Prova final

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UFV- CCE - DET
EST 105 - avaliac¸a˜o FINAL - 20 semestre de 2013 - 18/fev/14
Nome: Matr´ıcula:
Assinatura: . Favor apresentar documento com foto.
• Sa˜o 7 questo˜es em pa´ginas numeradas de 1 a 11, total de 100 pontos, FAVOR
CONFERIR ANTES DE INICIAR.
• Interpretar corretamente as questo˜es e´ parte da avaliac¸a˜o, portanto na˜o e´ permitido
questionamentos durante a prova !
• E´ OBRIGATO´RIO APRESENTAR OS CA´LCULOS organizadamente, para ter di-
reito a` revisa˜o.
• NOTA ZERO se mostrar a resposta correta e na˜o apresentar os ca´lculos ou se
apresentar valores incorretos utilizados nos ca´lculos.
• ATENC¸A˜O: Sua nota sera´ divulgada no sistema SAPIENS: informe a seguir em
qual turma esta´ matriculado.
---------------------------------------------------
TURMA HORA´RIO SALA PROFESSOR
---------------------------------------------------
T1 2a 10-12 5a 08-10 PVB310 Ana Carolina
---------------------------------------------------
T2 2a 16-18 5a 14-16 PVB310 Ana Carolina
---------------------------------------------------
T3 2a 08-10 4a 10-12 PVB310 Moyses
---------------------------------------------------
T4 3a 10-12 6a 08-10 PVB310 Paulo Cecon
---------------------------------------------------
T5 3a 16-18 6a 14-16 PVB310 Policarpo
---------------------------------------------------
T7 4a 08-10 6a 10-12 PVB206 Moyses
---------------------------------------------------
T8 4a 18:30-20:10 6a 20:30-22:10 PVB306 Paulo Emiliano
---------------------------------------------------
T9 3a 14-16 5a 16-18 PVB310 CHOS (coordenador)
---------------------------------------------------
T10 4a 14-16 6a 16-18 PVB107 CHOS
---------------------------------------------------
T20 - Tutoria Especial - Janeo (monitor II)
---------------------------------------------------
1
FORMULA´RIO
X =
n∑
i=1
Xi
n
ou X =
k∑
i=1
fiXi
k∑
i=1
fi
Md =
X(n2 )
+X(n2+1)
2
ou Md = X(n+12 )
XH =
n
n∑
i=1
1
Xi
ou XH =
k∑
i=1
fi
k∑
i=1
fi
Xi
XG =
n
√√√√ n∏
i=1
Xi ou XG =
k∑
i=1
fi
√√√√ k∏
i=1
Xfii
SQDX =
n∑
i=1
X2i −
(
n∑
i=1
Xi
)2
n
ou SQDX =
k∑
i=1
fiX
2
i −
(
k∑
i=1
fiXi
)2
k∑
i=1
fi
S2X =
SQDX
n− 1 ou S
2
X =
SQDX
k∑
i=1
fi − 1
SX =
√
S2X S(X) =
SX√
n
CVX(%) =
SX
X
100%
ρ̂XY = rXY =
SPDXY√
SQDX SQDY
SPDXY =
n∑
i=1
XiYi −
(
n∑
i=1
Xi
)(
n∑
i=1
Yi
)
n
Yi = β0 + β1Xi + εi ε̂i = Yi − Ŷi
Ŷi = β̂0 + β̂1Xi β̂1 =
SPDXY
SQDX
= rXY
SY
SX
β̂0 = Y − β̂1X
r2(%) =
SQregressa˜o
SQtotal
100%
SQregressa˜o = β̂21SQDX = β̂1SPDXY = (SPDXY )
2/SQDX SQtotal = SQDY
P (Ai|B) = P (Ai
⋂
B)
P (B)
=
P (Ai)P (B|Ai)∑
j
P (Aj)P (B|Aj)
, P (B) > 0
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) e P (A ∩Bc) = P (A)− P (A ∩B)
P (A) = 1− P (Ac), Ac = A¯ e´ o evento complementar
2
Leis de DeMorgan: P (Ac ∩Bc) = P (A ∪B)c e P (Ac ∪Bc) = P (A ∩B)c
X v.a.d.⇒ f(x) = P (X = x)
X v.a.c.⇒
∫ x2
x1
f(x) dx = P (x1 ≤ X ≤ x2)
F (x) = P (X ≤ x)
f(x|y) = f(x, y)
h(y)
, h(y) =
∫
f(x, y) dx, f(y|x) = f(x, y)
g(x)
, g(x) =
∫
f(x, y) dy
P (x|y) = P (x, y)
P (y)
, P (y) =
∑
x
P (x, y), P (y|x) = P (x, y)
P (x)
, P (x) =
∑
y
P (x, y)
Para k = 1, 2, . . . , n <∞ E(Xk) =
∑
x
xkP (x) ou E(Xk) =
∫
xkf(x)dx
E(XY ) =
∑
x
∑
y
xyP (x, y) ou E(XY ) =
∫ ∫
xyf(x, y)dxdy
COV (X, Y ) = E(XY )− E(X)E(Y ), V (X) = E(X2)− [E(X)]2
X ∼ N(µ, σ2), E(X) = µ e V (X) = σ2 Z = X − µ
σ
, Z ∼ N(0, 1)
P (x) =
(
N
x
)
px(1− p)N−x
(
N
x
)
=
N !
x!(N − x)! E(X) = Np V (X) = Np(1− p)
P (x) =
e−mmx
x!
E(X) = V (X) = m
χ2 =
h∑
i=1
k∑
j=1
(FOij − FEij)2
FEij
ou χ2 =
k∑
i=1
(FOi − FEi)2
FEi
Z =
X − µ√
σ2
n
t =
X1 −X2√
s2
(
1
n1
+ 1
n2
) s2 = (n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22n1 + n2 − 2
3
Tabela 1: A´reas de uma distribuic¸a˜o normal padra˜o entre z = 0 e um valor positivo de z.
As a´reas para os valores de z negativos sa˜o obtidas por simetria.
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2703 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4006 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
Adaptada de Costa Neto, P. L. O. Estat´ıstica, Editora Edgard Blucher.
4
1.(14 pontos) No UFV informa do dia 10/02/2014 foi publicada uma reportagem inti-
tulada: Estudantes de Cooperativismo promovem Dia da Carona Consciente. Com os
objetivos de desenvolver a conscieˆncia no traˆnsito e diminuir a poluic¸a˜o e o fluxo de
automo´veis no campus Vic¸osa da UFV, os estudantes da disciplina Marketing para Orga-
nizac¸o˜es Sociais do curso de Cooperativismo promoveram, no dia 12 de fevereiro, o Dia
da Carona Consciente. A ideia e´ fazer com que as pessoas que se deslocam de carro para
a Universidade combinem caronas e contribuam para a melhoria do ambiente e para a
diminuic¸a˜o, em pelo menos 10%, do traˆnsito no campus. Em janeiro, os estudantes da
disciplina realizaram uma pesquisa para comprovar que a maioria dos carros que entram
no campus Vic¸osa conteˆm apenas o motorista. No dia 29, eles se posicionaram nas treˆs
entradas principais da Universidade, Quatro Pilastras, a` direita da lagoa e via alternativa,
entre 7h30 e 8h15. Dos 680 ve´ıculos que passaram por esses locais, 400 tinham uma pes-
soa; 226 duas; 41 treˆs; 11 quatro, e dois cinco pessoas. Considere que a varia´vel aleato´ria
discreta X seja o nu´mero de “caroneiros” em cada carro, com a seguinte distribuic¸a˜o
de probabilidade.
x 0 1 2 3 4 total
P (x) 0,588 0,333 0,060 0,016 0,003 1,00
Pede-se: (Utilize treˆs casas decimais)a.(6 pts) O nu´mero me´dio de caroneiros por carro.
Seja X :“Nu´mero de “caroneiros” por carro;”
E [X] = 0× 0, 588 + 1× 0, 333 + 2× 0, 060 + 3× 0, 016 + 4× 0, 003
= 0, 513
b.(8 pts) A variaˆncia do nu´mero de caroneiros por carro.
Temos que V [X] = E [X2]− (E [X])2 e
E
[
X2
]
= 02 × 0, 588 + 12 × 0, 333 + 22 × 0, 060 + 32 × 0, 016 + 42 × 0, 003
= 0, 765.
Assim
V [X] = 0, 765− (0, 513)2 = 0, 5018.
5
2.(10 pontos) (Retirado do concurso do IBGE 2013) Sejam A e B dois eventos indepen-
dentes de um espac¸o amostral. Sabendo-se que,
P (A) > P (B); P (A ∩B) = 1
3
e P (A ∪B) = 5
6
,
calcule P (Ac ∩B).
Temos que
P [A ∪B] = P [A] + P [B]− P [A ∩B]
5
6
= P [A] + P [B]− 1
3
P [B] =
7
6
− P [A] (1)
P [A ∩B] = P [A]× P [B]
1
3
= P [A]× P [B]
P [B] =
1
3P [A]
(2)
Igualando (1) e (2) temos:
7P [A]− 6(P [A])2 = 2
6
(P [A])2 − 7
6
P [A] +
2
6
= 0
Resolvendo a equac¸a˜o do segundo grau temos
P [A] = 1
2
ou P [A] = 2
3
.
P [A] =
1
2
⇒ P [B] = 2
3
,
P [A] =
2
3
⇒ P [B] = 1
2
,
e como P [A] > P [B] temos que P [A] = 2
3
e P [B] = 1
2
.
Finalmente
P [Ac ∩B] = P [B]− P [A ∩B] = 1
2
− 1
3
=
1
6
.
6
3.(14 pontos) Dado que,
n∑
k=1
k =
n(n+ 1)
2
,
n∑
k=1
k2 =
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
e
n∑
k=1
k3 =
[
n(n+ 1)
2
]2
.
Utilize as propriedades de somato´rio e calcule:
20∑
i=1
10∑
j=1
15∑
k=1
(i− j)3
20∑
i=1
10∑
j=1
15∑
k=1
(i− j)3 = 15
20∑
i=1
10∑
j=1
(i− j)3 = 15
20∑
i=1
10∑
j=1
(
i3 − 3i2j + 3ij2 − j3)
= 15
20∑
i=1
(
10i3 − 3i2
10∑
j=1
j + 3i
10∑
j=1
j2 −
10∑
j=1
j3
)
= 15
20∑
i=1
[
10i3 − 3i2
(
10× 11
2
)
+ 3i
(
10× 11× 21
6
)
−
(
10× 11
2
)2]
= 15
20∑
i=1
(
10i3 − 165i2 + 1155i− 3025)
= 15
(
10
20∑
i=1
i3 − 165
20∑
i=1
i2 + 1155
20∑
i=1
i− 3025× 20
)
= 15
(
10
(
20× 21
2
)2
− 165
(
20× 21× 41
6
)
+ 1155
(
20× 21
2
)
− 60500
)
= 15 (441000− 473550 + 242550− 60500) = 15× 149500
= 2242500
7
4.(14 pontos) Duas amostras aleato´rias de 20 lotes de pec¸as de duas indu´strias, A e B,
foram avaliadas quanto ao nu´mero de pec¸as defeituosas por lote. Cada lote continha 500
pec¸as. Os resultados sa˜o apresentados na tabela a seguir,
nu´mero de Indu´stria A Indu´stria B
pec¸as defeituosas 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
lotes 5 3 3 6 3 8 3 5 4 0
Pede-se: Qual das duas amostras e´ a MENOS homogeˆnea? Justifique sua resposta com o
ca´lculo das medidas descritivas apropriadas.
Temos que
X¯A =
0× 5 + 1× 3 + 2× 3 + 3× 6 + 4× 3
5 + 3 + 3 + 6 + 3
=
39
20
= 1, 95
e
X¯B =
0× 8 + 1× 3 + 2× 5 + 3× 4 + 4× 0
8 + 3 + 5 + 4 + 0
=
25
20
= 1, 25
Ale´m disso,
SQDA =
(
02 × 5 + 12 × 3 + 22 × 3 + 32 × 6 + 42 × 3)− (39)2
20
= 117− 76, 05 = 40, 95
assim,
SA =
√√√√√ SQDAk∑
i=1
fi − 1
=
√
40, 95
20− 1 =
√
2, 1553 = 1, 4681
e
SQDB =
(
02 × 8 + 12 × 3 + 22 × 5 + 32 × 4 + 42 × 0)− (25)2
20
= 59− 31, 25 = 27, 75
logo
SB =
√√√√√ SQDBk∑
i=1
fi − 1
=
√
27, 75
20− 1 =
√
1, 4605 = 1, 2085.
Desta forma
CVA (%) =
SA
XA
× 100% = 1, 4681
1, 95
× 100% = 75, 29%
CVB (%) =
SB
XB
× 100% = 1, 2085
1, 25
× 100% = 96, 68%
Como CVB (%) > CVA (%), a turma B e´ menos homogeˆnea que a turma A.
8
5.(14 pontos) A tabela seguinte mostra valores da renda familiar extra mensal (X = R$
× 1000) e os respectivos valores dos gastos mensais com produtos supe´rfluos (Y em R$
× 100). A renda familiar extra e´ o montante que sobra apo´s os pagamentos de todas as
despesas da famı´lia, e, os produtos supe´rfluos sa˜o aqueles que na˜o compo˜em a cesta ba´sica
e na˜o sa˜o considerados essenciais (bebidas alcoo´licas, doces, etc).
X 0 1,5 2 2,5 3
Y 1 2 3 6 8
a.(4 pts) Determine a equac¸a˜o de regressa˜o linear simples que permita estimar o gasto
me´dio com produtos supe´rfluos em func¸a˜o da renda extra.
Temos que
n∑
i=1
Xi = 9;
n∑
i=1
X2i = 21, 5;
n∑
i=1
Yi = 20;
n∑
i=1
Y 2i = 114;
n∑
i=1
XiYi = 48;
SQDX = 5, 3; SQDY = 34; SPDXY = 12.
Assim,
β̂1 =
SPDXY
SQDX
=
12
5, 3
= 2, 2642
β̂0 = Y¯ − β̂1Y¯ = 4− 2, 2642× 1, 8 = −0, 0756
Logo
Ŷi = −0, 0756 + 2, 2642Xi
b.(4 pts) Interprete o valor estimado para o coeficiente da regressa˜o.
β̂1 = 2, 2642 e´ o aumento me´dio estimado, em (R$×100), dos gastos mensais com
produtos supe´rfluos quando aumenta-se em uma unidade (R$×1000) a renda familiar
extra.
c.(4 pts) Interprete o valor estimado para a constante da regressa˜o.
Para uma famı´lia que na˜o tem sala´rios extras, estima-se que haja um gasto me´dio
de β̂0 = −0, 0756 com produtos extras. (Na˜o ha´ interpretac¸a˜o pra´tica.)
d.(2 pts) Obtenha uma estimativa do gasto me´dio mensal com produtos supe´rfluos para
uma famı´lia cuja renda mensal extra e´ de dois mil reais (R$ 2000,00). Informe
tambe´m o desvio da regressa˜o para esta estimativa.
Para X3 = 2⇒ Ŷ3 =?
Ŷ3 = −0, 0756 + 2, 2642× 2 = 4, 4528
Temos que ε̂3 = Y3 − Ŷ3 = 3− 4, 4528 = −1, 4528
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6.(14 pontos) Considere a distribuic¸a˜o conjunta de probabilidades a seguir.
Y
Total
X 0 2 4
0 0,20 0,08 0,12 0,40
1 0,18 0,12 0,30 0,60
Total 0,38 0,20 0,42 1,00
Pede-se: calcule a covariaˆncia entre X e Y .
Temos que a distribuic¸a˜o marginal de X e´
x 0 1 Total
P [X = x] 0,40 0,60 1
e a distribuic¸a˜o marginal de Y e´
y 0 2 4 Total
P [Y = y] 0,38 0,20 0,42 1
Assim
E [X] = 0× 0, 40 + 1× 0, 60 = 0, 60
e
E [Y ] = 0× 0, 38 + 2× 0, 20 + 4× 0, 42 = 2, 08
Ale´m disso
E [XY ] = 0× 0× 0, 20 + 0× 2× 0, 08 + 0× 4× 0, 12 +
+ 1× 0× 0, 18 + 1× 2× 0, 12 + 1× 4× 0, 30
= 1, 44
Desta forma
Cov [X, Y ] = E [XY ]− E [X]E [Y ] = 1, 44− 0, 60× 2, 08 = 0, 192
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7.(20 pontos) Um fabricante informa que, com o processo atual de fabricac¸a˜o, seus cabos
de ac¸o inoxida´vel apresentam uma tensa˜o me´dia de ruptura igual a µ = 1000 quilogramas
(kg), com um desvio padra˜o de σ = 50 kg. Para avaliar se uma nova te´cnica de fabricac¸a˜o
e´ melhor ou pior no sentido de aumentar ou diminuir a tensa˜o me´dia de ruptura dos cabos,
avaliou-se uma amostra aleato´ria de n = 25 cabos produzidos com esta nova te´cnica de
fabricac¸a˜o e obteve-se uma tensa˜o me´dia de ruptura igual a X = 1013 kg. Ao n´ıvel de
5% de significaˆncia pede-se:
a.(5 pts) Hipo´teses estat´ısticas.{
H0 : µ = 1000
H1 : µ 6= 1000
(Teste bilateral)
b.(5 pts) Valor calculado.
Z =
X¯ − µ0
σ√
n
=
1013− 1000
50√
25
= 1, 3
c.(5 pts) Valor tabelado
Ztab = Z0,475 = 1, 96
Errado se olhar Ztab = Z0,45 = 1, 64.
d.(5 pts) Decisa˜o do teste.
Como |Zcal| < |Ztab|, na˜o ha´ ind´ıcios para rejeitarmos H0 ao n´ıvel de 5% de sig-
nificaˆncia. Desta forma, na˜o ha´ ind´ıcios de que a nova te´cnica difira da te´cnica
anteriormente empregada, apresentando mesma tensa˜o me´dia de ruptura.
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