Lista de Exercicios- Retas e Planos

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Disciplina: Álgebra Vetorial e Geometria Analítica 
Turma: ________________________ 
Professor: ___________________________ Data: _______________ 
 
Aluno: _____________________________________________________________ 
 
 
 
 
Lista 2 - Retas e planos 
 
 
1. Dados A (1,2,3) e 
)1,2,3(v
, escreva equações da reta que contém A e é paralela a 
v
, nas 
formas vetorial, paramétrica e simétrica. Supondo que o sistema de coordenadas seja 
ortogonal, obtenha dois vetores diretores unitários dessa reta. 
 
2. Obtenha dois pontos e dois vetores diretores da reta de equações paramétricas 
R
z
y
x













,
24
1
. Verifique se os pontos 
)3,3,1( P
e 
 12,4,3Q
 pertencem à reta. 
 
3. Obtenha equações paramétricas da reta que contém o ponto 
 7,4,1 
 e é paralela à reta de 
equações paramétricas R
z
y
x











,
0
33
200
 
 
 
4. Escreva equações nas formas paramétricas e simétricas da reta que contém o ponto 
 3,0,2 A
 e é paralela à reta descrita pelas equações 
6
3
4
3
5
1 

 zyx
 
 
5. Sejam 
 5,2,1A
 e B(0,1,0). Determine o ponto P da reta AB tal que 
PAPB 3
. 
 
6. Sejam 
 1,1,1A
, B(0,0,1) e r:
   1,1,10,0,1 X
. Determine os pontos de r eqüidistantes 
de A e B. 
 
7. Obtenha equações paramétricas do plano que contém o ponto A(1,1,2) e é paralelo ao 
plano 












z
y
x
2
21
:
. 
 
8. Obtenha equações paramétricas e gerais dos planos coordenados. 
 
9. Decomponha 
)4,2,1(v
 como soma de um vetor paralelo à reta 
   0,1,218,9,1: Xr
 
com outro paralelo ao plano 












z
y
x
1
1
:
 
10. Obtenha uma equação geral do plano π em cada caso: 
a. π contém 
 0,1,1A
 e B(1,-1,-1) e é paralelo a 
 0,1,2v
. 
b. π contém 
 1,0,1A
, B(2,1,-1) e C(1,-1,0). 
c. π contém 
 1,0,1 P
 e 
z
yx
r 

2
32
1
:
 
d. π contém 
 1,1,1P
 e 
   1,1,12,2,0:  Xr
 
 
11. Dadas as equações paramétricas, obtenha uma equação geral do plano: 
a. 











3
2
1
z
y
x
 b. 











z
y
x
22
2
 
 
12. Dada uma equação geral, obtenha equações paramétricas do plano. 
a. 4x + 2y – z + 5 = 0 
b. 5x – y – 1 = 0 
c. z – 3 = 0 
d. y – z – 2 = 0 
 
13. 
.092 plano o com 
26
 reta da interseção a Determine  zyxz
yx
 
 
14. Determine a equação do plano que passa pelo ponto 
),-, (A 211
 e é perpendicular à reta 
).313(  , , t r: X
 
 
15. 
 a é 0 plano o com traçocujo e 121por passa que plano do equação a Obtenha z),,P(





0
23
 : reta
z
xy
r
 
16. 
plano aolar perpendicu é e
2
: reta pela passa que plano do equação a Obtenha








tz
ty
tx
r
 
0.1:  z2yx
 
17. 
. 
23
1
 reta à paralelo é e reta pela passa que plano do equação a Obtenha






z - y 
 zx
s: - z y r: x 
 
18. Dado o triedro cujas arestas são as retas x = 2y = z, – x = y = z e x = – 3y =2z, determine 
a equação dos planos das faces. 
 
19. Determine as equações da reta que passa pelo ponto 
 1,1,2 P
 e é perpendicular ao plano 
   .523112 ,,,,X  
 
 
20. Determine as equações da reta que passa pela origem, é paralela ao plano 
0223  zyx
 e intercepta a reta 
z
y
x 


3
2
1
. 
 
21. 
1
2
5
1
2
3
 reta a Dada





 zyx
, determine as coordenadas dos pontos de intersecção 
com os planos coordenados. 
 
22. Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto 
 1,2,1 P
 e 
intercepta as retas reversas 
. 
1
2
32
1










zy
zx
 s: e 
zy
zx
r: 
 
 
23. Determine as equações paramétricas da reta perpendicular comum às retas reversas 












 
z
y
x
s:
 
zy
r: x
22
12
1
1
 
 
24. 
    .coplanares são 312111 e 
5
6
23
4
 retas as se Verifique 



,,λ,,X
zyx
 
 
25. 
  121 de simétrico ponto o Determine ,-,P
 
a) 
zyx 1 reta à relação em
 
b) 
012 plano ao relação em  zyx
 
 
26. 
      ),3,1,2(413 : e 1,0,1110 : reversas retas duas Dadas   ,,Xs,,Xrdetermine 
o lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos que se apóiam em r e s. 
 
27. 
planos trêsaos comum ponto pelo e 
2
3
3
2
 :r reta pela passa que plano o Determine z
yx












0224
013
012
zyx
zyx
zyx
. 
 
28. 
      ABpor passa quer reta a e 4,2,11,1,10,0,1X: plano um Dado  , sendo 
   1,1,1B e 0,0,0A
,
r reta a onde ponto pelo passa que plano do equação a determine
 
intercepta o plano π e é paralelo ao plano 
.03:1 x
 
 
29. 
  plano ao paralelo seja u que modo de , e u vetoresdois em 3,1,2v vetor oDecompor w
 . plano ao ortogonal w e 03-zy-2x :   
 
30. 
      isósceles. é triânguloo que mostre ,5,11,3 e 4,1,2,1,-3,4- pontos os doConsideran ABCCBA 
 
31. 
:casos seguintes nos r, reta a e P ponto o entre distância a Determine
 
 
3
2
2
1-
 :r e P(1,2,-1) a)


z
y
x
; 





012z-y3x
0zy-2x
:r e P(1,-1,0) b)
 
 
 
32. 
:casos seguintes nos , plano o e P ponto o entre distância a Determine  
       














21
2x
 : e P(0,0,-1) b) 
0,0,11,2,31,2,1: e 2,1,-3P a) 
z
y
X
 
 
33. 
:dados planos dois dos tesequidistan pontos dos geométricolugar o Determine
 
 





02:
012:
2
1
zyx
zyx

 
 
34. 
).1,1,2((1,0,0) X:s e 
2
1-x
:r retas as entre ângulo o Determine  zy 
 
35. Determine 
0.1-z-y-2x: plano o com z-yx:r reta da ângulo o   
 
36. Determine 
   .2,1,12,1,3(1,1,1)X: e 0z-y-2x: planos dos ângulo o 21   
 
37. Obtenha 
reta a intercepta P(1,0,1), ponto pelo passa que reta da equações as 1 zyt: x 
 
formando um ângulo de 
3

 radianos. 
 
38. 
3
 de ângulo um faz que plano oconduzir ,Q(0,-2,-1) P(1,-1,0), PQ, reta Pela  radianos 
com o plano 
0.23z-2yx 
 
 
39. Dado o tetraedro de vértices A(1, 2, 1), B(2, -1, 1), C(0, -1, -1) e D(3, 1, 0), calcule a 
medida da altura do vértice D ao plano ABC. 
 
 
 
40. Do paralelepípedo a seguir, temos os seguintes dados: 
 
i. O plano ABC: x +y –z + 6 = 0 e a reta 
 DG: X = t(1, 2, -3), t real. 
ii. O plano ABF é perpendicular ao 
 Plano ABC e F(0, 2, 0). 
 
 Determine: 
a. As equações simétricas da reta AF. 
b. As equações paramétricas do plano ABF. 
c. As coordenadas do ponto D. 
d. A equação geral doplano EFG. 
 
 
 
Respostas 
 
1. X = (1,2,3) + 
Rtt ),1,2,3(
, 








tz
ty
tx
3
22
31
 , 
3
2
2
3
1




z
yx
, 







14
1
,
14
2
,
14
3
v
 
 2. 
 4,0,1A
, 
 6,1,0B
, 
 2,1,1u
 e 
 4,2,2 v
.
rP
e
rQ
. 
 
 3. 
R
z
y
x
r 










,
7
34
1
:
 4. 
18
3
415
2
,
63
3
4
52
:















zyx
eR
z
y
x
r 



 
5. P=






2
15
,
2
5
,
2
3
 ou P=






4
15
,
4
7
,
4
3
 6. P=
 0,0,1
 7. 
R
z
y
x













 ,,
2
21
21
:
. 
8. Plano x0y: z = 0 e 








0z
y
x


. Plano xoz: y = 0 e 










z
y
x
0
 . Plano yoz: x = 0 e 










z
y
x 0
 . 
9. 
   4,7,110,5,10)4,2,1( 
 
10. a) 
0142  zyx
; b) 
043  zyx
; c) 
0323  yx
; d) 
02  zx
 
11. a) 
0732  zyx
; b) 
02  zy
 
12. a) 











245z
y
x
; b) 











z
y
x
15
 ; c) 








3z
y
x


; d) 











2z
y
x
 , 
., R
 
13. 
 1,2,6 P
. 14. 
0833:  zyx
 15. 
0233:  zyx
 
16. 
02:  zx 
17. 
02:  zyx
 18. 
034:1  zyx
, 
0495:2  zyx
, 
01067:3  zyx
 
19. 
   .1137112 ,,t,,X 
 20. 
 .7179 ,,tX 
 
21. 
 0,9,71 P
, 







5
9
,0,
5
17
2P
 e 







2
7
,
2
17
,03P
 
22. 








tz
ty
tx
21
2
1
 23. 








tz
y
tx
0
 24. Não 25. a) 







3
5
,
3
4
,
3
5
'P
; 
b) 







3
1
,
3
4
,
3
7
'P
 
26. O lugar geométrico é o plano de equações R
z
y
x


















 ,,
2
3
22
3
2
22
3
: . 
 
27. 
2 1 5 8 4 4
:16 5 38 47 0. 28. : 4 3 0 29. , , , ,
3 3 3 3 3 3
x y z x v                 
   
 
 
69 3 14
30. ( , ) ( , ) 9 e ( , ) 5 10. 31. ) b) 
14 5 3
d A B d A C d B C a   
 
       
       
: 2 2 1 2 1 2 1 2 2 0
2
32. a) 5 b) 33. Os planos : 2 2 1 2 1 2 1 2 2 0
21
x y z
x y z


        


         


 
2 210
34. 0. // coincidentes. 35. 36. arccos
3 15
r s arcsen    
 
 
2 3 2 3 2 2 3 2 2 3
37. : (1,0,1) , , ou ' : 1,0,1 , ,
3 3 3 3 3 3
r X t r X t
 
 
                
 
 
 
1 238. : 2 3 5 0, :3 2 4 0x y z x y z         
 
8 19
39. 
19
 
 
2
40. a) : b) : 2 2
2 3
3
 
 ) ( 1, 2,3) d) : 2 0
x
y z
AF x ABF y
z
c D EFG x y z
 
 
 
 
 
    
    
     