dlT
dt
=
N∑
i=1
d
dt
(ri × pi) =
∑
i
���
���:0(vi ×mvi) +
∑
i
ri × p˙i
=
∑
i
ri ×
Fext(i) +∑
j 6=i
Fji

=
∑
i
ri × Fext(i) +
���
���
��:0
∑
i
∑
j 6=i
(ri × Fji). (1.77)
Las sumas en el segundo te´rmino de la Ec. (1.77) se pueden expresar en pares de la forma,
ri × Fji + rj × Fij = (rj − ri)× Fij = rij × Fij , (1.78)
puesto que Fji = −Fij , de acuerdo a la Tercera Ley de Newton. Si adema´s suponemos que
se cumple la Tercera Ley de Newton en forma fuerte, Fij = k|Fji|rij . Luego, rij×Fij = 0
y el segundo te´rmino de la Ec. (1.77) se anula.
Entonces,
dlT
dt
=
∑
i
ri × Fext(i)
=
∑
i
τ i(externo) = τT (externo). (1.79)
La Ec. (1.79) expresa la conservacio´n del momento angular total de un sistema de part´ıcu-
las: si el torque externo total τ (externo total) = 0, entonces lT = constante.
Tambie´n se puede calcular la energ´ıa cine´tica de un sistema de part´ıculas en la forma
Ttotal =
1
2
∑
i
miv
2
i . (1.80)
En coordenadas del centro de masa, vi = v
′
i + vcm, y podemos escribir
Ttotal =
1
2
∑
i
mi(v
′
i + vcm) · (v′i + vcm)
=
1
2
∑
i
miv
2
cm +
1
2
∑
i
miv
′2
i +
1
2
2vcm ·
∑
i
miv
′
i. (1.81)
Pero
∑
miv
′
i =
d
dt
(
∑
mir
′
i) = 0; luego
Ttotal =
1
2
MT v
2
cm +
1
2
∑
miv
′2
i . (1.82)
Es decir, energ´ıa cine´tica total de un sistema de part´ıculas contiene dos contribuciones:
(i) la energ´ıa cine´tica del centro de masa, 12MTV
2
CM ;
(ii) la energ´ıa cine´tica relativa al centro de masa, 12
∑
miv
′2
i .
1.3. COORDENADAS GENERALIZADAS 25
El trabajo para realizar un cambio, desde una configuracio´n 1 a una configuracio´n 2
de las part´ıculas, es
W(conf1 ⇒ conf2) =
∑
i
∫ conf2
conf1
Fi · dsi (1.83)
=
∑
i
∫ conf2
conf1
mi
dvi
dt
· (vidt)
=
1
2
∑
i
mi
∫ conf2
conf1
d(v2i )
=
(
1
2
∑
i
miv
2
i
)
conf2
−
(
1
2
∑
i
miv
2
i
)
conf1
= Tconf2− Tconf1 .
La energ´ıa potencial de un sistema de part´ıculas se puede expresar a partir de
FT =
∑
i
Fi =
∑
i
Fext(i) +
��
��
��*0∑
j
∑
j 6=i
Fji. (1.84)
Si Fext(i) es conservativa, se puede escribir como Fext(i) = −∇Vext(i). Luego,
FT = −∇
(∑
i
Vext(i)
)
. (1.85)
Se define la energ´ıa potencial total como la suma
VT =
∑
i
Vext(i). (1.86)
1.3. Coordenadas generalizadas
Consideremos un sistema de N part´ıculas, i = 1, 2, . . . , N , cuyos vectores de posicio´n
son {r1, r2, . . . , rN}. Cada vector de posicio´n posee tres coordenadas, ri = (xi, yi, zi). El
sistema de N part´ıculas con posiciones {r1, r2, . . . , rN} esta´ descrito por 3N coordenadas.
En general existen restricciones o ligaduras para algunas coordenadas; por ejemplo,
el movimiento ocurre sobre un plano (z = cte), o sobre un c´ırculo (x2 + y2 = cte), sobre
una esfera (x2 +y2 +x2 = cte), etc. En general, las restricciones se pueden expresar como
relaciones algebraicas o funcionales entre las coordenadas.
Si un sistema posee k restricciones, e´stas se puede expresar como k funciones o rela-
ciones que ligan las coordenadas:
f1(r1, r2, . . . , t) = 0,
f2(r1, r2, . . . , t) = 0,
...
fk(r1, r2, . . . , t) = 0.
(1.87)
26 CAPI´TULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Las restricciones o ligaduras que se expresan en forma de igualdades algebraicas se lla-
man restricciones holono´micas. El nu´mero de coordenadas independientes cuando existen
k restricciones holono´micas es s = 3N − k.
La cantidad s determina los grados de libertad del sistema, o el nu´mero mı´nimo de
coordenadas necesarias para describir el movimiento del sistema. Los grados de libertad
definen un conjunto de coordenadas generalizadas, denotadas por {q1, q2, . . . , qs}, el cual
tiene asociado un conjunto de velocidades generalizadas {q˙1, q˙2, . . . , q˙s}. En Meca´nica
Cla´sica, el tiempo t no es considerado como una coordenada, sino como un para´metro.
Las coordenadas generalizadas no son necesariamente coordenadas cartesianas, sino
que pueden consistir en otro tipo de coordenadas, tales como cantidades angulares, o
inclusive pueden ser otras variables f´ısicas. Las coordenadas generalizadas {q1, q2, . . . , qs}
esta´n relacionadas con las coordenadas cartesianas {r1, r2, . . . , rN} por un conjunto de
transformaciones:
r1 = r1(q1, q2, . . . , t),
r2 = r2(q1, q2, . . . , t),
...
rN = rN (q1, q2, . . . , t).
(1.88)
En general, el conjunto de ligaduras fα(r1, r2, . . . , rN , t) = 0, α = 1, 2, . . . , k, y las
transformaciones ri(q1, q2, . . . , qs, t) = ri, i = 1, 2, . . . , N , permiten expresar las coorde-
nadas generalizadas en te´rminos de las coordenadas cartesianas, qj = qj(r1, r2, . . . , rN , t),
j = 1, 2, . . . , s. Es decir, en principio, las transformaciones ri ↔ qj son invertibles.
Tambie´n pueden existir restricciones no descritas por ecuaciones algebraicas, las cuales
se denominan restricciones no holono´micas. E´stas se expresan como desigualdades o en
forma de ecuaciones diferenciales para las coordenadas.
Ejemplos de restricciones y coordenadas generalizadas:
1. Pe´ndulo plano.
Consiste en una part´ıcula (N = 1) con masa m colgada de un extremo de una
varilla r´ıgida de longitud l y masa despreciable, cuyo otro extremo esta´ fijo, tal que
la varilla cual puede girar en un plano vertical.
Figura 1.13: Pe´ndulo simple con longitud l y masa m.
1.3. COORDENADAS GENERALIZADAS 27
Hay dos restricciones, k = 2,
z = 0 ⇒ f1(x, y, z) = z = 0. (1.89)
x2 + y2 = l2 ⇒ f2(x, y, z) = x2 + y2 − l2 = 0. (1.90)
Luego, s = 3(1)−2 = 1. Hay una coordenada generalizada. El diagrama del sistema
sugiere escoger q = θ como coordenada generalizada. Las transformaciones r(q) son
x = l sin θ (1.91)
y = −l cos θ (1.92)
⇒ θ = tan−1
(
−x
y
)
. (1.93)
2. Pe´ndulo doble.
Consiste en un pe´ndulo plano que cuelga de otro pe´ndulo plano. Hay dos part´ıculas
(N = 2) y seis coordenadas cartesianas correspondientes a r1 y r2.
Figura 1.14: Pe´ndulo doble.
Hay k = 4 restricciones:
f1 = z1 = 0
f2 = z2 = 0
f3 = x
2
1 + y
2
2 − l21 = 0
f4 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 − l22 = 0.
(1.94)
Luego, hay s = 3(2) − 4 = 2 coordenadas generalizadas. La figura sugiere las
coordenadas generalizadas q1 = θ1 y q2 = θ2. Las transformaciones ri(q) son
x1 = l1 sin θ1
y1 = −l1 cos θ1
x2 = l1 sin θ1 + l2 sin θ2
y2 = −l1 cos θ1 − l2 cos θ2.
(1.95)
28 CAPI´TULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Las transformaciones inversas son
θ1 = tan
−1
(
−x1
y1
)
(1.96)
θ2 = tan
−1
(
x1 − x2
y2 − y1
)
. (1.97)
Entonces, q1 = θ1 y q2 = θ2 son coordenadas generalizadas.
3. Polea simple (ma´quina de Atwood).
Figura 1.15: Polea simple.
En este problema N = 2. Las restricciones se pueden expresar como
f1 = y1 + y2 − c1 = 0
f2 = x1 − c2 = 0
f3 = x2 − c3 = 0
f4 = z1 = 0
f5 = z2 = 0,
(1.98)
donde c1, c2, c3 son constantes. Luego, k = 5 y s = 3(2)− 5 = 1. Se puede escoger
q = y1, o q = y2 como la coordenada generalizada.
4. Part´ıcula dentro de un cono invertido con a´ngulo de ve´rtice α, cuyo eje es vertical.
Figura 1.16: Part´ıcula movie´ndose dentro de un cono con su eje vertical.
1.3. COORDENADAS GENERALIZADAS 29
Hay una part´ıcula N = 1, y 3 coordenadas cartesianas para su posicio´n r = (x, y, z).
Hay una restriccio´n, k = 1,
f1(x, y, z) = r − z tanα = (x2 + y2)1/2 − z tanα = 0. (1.99)
Entonces, hay s = 3(1) − 1 = 2 coordenadas generalizadas, que se pueden tomar
como q1 = r, q2 = θ. Las transformaciones r(q) son
x = r cosϕ
y = r sinϕ
z = r cotα,
(1.100)
y las transformaciones inversas son
ϕ = tan−1
(y
x
)
= q1
r = z tanα = q2.
(1.101)
5. Part´ıcula deslizando sobre un aro en rotacio´n uniforme sobre su diame´tro.
Figura 1.17: Part´ıcula deslizando sobre aro de radio a, el cual rota sobre su dia´metro vertical
con velocidad angular ω.
La velocidad angular de rotacio´n del aro sobre eje z es ω, asumida constante. Luego,
ϕ = ωt. Hay dos restricciones:
f1(x, y, z) = x
2 + y2 + z2 − a2 = 0, (1.102)
y
x
= tanϕ = tanωt
⇒ f2(x, y, z, t) = y − x tanωt = 0. (1.103)
La funcio´n f2 es un ejemplo de ligadura que depende tanto de las coordenadas como
del tiempo. Tenemos k = 2; luego, s = 3(1) − 2 = 1. La coordenada generalizada
apropiada es q = θ.
Las transformaciones de coordenadas r(q) son
z = a cos θ
x = a sin θ cosωt
y = a sin θ sinωt.
(1.104)
30 CAPI´TULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
6. Restriccio´n no holono´mica: aro rodando sin deslizar sobre un plano.
Figura 1.18: Izquierda: aro de radio R rodando sin deslizar sobre el plano (x, y). Derecha:
condicio´n de rodar sin deslizar; P es el punto de apoyo instanta´neo.
Existe la restriccio´n z = cte. Sea θ el a´ngulo que forma el vector velocidad v con
respecto a la direccio´n −yˆ. La condicio´n de rodar sin deslizar se expresa como
ds = vdt = Rdϕ⇒ v = Rϕ˙. (1.105)
Figura 1.19: Proyeccio´n del movimiento del aro sobre el plano (x, y).
Las componentes de la velocidad v son
x˙ = v sin θ = Rϕ˙ sin θ
y˙ = −v cos θ = −Rϕ˙ cos θ. (1.106)
Esta relaciones diferenciales se pueden expresar como restricciones no holono´micas
para las coordenadas,
dx−Rdϕ sin θ = 0
dy +Rdϕ cos θ = 0.
(1.107)
Las coordenadas generalizadas son (x, y) para ubicar el punto de apoyo instanta´neo
P , ma´s (θ, ϕ) para ubicar un punto cualquiera sobre el aro; luego s = 4.
7. Una restriccio´n no holono´mica: part´ıcula dentro de una esfera de radio R.
Figura 1.20: Ligadura no holono´mica: part´ıcula dentro de una esfera.
La ligadura se expresa |ri| ≤ R.
1.4. PRINCIPIOS VARIACIONALES Y ECUACIONES DE EULER. 31
1.4. Principios variacionales y ecuaciones de Euler.
Consideremos dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) fijos en el plano (x, y), unidos por una
trayectoria y = y(x), x�[x1, x2], tal que y(x1) = y1 y y(x2) = y2, y cuya derivada esy′(x) = dydx .
Figura 1.21: Funcio´n y(x) que pasa por dos puntos sobre el plano (x, y).
Definimos una funcional como una funcio´n de varias variables f(y, y′, x) cuyos argu-
mentos son funciones y sus derivadas. Una funcional es una funcio´n de funciones dadas.
Una funcional asigna un nu´mero a una funcio´n, mientras que una funcio´n asigna un
nu´mero a otro nu´mero.
Por ejemplo, consideremos la funcional f(y, y′, x) = y(x) + y′(x). Para la funcio´n
y(x) = 3x + 2, tenemos f(y, y′, x) = 3x + 5; mientras que para y(x) = x2, f(y, y′, x) =
x2 + 2x. El valor resultante de una funcional dada depende de la funcio´n y.
En los problemas de extremos en el ca´lculo diferencial buscamos el valor de una
variable para el cual una funcio´n es ma´xima o mı´nima. En cambio, los problemas de
extremos en el ca´lculo variacional consisten en encontrar la funcio´n que hace que una
integral definida sea extrema.
Principio variacional:
Dada una funcional f(y, y′, x), ¿cua´l es la funcio´n y(x) que hace que la integral
definida de l´ınea:
I =
∫ x2
x1
f(y, y′, x)dx , (1.108)
tenga un valor extremo (ma´ximo o´ mı´nimo) entre x1 y x2?.
Note que I es una integral definida y, por tanto, da como resultado un nu´mero cu-
yo valor depende de la funcio´n y(x) empleada en el argumento de la funcional dada
f(y, y′, x). Si I es extremo de f para una y(x) (y por tanto y′(x)), entonces cualquier
otra trayectoria cercana a y(x) definida entre x1 y x2 debe incrementar (o disminuir) en
valor de la integral I, es decir, debe variar I.
Se emplea la notacio´n δI para indicar la variacio´n de I. Luego, δI = 0 implica que I
es extremo.
El principio variacional sobre I requiere que δI = 0 para una f dada, lo cual implica
una condicio´n sobre y(x). Para encontrar esta condicio´n, supongamos que y(x) es la
32 CAPI´TULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
funcio´n que pasa por x1 y x2, y que hace δI = 0. Ahora, consideremos una trayectoria
cercana a y(x) definida como
y(x, α) = y(x) + αη(x), (1.109)
donde α es un para´metro que mide la desviacio´n con respecto a la funcio´n y(x) y η(x) es
una funcio´n arbitraria, pero diferenciable (es decir, existe η′(x)), tal que se anule en los
puntos x1 y x2: η(x1) = η(x2) = 0. Entonces y(x, α) tambie´n pasa por (x1, y1), (x2, y2):
y(x1, α) = y(x1) = y1 (1.110)
y(x2, α) = y(x2) = y2
Figura 1.22: Trayectoria y(x, α) = y(x) + αη(x).
Note que y(x, 0) = y(x). Calculemos I para la trayectoria perturbada y(x, α),
I =
∫ x2
x1
f(y(x, α), y′(x, α), x)dx = I(α), (1.111)
es decir, I es una funcio´n del para´metro α. La condicio´n extrema δI = 0 cuando α = 0,
implica que
dI(α)
dα
∣∣∣∣
α=0
= 0, (1.112)
lo cual a su vez implica una condicio´n sobre f y sobre y(x). Calculemos dI/dα,
dI
dα
=
∫ x2
x1
df(y(x, α), y′(x, α), x)
dα
dx (1.113)
=
∫ x2
x1
[
∂f
∂y
∂y
∂α
(x, α) +
∂f
∂y′
∂y′
∂α
(x, α)
]
dx.
Pero,
∂y
∂α
(x, α) = η(x);
∂y′
∂α
(x, α) =
∂
∂α
(
dy
dx
)
=
d
dx
(
∂y
∂α
)
=
dη
dx
(1.114)
puesto que α y x son independientes. Luego,
dI
dα
=
∫ x2
x1
[
∂f
∂y
η(x) +
∂f
∂y′
dη
dx
]
dx. (1.115)
1.4. PRINCIPIOS VARIACIONALES Y ECUACIONES DE EULER. 33
El segundo te´rmino se integra por partes, usando (uv)′ = u′v + uv′ ⇒ ∫ uv′dx = uv −∫
u′vdx, ∫ x2
x1
∂f
∂y′
dη
dx
dx =
∂f
∂y′
η(x)
∣∣∣∣x2
x1
−
∫ x2
x1
d
dx
(
∂f
∂y′
)
η(x)dx, (1.116)
pero,
∂f
∂y′
η(x)
∣∣∣∣x2
x1
=
∂f
∂y′
(η(x2)− η(x1)) = 0 (1.117)
puesto que η(x2) = η(x1) = 0. Luego:
dI
dα
=
∫ x2
x1
[
∂f
∂y
− d
dx
(
∂f
∂y′
)]
η(x)dx = 0. (1.118)
Evaluando en α = 0,
dI
dα
∣∣∣∣
α=0
=
∫ x2
x1
[
∂f
∂y
− d
dx
(
∂f
∂y′
)]
α=0
η(x)dx =
∫ x2
x1
M(x)η(x) = 0 , (1.119)
donde
M(x) =
[
∂f
∂y
− d
dx
(
∂f
∂y′
)]
α=0
. (1.120)
Cuando α = 0, el integrando es una funcio´n de x solamente: M(x)η(x). Luego, la con-
dicio´n dIdα
∣∣
α=0
= 0 ⇒ M(x)η(x) = 0. Pero como η(x) es una funcio´n arbitraria no nula,
entonces debemos tener M(x) = 0. Se acostumbra escribir esta condicio´n en la forma
d
dx
(
∂f
∂y′
)
− ∂f
∂y
= 0. (1.121)
La Ec. (1.121) es la ecuacio´n de Euler, y expresa la condicio´n que debe satisfacer la
funcio´n y(x) que hace δI = 0 para una integral definida I de una funcional f(y, y′, x)
dada. La Ec. (1.121) es una ecuacio´n diferencial de segundo orden para y(x), cuya solucio´n
permite encontrar y(x) para las condiciones dadas.
Figura 1.23: Leonhard Euler (1707-1783).
34 CAPI´TULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Ejemplos.
1. Calcular la trayectoria y(x) que corresponde a la distancia ma´s corta entre dos
puntos dados en un plano.
Figura 1.24: Trayectoria ma´s corta entre dos puntos del plano (x, y).
El elemento de distancia sobre el plano es
ds =
√
dx2 + dy2. (1.122)
La distancia entre (x1, y1) y (x2, y2) es
I =
∫ 2
1
ds =
∫ x2
x1
√
1 +
(
dy
dx
)2
dx =
∫ x2
x1
f(y, y′) dx, (1.123)
donde f(y, y′) =
√
1 + (y′)2.
Buscamos la trayectoria y(x) que da el valor mı´nimo de la integral I; es decir, que
hace δI = 0. La ecuacio´n de Euler es la condicio´n que satisface esa y(x),
d
dx
(
∂f
∂y′
)
− ∂f
∂y
= 0. (1.124)
Tenemos
∂f
∂y
= 0,
∂f
∂y′
=
y′√
1 + (y′)2
. (1.125)
Luego, la ecuacio´n de Euler conduce a
y′√
1 + (y′)2
= c = constante, (1.126)
y′ =
c√
1− c2 ≡ a (1.127)
⇒ y = ax+ b, (1.128)
donde a y b son constantes.
1.4. PRINCIPIOS VARIACIONALES Y ECUACIONES DE EULER. 35
2. Superficie mı´nima de revolucio´n.
Encontrar el perfil y(x) entre x1, x2 que produce el a´rea mı´nima de revolucio´n
alrededor del eje y.
Figura 1.25: Superficie mı´nima de revolucio´n de y(x) alrededor de eje y.
El elemento de a´rea de revolucio´n alrededor de eje y es
dA = 2pix ds = 2pix
√
dx2 + dy2. (1.129)
A´rea de revolucio´n generada por y(x),
A =
∫
dA = 2pi
∫ x2
x1
x
√
1 + (y′)2 dx = 2pi
∫ x2
x1
f(y, y′, x) dx. (1.130)
Identificamos en el integrando la funcional f(y, y′, x) = x
√
1 + (y′)2 que satisface
la ecuacio´n de Euler,
d
dx
(
∂f
∂y′
)
− ∂f
∂y
= 0. (1.131)
Calculamos las derivadas,
∂f
∂y
= 0,
∂f
∂y′
=
xy′√
1 + y′2
. (1.132)
Sustituyendo en la ecuacio´n de Euler, obtenemos
xy′√
1 + y′2
= a = constante (1.133)
y′ =
dy
dx
=
a√
x2 − a2 (1.134)
⇒ y = a
∫
dx√
x2 − a2 = a ln(x+
√
x2 − a2) + k. (1.135)
36 CAPI´TULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Los valores de las constantes a y k se determinan con (x1, y1) y (x2, y2). Si escribi-
mos k = b− a ln a, la Ec. (1.135) tambie´n se puede expresar como(
y − b
a
)
= ln
(
x+
√
x2 − a2
a
)
= cosh−1
(x
a
)
(1.136)
⇒ x = a cosh
(
y − b
a
)
, (1.137)
que es la ecuacio´n de una catenaria.
3. Braquistocrona (del griego, “tiempo ma´s corto”).
Encontrar la trayectoria y(x) de una part´ıcula en el campo gravitacional terrestre
que da el menor tiempo posible para ir de un punto (x1, y1) a otro punto (x2, y2)
sin friccio´n, partiendo del reposo (v0 = 0).
Figura 1.26: Problema de la braquistocrona.
Fijamos el punto (x1, y1) = (0, 0). Para este problema, escogemos la direccio´n del
eje y hacia abajo, con el fin de obtener la funcio´n y(x).
Si v es la magnitud de la velocidad en un punto de la trayectoria, entonces el
elemento de tiempo para recorrer una distancia infinitesimal ds a lo largo de la
trayectoria es
dt =
ds
v
. (1.138)
El tiempo total para ir del punto 1 al punto 2 es
t1→2 =
∫ 2
1
ds
v
=
∫ 2
1
√
dx2 + dy2
v
. (1.139)
En el sistema de referencia escogido, la fuerza gravitacional sobre la part´ıcula es
F = mgy yˆ, y por lo tanto la energ´ıa potenciales V = −mgy, tal que V (y = 0) = 0.
Puesto que v0 = 0, la conservacio´n de la energ´ıa E = T + V da
0 =
1
2
mv2 −mgy ⇒ v =
√
2gy. (1.140)
1.4. PRINCIPIOS VARIACIONALES Y ECUACIONES DE EULER. 37
Luego, el tiempo total para ir del punto 1 al punto 2 es
t1→2 =
∫ 2
1
√
dx2 + dy2√
2gy
, (1.141)
la cual se puede expresar como
t1→2 =
∫ y2
y1
√
1 + (x′)2
2gy
dy . (1.142)
La integral t1→2 es del tipo
I =
∫ y2
y1
f(x, x′, y)dy , (1.143)
donde hemos intercambiado los roles de las variables x y y. Identificamos la fun-
cional
f(x, x′, y) =
√
1 + (x′)2
2gy
. (1.144)
La ecuacio´n de Euler correspondiente es
d
dy
(
∂f
∂x′
)
− ∂f
∂x
= 0 . (1.145)
Puesto que
∂f
∂x
= 0, la ecuacio´n de Euler queda
∂f
∂x′
=
x′√
2gy
√
1 + (x′)2
= c = constante. (1.146)
Note que la ecuacio´n de Euler para la funcional f(x, x′, y) resulta ma´s sencilla que
la ecuacio´n correspondiente a una funcional f(y, y′, x) en este caso. Luego,
x′ =
dx
dy
=
√
2gyc2
1− 2gyc2 (1.147)
⇒ x =
∫ √
y
1
2gc2 − y
dy =
∫ √
y
2R− y dy, (1.148)
donde hemos llamado 2R ≡ 1/2gc2. Haciendo el cambio de variable
y = R(1− cos θ), dy = R sin θdθ, (1.149)
tenemos
x = R
∫ √
(1− cos θ)
(1 + cos θ)
sin θ dθ = R
∫ √
(1− cos θ)2
(1− cos2 θ) sin θ dθ
= R
∫
(1− cos θ) dθ = R(θ − sin θ) + k. (1.150)
38 CAPI´TULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Luego, la trayectoria queda parametrizada en te´rminos de la variable θ,
y = R(1− cos θ), (1.151)
x = R(θ − sin θ), (1.152)
la cual corresponde a una cicloide que pasa por (x1, y1) = (0, 0), con k = 0.
La constante R se determina con el punto (x2, y2) y da al valor del radio de la
circunferencia que genera la cicloide. Algunos puntos ayudan a trazar la cicloide,
θ =
pi
2
⇒ y = R, x = pi
2
R;
θ = pi ⇒ x = piR, y = 2R;
θ = 2pi ⇒ x = 2piR, y = 0.
Figura 1.27: Trayectoria de la cicloide en el problema de la braquistocrona.
El problema de la braquistocrona es famoso en la historia de la F´ısica. Fue planteado
originalmente por Galileo, quien penso´ que la trayector´ıa ma´s corta era un arco de
circunferencia. El problema fue estudiado an˜os despue´s por Johann Bernoulli, cuyo
trabajo condujo a la fundacio´n del ca´lculo variacional.
Figura 1.28: Johann Bernoulli (1667 -1748).
1.4. PRINCIPIOS VARIACIONALES Y ECUACIONES DE EULER. 39
Principios variacionales para funcionales de varias variables.
Consideremos una funcional de varias variables
f (yi(x), y
′
i(x), . . . , x) , , i = 1, 2, . . . , s (1.153)
tal que la integral definida
I =
∫ x2
x1
f (yi(x), y
′
i(x), x) dx (1.154)
adquiera un valor extremo, i.e., δI = 0, para las funciones yi(x), i = 1, 2, . . . , s.
Figura 1.29: Trayectorias y1(x) y y2(x) en el espacio (x, y1, y2).
Consideremos ahora una funcional de trayectorias perturbadas:
f (yi(x, α), y
′
i(x, α), . . . , x) , i = 1, 2, . . . , s. (1.155)
donde
yi(x, α) = yi(x) + αηi(x), (1.156)
y las ηi(x) son funciones arbitrarias que satisfacen
ηi(x1) = ηi(x2) = 0. (1.157)
Consideremos la integral definida con las funciones yi(x, α) como argumentos,
I(α) =
∫ x2
x1
f [yi(x, α), y
′
i(x, α), x]dx. (1.158)
La condicio´n de que I(0) sea extremo, o que δI = 0, implica que
dI
dα
∣∣∣∣
α=0
= 0. (1.159)
Calculamos
dI
dα
=
∫ x2
x1
s∑
i=1
[
∂f
∂yi
∂yi
∂α
+
∂f
∂y′i
∂y′i
∂α
]
dx, (1.160)
40 CAPI´TULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
donde
∂yi(x, α)
∂α
= ηi(x);
∂y′i(x, α)
∂α
= η′i(x). (1.161)
El segundo te´rmino en la suma de la Ec. (1.160) se integra por partes:
∫ x2
x1
∂f
∂y′i
η′i(x)dx =
��
��
��*
0
∂f
∂y′i
ηi(x)
∣∣∣∣x2
x1
−
∫ x2
x1
d
dx
(
∂f
∂y′i
)
ηi(x)dx , (1.162)
en virtud de la condicio´n Ec. (1.157) sobre las funciones ηi(x). Luego,
dI
dα
=
∫ x2
x−1
s∑
i=1
[
∂f
∂yi
− d
dx
(
∂f
∂y′i
)]
ηi(x)dx. (1.163)
La condicio´n
dI
dα
∣∣∣∣
α=0
= 0 , (1.164)
implica las s condiciones
d
dx
(
∂f
∂y′i
)
− ∂f
∂yi
= 0, i = 1, 2, . . . , s (1.165)
que corresponden a s ecuaciones de Euler, una para cada funcio´n yi(x).
1.5. Principio de mı´nima accio´n y ecuaciones de La-
grange
Consideremos un sistema descrito por s coordenadas {q1, q2, . . . , qs} y sus correspon-
dientes s velocidades generalizadas {q˙1, q˙2, . . . , q˙s}. Definimos una funcional escalar de
{qj}, {q˙j} y t, dado por
L(qj , q˙j , t) = T − V, (1.166)
donde T y V son la energ´ıa cine´tica y la energ´ıa potencial del sitema, expresadas en te´rmi-
nos de las coordenadas y velocidades generalizadas. La funcional L(qj , q˙j , t) se denomina
Lagrangiano del sistema.
Por ejemplo, la energ´ıa cine´tica y la energ´ıa potencial de un oscilador armo´nico simple
son, respectivamente,
T =
1
2
mx˙2; V =
1
2
kx2, (1.167)
y el Lagrangiano correspondiente es
L =
1
2
mx˙2 − 1
2
kx2. (1.168)
En principio, todo sistema meca´nico se puede caracterizar por un Lagrangiano L.
1.5. PRINCIPIO DE MI´NIMA ACCIO´N Y ECUACIONES DE LAGRANGE 41
Supongamos que el estado del sistema en los instantes de tiempo t = t1 y t = t2
esta´ descrito por
t1 : {qj(t1)}, {q˙j(t1)} ; t2 : {qj(t2)}, {q˙j(t2)}. (1.169)
La accio´n del sistema se define como la integral definida
S =
∫ t2
t1
L(qj , q˙j , t) dt . (1.170)
Figura 1.30: Pierre-Louis Moreau de Maupertuis (1698-1759).
El Principio de mı´nima accio´n fue formulado en distintas formas por Maupertuis y
por Hamilton; tambie´n se llama Principio de Hamilton.
Principio de mı´nima accio´n:
La evolucio´n del sistema entre el estado en t1 y el estado en t2 es tal que S
sea mı´nima, es decir, δS = 0 (S es un extremo).
El Principio de mı´nima accio´n es un principio variacional; implica que las ecuaciones
de movimiento de un sistema, en te´rminos de sus coordenadas generalizadas, pueden
formularse a partir del requerimiento de que una cierta condicio´n sobre la accio´n S del
sistema sea satisfecha.
Para encontrar las ecuaciones de movimiento, supongamos que qj(t) son las trayecto-
rias para las cuales S adquiere un valor extremo. Consideremos la variacio´n de qj como
qj(t) + δqj(t), y la variacio´n de q˙j como q˙j(t) + δq˙j(t). Supongamos extremos fijos en t1
y t2. Luego, δqj(t1) = δqj(t2) = 0.
La variacio´n de qj o de q˙j produce un incremento (o decremento) en el valor de S. La
variacio´n en S cuando qj(t) es reemplazado por qj(t) + δqj(t), y q˙j por q˙j(t) + δq˙j(t), es
δS =
∫ t2
t1
δL(qj , q˙j , t)dt
=
∫ t2
t1
L(qj + δqj , q˙j + δq˙j , t)dt−
∫ t2
t1
L(qj , q˙j , t)dt. (1.171)
42 CAPI´TULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
El principio de mı´nima accio´n requiere que
δS =
∫ t2
t1
s∑
j=1
[
∂L
∂qj
δqj +
∂L
∂q˙j
δq˙j
]
dt = 0. (1.172)
Similarmente a la integral I en un principio variacional, podemos expresar el segundo
te´rmino como ∫ t2
t1
δL
δq˙j
d
dt
(δqj)dt =
∂L
∂q˙j
δqj
∣∣∣∣t2
t1
−
∫ t2
t1
d
dt
(
δL
δq˙j
)
δqj , (1.173)
donde
∂L
∂q˙j
δqj
∣∣∣∣t2
t1
= 0. (1.174)
Luego,
δS =
∫ t2
t1
s∑
j=1
[
∂L
∂qj
− d
dt
(
∂L
∂q˙j
)]
δqj dt = 0. (1.175)
La condicio´n δS = 0 implica que se deben cumplir s ecuaciones para las qj(t):
d
dt
(
∂L
∂q˙j
)
− ∂L
∂qj
= 0, j = 1, . . . , s. (1.176)
Las Ecs. (1.176) se denominan ecuaciones de Lagrange. Constituyen s ecuaciones
diferenciales acopladas de segundo orden para las s coordenadas qj(t) que describen la
evolucio´n del sistema en el tiempo.
Figura 1.31: Joseph Louis de Lagrange (1736-1827).
Se pueden establecer las siguientes analog´ıas entre el Principio de mı´nima accio´n y
un principio variacional:
S =
∫ t2
t1
L(qj , q˙j , t)dt ↔ I =
∫ x2
x1f(yi, y
′
i, x)dx (1.177)
1.6. PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE. 43
L(qj , q˙j , t) ↔ f(yi, y′i, x)
t ↔ x
qj ↔ yi
q˙j ↔ y′i
δqj(t) ↔ ηi(x)
δq˙j(t) ↔ η′i(x).
1.6. Propiedades de las ecuaciones de Lagrange.
Las ecuaciones de Lagrange son equivalentes a la Segunda Ley de Newton si las
coordenadas generalizadas corresponden a las coordenadas cartesianas de las part´ıculas
del sistema. Para ver esto, consideremos N part´ıculas: α = 1, 2, . . . , N . Llamemos j a las
componentes cartesianas de la part´ıcula α: xj(α) Asumamos las coordenadas cartesianas
como coordenadas generalizadas: qj = xj(α).
La energ´ıa cine´tica del sistema es
T =
N∑
α=1
3∑
i=1
1
2
mαx˙
2
i (α). (1.178)
La energ´ıa potencial es
V =
N∑
α=1
Vα(r(1), r(2), . . . , r(N)). (1.179)
El Lagrangiano esta´ dado por
L = T − V =
N∑
α=1
3∑
i=1
1
2
mαx˙
2
i (α)−
N∑
α=1
Vα(r(1), r(2), . . . , r(N)). (1.180)
La ecuacio´n de Lagrange para la coordenada xj(α) es
d
dt
(
∂L
∂x˙j(α)
)
− ∂L
∂xj(α)
= 0. (1.181)
Calculamos
∂L
∂x˙j(α)
=
∂T
∂x˙j(α)
= m(α)x˙j(α) = pj(α),
∂L
∂xj(α)
= − ∂Vα
∂xj(α)
= Fj(α).
Sustitucio´n en la ecuacio´n de Lagrange para xj(α) da
dpj(α)
dt
= Fj(α), (1.182)
44 CAPI´TULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
lo que corresponde a la componente j de la Segunda ley de Newton para la part´ıcula α.
Sumando sobre todas las part´ıculas,
N∑
α=1
dpj(α)
dt
=
N∑
α=1
Fj(α) = componente j de la fuerza total. (1.183)
Luego,
dPj
dt
= Fj(total), (1.184)
lo que corresponde a la componente j de la Segunda ley de Newton para el sistema.
Entonces, si qj = xj(α); es decir, si las coordenadas generalizadas corresponden a las
coordenadas cartesianas, las ecuaciones de Lagrange son equivalentes a la Segunda ley
de Newton para el sistema.
Las ecuaciones de Lagrange no constituyen una nueva teor´ıa del movimiento; los
resultados de la formulacio´n Lagrangiana o de la formulacio´n Newtoniana del movimiento
de un sistema dado son los mismos; tan so´lo la descripcio´n y el me´todo usado para obtener
esos resultados son diferentes. Son descripciones distintas de un mismo efecto f´ısico.
Las leyes de Newton enfatizan causas externas (fuerzas) actuando sobre un cuer-
po, mientras que la formulacio´n Lagrangiana se enfoca en cantidades escalares (energ´ıas
cine´tica y potencial) asociadas con el cuerpo. En contraste con el punto de vista Newto-
niano de causa-efecto para explicar el movimiento, el Principio de mı´nima accio´n describe
e´ste como el resultado de un propo´sito de la Naturaleza.
Las ecuaciones de Lagrange son ma´s generales que la segunda Ley de Newton; adema´s
de sistemas meca´nicos cla´sicos, se pueden aplicar para todo sistema donde se puede
definir un Lagrangiano, incluyendo medios cont´ınuos, campos, Meca´nica Cua´ntica. El
Principio de Mı´nima accio´n sugiere una conexio´n profunda entre la F´ısica y la Geometr´ıa,
una propiedad que ha sido empleada en el desarrollo de varias teor´ıas f´ısicas. Como
veremos, una ventaja de la formulacio´n Lagrangiana es que permite descubrir simetr´ıas
fundamentales presentes en sistemas f´ısicos.
Las ecuaciones de movimiento de muchos sistemas, adema´s de sistemas meca´nicos,
pueden derivarse a partir de algu´n principio variacional. Por ejemplo, el Principio de
Fermat establece que la propagacio´n de la luz entre dos puntos dados en un medio
sigue la trayectoria que corresponde al tiempo mı´nimo. A partir de ese principio, pueden
obtenerse las leyes de la O´ptica Geome´trica.
Figura 1.32: Pierre de Fermat (1601-1665).
1.6. PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE. 45
Las ecuaciones de Lagrange poseen las siguientes importantes propiedades:
1) Las ecuaciones de movimiento de un sistema son invariantes si a su Lagrangiano se le
agrega una derivada total temporal de una funcio´n f(qj , t).
Sea L(qj , q˙j , t) el Lagrangiano del sistema para el cual δS = 0. Entonces, el nuevo
Lagrangiano sera´
L′(qj , q˙j , t) = L(qj , q˙j , t) +
df(qj , t)
dt
. (1.185)
La nueva accio´n es
S′ =
∫ t2
t1
L′(qj , q˙j , t)dt =
∫ t2
t1
L(qj , q˙j , t)dt+ f(q(t2), t2)− f(qj(t1), t1). (1.186)
Luego,
δS′ = δS + δf(qj(t2), t2)− δf(qj(t1), t1), (1.187)
pero f(qj(t2), t2) y f(qj(t1), t1) son cantidades fijas cuya variacio´n es cero. Luego δS =
δS, y la condicio´n δS = 0⇒ δS′ = 0. Por lo tanto, las ecuaciones de movimiento que se
derivan de L y de L′ son equivalentes.
2) La forma de las ecuaciones de Lagrange es invariante con respecto al conjunto de
coordenadas generalizadas utilizadas en un sistema.
La derivacio´n de las ecuaciones de Lagrange no depende del conjunto de coordenadas
generalizadas espec´ıficas; por lo tanto, la forma de las ecuaciones de Lagrange no depende
de un conjunto particular de coordenadas {qi}. Se puede escoger otro conjunto de s
coordenadas generalizadas independientes {Qi}, y las ecuaciones de Lagrange tambie´n
se cumplen en esas coordenadas.
Sea {qi}, i = 1, . . . , s, un conjunto de coordenadas generalizadas para un sistema con
s grados de libertad y cuyo Lagrangiano es L(qi, q˙i, t). Las ecuaciones de Lagrange para
estas coordenadas son
d
dt
(
∂L
∂q˙j
)
− ∂L
∂qj
= 0. (1.188)
Supongamos una transformacio´n a otro conjunto de coordenadas generalizadas {Qi},
i = 1, . . . , s, de la forma
qi = qi(Q1, Q2, . . . , Qs, t), (1.189)
la cual se conoce como una transformacio´n puntual. La invarianza de la forma de las
ecuaciones de Lagrange significa que el Lagrangiano expresado como funcio´n de las nuevas
coordenadas y velocidades generalizadas, L(Qi, Q˙i, t), tambie´n satisface las ecuaciones de
Lagrange
d
dt
(
∂L
∂Q˙i
)
− ∂L
∂Qi
= 0. (1.190)
46 CAPI´TULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Para demostrar esta invarianza, a partir de la Ec. (1.189) calculamos
q˙i =
dqi
dt
=
s∑
k=1
∂qi
∂Qk
Q˙k +
∂qi
∂t
. (1.191)
Luego, q˙i = q˙i(Q1, . . . , Qs, Q˙1, . . . , Q˙s, t). Entonces, el Lagrangiano se puede expresar
como funcio´n de las nuevas coordenadas y velocidades generalizadas como
L(q1, . . . , qs, t) = L[qi(Q1, . . . , Qs, t), q˙i(Q1, . . . , Qs, Q˙1, . . . , Q˙s, t), t]. (1.192)
Tenemos,
∂L
∂Qi
=
s∑
j=1
(
∂L
∂qj
∂qj
∂Qi
+
∂L
∂q˙j
∂q˙j
∂Qi
)
, (1.193)
y
∂L
∂Q˙i
=
s∑
j=1
 ∂L
∂qj�
�
�7
0
∂qj
∂Q˙i
+
∂L
∂q˙j
∂q˙j
∂Q˙i
 = s∑
j=1
∂L
∂q˙j
∂q˙j
∂Q˙i
. (1.194)
Notemos que
∂q˙j
∂Q˙i
=
s∑
k=1
∂qj
∂Qk
∂Q˙k
∂Q˙i
=
s∑
k=1
∂qj
∂Qk
δik =
∂qj
∂Qi
. (1.195)
Luego,
d
dt
(
∂L
∂Q˙i
)
− ∂L
∂Qi
=
d
dt
 s∑
j=1
∂L
∂q˙j
∂qj
∂Qi
− s∑
j=1
(
∂L
∂qj
∂qj
∂Qi
+
∂L
∂q˙j
∂q˙j
∂Qi
)
=
s∑
j=1
[
∂qj
∂Qi
(
d
dt
∂L
∂q˙j
− ∂L
∂qj
)
+
∂L
∂q˙j
(
d
dt
∂qj
∂Qi
− ∂q˙j
∂Qi
)]
. (1.196)
El primer te´rmino en la Ec. (1.196) es cero, de acuerdo a la Ec. (1.188). Por otro lado,
∂q˙j
∂Qi
=
∂
∂Qi
(
dqj
dt
)
=
d
dt
(
∂qj
∂Qi
)
, (1.197)
por lo cual, el segundo te´rmino en la Ec. (1.196) tambie´n se anula. Luego,
d
dt
(
∂L
∂Q˙i
)
− ∂L
∂Qi
= 0. (1.198)
Por lo tanto, la forma de las ecuaciones de Lagrange se conserva bajo transformaciones
puntuales de las coordenadas generalizadas.
Por ejemplo, consideremos una part´ıcula en un plano. Las ecuaciones de Lagrange
para la part´ıcula en coordenadas cartesianas {qi} = {x, y} tienen la misma forma que
las correspondientes ecuaciones en coordenadas polares {Qi} = {r, ϕ}, donde las trans-
formaciones qi = qi(Qj , t) son
x = r cosϕ, (1.199)
y = r sinϕ. (1.200)
1.7. EJEMPLOS DE ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS 47
1.7. Ejemplos de ecuaciones de Lagrange para varios
sistemas
1. Pe´ndulo simple.Figura 1.33: Coordenada generalizada θ para el pe´ndulo simple.
Vimos que la coordenada generalizada es el a´ngulo θ. Entonces,
x = l sin θ, x˙ = lθ˙ cos θ
y = −l cos θ, y˙ = lθ˙ sin θ.
Expresamos T y V en funcio´n de θ y θ˙,
T =
1
2
mv2 =
1
2
m(x˙2 + y˙2) =
1
2
ml2θ˙2. (1.201)
V = mgy = −mgl cos θ. (1.202)
Entonces, el Lagrangiano es
L = T − V = 1
2
ml2θ˙2 +mgl cos θ. (1.203)
La ecuacio´n de Lagrange para θ es
d
dt
(
∂L
∂θ˙
)
− ∂L
∂θ
= 0. (1.204)
Calculamos los te´rminos
∂L
∂θ
= −mgl sin θ, ∂L
∂θ˙
= ml2θ˙,
d
dt
(
∂L
∂θ˙
)
= ml2θ¨. (1.205)
Luego, la ecuacio´n de Lagrange queda como
ml2θ¨ +mgl sin θ = 0
⇒ θ¨ + g
l
sin θ = 0, (1.206)
que es la conocida ecuacio´n del pe´ndulo simple.
48 CAPI´TULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
2. Part´ıcula libre.
La condicio´n de estar libre significa que no hay fuerza neta sobre la part´ıcula,
F = −∇V = 0. Luego, V = constante para una part´ıcula libre.
a) El Lagrangiano en coordenadas cartesianas es
L = T =
1
2
m(x˙2 + y˙2 + z˙2). (1.207)
Las ecuaciones de Lagrange
d
dt
(
∂L
∂x˙i
)
− ∂L
∂xi
= 0, i = 1, 2, 3, (1.208)
conducen a
∂L
∂x˙i
= mx˙i = constante, (1.209)
que expresan la conservacio´n de la componente i del momento lineal de la part´ıcula.
b) Lagrangiano en coordenadas esfe´ricas.
Figura 1.34: Coordenadas esfe´ricas para una part´ıcula.
Las coordenadas se expresan como
x = r sin θ cosϕ
y = r sin θ sinϕ
z = r cos θ.
(1.210)
Las velocidades son
x˙ = r˙ sin θ cosϕ+ rθ˙ cos θ cosϕ− rϕ˙ sin θ sinϕ
y˙ = r˙ sin θ sinϕ+ rθ˙ cos θ sinϕ+ rϕ˙ sin θ cosϕ
z˙ = r˙ cos θ − rθ˙ sin θ.
(1.211)
Substitucio´n en L da
L =
1
2
m(r˙2 + r2θ˙2 + r2ϕ˙2 sin2 θ). (1.212)
1.7. EJEMPLOS DE ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS 49
3. Oscilador armo´nico.
Figura 1.35: Oscilador armo´nico simple.
Usando la coordenada generalizada x, tenemos
T =
1
2
mx˙2, V =
1
2
kx2, (1.213)
L = T − V = 1
2
mx˙2 − 1
2
kx2. (1.214)
La ecuacio´n de Lagrange para x es
d
dt
(
∂L
∂x˙
)
− ∂L
∂x
= 0. (1.215)
Calculamos
∂L
∂x˙
= mx˙ ;
∂L
∂x
= −kx. (1.216)
Luego, obtenemos
mx¨+ kx = 0,
x¨+ ω2x = 0, (1.217)
donde ω2 ≡ k/m.
4. Part´ıcula movie´ndose sobre un cono invertido en el campo gravitacional terrestre.
Figura 1.36: Part´ıcula sobre un cono invertido con a´ngulo de ve´rtice α.
Coordenadas generalizadas son q1 = ϕ y q2 = r. Entonces,
x = r cosϕ
y = r sinϕ
z = r cotα.
(1.218)
50 CAPI´TULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Las velocidades correspondientes son
x˙ = r˙ cosϕ− rϕ˙ sinϕ
y˙ = r˙ sinϕ+ rϕ˙ cosϕ
z˙ = r˙ cotα.
(1.219)
Energ´ıa cine´tica,
T =
1
2
m(x˙2 + y˙2 + z˙2) =
1
2
m[r˙2(1 + cot2 α) + r2ϕ˙2]
=
1
2
m(r˙2 csc2 α+ rϕ˙2). (1.220)
Energ´ıa potencial,
V = mgz = mgr cotα. (1.221)
Por lo tanto, el Lagrangiano L = T − V es
L =
1
2
m(r˙2 csc2 α+ r2ϕ˙2)−mgr cotα. (1.222)
La ecuacio´n de Lagrange para ϕ es
d
dt
(
∂L
∂ϕ˙
)
− ∂L
∂ϕ
= 0, (1.223)
donde
∂L
∂ϕ
= 0, (1.224)
Luego,
∂L
∂ϕ˙
= mr2ϕ˙ = cte ≡ lz. (1.225)
La cantidad constante es la componente lz del momento angular en te´rminos de
las coordenadas generalizadas, lo que se puede verificar calculando la componente
cartesiana lz = m(xy˙ − yx˙), y usando las Ecs. (1.218) y (1.219). La componente
lz se conserva porque la componente τz del vector de torque total producido por
las fuerzas actuantes sobre la part´ıcula (su peso y la fuerza normal ejercida por la
superficie del cono) es cero.
La ecuacio´n de Lagrange para r es
d
dt
(
∂L
∂r˙
)
− ∂L
∂r
= 0, (1.226)
donde
∂L
∂r
= mrϕ˙2 −mg cotα, ∂L
∂r˙
= mr˙ csc2 α. (1.227)
Luego,
r¨ csc2 α− rϕ˙2 + g cotα = 0,
⇒ r¨ − rϕ˙2 sin2 α+ g sinα cosα = 0. (1.228)
1.7. EJEMPLOS DE ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS 51
5. Part´ıcula en el campo gravitacional terrestre.
Figura 1.37: Part´ıcula en el campo gravitacional terrestre.
El movimiento en el campo gravitacional uniforme de la Tierra ocurre en un plano
vertical; i.e., s = 2. Tomamos las coordenadas cartesianas (x, y) como coordena-
das generalizadas. Supongamos que la part´ıcula posee posicio´n inicial (xo, yo) y
velocidad inicial (vox, voy). Entonces,
T =
1
2
m(x˙2 + y˙2), V = mgy (1.229)
L = T − V = 1
2
m(x˙2 + y˙2)−mgy. (1.230)
La ecuacio´n de Lagrange para x es
d
dt
(
∂L
∂x˙
)
− ∂L
∂x
= 0, (1.231)
la cual resulta en
x¨ = 0 ⇒ x = b1t+ b2, (1.232)
con b1 y b2 constantes. Usando las condiciones iniciales en t = 0, obtenemos
x(t) = xo + voxt. (1.233)
La ecuacio´n de Lagrange para y es
d
dt
(
∂L
∂y˙
)
− ∂L
∂y
= 0, (1.234)
lo que conduce a
y¨ = −g ⇒ y = −1
2
gt2 + c1t+ c2. (1.235)
Usando las condiciones iniciales, podemos expresar
y(t) = yo + voyt− 1
2
gt2. (1.236)
La trayectoria descrita por la part´ıcula es una para´bola,
y(x) = yo +
voy
vox
(x− xo)− g
2v2ox
(x− xo)2. (1.237)
La trayectoria parabo´lica corresponde a la minima accio´n; mientras que la cicloide
corresponde al tiempo minimo entre dos puntos en el campo gravitacional terrestre.
52 CAPI´TULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
6. Pe´ndulo doble.
Consiste en un pe´ndulo de longitud l1 y masa m1, del cual cuelga un segundo
pe´ndulo de longitud l2 y masa m2.
Figura 1.38: Pe´ndulo doble.
Coordenadas generalizadas son q1 = θ1, q2 = θ2. Luego,
x1 = l1 sin θ
y1 = −l1 cos θ
⇒ x˙1 = l1θ˙1 cos θ1
⇒ y˙1 = l1θ˙1 sin θ1 (1.238)
x2 = l1 sin θ + l2 sin θ2
y2 = −l1 cos θ − l2 cos θ2
⇒ x˙2 = l1θ˙1 cos θ1 + l2θ˙2 cos θ2
⇒ y˙2 = l1θ˙1 sin θ1 + l2θ˙2 sin θ2 (1.239)
La energ´ıa cine´tica de part´ıcula 1 es
T1 =
1
2
m1v
2
1 =
1
2
m1(x˙
2
1 + y˙
2
1) =
1
2
m1l
2
1θ˙
2
1. (1.240)
La energ´ıa cine´tica de part´ıcula 2 es
T2 =
1
2
m2v
2
2 =
1
2
m2(x˙
2
2 + y˙
2
2)
=
1
2
m2[l
2
1θ˙
2
1 + l
2
2θ˙
2
2 + 2l1l2θ˙1θ˙2(cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2)]
=
1
2
m2[l
2
1θ˙
2
1 + l
2
2θ˙
2
2 + 2l1l2θ˙1θ˙2 cos(θ1 − θ2)]. (1.241)
Las energ´ıas potenciales de las part´ıculas se pueden expresar como
V1 = m1gy1 = −m1gl1 cos θ1 (1.242)
V2 = m2gy2 = −m2g(l1 cos θ1 + l2 cos θ2). (1.243)
La energ´ıa cine´tica del sistema es T = T1 +T2 y la energ´ıa potencial es V = V1 +V2.
El Lagrangiano del sistema es L = T − V , lo que conduce a
L =
1
2
(m1 +m2)l
2
1θ˙
2
1 +
1
2
m2l
2
2θ˙
2
2 +m2l1l2θ˙1θ˙2 cos(θ1 − θ2)
+ (m1 +m2)gl1 cos θ1 +m2gl2 cos θ2. (1.244)
1.7. EJEMPLOS DE ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS 53
Ecuacio´n de Lagrange para θ1,
d
dt
(
∂L
∂θ˙1
)
− ∂L
∂θ1
= 0, (1.245)
donde
∂L
∂θ1
= −m2l1l2θ˙1θ˙2 sin(θ1 − θ2)− (m1 +m2)gl1 sin θ1
∂L
∂θ˙1
= (m1 +m2)l
2
1θ˙1 +m2l1l2θ˙2 cos(θ1 − θ2)
d
dt
(
∂L
∂θ˙1
)
= (m1 +m2)l
2
1θ¨1 +m2l1l2[θ¨2 cos(θ1 − θ2)− θ˙2(θ˙1 − θ˙2) sin(θ1 − θ2].
Por lo tanto, la ecuacio´n de Lagrange para θ1 queda
(m1+m2)l
2
1θ¨1+m2l1l2θ¨2 cos(θ1−θ2)+m2l1l2θ˙22 sin(θ1−θ2)+(m1+m2)gl1 sin θ1 = 0.
(1.246)
Ecuacio´n de Lagrange para θ2 es
d
dt
(
∂L
∂θ˙2
)
− ∂L
∂θ2
= 0, (1.247)
donde
∂L
∂θ2
= m2l1l2θ˙1θ˙2 sin(θ1 − θ2)−m2gl2 sin θ2
∂L
∂θ˙2
= m2l
2
2θ˙2 +m2l1l2θ˙1 cos(θ1 − θ2)
d
dt
(
∂L
∂θ˙2
)
= m2l
2
2θ¨2 +m2l1l2[θ¨1 cos(θ1 − θ2)− θ˙1(θ˙1 − θ˙2) sin(θ1 − θ2].
Luego, la ecuacio´n de Lagrange para θ2 queda
m2l
2
2θ¨2 +m2l1l2θ¨1 cos(θ1 − θ2)−m2l1l2θ˙21 sin(θ1 − θ2) +m2gl2 sin θ2 = 0. (1.248)
Despejando θ¨1 y θ¨2 de las Ecs. (1.246) y (1.248), las ecuaciones de Lagrange se
pueden expresar como
θ¨1 =
g(sin θ2 cos ∆θ −M sin θ1)− (l2θ˙22 + l1θ˙21 cos ∆θ) sin ∆θ
l1(µ− cos2 ∆θ) (1.249)
θ¨2 =
gM(sin θ1 cos ∆θ −sin θ2)− (Ml1θ˙21 + l2θ˙22 cos ∆θ) sin ∆θ
l2(µ− cos2 ∆θ) , (1.250)
donde ∆θ ≡ θ1 − θ2, y M ≡ 1 +m1/m2.
Las ecuaciones de movimiento del pe´ndulo doble son no lineales y acopladas para
θ1 y θ2. Esto hace que el movimiento del pe´ndulo doble pueda ser muy complicado.
54 CAPI´TULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
7. Pe´ndulo con soporte deslizante horizontalmente sin friccio´n.
Figura 1.39: Pe´ndulo con soporte deslizante.
Coordenadas generalizadas son q1 = x1 y q2 = θ.
x2 = x1 + l sin θ, x˙2 = x˙1 + lθ˙ cos θ
y2 = −l cos θ, y˙2 = lθ˙ sin θ.
Energ´ıa cine´tica,
T =
1
2
m1x˙
2
1 +
1
2
m2(x˙
2
1 + l
2θ˙2 + 2x˙1θ˙l cos θ). (1.251)
Energ´ıa potencial,
V = m2gy2 = −m2gl cos θ. (1.252)
Lagrangiano,
L = T − V = 1
2
(m1 +m2)x˙
2
1 +
1
2
m2(l
2θ˙2 + 2x˙1θ˙l cos θ) +m2gl cos θ. (1.253)
Ecuacio´n de Lagrange para x1,
d
dt
(
∂L
∂x˙1
)
− ∂L
∂x1
= 0, (1.254)
donde
∂L
∂x1
= 0,
∂L
∂x˙1
= (m1 +m2)x˙1 +m2θ˙l cos θ. (1.255)
Luego, la ecuacio´n para x1 queda
(m1 +m2)x˙1 +m2lθ˙ cos θ = cte ≡ Px, (1.256)
esta ecuacio´n expresa la conservacio´n de la componente Px del momento lineal total
en direccio´n del eje x, puesto que no hay fuerzas netas en esa direccio´n.
Ecuacio´n de Lagrange para θ,
d
dt
(
∂L
∂θ˙
)
− ∂L
∂θ
= 0, (1.257)
1.7. EJEMPLOS DE ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS 55
donde
∂L
∂θ
= −m2lx˙1θ˙ sin θ −m2gl sin θ; ∂L
∂θ˙
= m2x˙1l cos θ +m2l
2θ˙. (1.258)
Por lo tanto, la ecuacio´n de Lagrange para θ es
lθ¨ + x¨1 cos θ − x˙1θ˙ sin θ + x˙1θ˙ sin θ + g sin θ = 0,
⇒ lθ¨ + x¨1 cos θ + g sin θ = 0. (1.259)
8. Aro rodando sin deslizar por un plano inclinado.
Figura 1.40: Aro rodando sin deslizar por un plano inclinado.
Un punto cualquiera en el aro puede ubicarse con dos coordenadas, x y θ, las
cuales esta´n ligadas por una restriccio´n no holono´mica, que es la condicio´n de
rodar sin deslizar: x˙ = Rθ˙. Luego, hay un grado de libertad; se puede escoger como
coordenada generalizada a x o´ a θ.
La energ´ıa cine´tica del aro es
T = Tcm + T
′
relativa al CM (1.260)
donde Tcm es la energ´ıa cine´tica de translacio´n,
Tcm =
1
2
mx˙2, (1.261)
y T ′rel. al CM es la energ´ıa cine´tica de rotacio´n,
T ′rel. al CM =
1
2
Iθ˙2 =
1
2
(mR2)θ˙2 =
1
2
mR2θ˙2. (1.262)
La energ´ıa potencial es
V = mgh = mg(l − x) sinα. (1.263)
Entonces, el Lagrangiano es
L = T − V = 1
2
mx˙2 +
1
2
mR2θ˙2 −mg(l − x) sinα. (1.264)
Sustituyendo θ˙ = x˙/R en L, obtenemos
L = mx˙2 +mgx sinα−mgl sinα. (1.265)
56 CAPI´TULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
El te´rmino constante mgl sinα se puede suprimir en L, pues no afecta las ecuaciones
de movimiento. La ecuacio´n de Lagrange para x es
d
dt
(
∂L
∂x˙
)
− ∂L
∂x
= 0 (1.266)
donde
∂L
∂x
= mg sinα,
∂L
∂x˙
= 2mx˙. (1.267)
Luego,
x¨− g
2
sinα = 0. (1.268)
El aro baja por el plano rodando sin deslizar, con la mitad de la aceleracio´n que
tendr´ıa si simplemente deslizara sin friccio´n.
9. Pe´ndulo de longitud l y masa m cuyo soporte gira en un circulo de radio a en un
plano vertical, con velocidad angular constante ω.
Figura 1.41: Pe´ndulo con soporte en movimiento circular uniforme.
Expresamos φ = ωt. Luego,
x = a cosωt+ l sin θ, x˙ = −ωa sinωt+ lθ˙ cos θ (1.269)
y = a sinωt− l cos θ, y˙ = ωa cosωt+ lθ˙ sin θ. (1.270)
Energ´ıa cine´tica,
T =
1
2
m(x˙2 + y˙2) =
1
2
m[a2ω2 + l2θ˙2 + 2aωlθ˙(sin θ cosωt− cos θ sinωt)]. (1.271)
Energ´ıa potencial,
V = mgy = mg(a sinωt− l cos θ). (1.272)
El Lagrangiano es
L = T − V = 1
2
m[l2θ˙2 + 2aωlθ˙ sin(θ − ωt)] +mgl cos θ, (1.273)
1.7. EJEMPLOS DE ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS 57
donde hemos omitido te´rminos constantes (a2ω2) y la derivada total
df
dt
= mga sinωt,
con f = −mga
ω
cosωt.
La ecuacio´n de Lagrange para θ es
d
dt
(
∂L
∂θ˙
)
− ∂L
∂θ
= 0. (1.274)
donde
∂L
∂θ
= maωlθ˙ cos(θ − ωt)−mgl sin θ,
∂L
∂θ˙
= ml2θ˙ +maωl sin(θ − ωt),
d
dt
(
∂L
∂θ˙
)
= ml2θ¨ +maωl(θ˙ − ω) cos(θ − ωt).
Sustituyendo en la ecuacio´n de Lagrange para θ, obtenemos
l2θ¨+ aωlθ˙ cos(θ− ωt)− aω2l cos(θ− ωt)− aωlθ˙ cos(θ− ωt) + gl sin θ = 0, (1.275)
lo cual queda como
θ¨ − aω
2
l
cos(θ − ωt) + g
l
sin θ = 0. (1.276)
Note que si ω = 0, la Ec. (1.276) corresponde a la ecuacio´n de movimiento de un
pe´ndulo simple.
En este sistema,
∂V
∂t
6= 0, por lo que la energ´ıa total E = T + V no se conserva;
se requiere un suministro continuo de energ´ıa para mantener girando el soporte del
pe´ndulo con velocidad angular ω constante.
10. Pe´ndulo de resorte.
Figura 1.42: Pe´ndulo de resorte.
58 CAPI´TULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
El movimiento de la part´ıcula ocurre en el plano vertical (x, y). Definimos k como
la constante del resorte, l es la longitud del resorte en reposo (en ausencia de la
masa m), y r es la longitud del resorte con la masa m.
Las coordenadas generalizadas son q1 = r y q2 = θ. Entonces,
x = r sin θ
y = −r cos θ,
x˙ = rθ˙ cos θ + r˙ sin θ
y˙ = rθ˙ sin θ − r˙ cos θ.
(1.277)
La energ´ıa cine´tica es
T =
1
2
m(x˙2 + y˙2) =
1
2
m(r˙2 + r2θ˙2). (1.278)
La energ´ıa potencial es
V =
1
2
k(r − l)2 −mgr cos θ. (1.279)
Entonces, el Lagrangiano es
L = T − V = 1
2
m(r˙2 + r2θ˙2)− 1
2
k(r − l)2 +mgr cos θ. (1.280)
La ecuacio´n de Lagrange para θ es
d
dt
(
∂L
∂θ˙
)
− ∂L
∂θ
= 0, (1.281)
la cual se puede escribir como
rθ¨ + 2r˙θ˙ + g sin θ = 0. (1.282)
La ecuacio´n de Lagrange para r es
d
dt
(
∂L
∂r˙
)
− ∂L
∂r
= 0, (1.283)
que da como resultado,
r¨ − rθ˙2 + k
m
(r − l)− g cos θ = 0. (1.284)
1.7. EJEMPLOS DE ECUACIONES DE LAGRANGE PARA VARIOS SISTEMAS 59
11. El soporte de un pe´ndulo plano de masa m y longitud l rota sin friccio´n con velo-
cidad angular uniforme ω alrededor del eje vertical z.
a) Encontrar la ecuacio´n de movimiento del pe´ndulo.
b) Encontrar el a´ngulo de equilibrio del pe´ndulo.
Figura 1.43: Pe´ndulo con soporte giratorio.
La coordenada generalizada es q = θ.
a) Para encontrar la ecuacio´n de movimiento, expresamos
x = l sin θ cosωt,
y = l sin θ sinωt,
z = −l cos θ,
(1.285)
y las velocidades
x˙ = lθ˙ cos θ cosωt− lω sin θ sinωt
y˙ = lθ˙ cos θ sinωt+ lω sin θ cosωt
z˙ = lθ˙ sin θ.
(1.286)
La energ´ıa cine´tica es
T =
1
2
m
(
x˙2 + y˙2 + z˙2
)
=
1
2
ml2
(
θ˙2 + ω2 sin2 θ
)
. (1.287)
La energ´ıa potencial correspondiente es
V = mgz = −mgl cos θ. (1.288)
El Lagrangiano es
L = T − V = 1
2
ml2
(
θ˙2 + ω2 sin2 θ
)
+mgl cos θ . (1.289)
La ecuacio´n de Lagrange para θ es
d
dt
(
∂L
∂θ˙
)
− ∂L
∂θ
= 0, (1.290)
60 CAPI´TULO 1. ECUACIONES DE MOVIMIENTO
la cual resulta en
θ¨ − ω2 sin θ cos θ + g
l
sin θ = 0 . (1.291)
b) En los puntos de equilibrio, las fuerzas netas se anulan y las coordenadas gene-
ralizadas qj satisfacen la condicio´n q¨j = 0 (aceleracio´n se hace cero).
El a´ngulo de equilibrio θo del pe´ndulo esta´ dado por la condicio´n θ¨ = 0 en la
ecuacio´n de movimiento,
θ¨ = 0⇒ ω2 sin θo cos θo = g
l
sin θo (1.292)
Hay dos posibles soluciones,
sin θo = 0⇒ θo = 0, (1.293)
ω2 cos θ0 =
g
l
⇒ θo = cos−1
( g
ω2l
)
. (1.294)
12. Regulador volante.
Figura 1.44: Regulador volante.
El punto O en extremo superior esta´ fijo. La longitud a de la varilla es constante.
La masa m2 se mueve sin friccio´n sobre el eje vertical y que pasa por el punto
O, mientras que las masas dos masas m1 giran con velocidad angular constante ω
alrededor del eje y.
Las coordenadas para m2 son
x2 = 0
y2 = −2a cos θ
z2 = 0
(1.295)
Las coordenadas para una de las masas m1 son
y1 = −a cos θ,
x1 = a sin θ sinωt,