Lista Álgebra II

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Lista de Exerc´ıcios de A´lgebra II - 01
1. Mostre que se D e´ um domı´nio de integridade finito,
enta˜o D e´ um corpo.
2. Seja D um domı´nio de integridade e φ : D → Z uma
func¸a˜o com φ(xy) = φ(x)φ(y) para quaisquer x, y ∈
D. Mostre que se u e´ um elemento invert´ıvel de D,
φ(u) = ±1.
3. Encontre todos os homomorfismos de ane´is entre Z e
Q.
4. Mostre que o ideal gerado por X2 + 1 na˜o e´ maximal
em Z[X].
5. Seja R um anel, um elemento a ∈ R e´ chamado de
nilpotente se an = 0 para algum n ∈ N. Mostre que o
conjunto de elementos nilpotentes de um anel comuta-
tivo e´ um ideal.
6. SejaR = {0, 2, 4, 6, 8} com adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o mo´dulo
10, Mostre que R e´ um corpo.
7. Determine todos os elementos que sa˜o seu pro´prio in-
verso em um domı´nio de integridade.
8. Se R e´ um anel e I e J sa˜o ideais de R. Mostre que:
(a) I + J = {a+ b|a ∈ I, b ∈ J} e´ um ideal de R.
(b) IJ = {∑ni=1 aibi|ai ∈ I, bi ∈ J} tambe´m e´ um
ideal.
9. Fatore f(X) = X3 +X2 +X + 1 em Z2[X].
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10. Encontre todas as soluc¸o˜es de X2−X+2 = 0 em Z3[i].
11. Mostre que
Q[X]
(X2 − 5)Q[X]
∼= Q(
√
5).
12. Seja F um corpo. Mostre que em F .
(a) A identidade e´ u´nica.
(b) Vale a lei do cancelamento, isto e´ se a 6= 0 e ba = ca
enta˜o b = c.
(c) O inverso de cada elemento, quando existe, e´ u´nico.
13. Seja R = {f : R → R} o anel das func¸o˜es de R em
R com a soma e o produto usuais de func¸o˜es reais.
Considere a aplicac¸a˜o
φ : R→ R
f 7→ f(0)
mostre que φ e´ um homomorfismo de ane´is e conclua
que I = {f ∈ R|f(0) = 0} e´ um ideal maximal de R.
14. Sejaw α, β ∈ C. Suponha que [Q(α) : Q] = m e
[Q(β) : Q] = n com (m,n) = 1, mostre que [Q(α, β) :
Q] = mn. Mostre tambe´m, com um exemplo, que se
(m,n) 6= 1, enta˜o [Q(α, β) : Q] na˜o e´ necessariamente
mn.
15. Mostre que [C,Q] =∞.
16. Assuma que C, o corpo dos nu´meros complexos, e´ um
corpo algebricamente fechado para mostrar que todo
polinoˆmio de R[X] de grau maior ou igual a 2 e´ re-
dut´ıvel sobre R.
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