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FORMAÇÃO CONTINUADA DE DOCENTES DO ENSINO MÉDIO NAS ÁREAS 
DE CIÊNCIAS DA NATUREZA, MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS 
PROGRAMA DE MELHORIA E EXPANSÃO DE ENSINO MÉDIO – PROMED 
 
 
Disciplina: Análise Combinatória 
Responsável: Márcia R. Cerioli 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análise Combinatória 
Em Princípio 
 
 
 
 
 
 
 
Autor: Sérgio da Silva Barbosa 
C. E. Evangelina Porto da Motta, Duque de Caxias 
 
 
Rio de Janeiro, novembro de 2005
 2
 
APRESENTAÇÃO DA PROPOSTA 
 
O foco da nossa atenção restringiu-se ao estudo inicial do princípio Multiplicativo, 
essencial para a compreensão de outros temas subseqüentes da análise combinatória. 
Este trabalho não pretende ser uma crítica ao livro didático, nem ao seu conteúdo; 
mas, uma forma de organização do trabalho docente na apresentação de temas de Análise 
Combinatória quando abordados de modo incompleto no livro. 
Queremos fundamentar para o aluno a visão da construção das idéias envolvidas na 
compreensão de questões de análise combinatória no ensino médio. Para isso tentaremos 
abordar de maneira o mais lúdica possível, com vistas a gerar um maior interesse do aluno 
no seu estudo, os primeiros contatos com os temas e idéias que pensamos necessários. 
Apoiaremos nossa ação em alguns dos livros didáticos aprovados pelo Ministério da 
Educação para compor o Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio (PNLEM – 
2006), de onde procuraremos ampliar conceitos (quando pensarmos necessário), utilizar 
alguns dos exercícios para exemplos de uso pelo professor e deixar lista de tarefas para 
execução pelos alunos. A utilização desses livros se deve ao fato de eles já terem sido 
distribuídos aos professores por ocasião das suas escolhas e de haver uma análise crítica do 
porquê da sua aprovação editada pelo Ministério da Educação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3
 
ROTEIRO DO PROFESSOR 
 
Queremos resolver problemas de contagem que utilizem o princípio multiplicativo; 
para isso vamos, então, enunciá-lo: 
 
Conforme Iezzi : " se uma ação é constituída de duas etapas sucessivas. Sendo que a 
primeira etapa pode ser realizada de n maneiras distintas. Para cada 
uma dessas possibilidades, a segunda etapa pode ser realizada de m 
maneiras distintas. Então, o número de possibilidades de se efetuar a 
ação completa é dado por n × m. 
Esse princípio pode ser generalizado para ações constituídas de mais 
de duas etapas sucessivas." ([1] – página 307) 
 
Consideramos que ao falar em ações constituídas por etapas sucessivas, o autor está 
se referindo a decisões que faremos em cada uma dessas etapas; por isso utilizaremos 
amplamente a palavra decisão, por pensarmos mais adequada e sem prejuízo à definição do 
autor. 
Estabeleçamos a seguinte notação: 
 
Para descrição das n sucessivas decisões a serem tomadas, temos que: 
 
d1 : a primeira decisão a ser tomada 
d2 : a Segunda decisão a ser tomada 
. . : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
dn : a n – ésima decisão a ser tomada. 
 
Contagem das sucessivas decisões ou número de maneiras que uma decisão pode 
ser tomada: 
 
# d1 : número de maneiras de tomar a decisão d1 
 # d2 : número de maneiras de tomar a decisão d2 
 ...... : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
# dn : número de maneiras de tomar a decisão dn 
 
E daí, temos pelo enunciado do Princípio Multiplicativo que # d1 × # d2 × . . . × # 
dn é o número total de maneiras de tomar as n decisões sucessivas nesta ordem. 
 
Aceitemos a recomendação do Professor Morgado: 
"Pequenas dificuldades adiadas costumam transformar-se em grandes dificuldades. 
Se alguma decisão é mais complicada que as demais, ela deve ser tomada em 
primeiro lugar”.([5] – página 20) 
 4
Vale lembrar que pela comutatividade da multiplicação o valor do produto # d1 × 
# d2 × . . . × # dn não se altera, qualquer que seja a ordem que as decisões forem tomadas; 
portanto podermos seguir a recomendação dada. 
 
 
LISTAGEM PARA CONTAGEM; 
MAS ENFIM, CONTAGEM. 
 
Uma forma de contar o número de maneiras de tomar as n decisões é fazer a 
listagem de todos as suas possibilidades de ocorrência, ou seja, todos os casos, e fazer a 
contagem diretamente na lista confeccionada contando os agrupamentos um a um; mas na 
prática este procedimento tornar-se "inviável" para valores grandes de n, por exemplo. 
 
Contudo, devemos considerar que a organização de uma possível forma de listar, 
dá-nos uma visão mais clara da ordem de escolha que devemos adotar para as nossas 
decisões. Daí pensarmos a importância da árvore de possibilidades, conforme [3]- página 
185, na construção e fixação da idéia de ordenação (organização) dos elementos listados de 
modo a assegurar a correta contagem ou uso do princípio multiplicativo. 
 
Exploraremos o exemplo "Em quantas ordens diferentes 4 pessoas podem se sentar 
num sofá de 4 lugares?"[3], para enunciarmos e exercitarmos o princípio multiplicativo, a 
partir da árvore de possibilidades dada. 
 
Com isto esperamos ter condensado de maneira clara e objetiva as idéias que nos 
foram apresentadas sobre o tema Princípio Multiplicativo, no Curso de Análise 
Combinatória – UFRJ/SEE-RJ/PROMED – 2005. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5
ATIVIDADES PARA O ALUNO 
 
Nos estudos iniciais de análise combinatória, no Ensino Médio, é comum o 
aparecimento de uma “bula de fórmulas”, o que queremos evitar. Com esta intenção, 
tentaremos apresentar atividade lúdica que requeira inicialmente o uso das idéias do 
princípio multiplicativo. Reservamos o tempo mínimo de três aulas no ensino médio 
noturno para desenvolvermos as atividades seguintes e consideramos que o professor 
dispõe de aulas em dois tempos sucessivos (100 minutos). 
 
 
A atividade – 1, deve ser aplicada com duração máxima de 30 minutos, sendo que: 
 
a) Em 15 minutos – os grupos concluem as suas listagens e fazem a contagem e o 
registro do total de palavras conseguidas . 
b) Em 10 minutos – os grupos que não atingiram o total de palavras esperado tentarão 
encontrar a(s) palavra(s) que faltou (faltaram) listar. 
c) Em 5 minutos – o professor lança a questão da atividade – 1, para então distribuir a 
atividade – 2. 
 
 
 A atividade – 2, para a qual reservamos 40 minutos, deve: 
 
a) Descrever a construção de cada um dos ramos da árvore de possibilidades, a partir dos 
seus vértices. 
b) Relacionar os ramos construídos às decisões tomadas. 
c) Destacar a importância da árvore na organização das idéias e a conseqüente aplicação do 
Princípio Multiplicativo para contagem dos agrupamentos. 
d) Enunciar para o aluno o princípio multiplicativo. 
e) Destacar a importância da organização das idéias com o objetivo de aplicar o Princípio 
Multiplicativo. 
 
 
A atividade – 3, para que reservamos os 80 minutos finais deste trabalho, tem o 
objetivo de acompanhar as demandas dos alunos e o seu desenvolvimento com relação ao 
tema proposto, deverá ser realizada como segue: 
 
a) Distribuir os exercícios de aprendizagem e os exercício extras. 
b) Solicitar que a solução dos exercícios seja feita com o uso do Princípio Multiplicativo. 
c) Deverá ser feita a construção da árvore, ou o seu esboço, com a finalidade de dirimir 
dúvidas e organizar idéias de modo a estimular o uso do Princípio Multiplicativo com 
segurança por parte dos alunos. 
 
Para os exercícios extras: pedir aos alunos que montem um gabarito com as soluções das 
questões propostas; e sugerimos premiar, ou seja, pontuar os melhores gabaritos e inclusive 
divulgá-lo(s) entre os alunos. 
 6
Atividade - 1 Listagem e contagem Tempo previsto: 30 minutos1) Separar a turma em grupos de trabalho; 
2) Solicitar que troquem a ordem das letras de palavras contendo 2, 3, e 4 letras; em cada 
caso o grupo deve listar as trocas efetuadas nas palavras e fazer a contagem (abaixo); 
3) Comparar os resultados dos grupos para verificar possíveis divergências; 
4) Montar um placar para anotação dos pontos obtidos pelos grupos, ganha mais pontos 
quem listar mais “palavras”; 
5) Lançar a questão: Você poderia encontrar o total de palavras escritas com a troca de 
ordem das letras de uma palavra sem ter que listar todas? Como você faria? 
 
 
Troque a ordem em que aparecem as letras das palavras abaixo e conte o total de 
palavras que você conseguiu escrever; não importando se a palavra faz ou não sentido; cada 
palavra assim escrita vale dois pontos. 
 
 
Grupo – 1 JÁ VAI SAIR 
Grupo – 2 EU SEI ZOAR 
Grupo – 3 OS QUE LIAM 
Grupo – 4 AO SEU AMOR 
Grupo – 5 EM SUA VIDA 
Grupo – 6 DE PRA POIS 
 
Aproveitemos este momento para dizer o significado da palavra anagrama; façamos 
a sugestão de que os próprios alunos o confirmem posteriormente. 
 
 
 
Habilidades desenvolvidas: 
Listagem e ordenação dos elementos formativos da palavra e a sua contagem; 
 
Objetivos: 
- Verificar a importância de listar-se ordenadamente objetos ou eventos com a finalidade 
de contá-los; 
 
- Verificar o inconveniente de listar agrupamentos de grandes números de objetos. 
 
 
 
 
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 Atividade – 2 Árvore de possib des Tem revisto s 
 
1) Distribuir o exemplo da árvore ssibilidad
2) Explicar a sua construção; 
3) Explorá-lo de modo a construir a do prin multiplica
 
"Em quantas ordens diferentes 4 oas podem entar num de 4 l 
Vamos ordenar a posição de cada u as pessoa ndo P1, P e P4 ui-
las. 
 
 
 
 
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P1 P3 P2 P4
P1 P3 P4 P2
 
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P1 P4 P3 P2
 
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P2 P1 P4 P3
 
P2 P3 P1 P4
P2 P3 P4 P1
 
P2 P4 P1 P3
P2 P4 P3 P1
 
P3 P1 P2 P4
P3 P1 P4 P2
 
P3 P2 P1 P4
P3 P2 P4 P1
 
P3 P4 P1 P2
P3 P4 P2 P1
 
P4 P1 P2 P3
P4 P1 P3 P2
 
P4 P2 P1 P3
P4 P2 P3 P1
 
P4 P3 P1 P2
P4 P3 P2 P1
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Objetivos: 
- Compreender a construção da árvore de possibilidades; 
- Enunciar o Princípio Fundamental de Contagem ou Princípio Multiplicativo; 
- Usar o princípio multiplicativo em substituição à contagem direta. 
 
 
Atividade – 3 Aplicar lista de exercícios Tempo previsto: 80 minutos 
 
Propor exercícios para aprendizagem: 
- Os grupos devem produzir uma solução das questões apresentadas na lista de 
exercícios de aula; 
 
Propor exercícios extras: 
- Iniciar exercícios em sala de aula e incentivar que sejam solucionadas em atividades 
extra classe. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ROTEIRO DO ALUNO 
 
 
 
ATIVIDADE – 1 
 
Troque a ordem em que aparecem as letras das palavras agrupadas abaixo e conte o 
total de palavras que você conseguiu escrever; não importando se a palavra faz ou não 
sentido; cada palavra assim escrita vale dois pontos. 
 
 
Grupo – 1 
 JÁ VAI SAIR 
 
 
Grupo – 2 
 EU SEI ZOAR 
 
 
Grupo – 3 
OS QUE LIAM 
 
 
 Grupo – 4 
 AO SEU AMOR 
 
 
Grupo – 5 
 EM SUA VIDA 
 
 
Grupo – 6 
 DE PRA POIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ATIVIDADE – 2 
 
A ÁRVORE DE POSSIBILIDADES: 
Contagem direta e o princípio multiplicat
 
Em quantas ordens diferentes 4 pessoas podem se sentar n fá de 4 lugares? 
Vamos ordenar a posição de cada uma das pessoas us P1, P2, P3 e P4 para 
distingui-las. 
 
 
 
 
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P2 P3 P4 P1
 
P2 P4 P1 P3
P2 P4 P3 P1
 
P3 P1 P2 P4
P3 P1 P4 P2
 
P3 P2 P1 P4
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P4 P2 P3 P1
 
P4 P3 P1 P2
P4 P3 P2 P1
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Para formar o diagrama acima, conhecido como árvore de possibilidades, tivemos que 
tomar as seguintes decisões: 
 
Decisão 1 – Escolher uma das quatro pessoas P1, P2, P3 ou P4 para ocupar o primeiro 
 lugar no sofá; 
 
Decisão 2 – Escolher uma das três pessoas restantes para ocupar o segundo lugar no sofá; 
 
Decisão 3 – Escolher uma das duas pessoas restantes para o terceiro lugar no sofá; 
 
Decisão 4 – ocupar o lugar no sofá com a única pessoa restante. 
 
 
Verificamos que podemos arrumar as pessoas nos lugares do sofá de 24 maneiras 
distintas, já que podemos contar diretamente no diagrama as ordenações conseguidas. Mas 
este processo é trabalhoso; daí observarmos que o uso do princípio multiplicativo é mais 
eficaz, devemos então organizar nossas idéias com a finalidade de aplicá-lo, assim temos: 
 
 
Organização das nossas idéias Aplicação do princípio multiplicativo 
a decisão-1 pode ser tomada de 4 modos 
a decisão-2 pode ser tomada de 3 modos 
a decisão-3 pode ser tomada de 2 modos 
a decisão-4 pode ser tomada de 1 único 
 modo 
decisão1 × decisão2 × decisão3 × decisão4 
 
 4 × 3 × 2 × 1 = 24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO 
 
" se uma ação (ou decisão) é constituída de duas etapas sucessivas. Sendo 
que a primeira etapa pode ser realizada de n maneiras distintas. Para cada 
uma dessas possibilidades, a segunda etapa pode ser realizada de m 
maneiras distintas. Então, o número de possibilidades de se efetuar a ação 
(ou decisão) completa é dado por n × m. 
Esse princípio pode ser generalizado para ações (ou decisões) constituídas 
de mais de duas etapas sucessivas." 
 
Estabeleçamos a seguinte notação: 
 
I - Para descrição das n sucessivas decisões a serem tomadas:: 
 
d1 : a primeira decisão a ser tomada 
d2 : a segunda decisão a ser tomada 
. . : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
dn : a n – ésima decisão a ser tomada. 
II - Contagem do número de maneiras que uma decisão pode ser tomada: 
 
# d1 : número de maneiras de tomar a decisão d1 
 # d2 : número de maneiras de tomar a decisão d2 
 ...... : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
# dn : número de maneiras de tomar a decisão dn 
 
E daí temos pelo enunciadodo Princípio Multiplicativo que # d1 × # d2 × . . . × # dn 
é o número total de maneiras de tomar as n decisões sucessivas nesta ordem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 13
 
ATIVIDADE – 3 Lista de Exercícios 
 
1) Considere os anagramas da palavra BRASIL. 
a) quantos são? 
b) quantos começam por B? 
c) quantos começam por vogal? 
d) quantos apresentam as letras BR juntas e nesta ordem? 
e) quantos apresentam as letras BR juntas, em qualquer ordem? 
 
2) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9: 
a) quantos números de três algarismos distintos podemos formar? 
b) quantos números de três algarismos distintos são divisíveis por 5? 
 
3) Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9: 
a) quantos números de três algarismos distintos podemos formar? 
b) quantos números de três algarismos distintos são divisíveis por 5? 
 
 
4) Dez caminhos conduzem ao cume de uma montanha. Qual é o número de modos de que 
uma pessoa dispõe para subir e descer usando: 
a) quaisquer dos caminhos? 
b) para descer, caminho distinto do caminho de subida? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 14
 
ATIVIDADE – EXTRA Lista de Exercícios 
 
1) Alguns truques com palavras também envolvem matemática. Veja: 
 
A M O A M O R A M O R A 
M O M O R M O R A 
O O R O R A 
 R R A 
 A 
 
a) De quantas maneiras diferentes podemos obter as palavras AMO, AMOR e AMORA 
partindo sempre do A e indo para a direta e/ou para baixo? Como achar esses valores 
sem ter que contar diretamente as possibilidades? 
 
b) Você gostaria de organizar estas palavras de outra forma? Qual ou quais? 
 
 
 
2) Palíndromo é um número que, tanto da esquerda para a direita como da direita para a 
esquerda, tem a mesma leitura. 
 
a) Dê um exemplo de números palíndromos de 3 e de 4 algarismos. 
 
b) Quantos números palíndromos de 3 e de 4 algarismos existem no nosso sistema de 
numeração? 
 
 
 
 
3) A escrita Braile para cegos é um sistema de símbolos em que cada um dos caracteres é 
formado por uma matriz de seis pontos, dos quais pelo menos um se destaca. Assim, 
por exemplo: 
 
 A B 
 ● · ● · 
 · · ● · 
 · · · · 
 
Qual o número máximo de caracteres distintos que podem ser representados nesse 
sistema de escrita? 
 
 
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Análise Combinatória em Princípio: Princípio Multiplicativo 
 
Relatório de Aplicação das Atividades: 
 
As atividades foram aplicadas nos dia 26 e 27 de outubro aos alunos da turma 2002, 
segundo ano do Ensino Médio, horário noturno, do Colégio Estadual Evangelina Porto da 
Motta, localizado no município de Duque de Caxias. 
 
Atividade – 1 
Esta atividade teve a participação ativa de todos os componentes dos grupos e atingiu 
plenamente os seus objetivos. Na etapa de verificação e correção dos resultados obtidos, os 
grupos que não conseguiram listar todas as "palavras" puderam localizar as suas falhas. Os 
alunos perceberam que ao escolher uma palavra com uma letra a mais que a palavra 
anterior, o número de anagramas aumenta muito: "e aí se aumentar muito, como é que a 
gente faz?", palavras dos alunos. Esta indagação nos remeteu ao lançamento da questão 
desta atividade (item 5) e à distribuição da atividade seguinte. 
 
Atividade – 2 
A atividade teve a participação ativa dos alunos e atingiu os seus objetivos. A descrição da 
construção da árvore de possibilidades chamou a atenção dos alunos para a organização na 
listagem das configurações. O exemplo da árvore de possibilidades serviu para introdução 
do tema; para explorá-lo melhor. Diante das dúvidas que surgiam, tomamos o caminho de 
refazer a atividade – 1, usando a construção das suas árvores de possibilidades, passo a 
passo com os alunos. Só então retornarmos ao exemplo. O Princípio Multiplicativo ficou 
melhor entendido a partir do desenvolvimento desta atividade, os alunos se consideram 
mais aptos na sua utilização. Devemos observar que esta turma já estudara este tema. 
Assim, os alunos verificaram melhora na organização das suas idéias. Através do 
reconhecimento das decisões a serem tomadas na construção da árvore de possibilidades, os 
eles puderam aplicar o Princípio Multiplicativo à solução de problemas, conforme atividade 
seguinte. 
 
Atividade – 3 
Os grupos produziram as suas soluções da lista de exercícios e entregaram uma versão. Em 
geral os rascunhos continham algum esboço da árvore de possibilidades. Porém, os alunos 
relutaram em construí-la como parte de suas soluções. Como este alunos já estudaram a 
"matéria", desenvolvem as suas soluções escritas na forma como anteriormente faziam: 
indicam a tomada de decisão usando o ponto de interrogação (?) e imediatamente em baixo 
deste escrevem o número de decisões possíveis de serem tomadas nesta etapa, repetem este 
procedimento para as outras etapas sucessivamente. 
 
Os exercícios extras podem fazer o intercâmbio da Matemática com outras Disciplinas ou 
atividades. Por sugestão da professora de Língua Portuguesa Tereza Cristina, pedimos que 
os alunos lessem a questão número um desta atividade como quem lê uma poesia, ou seja, 
 21
abrangendo todas as interpretações que eles pudessem dar. Até este momento, não tivemos 
retorno deste novo olhar sobre a atividade. 
Deixamos, então, a sugestão de o professor distribuir aos seus companheiros de trabalho 
uma cópia destas atividades aqui apresentadas e/ou de outras para uma nova abordagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 22
BIBLIOGRAFIA: 
 
 
[1] Iezzi, Gelson; e outros. Coleção Matemática: ciência e aplicações, volume-2, ensino 
 médio, 2ª edição, São Paulo: Atual, 2004. Outros autores: Osvaldo Dolce, David 
 Degenszajn, Roberto Périgo, Nilze de Almeida. 
 
[2] Smole, Kátia C. Stocco; Diniz, M. Ignez de S. Vieira. Matemática Ensino Médio, 
 volume -2, 3ª edição, São Paulo: Saraiva, 2003. 
 
[3] Barreto Filho, Benigno; Silva, Cláudio Xavier da. Coleção Matemática Aula por Aula, 
 ensino médio, volume-2, 1ª edição, São Paulo: FTD, 2003. 
 
[4] Bianchini, Edwaldo; Paccola, Herval. Matemática, ensino médio, volume-2, 1ª edição, 
 São Paulo: Moderna, 2004. 
 
 As publicações acima estão incluídas no PNLEM – 2006. 
 
 
[5] Morgado, A. C. Oliveira; e outros. Análise Combinatória e Probabilidade, Coleção do 
Professor de Matemática, SBM. Outros autores: João Bosco P. Carvalho, Paulo 
C. Pinto Carvalho, Pedro Fernandez. 
 
[6] Ministério da Educação. Catálogo do PNLEM –2006. ME/SEB/FNDE, Brasília- 
 D.F., 2004. Ministro da educação Tarso Genro.