Res Mat I Aula 03 04 Momento de Inercia mod

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Resistência dos Materiais I
Prof. Dr. Alexandre de Souza Rios
Momento de inércia: perfil retangular, U, T, I, L
03.04 - Concentração de tensão em furos e entalhes 
de barras chatas sujeitas à flexão pura
Unidade III – Flexão (adotada)
• 03.01 - Definição de flexão pura;
• 03.03 - Tensão gerada por momento fletor;
• 03.05 - Deslocamento de barras submetidas à
flexão pura (raio de curvatura);
• 03.04 - Concentração de tensão em furos e
entalhes de barras chatas sujeitas à flexão pura.
• Momento de inércia: perfil retangular, U, T, I, L
• 03.02 (parte I) - Cálculo de momentos em
determinados pontos de uma barra ou viga;
Objetivos de aprendizagem desta aula
Atividades✓ esperadas pelo aluno nesta aula:
Calcular• tensão máxima e deslocamentos gerados
pelo momento em barras submetidas à flexão pura;
Revisar• cálculos e conhecimentos sobre momento
de inércia;
Calcular• momento e tensões mecânicas aplicando a
relação 𝜎=Mc/I;
Atividades✓ esperadas pelo aluno nesta aula:
Compreender• a transmissão de esforços nas regiões
onde a geometria é bruscamente alterada (regiões
concentradoras de tensão) e submetidas à flexão
pura;
Identificar• e calcular o fator concentrador de tensões
em materiais submetidos à flexão pura;
Calcular• as tensões médias e máximas em regiões
concentradoras de tensão.
Objetivos de aprendizagem desta aula
Flexão pura –
Tensões e deformações no regime elástico
𝜎𝑥 = ±
𝑀𝑧𝑦
𝐼𝑧 + 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎
ሺ−) 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑣𝑎
𝑦: 𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜 𝑎𝑟𝑏𝑖𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑎 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑑𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑎
)𝐼𝑧:𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑒 z ሺ𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜
𝜎𝑚á𝑥
𝑐
න𝑦²𝑑𝐴 =𝑀𝑧
𝐼𝑧 = න𝑦²𝑑𝐴
𝜎𝑚á𝑥 =
𝑀𝑧𝑐
𝐼𝑧
Compreendendo os parâmetros da 
fórmula
Compreendendo os parâmetros da 
fórmula
Compreendendo os parâmetros da 
fórmula
𝜎𝑚á𝑥 =
𝑀𝑧𝑐
𝐼𝑧
Compreendendo os parâmetros da 
fórmula
𝜎𝑚á𝑥 =
𝑀𝑧𝑐
𝐼𝑧
𝐼𝑧 =
𝑏ℎ3
12
𝐼𝑧: 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑧
Compreendendo os parâmetros da 
fórmula
𝜎𝑚á𝑥 =
𝑀𝑧𝑐
𝐼𝑧
𝐼𝑧 =
𝑏ℎ3
12
𝐼𝑧: 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑧
Compreendendo os parâmetros da 
fórmula
𝜎𝑚á𝑥 =
𝑀𝑧𝑐
𝐼𝑧
𝐼𝑧 =
𝑏ℎ3
12
𝐼𝑧: 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑧
Compreendendo os parâmetros da 
fórmula
𝜎𝑚á𝑥 =
𝑀𝑧𝑐
𝐼𝑧
𝐼𝑧 =
𝑏ℎ3
12
𝐼𝑧: 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑧
Módulo de resistência à flexão
Módulo de resistência à flexão
Módulo de resistência à flexão
Isso mostra que no caso 
de duas vigas com a 
mesma área A de seção 
transversal, aquela com a 
altura h maior terá um 
módulo de resistência 
maior e, portanto, terá
uma capacidade maior 
para resistir à flexão.
Pré-seleção de vigas
Momento de inércia de materiais
Momento de inércia de materiais
Momento de inércia de materiais 
assimétricos
Momento de inércia de materiais 
assimétricos
Momento de inércia de materiais 
assimétricos
Momento de inércia de materiais 
assimétricos
Momento de inércia de materiais 
assimétricos
Momento de inércia de materiais 
assimétricos
Momento de inércia de materiais 
assimétricos
Momento de inércia de materiais 
assimétricos
Momento de inércia de materiais 
assimétricos
Momento de inércia de materiais 
assimétricos
Momento de inércia de materiais 
assimétricos
Momento de inércia de materiais 
assimétricos
Momento de inércia de materiais 
assimétricos
Exemplo (4.1 do Beer)
• A barra abaixo está submetida a dois momentos fletores
iguais e opostos atuando no plano vertical de simetria da
barra. Determine o valor do momento fletor M que provoca
escoamento na barra. Considere 𝜎e=248 MPa.
Exemplo (4.1 do Beer)
Exemplo (4.1 do Beer)
Problema resolvido 4.1 (Beer)
• O tubo retangular mostrado na figura tem 𝜎e = 275 MPa e
𝜎RUP = 414 MPa e E=73 GPa. Determine (a) o momento fletor
M para o qual o coeficiente de segurança será de 3,00 e (b) o
raio de curvatura correspondente do tubo.
Problema resolvido 4.1 (Beer)
Problema resolvido 4.1 (Beer)
Problema resolvido 4.1 (Beer)
Problema resolvido 4.1 (Beer)
Problema resolvido 4.1 (Beer)
Problema resolvido 4.1 (Beer)
Problema resolvido 4.1 (Beer)
Concentração de tensões próximo a 
furos
Concentração de tensões próximo a 
furos
A: área de menor seção 
transversal!
Concentração de tensão em materiais 
sujeitos à flexão pura
Hibbeler
Concentração de tensão em materiais 
sujeitos à flexão pura
Hibbeler
Concentração de tensão em materiais 
sujeitos à flexão pura
?
Concentração de tensão em materiais 
sujeitos à flexão pura
Beer
Concentração de tensão em materiais 
sujeitos à flexão pura
Beer
Concentração de tensão em materiais 
sujeitos à flexão pura
Exemplo 6.26 (Hibbeler)
• A transição na área da seção transversal da barra de aço é
obtida por filetes de redução como mostra a Figura. Se a
barra for submetida a um momento fletor de 5 kN·m,
determine a tensão normal máxima desenvolvida no aço. A
tensão de escoamento é σe = 500 MPa.
Exemplo 6.26 (Hibbeler)
Exemplo 6.26 (Hibbeler)
Exemplo 6.26 (Hibbeler)
Exemplo 6.26 (Hibbeler)
Distante o suficiente 
do rebaixo e não sofre 
influência da região 
concentradora de 
tensão:
Exemplo 6.26 (Hibbeler)
• O módulo de resistência à
flexão (W) indica que quanto
mais área distante da sua linha
neutra em todo o seu contorno,
maior a resistência à flexão:
𝜎=M/W;
• O momento de inércia e a
geometria do material
flexionado exerce forte
influência nos valores de tensão
ocasionada por momento fletor.
Síntese
• O fator concentrador de tensão (K) associado
com a tensão média fornece a tensão máxima
aplicada no material com mudança brusca de
geometria e submetido à flexão pura;
• O fator K depende só da geometria do material;
Após• o distanciamento da mudança brusca de
geometria e, consequentemente da tensão
máxima, uma tensão média atuará (princípio de
Saint-Venant).
Síntese
Obrigado pela presença e até a 
próxima aula!