RESUMO E EXERCICIOS LEIS DE KIRCHHOFF

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Capı´tulo 6
Leis de Kirchhoff
6.1 Definic¸o˜es
Em alguns casos, um circuito na˜o pode ser resolvido
atrave´s de associac¸o˜es em se´rie e paralelo. Nessas
situac¸o˜es geralmente sa˜o necessa´rias outras leis, ale´m
da lei de Ohm, para sua resoluc¸a˜o. Estas leis adicio-
nais sa˜o as leis de Kirchhoff, as quais propiciam uma
maneira geral e sistema´tica de ana´lise de circuitos. Elas
sa˜o duas, a saber:
• Primeira lei de Kirchhoff ou lei das Correntes
• Segunda lei de Kirchhoff ou lei das Tenso˜es
Para o uso destas leis sa˜o necessa´rias algumas
definic¸o˜es:
• No´: e´ um ponto do circuito onde se conectam no
mı´nimo treˆs elementos. E´ um ponto onde va´rias
correntes se juntam ou se dividem.
• Ramo ou brac¸o: e´ um trecho de um circuito com-
preendido entre dois no´s consecutivos. Todos os
elementos pertencentes ao ramo sa˜o percorridos
pela mesma corrente ele´trica.
• Malha: e´ um trecho de circuito que forma uma
trajeto´ria eletricamente fechada.
Figura 6.1: Circuito ele´trico com dois no´s
Na figura 6.1, por exemplo, identifica-se:
1. dois no´s: B e F
2. treˆs ramos: BAEF, BDF e BCGF
3. treˆs malhas: ABDFEA, BCGFDB e ABCGFEA
6.2 Primeira Lei de Kirchhoff
Uma boa introduc¸a˜o a` Primeira Lei de Kirchhoff ja´ foi
vista no circuito paralelo. Num dado no´ entrava a cor-
rente total do circuito e do mesmo no´ partiam as corren-
tes parciais para cada resistor. Como no no´ na˜o ha´ possi-
bilidade de armazenamento de cargas ou vazamento das
mesmas, tem-se que a quantidade de cargas que chegam
ao no´ e´ exatamente igual a` quantidade de cargas que
saem do no´.
Desta constatac¸a˜o surge o enunciado da primeira lei
de Kirchhoff:
“A SOMA ALGE´BRICA DAS CORRENTES EM UM NO´
E´ SEMPRE IGUAL A ZERO.”
n
∑
i=0
Ii = 0 (6.1)
Por convenc¸a˜o, consideram-se as correntes que en-
tram em um no´ como positivas e as que saem como ne-
gativas.
Considere o circuito da figura 6.2.
Ao se aplicar a lei de Kirchhoff das correntes aos no´s
B e F, obte´m-se:
No´ B: I1 + I2− I3 = 0
No´ F: −I1− I2 + I3 = 0
Observa-se que as equac¸o˜es dos no´s B e F sa˜o na re-
alidade as mesmas, ou seja, a aplicac¸a˜o da lei das cor-
rentes de Kirchhoff ao no´ F na˜o aumenta a informac¸a˜o
sobre o circuito. Assim, o nu´mero de equac¸o˜es inde-
pendentes que se pode obter com a aplicac¸a˜o da lei das
correntes de Kirchhoff em um circuito ele´trico e´ igual
ao nu´mero de no´s menos um.
Se equac¸a˜o do no´ B, isolarmos de um lado da igual-
dade as correntes que chegam no no´ (nesse caso I1 e I2) e
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CAPI´TULO 6. LEIS DE KIRCHHOFF
Figura 6.2:
do outro lado as correntes que saem do mesmo no´ (nesse
caso apenas a I3), temos:
I1 + I2 = I3
Observando o resultado da equac¸a˜o podemos concluir
que a soma das correntes que entram no no´ e´ igual a
soma das correntes que saem dele. Essa e´ uma outra
forma de se interpretar a primeira lei de Kirchhoff.
6.3 Segunda Lei de Kirchhoff
A lei de Kirchhoff das tenso˜es e´ aplicada nas malhas.
Ela ja´ foi usada no estudo dos circuitos de resistores em
se´rie, onde a soma das quedas de tensa˜o nos resistores e´
igual a` f.e.m. da fonte.
Se no circuito existe mais de uma fonte de f.e.m.
deve-se determinar a resultante das mesmas, ou seja,
soma´-las considerando os seus sentidos relativos.
Figura 6.3:
Et =VAB+VBC+VCD
Como a tensa˜o em um resistor pode ser calculada
pela lei de Ohm, temos:
E1−E2 = R1 · I+R2 · I+R3 · I
+E2−E1 +R1 · I+R2 · I+R3 · I = 0
Entenda-se que, na fonte de f.e.m., uma forma de
energia na˜o-ele´trica e´ convertida para ele´trica cedendo
energia para as cargas, ou seja, colocando as cargas em
um potencial mais elevado. Nas quedas de tensa˜o as car-
gas se dirigem para um potencial mais baixo havendo o
consumo da energia das cargas convertendo-a para uma
forma de energia na˜o-ele´trica, por exemplo, calor, luz
etc. Assim, ao percorrer uma malha fechada, percebe-
se que toda a energia entregue a`s cargas num trecho do
circuito ele´trico e´ dissipada num outro trecho.
A tensa˜o, por definic¸a˜o, esta´ associada a` energia ce-
dida a`s cargas ou retirada das mesmas durante o seu mo-
vimento. Daı´ e´ obtido o enunciado da Segunda Lei de
Kirchhoff:
“A SOMA ALGE´BRICA DAS TENSO˜ES (f.e.m.s e
quedas de tensa˜o) AO LONGO DE UMA MALHA
ELE´TRICA E´ IGUAL A ZERO.”
n
∑
i=0
Vi = 0 (6.2)
Para a aplicac¸a˜o da lei de Kirchhoff das tenso˜es, faz-
se necessa´rio adotar alguns procedimentos que sa˜o des-
critos a seguir:
1. Atribuir sentidos arbitra´rios para as correntes em
todos os ramos;
2. Polarizar as fontes de f.e.m. com positivo sempre
na placa maior da fonte, conforme a figura 6.4;
Figura 6.4:
3. Polarizar as quedas de tensa˜o nos resistores usando
a convenc¸a˜o de elemento passivo e sentido conven-
cional de corrente ele´trica. Isto equivale a colocar a
polaridade positiva da queda de tensa˜o no resistor
no terminal por onde a corrente entra no mesmo,
conforme a figura 6.5;
Figura 6.5:
4. Montar a equac¸a˜o percorrendo a malha e somando
algebricamente as tenso˜es. O sinal da tensa˜o cor-
responde ao sinal da polaridade pela qual se in-
gressa no componente, independentemente do sen-
tido da corrente ele´trica.
De acordo com o circuito apresentado na figura 6.6,
ao se aplicar a lei das tenso˜es de Kirchhoff a`s malhas
ABDFEA e BCGFDB, no sentido hora´rio, obte´m-se:
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CAPI´TULO 6. LEIS DE KIRCHHOFF
Malha ABDFEA: R1 · I1 +E2−R2 · I2 +R4 · I1 +E1 = 0
Malha BCGFDB: −E1 +R3 · I3 +E4 +R2 · I2−E2 = 0
Figura 6.6:
No circuito da figura 6.6, existe ainda mais uma ma-
lha (a malha externa ABCGFEA). Nesta malha poderia
ser aplicada tambe´m a lei das tenso˜es de Kirchhoff. En-
tretanto, como no caso da lei das correntes, a equac¸a˜o re-
sultante seria dependente das duas ja´ obtidas. Portanto,
esta equac¸a˜o seria inu´til.
Supondo-se que, no circuito da figura 6.6, fossem
conhecidos os valores de todas as f.e.m.s das fon-
tes de tensa˜o e todas as resisteˆncias, restariam como
inco´gnitas as treˆs correntes. Para resolver um sis-
tema de equac¸o˜es lineares com treˆs inco´gnitas sa˜o ne-
cessa´rias treˆs equac¸o˜es. Uma equac¸a˜o ja´ foi obtida com
a aplicac¸a˜o da lei da correntes de Kirchhoff. Portanto,
sa˜o necessa´rias mais duas, que podem ser obtidas pela
aplicac¸a˜o da lei das tenso˜es de Kirchhoff.
Em sı´ntese, pode-se concluir que, em um circuito
ele´trico com r ramos e n no´s, tem-se r correntes, uma
em cada ramo. A lei das correntes de Kirchhoff fornece
Ne1 = n− 1 equac¸o˜es e, portanto, a lei das tenso˜es de
Kirchhoff deve fornecer Ne2 = r− n+ 1 equac¸o˜es para
que o problema possa ser resolvido.
Por exemplo, no circuito da figura 6.6, tem-se r = 3,
n = 2. Se r = 3, o nu´mero de correntes e´ 3. O nu´mero
de equac¸o˜es fornecidas pela lei das correntes e´ Ne1 =
2− 1 = 1 e o nu´mero de equac¸o˜es fornecidas pela lei
das tenso˜es e´ Ne2 = 3−1 = 2, conforme discutido ante-
riormente.
A seguir, apresenta-se um resumo para aplicac¸a˜o da
LKC e LKT.
Resumo para aplicac¸a˜o das Leis de Kir-
chhoff
1. Identificar os no´s, ramos e malhas do circuito
ele´trico;
2. Atribuir para cada ramo do circuito um sentido
para a corrente ele´trica;
3. Polarizar as fontes de tensa˜o;
4. Polarizar as quedas de tensa˜o nos resistores de
acordo com o sentido adotado para a corrente;
5. Havendo no´s, aplicar a 1a Lei de Kirchhoff,
obtendo-se Ne1 equac¸o˜es (Ne1 = n−1);
6. Se o nu´mero de equac¸o˜es ainda na˜o for suficiente
para resolver o circuito, aplicar a 2a Lei de Kir-
chhoff, onde o nu´mero de equac¸o˜es e´ dado por
Ne2 = (r−n+1);
7. Escolher um ponto de partida e adotar um sentido
de percurso para analisar a(s) malha(s).
Exemplo 6.1 : Calcule o sentido e o mo´dulo da corrente
ele´trica no circuito da figura 6.7.
Figura 6.7:
Resoluc¸a˜o:1. Escolhe-se um sentido para a corrente ele´trica no
circuito. Por exemplo, o sentido indicado na figura
10.5.
2. Polarizam-se as quedas de tensa˜o nos resistores
(polaridade positiva no terminal por onde a cor-
rente entra) e as f.e.m.s das fontes (o terminal
maior e´ o positivo).
3. Percorre-se a malha, somando algebricamente as
tenso˜es (o sinal da tensa˜o corresponde ao sinal
da polaridade da tensa˜o encontrada na entrada do
componente).
Estas etapas esta˜o mostradas na figura 6.8 e na
equac¸a˜o abaixo.
Figura 6.8:
1I+4,7I+3,3I+15−6 = 0
9I =−9
I =−1A
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CAPI´TULO 6. LEIS DE KIRCHHOFF
O sinal negativo que aparece para o valor da corrente I
significa que o sentido escolhido para ela esta´ invertido.
Neste exemplo, o sentido correto da corrente ele´trica I e´
para baixo na figura 6.8 e na˜o para cima como foi arbi-
trado no inı´cio da resoluc¸a˜o.
Exemplo 6.2 : No circuito da figura 6.9, calcule os valo-
res das correntes I1, I2 e I3 a partir dos valores das f.e.m.s
e das resisteˆncias ele´tricas usando as leis de Kirchhoff.
Figura 6.9:
Resoluc¸a˜o:
1. O circuito possui 2 no´s, 3 ramos e 3 malhas.
2. Os sentidos de corrente e polaridades foram arbi-
trados conforme 6.10.
Figura 6.10:
3. Aplicando-se a lei de Kirchhoff das correntes tem-
se apenas uma equac¸a˜o obtida em relac¸a˜o aos no´s,
pois nos dois no´s a equac¸a˜o sera´ a mesma:
I1 + I2− I3 = 0
4. Aplicando-se a lei de Kirchhoff das tenso˜es, tem-se
duas equac¸o˜es obtidas pelas malhas:
Malha ACDA: Comec¸ando pelo no´ A, percorrendo
a malha no sentido hora´rio e chegando novamente
ao no A tem-se:
+4I1 +12−36 = 0
Malha ABCA: Comec¸ando pelo no´ A, percorrendo
a malha no sentido hora´rio e chegando novamente
ao no A tem-se:
+3,3I2 +2,7I2−4I1 = 0
5. Fica-se enta˜o com treˆs equac¸o˜es e treˆs inco´gnitas,
o que nos permite encontrar o valor de cada uma
das correntes. Enta˜o, simplificando-se as equac¸o˜es
e colocando-as na forma de um sistema, obte´m-se: I1 +I2 −I3 = 04I1 = 24−4I1 +6I2 = 0
6. Existem va´rios me´todos para se resolver um sis-
tema de equac¸o˜es. Nesse caso foi usado o me´todo
da substituic¸a˜o:
Da segunda equac¸a˜o obte´m-se:
I1 =
24
4
= 6A
Substituindo-se o valor de I1 na terceira equac¸a˜o
obte´m-se:
−4 ·6+6I2 = 0; Logo:
I2 =
24
6
= 4A
Enta˜o, substituindo-se os valores de I1 e I2 na pri-
meira equac¸a˜o obte´m-se:
6+4− I3 = 0; Logo:
I3 = 10A
6.4 Te´cnica da Ana´lise de Malhas
Partindo das Leis de Kirchhoff, va´rias te´cnicas foram
desenvolvidas com o objetivo de facilitar a resoluc¸a˜o
de circuitos ele´tricos. Uma das mais conhecidas e´ a
Te´cnica de Ana´lise de Malhas que sera´ estudada nesta
sec¸a˜o.
Consideremos enta˜o o circuito da figura 6.11, em que
foi atribuı´da uma corrente em cada ramo.
Figura 6.11: Circuito para ana´lise de malhas
Pela aplicac¸a˜o da Lei de Kirchhoff das correntes
temos:
I1− I2− I3 = 0
Isolando-se I3:
I3 = I1− I2
Logo, podemos indicar as correntes no circuito
desprezando a existeˆncia de I3, pois esta pode ser
escrita como I1 − I2. Enta˜o as correntes no circuito
ficam como na figura 6.12.
Consideremos agora, o mesmo circuito com uma li-
geira modificac¸a˜o, utilizaremos correntes de malha.
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CAPI´TULO 6. LEIS DE KIRCHHOFF
Figura 6.12: Circuito sem a corrente I3
Definimos correntes de malha como a corrente que
flui apenas no perı´metro de uma malha. A corrente de
malha e´ indicada por uma seta curva que quase fecha em
si mesma sem cortar nenhum ramo.
Por convenieˆncia, as correntes de malha sa˜o colo-
cadas sempre no sentido hora´rio e, a lei de Kirchhoff
das tenso˜es, tambe´m e´ aplicada nesse mesmo sentido.
Utilizando-se essa te´cnica, na˜o e´ necessa´rio a aplicac¸a˜o
da lei de Kirchhoff das correntes, o que simplifica a
resoluc¸a˜o do circuito.
Portanto, as correntes de malha sa˜o indicadas no cir-
cuito analisado conforme a figura 6.13.
Figura 6.13: Circuito com correntes de malha
Conforme foi comentado anteriormente, para resolver
o circuito e encontrar o valor das correntes, basta aplicar
a lei de Kircchoff das tenso˜es a`s malhas da figura 6.13.
Como no ramos central passam duas correntes de
malha, o valor real da corrente que circula nesse ramo
e´ a diferenc¸a entre as correntes de malha. Enta˜o as
equac¸o˜es das malhas fica assim:
Malha A: −42+6IA+3(IA− IB) = 0
Simplificando-se a equac¸a˜o resulta em:
9IA−3IB = 42
Malha B: −10+3(IB− IA)+4IB = 0
Apo´s simplificac¸a˜o fica-se com:
−3IA+7IB = 10
Enta˜o, para encontrar o valor das correntes, deve-
se resolver o seguinte sistema de equac¸o˜es:{
9IA −3IB = 42
−3IA +7IB = 10
O me´todo da soma e´ um dos mais simples para se
resolver sistemas com duas equac¸o˜es, pore´m so´ e´
possı´vel sua utilizac¸a˜o quando as equac¸o˜es sa˜o dispos-
tas de forma que, ao subtrair ou somar os polinoˆmios
das equac¸o˜es, todas as inco´gnitas, exceto uma, se
anulam.
Muitas vezes e´ necessa´rio multiplicar uma das
equac¸o˜es por algum valor de modo que essa situac¸a˜o
ocorra. Esse e´ o caso do sistema de equac¸o˜es deste
exemplo. Enta˜o devemos multiplicar a segunda equac¸a˜o
por 3, ficando com:{
9IA −3IB = 42
−9IA +21IB = 30
Enta˜o, somando-se as duas equac¸o˜es do sistema,
tem-se:
18IB = 74
Logo: IB = 4A
Substituindo-se o valor de IB na primeira equac¸a˜o
temos:
9IA−3(4) = 42
Enta˜o: IA = 6A
A corrente de malha IA corresponde a` corrente I1
do circuito da figura 6.11. Enquanto a corrente IB
corresponde a` corrente I2. Pore´m para obtermos a
corrente I3 (que passa no ramos central) e´ necessa´rio
subtrair as duas correntes, ou seja:
I3 = IA− IB = 6−4 = 2A
Como o valor de IA e´ maior do que IB, enta˜o o
sentido correto da corrente I3 e´ o pro´prio sentido de IA.
6.5 Execı´cios
1. Determine os valores das correntes desconhecidas
no circuito da figura 6.14.
2. Determine os valores das tenso˜es desconhecidas no
circuito da figura 6.15
3. Calcule o valor da corrente I no circuito da fi-
gura 6.16
4. Calcule o valor da resisteˆncia do resistor R3 no cir-
cuito da figura 6.17.
5. Sabendo que a corrente atrave´s do resistor R3 no
circuito da figura 6.18 vale 4A, calcule os valores e
os sentidos corretos das outras correntes e o valor
do resistor R3.
RODRIGO SOUZA E ALVACIR TAVARES 61 CURSO DE ELETROMECAˆNICA/IFSUL
CAPI´TULO 6. LEIS DE KIRCHHOFF
Figura 6.14:
Figura 6.15:
Figura 6.16:
Figura 6.17:
Figura 6.18:
6. Calcule os valores das correntes I2 e I3 e do resis-
tor R2, no circuito da figura 6.19, sabendo que a
intensidade da corrente I1 vale 0,2A.
Figura 6.19:
7. Calcule o valor e o sentido correto das correntes
nos ramos no circuito da figura 6.20.
Figura 6.20:
8. Calcule os valores das correntes I1 e I2 no circuito
da figura 6.21.
9. No circuito da figura 6.22, calcule o valor da cor-
rente I.
10. No circuito da figura 6.23, calcule os valores da
tensa˜o VS e da resisteˆncia R.
11. Determine a poteˆncia dissipada em R1 e R2 do cir-
cuito da figura 6.24.
RODRIGO SOUZA E ALVACIR TAVARES 62 CURSO DE ELETROMECAˆNICA/IFSUL
CAPI´TULO 6. LEIS DE KIRCHHOFF
Figura 6.21:
Figura 6.22:
Figura 6.23:
Figura 6.24:
12. Qual deve ser o valor do resistor R para que a cor-
rente no ramo AB da figura 6.25 seja nula?
Figura 6.25:
Respostas dos exercı´cios nume´ricos
1. I1 = 1A; I2 = 18A; I3 = 9A
2. V1 = 11V ; V2 = 2V ; V3 =−1V
3. I = 0,3A
4. R3 = 1Ω
5. I1 = 4A; I2 = 0; R3 = 1,5Ω
6. I2 = 0,8A; I3 = 0,6A; R2 = 2,5Ω
7. I1 = 6A; I2 = 4A; I3 = 10A
8. I1 = 9A; I2 = 1,5A
9. I = 3A para cima
10. Vs = 14V ; R= 4Ω
11. P1 = 20mW ; P2 = 22,5mW
12. R= 26kΩ
RODRIGO SOUZA E ALVACIR TAVARES 63 CURSO DE ELETROMECAˆNICA/IFSUL